2025屆中考復(fù)習(xí)100/1052025屆中考復(fù)習(xí)專題09：代數(shù)選填壓軸?？紵狳c問題總覽總覽題型解讀模塊一二次函數(shù) 2【題型1】二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用綜合 3【題型2】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（給出對稱軸或?qū)ΨQ軸范圍） 12【題型3】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（給出對稱軸和交點坐標(biāo)） 23【題型4】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（題目沒給出圖像） 29【題型5】含參二次函數(shù) 36【題型6】二次函數(shù)新定義問題 40模塊二代幾綜合 47【題型7】從函數(shù)圖像獲取信息（行程問題） 47【題型8】由動點的函數(shù)圖像求線段長 50【題型9】動點的函數(shù)圖像分析與判定 61模塊三規(guī)律探索 75【題型10】數(shù)字類規(guī)律探索 75【題型11】圖形類規(guī)律探索 78【題型12】點坐標(biāo)規(guī)律探索 83模塊四其它問題 92【題型13】三角函數(shù)綜合 92【題型14】函數(shù)的應(yīng)用 97【題型15】一次函數(shù)綜合 100

題型題型匯編知識梳理與?？碱}型模塊一二次函數(shù)二次函數(shù)圖像與系數(shù)a，b，c的關(guān)系如圖，二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，與x軸交于，兩點考法解決方法本題結(jié)果①a,b,ca:二次函數(shù)圖像開口向上時，a＞0；開口向下，則a＜0，a＞0b＜0c＜0b：和a共同決定了函數(shù)對稱軸的位置，“左同右異”c：②兩個交點：一個交點：沒有交點：③用特殊值進(jìn)行判斷：a＋b＋c即為當(dāng)時的函數(shù)值；4a－2b＋c為當(dāng)時的函數(shù)值a＋b＋c＜0a－b＋c＜0④只有a，b時，用對稱軸代換，消去一個未知數(shù)進(jìn)行判斷∵，∴，⑤c＋a只有a，c或只有b，c時，先用對稱軸代換，消去一個未知數(shù)，然后利用④中的結(jié)果判斷結(jié)果∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0⑥若c的系數(shù)不是1，可以先化成1再進(jìn)行計算，或這把③中的某個式子中的c的系數(shù)變成題里的形式而，⑦am2＋bm和a＋b的大小關(guān)系同時加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋c第一個式子是當(dāng)x＝m時的函數(shù)值，第二個式子是當(dāng)x＝1時的函數(shù)值；由圖可知，x＝1時函數(shù)取最小值am2＋bm≥a＋b⑧(a+c)-b2⑨和的大小關(guān)系可以把代數(shù)式變成頂點的縱坐標(biāo)公式，頂點坐標(biāo)（?b假如定點縱坐標(biāo)小于－1，則4ac?b24a＜?1，4ac?b2＜－4a，b⑩若給出的值a,c的數(shù)量關(guān)系可以知道即，進(jìn)而可知a,b，c可以判斷關(guān)于a,b，也可以求出以a,b，【題型1】二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用綜合【例題1】（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達(dá)最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則．【答案】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點，代入即可求出解析式；當(dāng)時，求得x的值，即為實心球被推出的水平距離．【詳解】解：以點O為坐標(biāo)原點，射線方向為x軸正半軸，射線方向為y軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∵出手后實心球沿一段拋物線運行，到達(dá)最高點時，水平距離是，高度是．設(shè)拋物線解析式為：，把點代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；當(dāng)時，，解得，（舍去），，即此次實心球被推出的水平距離為．【例題2】（2023·湖北十堰中考真題）已知點在直線上，點在拋物線上，若且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線與拋物線對稱軸左邊的交點為，設(shè)拋物線頂點坐標(biāo)為，求得其坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析出的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線與拋物線對稱軸左邊的交點為，設(shè)拋物線頂點坐標(biāo)為聯(lián)立解得：或∴，由，則，對稱軸為直線，設(shè)，則點在上，∵且，∴點在點的左側(cè)，即，，當(dāng)時，對于，當(dāng)，，此時，∴，∴∵對稱軸為直線，則，∴的取值范圍是【例題3】（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點．若，，則（填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先求得二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，∵，，∴，∴；∵，，，，∴，∵存在，∴，，且離對稱軸最遠(yuǎn)，離對稱軸最近，∴，即，且，∵，，∴且，解得，故答案為：；．【鞏固練習(xí)1】（2024·四川自貢·中考真題）九（1）班勞動實踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地．地上兩段圍墻于點O（如圖），其中上的段圍墻空缺．同學(xué)們測得m，m，m，m，m．班長買來可切斷的圍欄m，準(zhǔn)備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．