第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)第=page2020頁(yè)，共=sectionpages6363頁(yè)2025中考倒計(jì)時(shí)系列·考前沖刺·深圳專版TOC\o"1-3"\n\h\z\u模塊一熱點(diǎn)題型專練一、函數(shù)圖像與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題二、三角函數(shù)中檔題三、中檔題——二次函數(shù)四、選填壓軸最值問(wèn)題五、中檔題-圓六、中檔題-尺規(guī)作圖七、反比例函數(shù)模塊二選填壓軸專練八、填空壓軸-翻折問(wèn)題九、填空壓軸-解三角形十、倍半角十一、填空壓軸-線段比模塊三壓軸大題專練十二、二次函數(shù)-項(xiàng)目式學(xué)習(xí)十三、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)-其它知識(shí)點(diǎn)十四、幾何綜合遞進(jìn)式探究十五、解答題-幾何綜合十六、函數(shù)綜合模塊四打卡訓(xùn)練每日一練（1）每日一練（2）每日一練（3）每日一練（4）每日一練（5）每日一練（6）試卷第=page33頁(yè)，共=sectionpages212212頁(yè)第=page22頁(yè)，共=sectionpages212212頁(yè)一、函數(shù)圖像與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（2025·廣東深圳一模）如圖1，在中，，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著的路徑運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，與的差為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，點(diǎn)，是線段，與軸的交點(diǎn)，則圖2中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位置到點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位置所經(jīng)歷的時(shí)長(zhǎng)為（）A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒【答案】C【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，正確讀取圖中的信息是解題的關(guān)鍵．先得出當(dāng)時(shí)，則，，再解讀當(dāng)時(shí)，且與的差為，且此時(shí)停止運(yùn)動(dòng)了，說(shuō)明點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則，運(yùn)用，得，設(shè)故，分別算出在點(diǎn)M時(shí)，以及在點(diǎn)N時(shí)的時(shí)間，再計(jì)算它們的差值，即可作答．【詳解】解：∵過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴此時(shí)，由圖2得時(shí)，，∵與的差為，∴，∴，當(dāng)時(shí)，且與的差為，此時(shí)停止運(yùn)動(dòng)了，說(shuō)明點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∵，∴說(shuō)明點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，則，即，則，由圖2得，在點(diǎn)M時(shí)，則，即，在中，，設(shè)則，故，∴，解得，∴，∵一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著的路徑運(yùn)動(dòng)，∴（秒），由圖2得，在點(diǎn)N時(shí)，則，即，此時(shí)點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，則（秒），∴（秒），故選：C．2．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖1，在中，．點(diǎn)D從A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)停止，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E連接．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為x，的面積為y，若y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖形，當(dāng)點(diǎn)D在上，利用，求出，再求出，從而求出a，當(dāng)點(diǎn)在上，利用，求出，從而求出b，再計(jì)算即可．【詳解】解：在中，∵，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在上，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即，∴，∴，∴，即，如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在上，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即，∴，∴，即，∴，故選：B．3．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖1，在正方形中，動(dòng)點(diǎn)以的速度自點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)以的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了秒，記的面積為，且與之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示，則圖像中的值為（）．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，分類(lèi)討論，正確求出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，求得．當(dāng)時(shí)，有最大值，配合圖象可得方程，即可求得；當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，可求得，把代入即可得到答案．【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，即，解得，，當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，如圖，，當(dāng)時(shí)，，故選：B．二、三角函數(shù)中檔題4．（2025·廣東深圳·一模）某倉(cāng)儲(chǔ)中心有一個(gè)斜坡，，B、C在同一水平地面上，其橫截面如圖，現(xiàn)有一個(gè)側(cè)面圖為正方形的正方體貨柜，其中米，該貨柜沿斜坡向下時(shí)，若點(diǎn)D的最大高度限制（即點(diǎn)D離所在水平面的高度的最大值）為米，則的長(zhǎng)度應(yīng)不超過(guò)（）米（參考數(shù)據(jù)：）A．13 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)以及已知條件可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)余弦和正切的定義求出，根然后根據(jù)線段的和差，再解直角三角形求得，最后求得即可．【詳解】解：∵正方形，∴米，∴，∵，∴，∴，，∵米，∴，∵，∴，∴．故選B．5．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）菱形是日常生活中常見(jiàn)的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和實(shí)用性，活動(dòng)角的取值范圍宜為（如圖2），亮亮選購(gòu)了折疊后如圖所示的伸縮衣架，則其拉伸長(zhǎng)度的適宜范圍最接近（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形及其計(jì)算，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)直角三角形進(jìn)行計(jì)算．由菱形中，，，得，當(dāng)時(shí)，得，得，得，此時(shí)拉伸長(zhǎng)度；同理當(dāng)時(shí)，拉伸長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：由菱形中，，，得，當(dāng)時(shí)，得，得，得，此時(shí)拉伸長(zhǎng)度；同理當(dāng)時(shí)，拉伸長(zhǎng)度．總之，．故選：B．6．（2024·廣東深圳·二模）小明在科普讀物中了解到：每種介質(zhì)都有自己的折射率，當(dāng)光從空氣射入該介質(zhì)時(shí)，折射率為入射角正弦值與折射角正弦值之比，即折射率（為入射角，為折射角）．如圖，一束光從空氣射向橫截面為直角三角形的玻璃透鏡斜面，經(jīng)折射后沿垂直邊的方向射出，已知，，，則該玻璃透鏡的折射率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角函數(shù)，余角性質(zhì)，利用余角性質(zhì)可得，進(jìn)而得，再根據(jù)折射率計(jì)算即可求解，由余角性質(zhì)推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，，∵光線經(jīng)折射后沿垂直邊的方向射出，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．7．（2025?廣東深圳?一模）圖1是某款自動(dòng)旋轉(zhuǎn)遮陽(yáng)傘，傘面完全張開(kāi)時(shí)張角呈，圖2是其側(cè)面示意圖．為實(shí)現(xiàn)遮陽(yáng)效果最佳，傘面裝有接收器可以根據(jù)太陽(yáng)光線的角度變化，自動(dòng)調(diào)整手柄沿著移動(dòng)，以保證太陽(yáng)光線與始終垂直，已知支架長(zhǎng)為米，且垂直于地面，某一時(shí)刻測(cè)得米，懸托架，點(diǎn)固定在傘面上，當(dāng)傘面完全張開(kāi)時(shí)，太陽(yáng)光線與地面的夾角設(shè)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)懸托架的長(zhǎng)度為（）米．A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)I，利用三角函數(shù)得出，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，最后勾股定理求得，即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)I，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵長(zhǎng)為米，米，，∴（米），∴（米），∴（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握正切函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（23-24九年級(jí)上·廣西來(lái)賓·階段練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．探究車(chē)牌識(shí)別系統(tǒng)的識(shí)別角度素材1某小區(qū)為解決“停車(chē)難”這個(gè)問(wèn)題，改造一個(gè)地下停車(chē)庫(kù)．圖1是該地下停車(chē)庫(kù)坡道出入口的側(cè)面示意圖．地下停車(chē)庫(kù)高，，出入口斜坡長(zhǎng)．素材2圖2是地下停車(chē)庫(kù)門(mén)口安裝的車(chē)牌識(shí)別設(shè)備，攝像頭D點(diǎn)位于B點(diǎn)正上方，D，B，C三點(diǎn)共線．?dāng)z像頭在斜坡上的有效識(shí)別區(qū)域?yàn)?，?chē)輛進(jìn)入識(shí)別區(qū)域無(wú)需停留，閘門(mén)3秒即會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，車(chē)輛通過(guò)后，閘門(mén)才會(huì)自動(dòng)關(guān)閉．（參考數(shù)據(jù)：，，）素材3汽車(chē)從地下車(chē)庫(kù)駛出，在斜坡上保持勻速行駛，車(chē)庫(kù)限速問(wèn)題解決任務(wù)一確定斜坡坡比：如圖1，求的值．任務(wù)二判斷車(chē)輛是否順利通過(guò)：如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷此時(shí)車(chē)輛以最高限速行駛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，閘門(mén)是否已經(jīng)打開(kāi)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】任務(wù)一：；任務(wù)二：閘門(mén)沒(méi)有打開(kāi)，理由詳見(jiàn)解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：利用勾股定理求出，從而得解；任務(wù)二：過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，利用得到，從而求出，利用求出，從而得到，從而計(jì)算出車(chē)輛以最高限速行駛到達(dá)點(diǎn)的時(shí)間，從而得解．