2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在電子通信技術(shù)中的新視角考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.在信息論中，熵是用來衡量消息________的度量，其最大值由信源符號(hào)的概率分布決定。2.線性代數(shù)中的________理論是研究信號(hào)通過線性系統(tǒng)后頻譜變化的基礎(chǔ)。3.在無線通信中，香農(nóng)定理描述了在存在噪聲的信道中，通信速率R與信道容量C、信噪比SNR之間的關(guān)系，即R≤________。4.小波變換因其良好的時(shí)頻局部化特性，在通信信號(hào)________和________分析中具有廣泛應(yīng)用。5.在現(xiàn)代密碼學(xué)中，RSA算法的安全性基于大整數(shù)分解的困難性，其基本原理是利用了歐拉函數(shù)φ(n)以及模反元素的概念，其中n=pq是兩個(gè)大素?cái)?shù)p和q的乘積。二、簡答題（每題6分，共18分）1.簡述傅里葉變換在通信系統(tǒng)信號(hào)調(diào)制和解調(diào)過程中的作用。2.解釋什么是網(wǎng)絡(luò)流，并簡述圖論中的流量守恒定律及其在通信網(wǎng)絡(luò)建模中的應(yīng)用。3.簡要說明公鑰密碼體制與對(duì)稱密碼體制在密鑰管理方面的主要區(qū)別及其對(duì)通信安全的影響。三、計(jì)算題（每題10分，共20分）1.設(shè)一通信信道的容量C=30Mbps，當(dāng)前信噪比SNR=1000。根據(jù)香農(nóng)定理，若采用信道編碼，求理論上可以達(dá)到的最大數(shù)據(jù)傳輸速率是多少？若發(fā)送端的編碼效率（即信息速率與信道容量的比值）為0.8，求實(shí)際可達(dá)到的信息速率是多少？2.已知信號(hào)x(t)=cos(2πf?t)+sin(2πf?t)，其中f?=1000Hz,f?=2000Hz。求該信號(hào)通過截止頻率為1500Hz的理想低通濾波器后的頻譜表達(dá)式（用復(fù)指數(shù)形式表示）。四、證明題（共12分）設(shè)A是一個(gè)n階非奇異矩陣，B是一個(gè)n×m矩陣。證明：線性方程組AX=B一定有唯一解。五、綜合應(yīng)用題（共25分）已知在一個(gè)簡單的通信網(wǎng)絡(luò)中，有四個(gè)節(jié)點(diǎn)（分別記為A,B,C,D），它們之間的通信鏈路帶寬分別為：A-B=100Mbps，A-C=80Mbps，B-C=60Mbps，C-D=120Mbps，D-A=90Mbps。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)只允許沿A-B-C-D或D-C-B-A的路徑單向傳輸（不允許雙向或迂回路徑）。1.（8分）請(qǐng)構(gòu)建一個(gè)有向圖來表示該通信網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，并在圖中標(biāo)注各條邊的容量（帶寬）。2.（7分）若要從節(jié)點(diǎn)A向節(jié)點(diǎn)D發(fā)送數(shù)據(jù)，求該網(wǎng)絡(luò)的最大流量是多少？請(qǐng)給出你的計(jì)算過程。3.（10分）解釋流量守恒定律如何應(yīng)用于這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，并說明在上述最大流量情況下，各條鏈路（A-B,A-C,B-C,C-D,D-A）上的流量分別是多少。---試卷答案一、填空題1.信息量2.系統(tǒng)函數(shù)（或傳遞函數(shù)、頻響特性）3.C=log?(1+SNR)4.降噪、去噪5.歐拉函數(shù)φ(n)二、簡答題1.解析思路：首先說明調(diào)制是將基帶信號(hào)加載到載波上，改變載波的某個(gè)參數(shù)（幅度、頻率、相位）。傅里葉變換用于分析信號(hào)頻譜。調(diào)制過程本質(zhì)上是將基帶信號(hào)的頻譜搬移到載波頻率附近。解調(diào)則是調(diào)制過程的逆過程，通過濾波、檢測等手段從接收到的已調(diào)信號(hào)中恢復(fù)出原始的基帶信號(hào)。傅里葉變換在此過程中用于分析已調(diào)信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，指導(dǎo)濾波器的設(shè)計(jì)和信號(hào)檢測方案的選擇。2.解析思路：首先定義網(wǎng)絡(luò)流，即在網(wǎng)絡(luò)（有向圖）的每條有向邊（鏈路）上流動(dòng)的某種資源（如數(shù)據(jù)包、流量）的強(qiáng)度，并規(guī)定每個(gè)邊的容量（最大允許流量）。流量守恒定律指出：對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)（除源點(diǎn)和匯點(diǎn)外），流入該節(jié)點(diǎn)的流量總和等于流出該節(jié)點(diǎn)的流量總和。在通信網(wǎng)絡(luò)建模中，該定律反映了數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)處不能累積（或累積量恒為零），數(shù)據(jù)總是從輸入鏈路流入節(jié)點(diǎn)，再從輸出鏈路流出。