要利用圍墻和圍欄圍成一個面積最大的封閉的矩形菜地，那就必須盡量使用原來的圍墻，觀察圖形，利用和才能使該矩形菜地面積最大，分情況，利用矩形的面積公式列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：要使該矩形菜地面積最大，則要利用和構(gòu)成矩形，設(shè)矩形在射線上的一段長為，矩形菜地面積為，當(dāng)時，如圖，則在射線上的長為則，∵，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，∴當(dāng)時，的最大值為；當(dāng)時，如圖，則矩形菜園的總長為，則在射線上的長為則，∵，∴當(dāng)時，隨的增大而減少，∴當(dāng)時，的值均小于；綜上，矩形菜地的最大面積是【鞏固練習(xí)2】（2024·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)與的圖像均過點和坐標(biāo)原點，這兩個函數(shù)在時形成的封閉圖像如圖所示，為線段的中點，過點且與軸不重合的直線與封閉圖像交于，兩點．給出下列結(jié)論：①；②；③以，，，為頂點的四邊形可以為正方形；④若點的橫坐標(biāo)為，點在軸上（，，三點不共線），則周長的最小值為．其中，所有正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得兩個函數(shù)的對稱軸均為直線，根據(jù)對稱軸公式即可求出，可判斷①正確；過點作交軸于點，過點作交軸于點，證明，可得，可判斷②正確；當(dāng)點、分別在兩個函數(shù)的頂點上時，，點、的橫坐標(biāo)均為，求出的長度，得到，可判斷③正確；作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，此時周長的最小，小值為，即可判斷④．【詳解】解：①二次函數(shù)與的圖像均過點和坐標(biāo)原點，為線段的中點，，兩個函數(shù)的對稱軸均為直線，即，解得：，故①正確；②如圖，過點作交軸于點，過點作交軸于點，，由函數(shù)的對稱性可知，在和中，，，，故正確②；③當(dāng)點、分別在兩個函數(shù)的頂點上時，，點、的橫坐標(biāo)均為，由①可知兩個函數(shù)的解析式分別為，，，，，點，，，由，此時以，，，為頂點的四邊形為正方形，故③正確；④作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，此時周長的最小，最小值為，點的橫坐標(biāo)為，，點的橫坐標(biāo)為，，，，，周長的最小值為，故正確④【鞏固練習(xí)3】（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當(dāng)時，在內(nèi)有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點，可得當(dāng)時，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸計算公式求出，進(jìn)而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為直線，則，求出，，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況求出對應(yīng)的c的值即可判斷③；當(dāng)時，，則，取點，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當(dāng)點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點，∴當(dāng)時，，故①正確；∵拋物線的圖象交x軸于點、，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正確；∵對稱軸為直線，∴；∵、，∴，∴；在中，當(dāng)時，，∴，∴，當(dāng)時，則由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理當(dāng)時，可得；綜上所述，當(dāng)以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，或，故③錯誤；當(dāng)時，，則，如圖所示，取點，連接，則，

∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，在中，由勾股定理得，故④正確，∴正確的有3個【題型2】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（給出對稱軸或?qū)ΨQ軸范圍）【例題1】（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個根在和之間；③方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴,∴，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在2、3之間，∴與x軸的另一個交點在、0之間，∴方程一定有一個根在和0之間，故②錯誤；∵拋物線與直線有兩個交點，∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個交點在，0之間，∴，∵圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)是2，∴，∴，∴．故④錯誤．綜上，①③正確，共2個【例題2】（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據(jù)對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．【詳解】解：由圖可知，∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，∴，，則，∵拋物線與軸的交點在，之間，∴，則，故①錯誤；設(shè)拋物線與軸另一個交點，∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，∴，解得，則，故②正確；∵，，，∴，解得，故③正確；根據(jù)拋物線與軸交于點和，直線過點和，如圖，方程兩根為滿足，故④正確【例題3】（2024·四川達(dá)州·中考真題）拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標(biāo)大于1，另一個交點的橫坐標(biāo)小于1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標(biāo)分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開口向下，當(dāng)時，，即可判斷A選項，根據(jù)對稱軸即可判斷B選項，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條件判斷D選項，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：依題意，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標(biāo)分別為依題意，∵