【詳解】解：任務(wù)一：，，長(zhǎng)，，的值為：；任務(wù)二：閘門(mén)沒(méi)有打開(kāi)，理由如下：過(guò)點(diǎn)作于，，，設(shè)，則，，，，，，，，解得：，，車(chē)輛以最高限速行駛到達(dá)點(diǎn)的時(shí)間為：秒，，閘門(mén)沒(méi)有打開(kāi)．三、中檔題——二次函數(shù)9．（2024?廣東深圳?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出的值是解題關(guān)鍵．依據(jù)題意，將代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出的值，再利用對(duì)稱軸在軸右側(cè)，得出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，．二次函數(shù)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，∴．∴．．∵，拋物線開(kāi)口向上，二次函數(shù)有最小值為：．故選：B．10．（24-25九年級(jí)下·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）四邊形是矩形，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，，如圖，拋物線對(duì)稱軸與軸交與點(diǎn)．點(diǎn)，分別為邊上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最短時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，先求出，，對(duì)稱軸為直線，連接，交于點(diǎn)，交與，，，此時(shí)四邊形周長(zhǎng)為，周長(zhǎng)最短，即點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最短，然后求出直線解析式為，從而可求出，，然后用兩點(diǎn)間的距離即可求解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由得：當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱；∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，，∴，∴關(guān)于直線對(duì)稱；連接，交于點(diǎn)，交與，∴，，∴此時(shí)四邊形周長(zhǎng)為，周長(zhǎng)最短，即點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最短，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，設(shè)直線解析式為，∴，解得，∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，故答案為：．11．（23-24九年級(jí)下?廣東深圳?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線（）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線．若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)，可得出，解得，進(jìn)而可確定的取值范圍，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，解得，∴，∵，∴，∴，故選：A．12．（2025?廣東深圳?一模）已知二次函數(shù)．(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解決下列問(wèn)題：①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；②若將平面內(nèi)一點(diǎn)向左平移個(gè)單位，到達(dá)圖象上的點(diǎn)；若將點(diǎn)向右平移個(gè)單位，則到達(dá)圖象上的點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)點(diǎn)，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，若，求證：．【答案】(1)①；②(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、配方法的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）①直接將代入求得a即可解得；②先根據(jù)平移表示出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性和二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（2）由可得，則有，，再用表示出可得，然后運(yùn)用配方法解答即可．【詳解】（1）解：①將代入可得，解得：，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為；②∵將平面內(nèi)一點(diǎn)向左平移個(gè)單位，則與圖象上的點(diǎn)重合；若將點(diǎn)A向右平移個(gè)單位，則與圖象上的點(diǎn)重合，∴，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為：，∴，解得：，把代入，得，即．（2）證明：∵設(shè)點(diǎn)，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，∴∴，，∴，∵，∴，即．四、選填壓軸?最值問(wèn)題13．（2024?廣東深圳?三模）如圖，中，，，，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，于D，于E，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可以確定A，D，P，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定，進(jìn)而確定當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理的推論確定，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)可，設(shè)，根據(jù)等角對(duì)等邊和勾股定理表示出和，根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，圓周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中計(jì)算即可．【詳解】解：∵于D，于E，∴，∴，∴A、D、P、E四點(diǎn)共圓，且直徑為，∵，是定值，所以直徑最小時(shí)，所對(duì)的弦最小，此時(shí)，在中，∴是等腰直角三角形，，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，則，∵，∴，過(guò)D作于M，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，則線段的最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查確定圓的條件，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，含的直角三角形，正確確定何時(shí)取得最小值是解題關(guān)鍵．五、中檔題-圓14．（23-24九年級(jí)上·云南昆明·期末）如圖所示，扇形的圓心角是直角，半徑為，為邊上一點(diǎn)，將沿邊折疊，圓心恰好落在弧上的點(diǎn)處，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題，掌握割補(bǔ)法求陰影部分的面積，是解題的關(guān)鍵．連接，則，由折疊得，則是等邊三角形，可求得，則，根據(jù)勾股定理求出，即可由求出陰影部分的面積．【詳解】解：連接，則，由折疊得，，，，，，，在中，，，，，，．故答案為：．15．（2025·廣東深圳·一模）如圖，將半徑為1的圓形紙片，按如下方式折疊，若和都經(jīng)過(guò)圓心O，則陰影部分的面積是．【答案】/【分析】本題主要考查圓中的計(jì)算問(wèn)題和扇形面積計(jì)算,熟悉掌握公式，把不規(guī)則陰影圖形面積利用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形來(lái)接是解題關(guān)鍵．作于點(diǎn)D，連接，求出，利用割補(bǔ)法將陰影分割成兩個(gè)弓形，利用旋轉(zhuǎn)補(bǔ)成扇形來(lái)求即可．【詳解】解：作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接，∵弓形折疊后為弓形過(guò)圓心，∴，∴，∴，∴，同理，∴，∵，∴，，將弓形繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得弓形，弓形繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得弓形，∴陰影部分的面積．故答案為：．16．（2025·廣東深圳·一模）在邊長(zhǎng)為3的正六邊形中，將四邊形繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四邊形處，如圖，此時(shí)邊與對(duì)角線重疊，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正多邊形與圓，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在邊長(zhǎng)為3的正六邊形中，，，，∴，∴，∵，∴，∴圖中陰影部分的面積，∵將四邊形繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四邊形處，∴，∴圖中陰影部分的面積故選：B．17．（2022·遼寧撫順·中考真題）如圖，在中，，的頂點(diǎn)O，D在斜邊上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E．(1)求證：與相切；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，先證明四邊形AOEF是平行四邊形，得到，即可證明∠OEB=∠ACB=90°，由此即可證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，先解直角△CEF求出EF的長(zhǎng)，再證明四邊形AOEF是菱形，得到OA，AF的長(zhǎng)，再解直角△AHF，求出AH，F(xiàn)H，進(jìn)而求出OH，即可利用勾股定理求出OF．【詳解】（1）證明：連接，∵四邊形是平行四邊形，∴；，∵，∴；，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∵是的半徑，∴與相切；（2）解：過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵四邊形是平行四邊形∴，∴，∴，在中，，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，且，∴是菱形，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．六、中檔題-尺規(guī)作圖18．（19-20九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）以下各圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格,均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，的值為_(kāi)_____；（2）利用網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫(xiě)作法．①如圖②，在上找一點(diǎn)，使；②如圖③，在上找一點(diǎn),使．【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行，對(duì)應(yīng)線段成比例即可得結(jié)論；（2）①根據(jù)勾股定理得AB的長(zhǎng)為5，利用格點(diǎn)，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)即可找到點(diǎn)P；②作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C與BD的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)P，使△APB∽△CPD．【詳解】解：（1）圖1中，∵AB∥CD，∴，故答案為．