這為計(jì)算網(wǎng)絡(luò)最大流提供了理論基礎(chǔ)，如增廣路徑算法的應(yīng)用就依賴于節(jié)點(diǎn)的流量守恒。3.解析思路：公鑰密碼體制使用一對(duì)密鑰：公鑰和私鑰。公鑰可以公開分發(fā)，用于加密信息；私鑰由所有者保密，用于解密信息。對(duì)稱密碼體制使用同一個(gè)密鑰進(jìn)行加密和解密。主要區(qū)別在于密鑰管理：公鑰密碼體制解決了對(duì)稱密碼體制中密鑰分發(fā)困難的問題，但通常計(jì)算效率較低。在通信安全中，公鑰密碼可用于密鑰交換或數(shù)字簽名，對(duì)稱密碼則用于高效的大量數(shù)據(jù)加密。三、計(jì)算題1.解析思路：直接應(yīng)用香農(nóng)定理公式C=log?(1+SNR)計(jì)算信道容量C。將SNR=1000代入，得到C=log?(1+1000)=log?(1001)Mbps。然后計(jì)算信息速率，信息速率=編碼效率×信道容量=0.8×C=0.8×log?(1001)Mbps。2.解析思路：首先寫出信號(hào)x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)（或復(fù)指數(shù)形式）表示：x(t)=0.5*e^(j2πf?t)+0.5*e^(-j2πf?t)+0.7071*e^(j2πf?t)+0.7071*e^(-j2πf?t)（這里假設(shè)是實(shí)信號(hào)，系數(shù)根據(jù)三角恒等式推導(dǎo)）。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)H(ω)是一個(gè)門函數(shù)：H(ω)=1,|ω|≤ωc；H(ω)=0,|ω|>ωc（ωc是截止角頻率，ωc=2πf_c）。將x(t)的各頻率分量通過濾波器：低頻分量(±f?)的幅度不變，高頻分量(±f?)被濾除。因此輸出信號(hào)y(t)只包含低頻分量：y(t)=0.5*e^(j2πf?t)+0.5*e^(-j2πf?t)。四、證明題解析思路：證明唯一性。首先，由于A是非奇異矩陣，其行列式det(A)≠0，根據(jù)線性代數(shù)基本定理，矩陣A可逆，記A?1。然后，考慮線性方程組AX=B的解。若X?和X?是該方程組的兩個(gè)解，則AX?=B且AX?=B。兩邊同時(shí)左乘A?1，得到A?1(AX?)=A?1B且A?1(AX?)=A?1B。利用矩陣乘法的結(jié)合律和A?1A=I（單位矩陣），得到X?=IX?=X?且X?=IX?=X?。因此X?=X?，證明了解的唯一性。五、綜合應(yīng)用題1.解析思路：根據(jù)題意，構(gòu)建一個(gè)有向圖G=(V,E)。節(jié)點(diǎn)集合V={A,B,C,D}。邊集合E表示通信鏈路及其帶寬（容量）：從A到B有一條邊(A,B)且容量為100；從A到C有一條邊(A,C)且容量為80；從B到C有一條邊(B,C)且容量為60；從C到D有一條邊(C,D)且容量為120；從D到A有一條邊(D,A)且容量為90。繪制的有向圖應(yīng)包含這四個(gè)節(jié)點(diǎn)和五條帶權(quán)重的有向邊。2.解析思路：應(yīng)用最大流算法，如增廣路徑算法（Ford-Fulkerson）。尋找從源點(diǎn)A到匯點(diǎn)D的增廣路徑。一條路徑是A->B->C->D，路徑容量為min(100,60,120)=60。另一條路徑是A->C->B->D，路徑容量為min(80,60,90)=60。將這兩條路徑的流量加起來，得到當(dāng)前流量為60+60=120。檢查殘余網(wǎng)絡(luò)，看是否還有增廣路徑。例如，路徑A->D，容量為90。路徑A->B->D，容量為min(100,60)=60。路徑A->C->D，容量為min(80,120)=80。嘗試組合路徑，如A->B->C->D和A->D，總流量為min(60,90)=60，總流量為60+120=180。但需注意鏈路容量約束，實(shí)際最大流為180。更準(zhǔn)確的計(jì)算應(yīng)使用Edmonds-Karp算法等基于BFS的算法系統(tǒng)搜索，確認(rèn)最大流為180。3.解析思路：流量守恒定律應(yīng)用于此網(wǎng)絡(luò)，意味著每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)（B和C）的凈流出量必須為零。即對(duì)于節(jié)點(diǎn)B：流量In(B)-流量Out(B)=0，即In(B)=Out(B)。對(duì)于節(jié)點(diǎn)C：流量In(C)-流量Out(C)=0，即In(C)=Out(C)。在最大流180的情況下，選擇增廣路徑組合：A->B->C->D(流量60)和A->D(流量120)。此時(shí)，各鏈路流量為：A->B:60(來自A->B->C->D)，A->C:0，B->C:60(來自A->B->C->D)，C->D:60(來自A->B->C->D)，D->A:0?？偭髁繛?0+0+60+60+0=180。檢查節(jié)點(diǎn)守恒：B:60In-60Out=0；C:60In(來自A->C)+60In(來自A->B->C)-60Out(去往C->D)-60Out(去往B->D)=