，拋物線開口向下，∴當(dāng)時，，即∴，故A選項正確，符合題意；若對稱軸為，即，而，不能得出對稱軸為直線，故B選項不正確，不符合題意；∵拋物線與坐標(biāo)軸有2個交點，∴方程有兩個不等實數(shù)解，即，又∴，故C選項錯誤，不符合題意；無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意【例題4】（2024·山東青島·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸是直線，則過點和點的直線一定不經(jīng)過（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，根據(jù)二次函數(shù)與y軸交于y軸的正半軸得到，根據(jù)對稱軸計算公式得到，即，則在x軸正半軸上；由二次函數(shù)頂點在第二象限，得到當(dāng)時，，再由二次函數(shù)與x軸無交點，得到，則點在第二象限，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)與y軸交于y軸的正半軸，∴，∵對稱軸是直線，∴，∴，∴，∴在x軸正半軸上；∵二次函數(shù)頂點在第二象限，∴當(dāng)時，，∵二次函數(shù)與x軸無交點，∴，∴點在第二象限，∴經(jīng)過點和點的直線一定經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限【鞏固練習(xí)1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論中：①

②（m為任意實數(shù)）

③④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時，，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得即可判段④，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下∴∵對稱軸為直線，∴∴∵拋物線與軸交于正半軸，則∴，故①錯誤，∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為∴（m為任意實數(shù)）即，故②正確；∵時，即∵∴即∴，故③正確；∵、是拋物線上不同的兩個點，∴關(guān)于對稱，∴即故④不正確正確的有②③【鞏固練習(xí)2】（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點的坐標(biāo)為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗冖堋痉治觥勘绢}考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點坐標(biāo)和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據(jù)圖象可得當(dāng)時，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設(shè)兩點橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．【詳解】解：①∵拋物線的頂點的坐標(biāo)為，∴，∴，即，由圖可知，拋物線開口方向向下，即，∴，當(dāng)時，，∴，故①正確，符合題意；②∵直線是拋物線的對稱軸，∴，∴，∴由圖象可得：當(dāng)時，，∴，即，故②正確，符合題意；③∵直線是拋物線的對稱軸，設(shè)兩點橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為，則，，∴，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，∴，故③錯誤，不符合題意；④如圖，∵關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，∴，故④正確，符合題意．【鞏固練習(xí)3】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4【答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進(jìn)一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，；對稱軸在軸右側(cè)，、異號，，∵拋物線與軸交點在軸負(fù)半軸，，，故①錯誤；②二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，，，時，，，，，故②正確；③對稱軸為直線，，最小值，，∴，故③正確；④，∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有②③④【鞏固練習(xí)4】（2024·山東煙臺·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正確；∵，，，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，故正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，又∵，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，函數(shù)取最大值，∵與時函數(shù)值相等，等于，∴當(dāng)時，的取值范圍為，故錯誤；∵，∴點，關(guān)于對稱軸對稱，∴，故正確；由得，即，畫函數(shù)和圖象如下：由，解得，，∴，，由圖形可得，當(dāng)或時，，即，故錯誤；綜上，正確的結(jié)論為【鞏固練習(xí)5】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時，，當(dāng)時，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；【詳解】解：①拋物線開口向上，，，∴當(dāng)時，，故①不符合題意；②∵拋物線過點，∴函數(shù)的最小值，∴有兩個不相等的實數(shù)根；∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；③∵，，∴拋物線的對稱軸為直線，且，∴，而，∴，∴，故③不符合題意；④∵拋物線過點，∴，∵時，，即，當(dāng)時，，∴，∴，∴，故④符合題意；⑤∵，，∴，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合題意【題型3】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（給出對稱軸和交點坐標(biāo)）【例題1】（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項式可因式分解為；④當(dāng)時，關(guān)于的方程無實數(shù)根．