（2）在網(wǎng)格圖中，①如圖2所示，連接CD，交AB于點(diǎn)P，∵BC∥AD，∴，解得：AP=3∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)；②如圖3所示，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交BD于點(diǎn)P，∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-相似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．19．（2024?廣東深圳?二模）如圖，用尺規(guī)過(guò)圓外一點(diǎn)P作已知圓O的切線，下列作法無(wú)法得到為切線的是（）A．作中垂線交于點(diǎn)D，再以D為圓心，為半徑，作圓D交圓O于點(diǎn)A，連接B．以O(shè)為圓心，為半徑作圓弧交延長(zhǎng)線于D，再以D為圓心，為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A，連接C．先用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)D作垂線，再以O(shè)為圓心，為半徑畫(huà)弧交垂線于B，再以P為圓心，為半徑畫(huà)弧交圓O于點(diǎn)A，連接D．以P為圓心，為半徑畫(huà)弧，再以O(shè)為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接交圓O于點(diǎn)A，連接【答案】D【分析】利用圓周角性質(zhì)定理，中位線性質(zhì)定理，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析，從而判斷出結(jié)果．【詳解】解：A、連接，為直徑，，可得到為切線．B、過(guò)點(diǎn)O作，垂足為E，為以為圓的直徑，，，，，，，，，，為半徑，可得到為切線．C、先用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)作垂線，再以為圓心，為半徑畫(huà)弧交垂線于，再以為圓心，為半徑畫(huà)弧交圓于點(diǎn)，連接，，，可得到為切線．D、以為圓心，為半徑畫(huà)弧，再以為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，是等邊三角形，連接交圓于點(diǎn)，連接，如果為切線，則，必須為中點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的切線的作法，包含了圓周角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．20．（2025·廣東深圳·一模）如果三個(gè)數(shù)滿足，即，那么稱是和的比例中項(xiàng)．比例中項(xiàng)在數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，我們知道任何實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示．如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，現(xiàn)嘗試用尺規(guī)作圖的方法，在正半軸上畫(huà)出點(diǎn)，使得點(diǎn)表示的正數(shù)，恰好是數(shù)和的一個(gè)比例中項(xiàng)．方法如下：第步：作以為直徑的圓；第步：______的其中一點(diǎn)記為點(diǎn)；．以為圓心，為半徑畫(huà)圓，交圓．以原點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，交圓．以為直徑作圓，交圓．作的垂直平分線，交圓．以為直徑作圓，再過(guò)點(diǎn)作的垂線，交圓第步：以原點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．(1)請(qǐng)選出你認(rèn)為第步中正確作法對(duì)應(yīng)的字母：______（只填一個(gè)選項(xiàng)即可），并說(shuō)明理由，用尺規(guī)按照所選的作法在圖中作出點(diǎn)，要求保留作圖痕跡，不需要寫(xiě)出作法．(2)若，寫(xiě)出此時(shí)圓的直徑______．【答案】(1)或，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（）根據(jù)作圖步驟判斷即可求解；（）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義及（）中的結(jié)果解答即可求解；本題考查了比例式，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：第步中正確作法對(duì)應(yīng)的字母：或，理由如下：選：證明：如圖，連接，∵是圓的直徑，∴，∴，∵是圓的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∴，即，故點(diǎn)即為所求；選：證明：如圖，連接，∵是圓的直徑，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，即，故點(diǎn)即為所求；故答案為：或；（2）解：∵，∴，∵，∴，整理得，，解得或（不合，舍去），∴，∴，故答案為：．七、反比例函數(shù)21．（24-25九年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，且點(diǎn)落在反比例函數(shù)上，點(diǎn)落在反比例函數(shù)上，則．【答案】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)；過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值結(jié)合勾股定理求得，，再求得點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，如圖，∵，∴，∴設(shè)，則，∴，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，∴，∴（負(fù)值已舍），則點(diǎn)，∴，，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)B落在反比例函數(shù)上，∴，故答案為：．22．（2024?廣東深圳?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，E為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，E．若正方形的面積為10，則k的值是．【答案】4【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)C作軸，證明，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)E都在反比例函數(shù)的圖象上，根據(jù)正方形面積結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)C作軸，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)E為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，即，∵點(diǎn)C和點(diǎn)E都在反比例函數(shù)的圖象上，，∴，∴，∵正方形的面積為10，∴，在中，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴．故答案為：4．23．（2024?廣東深圳?三模）如圖，在中，，交x軸于點(diǎn)D，，C點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)A在雙曲線上，則．【答案】/【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，綜合利用相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)求的坐標(biāo)，依據(jù)在反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，根據(jù)坐標(biāo)求出的值．綜合性較強(qiáng)，注意轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用．要求的值，通?？汕蟮淖鴺?biāo)，可作軸的垂線，構(gòu)造相似三角形，利用和可以求出的縱坐標(biāo)，再利用三角形相似，設(shè)未知數(shù)，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程，求出待定未知數(shù)，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定的值．【詳解】解：過(guò)作軸，垂足為，，，，，，，；又軸平分，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，．故答案為：．24．（2025?廣東深圳?一模）如圖，把一塊含角的直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上．把三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點(diǎn)恰好也在函數(shù)的圖象上，此時(shí)點(diǎn)落在函數(shù)上的圖象上，則k的值為．【答案】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，作于點(diǎn)，設(shè)則得，代入，求出過(guò)點(diǎn)作直線軸，垂足為點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明作軸于點(diǎn)得設(shè)，求出，設(shè)，求得，得，故可求出k的值．【詳解】解：作于點(diǎn)，∵是等腰直角三角形，∴，設(shè)則，∴，∵點(diǎn)A在上，∴，∴，∵，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作直線軸，垂足為點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵，∴，∴，又，∴，∴，作軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)在上，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，，∵且，∴，解得，，∴，設(shè)，∴，∴，∴，同理可得，由①②得，∴，∴，故答案為：．25．（2025?廣東深圳?一模）如圖，已知矩形的一邊落在軸的正半軸，它的頂點(diǎn)與對(duì)角線的中點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，則矩形的面積為．【答案】8【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)，，則，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得出，從而可得，，即可得解．【詳解】解：設(shè)，∵它的頂點(diǎn)與對(duì)角線的中點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∴，∴，，∴矩形的面積為，故答案為：．26．（2023?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)為的直徑，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為軸上一點(diǎn)，的面積為6，則的值為．【答案】24【分析】設(shè)，則，則，根據(jù)三角形的面積公式得出，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵與軸相切于點(diǎn)，∴軸，∴，則點(diǎn)D到的距離為a，∵為的直徑，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．27．（2025·廣東深圳·一模）如圖，矩形的兩邊，在坐標(biāo)軸上，且，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的解析式．【答案】【分析】過(guò)M作，交于G，過(guò)E作于F，設(shè)，由題意可知：，，證明出，得到，然后證明出，得到，求出，然后根據(jù)三角形面積公式得到，求出，然后得到，最后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】過(guò)M作，交于G，過(guò)E作于F，設(shè)，由題意可知：，，∴，，∵，∴∴∴，∵，∴∴∴，∵，∴∴，即∴，∵，，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，，∴，∴設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的解析式為∴∴∴經(jīng)過(guò)B的雙曲線的解析式就是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)和幾何綜合，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線以及相似三角形的性質(zhì)的熟練應(yīng)用．28．（24-25九年級(jí)下·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，連接，若，，則m的值是．