其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)圖像分別判斷，，的符號即可；②將點代入函數(shù)即可得到答案；③根據(jù)題意可得該函數(shù)與軸的另一個交點的橫坐標(biāo)為5，即可得到；④由，得到，，將代入函數(shù)得，從而推出當(dāng)時，該拋物線與直線的圖象無交點，即可判斷．【詳解】解：由題圖可知，，，故①正確；當(dāng)時，，即，故②正確；二次函數(shù)與軸的一個交點的橫坐標(biāo)為，對稱軸為直線，二次函數(shù)與軸的另一個交點的橫坐標(biāo)為5，多項式，故③錯誤；當(dāng)時，有最大值，即，當(dāng)時，拋物線與直線的圖象無交點，即關(guān)于x的方程無實數(shù)根，故④正確．綜上，①②④正確．【例題2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：，∴，，∴，故①正確；∵點C的縱坐標(biāo)在～之間，∴，即，∴，故②正確；∵，∴，即，∴，又∵，∴，故③錯誤；∵令相等，則∴，解得（舍），，∴，故④正確【鞏固練習(xí)1】（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的圖象與軸交于點，對稱軸是直線，有以下結(jié)論：①；②若點和點都在拋物線上，則；③（為任意實數(shù)）；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及與軸交點問題逐項分析判斷即可.【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與軸正半軸交于一點，，.，..故①錯誤；對稱軸是直線，點和點都在拋物線上，而，.故②錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取最大值，∴對于任意實數(shù)有：，∴，故③正確；，.當(dāng)時，，.，即，故④正確.綜上所述，正確的有③④【鞏固練習(xí)2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；③當(dāng)時，隨的增大而減小；④關(guān)于的一元二次方程的另一個根是；⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．【詳解】解：由圖可得：，對稱軸，，，①錯誤；由圖得，圖象經(jīng)過點，將代入可得，，②正確；該函數(shù)圖象與軸的另一個交點為，且，對稱軸，該圖象中，當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大，當(dāng)時，隨著的增大而減小，③正確；，，關(guān)于的一元二次方程的根為，，，，④正確；，即，解得，即，，，⑤正確．綜上，②③④⑤正確，共個．【鞏固練習(xí)3】（2023樂山市中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過點，且，有下列結(jié)論：①；②；③；④若點在拋物線上，則．其中，正確的結(jié)論有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】拋物線經(jīng)過點，且，，可以得到，，從而可以得到b的正負(fù)情況，從而可以判斷①；繼而可得出，則，即可判斷②；由圖象可知，當(dāng)時，，即，所以有，從而可得出，即可判斷③；利用，再根據(jù)，所以，從而可得，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象開口向上，∴，∵拋物線經(jīng)過點，且，∴，∴，故①正確；∵，，∴∴，故②正確；由圖象可知，當(dāng)時，，即，∴∵，，∴，故③正確；∵，又∵，∴，∵拋物線的圖象開口向上，∴，故④錯誤．∴正確的有①②③共3個，故選：B．【鞏固練習(xí)4】（遼寧省營口市）如圖．拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C．下列說法：①；②拋物線的對稱軸為直線；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，y隨x的增大而增大；⑤（m為任意實數(shù)）其中正確的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，可得，根據(jù)和點可得拋物線的對稱軸為直線，即可判斷②；推出，即可判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷③④；根據(jù)當(dāng)時，拋物線有最大值，即可得到，即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線與x軸交于點和點，∴拋物線對稱軸為直線，故②正確；∴，∴，∴，故①錯誤；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，拋物線的函數(shù)圖象在x軸上方，∴當(dāng)時，，故③正確；∵拋物線對稱軸為直線且開口向下，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，即當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故④錯誤；∵拋物線對稱軸為直線且開口向下，∴當(dāng)時，拋物線有最大值，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有②③⑤【題型4】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（題目沒給出圖像）【例題1】（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時，隨的增大而減?。虎廴舻囊粋€根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的頂點公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，即，，，的值可正也可負(fù)，不能確定的正負(fù)；故①錯誤；，拋物線開口向下，且關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，隨的增大而減??；故②正確；，拋物線為，，，故③正確；拋物線，將向左平移1個單位得：，拋物線是由拋物線向左平移1個單位得到的，故④錯誤；正確的有②③【例題2】（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點縱坐標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．∴對稱軸為直線，，∵，∴，故①錯誤，∵∴，即，兩點之間的距離大于又∵∴時，∴若，則，故②正確；③由①可得，∴，即，當(dāng)時，拋物線解析式為設(shè)頂點縱坐標(biāo)為∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，∴∴∴∵，，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，取得最大值為，而，∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點，在拋物線上，，，總有，又，∴點離較遠(yuǎn)，∴對稱軸解得：，故④正確．【鞏固練習(xí)1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）關(guān)于拋物線（是常數(shù)），下列結(jié)論正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）．①當(dāng)時，拋物線的對稱軸是軸；②若此拋物線與軸只有一個公共點，則；③若點，在拋物線上，則；④無論為何值，拋物線的頂點到直線的距離都等于．【答案】①④/④①【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．①把代入解析式，即可判斷；②利用一元二次方程根的判別式，即可判斷；③把拋物線解析式化為頂點式可得拋物線的對稱軸為直線，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；④根據(jù)題意可得拋物線的頂點坐標(biāo)在直線上，即可判斷．【詳解】解：當(dāng)時，，此時拋物線的對稱軸是軸，故①正確；∵此拋物線與軸只有一個公共點，∴方程的有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：，故②錯誤；∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，∴離對稱軸距離越遠(yuǎn)的點的縱坐標(biāo)越大，∵點，在拋物線上，且，∴，故③錯誤；∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點坐標(biāo)在直線上，如圖，過點A作直線于點B，則點，，，∴是等腰直角三角形，∴，即拋物線的頂點到直線的距離都等于，故④正確．【鞏固練習(xí)2】（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實根，，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）①；②拋物線的頂點坐標(biāo)為；③；④若，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、拋物線與軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，由有兩實根，，可得，即可得，故可判斷①又拋物線的對稱軸是直線，進(jìn)而拋物線的頂點為c)，再結(jié)合，可得，故可判斷②；依據(jù)題意可得，又，進(jìn)而可得，從而可以判斷③；由，故，即對于函數(shù)，當(dāng)時的函數(shù)值小于當(dāng)時的函數(shù)值，再結(jié)合，拋物線的對稱軸是直線，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：由題意，∵有兩實根，．∴得，．∴，故①正確．，∴拋物線的對稱軸是直線．∴拋物線的頂點為．又，∴，即．∴．∴．∴頂點坐標(biāo)為，故②正確．∵，∴．又，，∴，故③錯誤．，，∴對于函數(shù)，當(dāng)時的函數(shù)值小于當(dāng)時的函數(shù)值．∵，拋物線的對稱軸是直線，又此時拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越小，，，∴，故④錯誤．綜上，正確的有①②共2個．【鞏固練習(xí)3】（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關(guān)于軸對稱．則下列說法正確的序號為．（少選得1分，錯選得0分，選全得滿分）①②當(dāng)時，代數(shù)式的最小值為3③對于任意實數(shù)，不等式一定成立④，為該二次函數(shù)圖象上任意兩點，且．當(dāng)時，一定有【答案】①③④【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，拋物線的增減性的應(yīng)用，利用的應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．由二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關(guān)于軸對稱．可得，可得①符合題意；由，可得，結(jié)合，可得②不符合題意；由對稱軸為直線，結(jié)合，可得③符合題意；分三種情況分析④當(dāng)時，當(dāng)時，滿足，當(dāng)時，不滿足，不符合題意，舍去，可得④符合題意；【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，而二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關(guān)于軸對稱．∴，∴，故①符合題意；∴，∴，，∵，∴當(dāng)時，取最小值，故②不符合題意；∵，∴對稱軸為直線，∵，當(dāng)時，函數(shù)取最小值，當(dāng)時，函數(shù)值為，∴，∴對于任意實數(shù)，不等式一定成立，故③符合題意；當(dāng)時，∵，∴，∴，當(dāng)時，滿足，∴，∴，當(dāng)時，不滿足，不符合題意，舍去，故④符合題意；綜上：符合題意的有①③④【題型5】含參二次函數(shù)【例題1】（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（