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，正切的含義，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．先根據(jù)直線求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)求得，然后利用正切的定義求得，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得結(jié)論即可．【詳解】解：∵直線與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，過(guò)B作軸于D，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)，在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴．故答案為：．八、填空壓軸-翻折問(wèn)題29．（2025?廣東深圳?一模）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且，連接，把沿翻折，得到，與交于點(diǎn)，連接，則的面積為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于G，證明；延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于H，證明，過(guò)點(diǎn)B作于F，證明，利用勾股定理，三角形相似，面積計(jì)算的分割法，解答即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于G，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于H，由折疊知，，，，∵，∴，∴∴，∴，，∴，，，過(guò)點(diǎn)B作于F，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，分割法計(jì)算圖形的面積，熟練掌握勾股定理，折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2023?廣東深圳?二模）如圖，矩形的對(duì)角線和交于點(diǎn)O，，將沿著折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，則．【答案】【分析】本題考查了矩形的折疊問(wèn)題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．連接，設(shè)交于點(diǎn)，勾股定理得出，等面積法求得，然后求得，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)，在矩形中，，，矩形的對(duì)角線和交于點(diǎn)，將沿著折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，，，，，，，，又，，，，，即，，故答案為：.31．（2022?江蘇南通?一模）如圖，在四邊形ABCD中（AB＞CD），ABCBCD90，AB=3，BC=，把Rt△ABC沿著AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=則線段DE的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，首先得到∠ACB=60°，∠ECD=30°，再根據(jù)折疊可得到∠AED=∠EDM，設(shè)EM=m，由折疊性質(zhì)可知，EC=CB，在直角三角形EDM中，根據(jù)勾股定理即可得DE的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CE，由折疊可知：∠AEC=∠B=90°，∴AEDM，∴∠AED=∠EDM，∴tan∠AED=tan∠EDM=，設(shè)EM=m，由折疊性質(zhì)可知，EC=CB=，∴CM=-m，由圖可得，即，由翻折可知：∠ECA=∠BCA=60°，∴∠ECD=30°，∴tan∠ECD==，∴DM=（-m）×=1-m，∴tan∠EDM=＝，即=，解得，m=，∴DM=，EM=，在直角三角形EDM中，DE2=DM2+EM2，解得，DE=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．32．（2025?廣東深圳?一模）在菱形中，，將沿翻折至，，的延長(zhǎng)線分別交于，兩點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及解直角三角形分別求出，，，再結(jié)合勾股定理得，因?yàn)檎郫B，得，，，，運(yùn)用勾股定理得出，，，，再證明，運(yùn)用兩個(gè)相似三角形的高的比等于相似比列式化簡(jiǎn)，即可作答．【詳解】解：分別過(guò)點(diǎn)，作的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線，且過(guò)F作分別交于點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，，，∵∴，設(shè)，∴在中，，即，∴，∵，的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線，∴，∵，∴∴在中，，，即，，∴，，在中，，則，∵將沿翻折至，，的延長(zhǎng)線分別交于，兩點(diǎn)，∴，，，，∴，即，∴，解得，∴∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，則，∴，∴，∵，∴，∴（兩個(gè)相似三角形的高的比等于相似比），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，難度大，綜合性強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．九、填空壓軸-解三角形33．（2025?廣東深圳?一模）如圖，在中，，，點(diǎn)分別在邊和邊的延長(zhǎng)線上，連接，且，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如果點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，那么．【答案】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，中位線定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由題意求出，，過(guò)點(diǎn)作于，由直角三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理得，，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線定理可得，，從而證明，最后由相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，∴，∴，∴，∴，又∵，∴在中，，∴，取的中點(diǎn)，連接，∴，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，由可知，∴，∴，∴，∴，故答案為：．34．（2024·廣東深圳·二模）在中，，線段平分．已知，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查解直角三角形．過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線得到，根據(jù)三角函數(shù)得到，進(jìn)而求出，然后利用勾股定理求出長(zhǎng)．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．35．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，，則．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，先證明，得到，，同時(shí)計(jì)算，因此得到，再證明，即可得到答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．36．（2025·廣東深圳·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與交于點(diǎn)Q，若，，，則的值為．【答案】/【分析】本題考查勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)作交直線于，連接，由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，則，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：過(guò)作交直線于，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，解得（負(fù)值已舍去），∴，∵，∴，中，，∴，解得（負(fù)值已舍去），∴，解得，故答案為：．37．（24-25九年級(jí)下·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）如圖，為等腰三角形，，，以為斜邊作Rt△ADB，，，連接，交于點(diǎn)E，則．【答案】【分析】先求解，，如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，求解，，，證明，求解，，進(jìn)一步求解，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，，如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，∴，，，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.十、倍半角38．（23-24九年級(jí)下?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，且，若，則的值為．【答案】【分析】本題考查求線段長(zhǎng)，涉及互余、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形全等判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、中點(diǎn)的定義等知識(shí)，過(guò)作于，交于，如圖所示，設(shè)，，由直角三角形兩銳角互余、等腰三角形性質(zhì)，在和構(gòu)成的8字形中，由三角形內(nèi)角和定理可知，從而由三角形全等判定得到，進(jìn)而，最后由平行線分線段成比例確定是的中點(diǎn)，即可得到答案，本題難度較大，數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)及判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)作于，交于，如圖所示：設(shè)，，，，，，，，，在和中，由三角形內(nèi)角和定理可知，即，，，，在和中，，，，，則，即，是的中點(diǎn)，，故答案為：．十一、填空壓軸-線段比39．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)，對(duì)角線分別交，于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，則的值為．【答案】/【分析】設(shè)，，根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理可得，再證得，可得，，進(jìn)而可得，再由，可得，得出，聯(lián)立得，求得，再證得，即可求得答案．【詳解】解：四邊形是矩形，設(shè)，，，，，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，即，，，，在中，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在菱形中，，E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，作交邊于點(diǎn)F，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)推出，，判定，是等邊三角形，得到，，求出，而，得到，即可證明，推出，令，則，得出，得到，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴令，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．41．（2021·江蘇·二模）如圖，在中，，將沿對(duì)角線翻折至與相交于點(diǎn)，連接，則的值為．【答案】【分析】利用全等三角形三角形，得到對(duì)應(yīng)邊相等，得出等腰三角形，再利用三角形相似，對(duì)出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立等式，再通過(guò)等量代換進(jìn)行求解．【詳解】解：在中，，，，，，，，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，設(shè)，在中，，，，，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的折疊，全等三角形的判斷及性質(zhì)，相似三角形的判斷及性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)概念，找出邊與邊之間的等量關(guān)系，通過(guò)等量代換進(jìn)行求解．十二、二次函數(shù)-項(xiàng)目式學(xué)習(xí)42．（2025·廣東深圳·一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題提出】如圖（1）在中，，D為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止），以為邊在上方作正方形．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，正方形的面積為y．【初步感悟】（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①若，則________；②y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______；（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖（2）所示的函數(shù)圖象，直線是其圖象所在拋物線的對(duì)稱軸，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量的取值范圍）．【延伸探究】（3）連接正方形的對(duì)角線，，兩對(duì)角線的交點(diǎn)為M，在（2）的情況下，求點(diǎn)A在內(nèi)部時(shí)x和y的取值范圍．【答案】（1）①3；②；（2）；（3）點(diǎn)A在內(nèi)部時(shí)x的取值范圍為，y的取值范圍為．【分析】（1）根據(jù)正方形面積公式求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求得，由題圖（2）可知點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即，在中，利用勾股定理即可求解；（3）取的中點(diǎn)，連接，分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得，點(diǎn)A在內(nèi)部時(shí)x的取值范圍為，y的取值范圍為．【詳解】解：（1）①若，則；②y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；故答案為：3；；（2）由題意可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，此時(shí)，連接，由題圖（2）可知點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即，在中，，即，∴（負(fù)值已舍），當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，∴，∴在中，，∴，即當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；（3）由（2）知，，，又∵D為的中點(diǎn)，∴，取的中點(diǎn)，連接，∴，是的中位線，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∵四邊形是正方形，∴是等腰直角三角形，分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段(不含點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)，；∴點(diǎn)A在內(nèi)部時(shí)x的取值范圍為，y的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題是正方形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、求函數(shù)解析式、勾股定理、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．43．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)活動(dòng)：如何提高籃球運(yùn)動(dòng)罰球命中率—以小華同學(xué)為例活動(dòng)背景：某學(xué)校體育節(jié)進(jìn)行班級(jí)籃球比賽，在訓(xùn)練過(guò)程中發(fā)現(xiàn)小華同學(xué)罰球命中率較低，為幫助小華同學(xué)提高罰球命中率，該班數(shù)學(xué)小組拍攝了如下圖片并測(cè)量了相應(yīng)的數(shù)據(jù)（圖片標(biāo)注的是近似值）．(1)模型建立：如圖所示，直線AE是地平線，A為小華罰球時(shí)腳的位置，籃球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B、D、F為籃球的三個(gè)不同位置，B點(diǎn)為球出手時(shí)候的位置．已知，籃球運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，數(shù)學(xué)小組以A、B、C、D、E、F中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，計(jì)算出籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為，根據(jù)解析式，請(qǐng)你判斷該數(shù)學(xué)小組是以點(diǎn)（填A(yù)、B、C、D、E、F中的一個(gè)）作為坐標(biāo)原點(diǎn)．(2)問(wèn)題解決：已知籃球框與罰球線水平距離為4米，距離地面為3米，請(qǐng)問(wèn)在（1）的情況下，小華的這次罰球能否罰進(jìn)？并說(shuō)明理由．(3)模型應(yīng)用：如下圖所示為拋物線的一部分函數(shù)圖象，拋物線外一點(diǎn)，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在不改變拋物線形狀的情況下，把原拋物線向上平移多少個(gè)單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．【答案】(1)B(2)不能罰進(jìn)，理由見(jiàn)解析(3)個(gè)單位【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．（1）由拋物線解析式中常數(shù)項(xiàng)為0可得拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，計(jì)算出點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)D和點(diǎn)F是否在拋物線上即可，若不在，再假設(shè)點(diǎn)D或F為坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）先表示出籃球框所在位置的坐標(biāo)，再判斷該坐標(biāo)是否在拋物線上即可；（3）原拋物線向上平移m個(gè)單位后的解析式為，將代入求出m的值即可．【詳解】（1）解：拋物線解析式為，拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，B、D、F可能為坐標(biāo)原點(diǎn)，，當(dāng)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)D和點(diǎn)F在拋物線上，該數(shù)學(xué)小組是以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，故答案為：B．（2）解：不能罰進(jìn)，理由如下：在（1）的情況下，籃球框所在位置的坐標(biāo)為，即，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)不在拋物線上，小華的這次罰球不能罰進(jìn)．（3）解：設(shè)原拋物線向上平移m個(gè)單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．則平移后的拋物線解析式為，將代入，得：，解得，即原拋物線向上平移個(gè)單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．44．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀信息，并解決問(wèn)題：?jiǎn)栴}芙蓉大橋檢修后需要更換吊桿及相關(guān)裝飾品查詢信息深圳有許多橋，有一座坐落于羅湖區(qū)的橋—芙蓉大橋，如圖，是芙蓉大橋的一個(gè)拱，其外形酷似豎琴．橋拱固定在橋面上，拱的兩側(cè)安裝了17對(duì)吊桿（俗稱“琴弦”）此段橋長(zhǎng)120米，拱高25米．處理信息如圖是芙蓉大橋其中一拱的主視圖，，分別表示是橋的起點(diǎn)和終點(diǎn)，橋拱可看成拋物線，拱的兩端，位于線段上，且．一根琴弦固定在拱的對(duì)稱軸處，其余16根琴弦對(duì)稱固定在兩側(cè)，每側(cè)各8根．記離拱端最近的一根為第1根，從左往右，依次記為第2根，第3根，為第9根，測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)得上橋起點(diǎn)與拱端水平距離為20米，最靠近拱端的“琴弦”高9米，與之間設(shè)置7根“琴弦”，各琴弦的水平距離相等，記為米．解決問(wèn)題任務(wù)1：建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；任務(wù)2：求琴弦與拱端的水平距離及的值．任務(wù)3：若需要在琴弦與之間垂直安裝一個(gè)如圖所示高為的高音譜號(hào)藝術(shù)品，藝術(shù)品底部在橋面上，頂部恰好扣在拱橋上邊緣，問(wèn)該藝術(shù)品頂部應(yīng)該安裝在哪兩根琴弦之間？【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：琴弦與拱端的水平距離為8米，的值為4米；任務(wù)3：該藝術(shù)品頂部應(yīng)該安裝在第3根和第4根琴弦之間【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的表達(dá)式及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．任務(wù)1：以橋所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)為原點(diǎn)，令拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入中即可得出答案；任務(wù)2：將代入即可得出的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的和差即可得出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的值；任務(wù)3：將代入出的值，再進(jìn)行判斷該藝術(shù)品頂部應(yīng)該安裝在哪兩根琴弦之間．【詳解】解：任務(wù)如圖，以橋所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)為原點(diǎn)，由題意得，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，令拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入中得，，解得：，則拋物線的解析式為．任務(wù)（米），將代入得，，（舍），（米，（米），（米），琴弦與拱端的水平距離為8米，的值為4米．任務(wù)3：將代入得，，（舍），，該藝術(shù)品頂部應(yīng)該安裝在第3根和第4根琴弦之間．45．（2025·廣東深圳·一模）某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口位于桌面左上方，桌面的長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，從出球口發(fā)出的乒乓球運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分，設(shè)乒乓球與出球口的水平距離為，到桌面的高度為，在桌面上的落點(diǎn)為，經(jīng)測(cè)試，拋物線的解析式為，且當(dāng)時(shí)，．(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)的高度為，問(wèn)乒乓球位于球網(wǎng)正上方時(shí)，乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？(3)乒乓球落在點(diǎn)后隨即彈起，沿拋物線的路線運(yùn)動(dòng)，小明拿球拍與桌面夾角為接球，球拍擊球面的中心線長(zhǎng)為，下沿在軸上，假設(shè)拋物線，與在同一平面內(nèi)，且乒乓球落在上（含端點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)），直接寫(xiě)出：①點(diǎn)為的坐標(biāo)為_(kāi)_________；②球拍到桌邊的距離的最大值是__________，的最小值是__________．【答案】(1)；(2)乒乓球位于球網(wǎng)正上方，此時(shí)乒乓球到球網(wǎng)頂端的距離為；(3)①，②，．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求二次函數(shù)關(guān)系式，掌握二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．