）A．可以找到一個實數(shù)，使得 B．無論實數(shù)取什么值，都有C．可以找到一個實數(shù)，使得 D．無論實數(shù)取什么值，都有【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，再分情況討論，當(dāng)時，當(dāng)時，，的大小情況，即可解題．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故A、B錯誤，不符合題意；當(dāng)時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，當(dāng)時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意【例題2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對于二次函數(shù)（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個函數(shù)的圖像向下平移3個單位長度后得到的圖像經(jīng)過原點；②當(dāng)時，這個函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方；③若，則當(dāng)時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是（填寫序號）．【答案】①②④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的規(guī)律頂點平移后的函數(shù)解析式即可判斷①；確定拋物線與直線沒有交點，且開口向上即可判斷②；利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷③；求得頂點坐標(biāo)即可判斷④．【詳解】解：將二次函數(shù)是常數(shù)）的圖象向下平移3個單位長度后得到，當(dāng)時，，平移后的函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，故①正確；當(dāng)時，則，令，即，，拋物線與直線沒有交點，拋物線開口向上，當(dāng)時，這個函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方；故②正確；二次函數(shù)是常數(shù)），開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量增大而增大，故③錯誤；，頂點為，，故④正確．【鞏固練習(xí)1】（2023年四川省南充市中考真題）拋物線與x軸的一個交點為，若，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)拋物線有交點，則有實數(shù)根，得出或，分類討論，分別求得當(dāng)和時的范圍，即可求解．【詳解】解：∵拋物線與x軸有交點，∴有實數(shù)根，∴即解得：或，當(dāng)時，如圖所示，

依題意，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得，即，當(dāng)時，當(dāng)時，，解得：∴

綜上所述，或，故選：B．【鞏固練習(xí)2】（2023·浙江衢州中考真題）已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，）的圖象上有和兩點．若點，都在直線的上方，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，利用二次函數(shù)與軸的交點和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：，，點，都在直線的上方，且，可列不等式：，，可得，設(shè)拋物線，直線，可看作拋物線在直線下方的取值范圍，當(dāng)時，可得，解得，，的開口向上，的解為，根據(jù)題意還可列不等式：，，可得，整理得，設(shè)拋物線，直線，可看作拋物線在直線下方的取值范圍，當(dāng)時，可得，解得，，拋物線開口向下，的解為或，綜上所述，可得，【鞏固練習(xí)3】（2023年四川省瀘州市中考真題）已知二次函數(shù)（其中是自變量），當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為（）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】首先根據(jù)題意求出對稱軸，然后分兩種情況：和，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵二次函數(shù)，∴對稱軸，當(dāng)時，∵當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，∴此時拋物線與x軸沒有交點，∴，∴解得；當(dāng)時，∵當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，∴當(dāng)時，，∴解得，∴，∴綜上所述，當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為或．【題型6】二次函數(shù)新定義問題【例題1】（2024·江蘇無錫·中考真題）已知是的函數(shù)，若存在實數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍是．我們將稱為這個函數(shù)的“級關(guān)聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)，存在，，當(dāng)時，，即，所以是函數(shù)的“2級關(guān)聯(lián)范圍”．下列結(jié)論：①是函數(shù)的“1級關(guān)聯(lián)范圍”；②不是函數(shù)的“2級關(guān)聯(lián)范圍”；③函數(shù)總存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”；④函數(shù)不存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”．其中正確的為（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．推出在時，，即，即可判斷①；推出在時，，即，即可判斷②；③設(shè)當(dāng)，則，當(dāng)函數(shù)存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”時，整理得，即可判斷③；設(shè)，則，當(dāng)函數(shù)存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”時，，求出m和n的值，即可判斷④．【詳解】解：①當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵，∴y隨x的增大而減小，∴在時，，即，∴是函數(shù)的“1級關(guān)聯(lián)范圍”；故①正確，符合題意；②當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵對稱軸為y軸，，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∴在時，，即，∴是函數(shù)的“2級關(guān)聯(lián)范圍”，故②不正確，不符合題意；③∵，∴該反比例函數(shù)圖象位于第一象限，且在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。