（1）把，代入，然后即可求解與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）先求得，然后當(dāng)時(shí)，，然后即可求解；（3）①根據(jù)與的函數(shù)關(guān)系式可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)乒乓球反彈后拋物線的關(guān)系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可．【詳解】（1）解：把，代入，解得：；∴；（2）解：由題意得，，∴，當(dāng)時(shí)，．∴乒乓球位于球網(wǎng)正上方，此時(shí)乒乓球到球網(wǎng)頂端的距離約為．答：乒乓球位于球網(wǎng)正上方，此時(shí)乒乓球到球網(wǎng)頂端的距離約為．（3）解：①當(dāng)時(shí)，即，解得：，，∴由題意可得；②由（1）得：，∵乒乓球反彈后沿拋物線的路線運(yùn)動(dòng)，而，∴，解得：．∴乒乓球反彈后沿拋物線的關(guān)系式為：，當(dāng)乒乓球反彈后沿拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)（即此時(shí)拋物線與軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，，．∴，當(dāng)乒乓球反彈后沿拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于，如圖：在中，，，∴，，當(dāng)時(shí)，即，解得：（在上舍去），，即，∴，∴，∴球拍到桌邊的距離的最大值是，的最小值是．46．（23-24九年級(jí)下·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）綜合與應(yīng)用如果將運(yùn)動(dòng)員的身體看作一點(diǎn)，則他在跳水過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)起跳，從起跳到入水的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度與水平距離滿足二次函數(shù)的關(guān)系．(1)在平時(shí)的訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下表：水平距離x（m）011.5豎直高度y（m）10106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的關(guān)系式；(2)在（1）的這次訓(xùn)練中，求運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)；(3)信息1：記運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)B到水面的高度為，從到達(dá)到最高點(diǎn)B開(kāi)始計(jì)時(shí)，則他到水面的距離與時(shí)間之間滿足．信息2：已知運(yùn)動(dòng)員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要的時(shí)間才能完成極具難度的270C動(dòng)作．問(wèn)題解決：①請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，在（1）的這次訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員甲能否成功完成此動(dòng)作？②運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，此時(shí)他的豎直高度與水平距離的關(guān)系為，若選手在達(dá)到最高點(diǎn)后要順利完成270C動(dòng)作，則a的取值范圍是______．【答案】(1)y關(guān)于x的關(guān)系式為(2)動(dòng)員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)為2米(3)①運(yùn)動(dòng)員甲不能成功完成此動(dòng)作；②【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理清題目條件，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系為，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函數(shù)表達(dá)式；（2）把代入（1）中所得的二次函數(shù)解析式，即可求出結(jié)果；（3）①把二次函數(shù)解析式整理為頂點(diǎn)式，得到k與a的關(guān)系式，把代入，計(jì)算t的值，再與1.6比較即可得到結(jié)果；②求得的頂點(diǎn)為，得，把代入，得到與a的關(guān)系式，由，列不等式即可求出t的取值范圍．【詳解】（1）解：由運(yùn)動(dòng)員的豎直高度與水平距離滿足二次函數(shù)的關(guān)系，設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系為，代入，，，得，解得，y關(guān)于x的關(guān)系式為；（2）解：把代入，得，解得，（不合題意，舍去），運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)為2米；（3）解：①運(yùn)動(dòng)員甲不能成功完成此動(dòng)作，理由如下：由運(yùn)動(dòng)員的豎直高度與水平距離滿足二次函數(shù)的關(guān)系為，整理得，得運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)B到水面的高度k為，即，把代入，得，解得，（不合題意，舍去），，運(yùn)動(dòng)員甲不能成功完成此動(dòng)作；②由運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，豎直高度與水平距離的關(guān)系為，得頂點(diǎn)為，得，得，把代入，得，由運(yùn)動(dòng)員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要的時(shí)間才能完成極具難度的270C動(dòng)作，得，則，即，解得．故答案為：．47．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)噴泉安全通道？在拋物線形的噴泉水柱下設(shè)置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時(shí)間穿過(guò)安全通道時(shí)不被水柱噴到（穿梭過(guò)程中人的高度變化忽略不計(jì)）．素材1圖1為音樂(lè)噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂(lè)變化而上下移動(dòng)．不同高度的噴頭噴出來(lái)的水呈拋物線型或拋物線的一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點(diǎn)都在噴水管的右側(cè)．素材2圖2是當(dāng)噴水頭在地面上時(shí)（噴水頭最低），其拋物線形水柱的示意圖，水落地點(diǎn)離噴水口的距離為，水柱最高點(diǎn)離地面．圖3是某一時(shí)刻時(shí)，水柱形狀的示意圖．為噴水管，為水的落地點(diǎn)，記長(zhǎng)度為噴泉跨度．素材3安全通道在線段上，若無(wú)論噴頭高度如何變化，水柱都不會(huì)進(jìn)入上方的矩形區(qū)域，則稱這個(gè)矩形區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域．問(wèn)題解決任務(wù)1確定噴泉形狀．在圖2中，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2確定噴泉跨度的最小值．若噴水管最高可伸長(zhǎng)到，求出噴泉跨度的最小值．任務(wù)3設(shè)計(jì)通道位置及兒童的身高上限．現(xiàn)在需要一條寬為的安全通道，為了確保進(jìn)入安全通道上的任何人都能在安全區(qū)域內(nèi)，則能夠進(jìn)入該安全通道的人的最大身高為多少？（精確到）【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）OB最小值為；（3）能夠進(jìn)入該安全通道的人的最大身高為1.3米【分析】本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，以及二次函數(shù)解析式的求法，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由任務(wù)1設(shè)拋物線解析式為：，代入，即可求拋物線解析式；由任務(wù)2設(shè)拋物線解析式為：，代入即可求拋物線解析式，從而求的值；在任務(wù)3中，設(shè)，則，代入對(duì)應(yīng)的拋物線解析式即可．【詳解】任務(wù)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線的最高點(diǎn)為3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為過(guò)點(diǎn)，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．任務(wù)當(dāng)噴水管最高可伸長(zhǎng)到時(shí)，設(shè)此時(shí)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，由，得，解得：或（舍），．任務(wù)由題意得：當(dāng)點(diǎn)落在上，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，最大．延長(zhǎng)交拋物線與點(diǎn)，，，，關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.5，當(dāng)時(shí)，，∴則能夠進(jìn)入該安全通道的人的最大身高為1.3米．十三、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)-其它知識(shí)點(diǎn)48．（2025·廣東深圳·一模）【問(wèn)題背景】：如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．【實(shí)驗(yàn)探究】：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明在圖1中發(fā)現(xiàn)；將圖1中的繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，，如圖2所示，發(fā)現(xiàn)；（2）小亮同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；【拓展延伸】：（3）在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】（1）；；（2）結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）或【分析】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)證明，可得，即可求解；（2）通過(guò)證明，即得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，先求出，的長(zhǎng)，用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）如圖：，，，如圖2：繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，，，，故答案為：；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，，，；（3）當(dāng)點(diǎn)E在的上方時(shí)，如圖：，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，，，，，D、E、F三點(diǎn)共線，，，，由（2）可得：，，；當(dāng)點(diǎn)E在AB的下方時(shí)，如圖：同理可求：，故答案為：或．49．（2024?廣東深圳?二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽(yáng)棚，其輪廓全部展開(kāi)后可近似看成一個(gè)圓，即弧，已知和遮陽(yáng)棚桿子在同一條直線上，且與地面垂直，當(dāng)上午某一時(shí)刻太陽(yáng)光從東邊照射，光線與地面呈角時(shí)，光線恰好能照到桿子底部D點(diǎn)，已知長(zhǎng)為．(1)求遮陽(yáng)棚半徑的長(zhǎng)度．(2)如圖（2）當(dāng)下午某一時(shí)刻太陽(yáng)光從西邊照射，光線與地面呈角，在遮陽(yáng)棚外，距離遮陽(yáng)棚外檐C點(diǎn)正下方E點(diǎn)的F點(diǎn)處有一株高為的植物，請(qǐng)問(wèn)植物頂端能否會(huì)被陽(yáng)光照射？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖（3）為擴(kuò)大遮陽(yáng)面積，餐館更換了遮陽(yáng)棚，新遮陽(yáng)棚輪廓可近似看成拋物線的一部分，已知新遮陽(yáng)棚上最高點(diǎn)仍為A點(diǎn)，且外檐點(diǎn)到的距離為、到的距離為．現(xiàn)需過(guò)遮陽(yáng)棚上一點(diǎn)P為其搭設(shè)架子，架子由線段、線段兩部分組成，其中與地面垂直，若要保證從遮陽(yáng)棚上的任意一點(diǎn)P（不含A點(diǎn)）都能按照上述要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備______m的鋼材搭設(shè)架子．【答案】(1)(2)植物頂端不能被太陽(yáng)照射，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）解直角三角形，求得結(jié)果；（2）連接，延長(zhǎng)交于，可證得，從而得出，，從而求得的值，進(jìn)而得出，從而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）以所在直線為軸，所在的直線為軸建立坐標(biāo)系，可求得拋物線的解析式為，從而可設(shè)設(shè)，從而表示出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，，，，，，，；（2）如圖2，植物頂端不能被太陽(yáng)照射，理由如下：連接，延長(zhǎng)交于，與相切，，，，，，，，，，，植物頂端不能被太陽(yáng)照射；（3）解：如圖3，以所在直線為軸，所在的直線為軸建立坐標(biāo)系，，，設(shè)拋物線的解析式為：，，，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式．50．（2025·廣東深圳·一模）為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，廣東新農(nóng)村建設(shè)把主要村道道路上安裝了太陽(yáng)能路燈．如圖（a）所示是行人在某村村道路燈下的影子，圖（b）是該村村道上安裝的兩盞高度不同的太陽(yáng)能路燈的示意圖，其中電線桿的高度為，電線桿的高度為，的長(zhǎng)為．身高的聰聰同學(xué)（）在兩盞路燈之間走動(dòng)，他在B，D兩盞路燈下形成的影長(zhǎng)分別記作和．（A，E，C，M，N在同一直線上，電線桿和人均垂直于地面）(1)請(qǐng)?jiān)趫D（b）中畫(huà)出聰聰同學(xué)在路燈D照射下形成的影長(zhǎng)；(2)當(dāng)聰聰同學(xué)站在兩盞路燈的中間（即E為的中點(diǎn)）時(shí)，請(qǐng)求出影長(zhǎng)；(3)若影長(zhǎng)端點(diǎn)N處有一個(gè)竹竿，它在路燈B的照射下其影長(zhǎng)端點(diǎn)恰好與點(diǎn)M重合，同時(shí)影長(zhǎng)端點(diǎn)M處也有一個(gè)竹竿，它在路燈D的照射下其影長(zhǎng)端點(diǎn)恰好與點(diǎn)N重合．（竹竿，均垂直于地面）請(qǐng)回答下列問(wèn)題：①設(shè)的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為_(kāi)______（請(qǐng)用含有x的代數(shù)式來(lái)表示）；②請(qǐng)判斷的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)①或；②是，【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)N即可．（2）先得出，，由相似三角形的性質(zhì)得出，，分別求出和，最后根據(jù)代入計(jì)算即可．（3）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)，由（2）可知，，由全等三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)，進(jìn)而可得出，再證明，即可由全等三角形的性質(zhì)得出．②方法一：根據(jù)，直接計(jì)算即可．方法二：證明，，由相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而可得出，然后求解即可．【詳解】（1）解：圖中線段為所求．（2）解：當(dāng)米時(shí)，∵，∴，，，，即，，解得：，，∴．（3）解：①根據(jù)題意畫(huà)出圖形：設(shè)，由（2）可知，，，，即，，解得：，，∴，，∵，∴，解得：，∵，∴，∴，即，整理得：或，②方法一：同①可求得，∵，∴，，，，．方法二：∵，∴，，∴，，∴，，，，∴．51．（2024?廣東深圳?一模）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】項(xiàng)目主題：車(chē)輪的形狀項(xiàng)目背景：在學(xué)習(xí)完圓的相關(guān)知識(shí)后，九年級(jí)某班同學(xué)通過(guò)小組合作方式開(kāi)展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，深入探究車(chē)輪制作成圓形的相關(guān)原理．【合作探究】（1）探究組：車(chē)輪做成圓形的優(yōu)點(diǎn)是：車(chē)輪滾動(dòng)過(guò)程中軸心到地面的距離始終保持不變．另外圓形車(chē)輪在滾動(dòng)過(guò)程中，最高點(diǎn)到地面的距離也是不變的．如圖1，圓形車(chē)輪半徑為，其車(chē)輪最高點(diǎn)到地面的距離始終為_(kāi)_____；（2）探究組：正方形車(chē)輪在滾動(dòng)過(guò)程中軸心到地面的距離不斷變化．如圖2，正方形車(chē)輪的軸心為，若正方形的邊長(zhǎng)為，車(chē)輪軸心距離地面的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為_(kāi)_____；（3）探究組：如圖3，有一個(gè)正三角形車(chē)輪，邊長(zhǎng)為，車(chē)輪軸心為（三邊垂直平分線的交點(diǎn)），車(chē)輪在地面上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．探究發(fā)現(xiàn)：車(chē)輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車(chē)輪軸心是否穩(wěn)定，即車(chē)輪的軸心是否在一條水平線上運(yùn)動(dòng)．【拓展延伸】如圖4，分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，這樣形成的曲線圖形叫做“萊洛三角形”．“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持平衡，但其車(chē)軸中心并不穩(wěn)定．（4）探究組：使“萊洛三角形”以圖4為初始位置沿水平方向向右滾動(dòng)．在滾動(dòng)過(guò)程中，其“最高點(diǎn)”和“車(chē)輪軸心”均在不斷移動(dòng)位置，那么在“萊洛三角形”滾動(dòng)一周的過(guò)程中，其“最高點(diǎn)”和“車(chē)輪軸心”所形成的圖形按上、下放置，應(yīng)大致為_(kāi)_____．【答案】；；；【分析】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用，主要考查了弧長(zhǎng)公式，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解題意并畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）利用正方形的性質(zhì)解答即可；（2）畫(huà)出圖形，找到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)即可得到答案；（3）分別求出三部分一定的距離，然后相加即可；（4）由題意知：最高點(diǎn)與水平面距離不變，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）圓形車(chē)輪與地面始終相切，車(chē)輪軸心到地面的距離始終等于圓的直徑，圓形車(chē)輪半徑為，故車(chē)輪最高點(diǎn)到地面的距離始終為，故答案為：；（2）如圖所示，為正方形車(chē)輪的軸心移動(dòng)的部分軌跡，點(diǎn)為車(chē)輪軸心的最高點(diǎn)，點(diǎn)為車(chē)輪軸心的最低點(diǎn)，由題意得車(chē)輪軸心距離地面的最低高度為車(chē)輪軸心距離地面的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為，故答案為：；（3）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑，運(yùn)動(dòng)距離為．故答案為：；（4）由題意知，當(dāng)“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持平衡，故“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)所形成的圖案大致是”，故答案為：．52．（23-24九年級(jí)下?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖是從正面看到的一個(gè)“老碗”，其橫截面可以近似的看成是如圖（1）所示的以為直徑的半圓，為臺(tái)面截線，半圓與相切于點(diǎn)P，連接與相交于點(diǎn)．水面截線，，．(1)如圖（1）求水深；(2)將圖（1）中的老碗先沿臺(tái)面向左作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)到如圖（2）的位置，使得、重合，求此時(shí)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離的長(zhǎng)；(3)將碗從（2）中的位置開(kāi)始向右邊滾動(dòng)到圖（3）所示時(shí)停止，若此時(shí)，求滾動(dòng)過(guò)程中圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)度【分析】本題考查圓的實(shí)際應(yīng)用，涉及垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）連接，由垂徑定理及勾股定理求解即可得到答案；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線相較于點(diǎn)，利用三角形全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解即可得到答案；（3）根據(jù)題意可知，滾動(dòng)過(guò)程中圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)度，求出弧對(duì)的圓心角帶入公式求解即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：半圓與相切于點(diǎn)P，，，，，在中，由勾股定理可得，；（2）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線相較于點(diǎn)，，，在和中，，，由（1）知，，，，，在中，由勾股定理可得；（3）如圖所示：由（1）可知，，在中，，，，由題意可得，圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)度．53．（24-25九年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片．濱城學(xué)校九年級(jí)（3）班的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)計(jì)劃在摩天輪上測(cè)量一座寫(xiě)字樓的高度．【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上擬測(cè)算的寫(xiě)字樓與摩天輪在同一平面內(nèi)．【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測(cè)角儀器（如圖2）【素材三】若學(xué)生身高和轎廂大小忽略不計(jì)，如圖3，摩天輪的最高高度為米，半徑為米，該團(tuán)隊(duì)分成三組分別乘坐號(hào)、號(hào)和號(hào)轎廂，當(dāng)號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到摩天輪最高點(diǎn)時(shí)，二組隊(duì)員同時(shí)使用測(cè)角儀觀測(cè)寫(xiě)字樓最高處點(diǎn)，觀測(cè)數(shù)據(jù)如表（觀測(cè)誤差忽略不計(jì)）．1號(hào)轎廂測(cè)量情況4號(hào)轎廂測(cè)量情況10號(hào)轎廂測(cè)量情況【任務(wù)一】初步探究，獲取基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（1）如圖3，請(qǐng)連接、，則______°；（2）求出號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，號(hào)轎廂所在位置點(diǎn)的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【任務(wù)二】推理分析，估算實(shí)際高度（3）根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算寫(xiě)字樓的實(shí)際高度．