O(shè)當(dāng)，則，當(dāng)函數(shù)存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”時，整理得：，∵，，∴總存在，∴函數(shù)總存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”；故③正確，符合題意；④函數(shù)的對稱軸為，∵，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，設(shè)，則，當(dāng)函數(shù)存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”時，，解得：，∴是函數(shù)的“4級關(guān)聯(lián)范圍”，∴函數(shù)存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③【例題2】（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點是函數(shù)圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．【答案】③或【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點”．正確理解新定義，熟練掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，是解決問題的關(guān)鍵．（1）①中，取，不存在“近軸點”；②，由對稱性，取，不存在“近軸點”；③，取時，，得到是的“近軸點”；（2）圖象恒過點，當(dāng)直線過時，，得到；當(dāng)直線過時，，得到．【詳解】（1）①中，時，，不存在“近軸點”；②，由對稱性，當(dāng)時，，不存在“近軸點”；③，時，，∴是的“近軸點”；∴上面三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是③故答案為：③；（2）中，時，，∴圖象恒過點，當(dāng)直線過時，，∴，∴；當(dāng)直線過時，，∴，∴；∴m的取值范圍為或．故答案為：或．【鞏固練習(xí)1】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．【答案】4【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，，中存在一點，有，解得，則，拋物線“開口大小”為【鞏固練習(xí)2】（2023·四川巴中中考真題）規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為．【答案】或【分析】根據(jù)題意與x軸的交點坐標(biāo)和它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱，再進(jìn)行分類討論，即和兩種情況，求出與x軸的交點坐標(biāo)，即可解答．【詳解】解：①當(dāng)時，函數(shù)的解析式為，此時函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點成立，當(dāng)時，可得，解得，與x軸的交點坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為；①當(dāng)時，函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，，即，解得，函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，可得，解得，根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為，綜上所述，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為或，故答案為：或．【鞏固練習(xí)3】（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；③若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；④若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當(dāng)時，n的最小值為k，則k的值為．【答案】①③④【分析】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題．根據(jù)“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可．【詳解】解：①函數(shù)中，令，則，無解，故函數(shù)不是“倍值函數(shù)”，故①說法錯誤；②函數(shù)中，令，則，解得或，經(jīng)檢驗或都是原方程的解，故函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和，故②說法正確；③在中，令，則，整理得，∵關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，∴且，解得且，故③說法錯誤；④在中，令，則，整理得，∵該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，∴，整理得，∴對稱軸為，此時n的最小值為，根據(jù)題意分類討論，，解得；，無解；，解得或（舍去），綜上，k的值為0或，故④說法錯誤模塊二代幾綜合【題型7】從函數(shù)圖像獲取信息（行程問題）【例題1】（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時出發(fā)前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續(xù)行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時間（）的函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論正確的是（

）A．甲車行駛與乙車相遇 B．，兩地相距C．甲車的速度是 D．乙車中途休息分鐘【答案】A【分析】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合選項，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得兩地之間的距離為（）兩車行駛了小時，同時到達(dá)地，如圖所示，在小時時，兩車同向運動，在第2小時，即點時，兩車距離發(fā)生改變，此時乙車休息，點的意義是兩車相遇，點意義是乙車休息后再出發(fā)，∴乙車休息了1小時，故D不正確，設(shè)甲車的速度為，乙車的速度為，根據(jù)題意，乙車休息后兩車同時到達(dá)地，則甲車的速度比乙車的速度慢，∵即在時，乙車不動，則甲車的速度是，∴乙車休息前速度為，故C不正確，∴的距離為千米，故B不正確，設(shè)小時兩輛車相遇，依題意得，解得：即小時時，兩車相遇，故A正確【例題2】【鞏固練習(xí)1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）已知某同學(xué)家、體育場、圖書館在同一條直線上．下面的圖象反映的過程是：該同學(xué)從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館．圖中用x表示時間，y表示該同學(xué)離家的距離．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