（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，）（4）根據(jù)號(hào)和號(hào)轎廂的測(cè)量數(shù)據(jù)，則號(hào)轎廂的測(cè)量數(shù)據(jù)x的值為_(kāi)_____．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）；（2）米；（3）寫(xiě)字樓的實(shí)際高度約為米；（4）【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，圓周角定理，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．（1）由題可知，摩天輪共有24個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個(gè)橋廂，因此；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題可知，點(diǎn)此時(shí)的高度為最高為米，半徑為米，因此點(diǎn)高度為68米，根據(jù)，，可得，即可；（3）連接，，，由素材1，素材3可得，，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，令，由素材2，3得：，，可得，即，即可求解；（4）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)號(hào)和號(hào)轎廂的測(cè)量數(shù)據(jù)，得出，根據(jù)題意可得，解方程，即可求解．【詳解】解：（1）連接、，如下圖所示：“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個(gè)橋廂，，故答案為：．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)此時(shí)的高度為最高為米，半徑為米，點(diǎn)高度為米，，，，點(diǎn)的高度為米，答：點(diǎn)的高度為米．（3）連接，，，由素材1，素材3可得，，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，令，由素材2，素材3的4號(hào)轎廂測(cè)量情況和10號(hào)轎廂測(cè)量情況得：，∴，，，即，點(diǎn)的高度為：（米），答：寫(xiě)字樓的實(shí)際高度約為米．（4）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵點(diǎn)此時(shí)的高度為最高為米，∴由（3）可得到的距離為∴，即解得：1號(hào)轎廂的測(cè)量數(shù)據(jù)x的值為：．十四、幾何綜合遞進(jìn)式探究54．（2025·廣東深圳·三模）【問(wèn)題提出】（1）如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，若，求證：；【遷移應(yīng)用】（2）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，求的值；【拓展提高】（3）如圖，在四邊形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（）見(jiàn)解析；（）；（）【分析】（）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得；（）根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，于是得到結(jié)論；（）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，則四邊形是平行四邊形，得到∴，，，同（）可得，在上取一點(diǎn)使得，連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，推出是等邊三角形，得到，，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，，得到，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（）∵，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，，∴的值為；（）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，則四邊形是平行四邊形，∴，，，同（）可得，∵，∴設(shè)，，在上取一點(diǎn)使得，連接，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴，解得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，同角的補(bǔ)角相等，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．55．（2024·四川成都·三模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在菱形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，連接，以E為頂點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若，，，求的長(zhǎng)．【拓展提升】（3）如圖3，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)C作，以E為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)G，若，，求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1！）見(jiàn)解析；（2）11；（3）【分析】（1）首先證明，再根據(jù)證明即可得出結(jié)論；（2）作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明得出再分別證明，是等邊三角形，得到由求出，從而得出結(jié)論；（3）設(shè)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，求出，證明求得，證明四邊形是平行四邊形，得出進(jìn)一步得出【詳解】解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，∵，又∴∵，∴，∴，又，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴∴，∴，∵∴∴是等邊三角形，∴∴∵∴，∴是等邊三角形，∴∴又∵，，∴∴∴，∴，∴，∴；（3）設(shè)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，如圖，∵，，∴∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∴∴∵∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵56．（24-25九年級(jí)上·山東青島·期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用到類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法．【原題呈現(xiàn)】如圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是線段上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)N．若，求的值．【嘗試探究】如圖1，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，則，，．【類(lèi)比延伸】如圖2，在原題的條件下，若，則（用含有k的代數(shù)式表示）．【拓展遷移】如圖3，四邊形中，，點(diǎn)E是的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)O．若，，，則（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】[嘗試探究]，，；[類(lèi)比延伸]；[拓展遷移]【分析】本題是三角形相似的綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．[嘗試探究]過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，分別證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而可得；[類(lèi)比延伸]如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，分別證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而可得；[拓展遷移]如圖所示，過(guò)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：嘗試探究：過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，如圖所示．則有，，即，在?中，，，∴，∴，∴，又為中點(diǎn)，∴，∴，即，∴，故答案為：；；；[類(lèi)比延伸]：如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，如圖所示．則有，，即，在?中，，，∴，∴，∴，又為中點(diǎn)，∴，∴，即，∴，故答案為：；[拓展遷移]：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有．，，，．又，．，．故答案為：．57．（2024?廣東深圳?三模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】（1）如圖①，在凸四邊形中，，，連接，，某數(shù)學(xué)小組在進(jìn)行探究時(shí)發(fā)現(xiàn)、和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系；小明同學(xué)給出了如下解決思路：以為邊作等邊，連接，則易證，且，此時(shí)，，進(jìn)而推導(dǎo)出、和之間的數(shù)量關(guān)系．【類(lèi)比探究】（2）如圖②，在凸四邊形中，，，，連接，（1）中的結(jié)論是否改變？若不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若改變，請(qǐng)寫(xiě)出新的數(shù)量關(guān)系并證明．【實(shí)際應(yīng)用】（3）工程師王師傅在電腦上設(shè)計(jì)了一個(gè)凸四邊形零件（），如圖③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中點(diǎn)，且，連接．在嘗試畫(huà)圖的過(guò)程中，王師傅發(fā)現(xiàn)，和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你幫王師傅直接寫(xiě)出，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明此結(jié)論．【答案】（1）；（2）改變，，見(jiàn)解析；（3），見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖②，以為直角邊作等腰直角三角形，使，，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論；（3）如圖③，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵以為邊作等邊，連接，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）（1）中的結(jié)論改變，，理由如下：∵，，∴是等腰直角三角形，如圖②，以為直角邊作等腰直角三角形，使，，連接，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）∵，E是的中點(diǎn)，∴，，∴，如圖③，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∵厘米，厘米，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．58．（2024·廣東深圳·二模）綜合與探究．【特例感知】（1）如圖（a），是正方形外一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：；【類(lèi)比遷移】（2）如圖（b），在菱形中，，，是的中點(diǎn)，將線段，分別繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，交于點(diǎn)，連接，，求四邊形的面積；【拓展提升】（3）如圖（c），在平行四邊形中，，，為銳角且滿足．是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，同時(shí)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）（3）6或或或18【分析】（1）證明，從而得出；（2）連接，作，交的延長(zhǎng)線于，作于，可證得是等邊三角形，進(jìn)而求得，可證得，從而得出，從而求得，可證得，從而，進(jìn)而求得，根據(jù)得，求得，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立坐標(biāo)系，作，交的延長(zhǎng)線于