（1）體育場離該同學(xué)家2.5千米；（2）該同學(xué)在體育場鍛煉了15分鐘；（3）該同學(xué)跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若該同學(xué)騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則的值是3.75；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查利用函數(shù)圖像解決實際問題，正確的讀懂圖像給出的信息是解題的關(guān)鍵．利用圖象信息解決問題即可．【詳解】解：由圖象可知：體育場離該同學(xué)家2.5千米，故（1）正確；該同學(xué)在體育場鍛煉了（分鐘），故（2）正確；該同學(xué)的跑步速度為（千米/分鐘），步行速度為（千米/分鐘），則跑步速度是步行速度的倍，故（3）錯誤；若該同學(xué)騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則該同學(xué)騎行的平均速度為（千米/分鐘），所以，故（4）正確【鞏固練習(xí)2】（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從地勻速出發(fā)，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，駐足交流后，繼續(xù)以原速步行前進(jìn)；乙因故比甲晚出發(fā)，跑步到達(dá)地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離與甲出發(fā)的時間之間的函數(shù)關(guān)系．(

)那么以下結(jié)論：①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為；②甲出發(fā)時，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值；③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后；④，兩地之間的距離是．其中正確的結(jié)論有：A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查了函數(shù)圖象以及二元一次方程組的應(yīng)用；①由乙比甲晚出發(fā)及當(dāng)時第一次為，可得出乙出發(fā)時兩人第一次相遇，進(jìn)而可得出結(jié)論①正確；②觀察函數(shù)圖象，可得出當(dāng)時，取得最大值，最大值為，進(jìn)而可得出結(jié)論②正確；③設(shè)甲的速度為，乙的速度為，利用路程速度時間，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之可得出，的之，將其代入中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后，進(jìn)而可得出結(jié)論③錯誤；④利用路程速度時間，即可求出，兩地之間的距離是．【詳解】解：①乙比甲晚出發(fā)，且當(dāng)時，，乙出發(fā)時，兩人第一次相遇，既甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為，結(jié)論①正確；②觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)時，取得最大值，最大值為，甲出發(fā)時，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值，結(jié)論②正確；③設(shè)甲的速度為，乙的速度為，根據(jù)題意得：，解得：，∴，甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后，結(jié)論③錯誤；④，，兩地之間的距離是，結(jié)論④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．【鞏固練習(xí)3】【題型8】由動點的函數(shù)圖像求線段長【例題1】（2023·廣東深圳·中考真題）如圖1，在中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2單位/s，其中長與運動時間t（單位：s）的關(guān)系如圖2，則的長為（

）

A． B． C．17 D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象可知時，點與點重合，得到，進(jìn)而求出點從點運動到點所需的時間，進(jìn)而得到點從點運動到點的時間，求出的長，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：由圖象可知：時，點與點重合，∴，∴點從點運動到點所需的時間為；∴點從點運動到點的時間為，∴；在中：【例題2】（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（

）A．5 B．7 C． D．【答案】A【分析】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，由圖象可知，面積最大值為6，此時當(dāng)點P運動到點C，得到，由圖象可知，根據(jù)勾股定理，結(jié)合完全平方公式即可求解．【詳解】解：由圖象可知，面積最大值為6由題意可得，當(dāng)點P運動到點C時，的面積最大，∴，即，由圖象可知，當(dāng)時，，此時點P運動到點B，∴，∵，∴，∴．【例題3】（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，在菱形中，，連接，點M從B出發(fā)沿方向以的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿方向以的速度運動至C，設(shè)運動時間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可知，，結(jié)合菱形的性質(zhì)得，過點M作于點H，則，那么，設(shè)菱形的邊長為a，則，那么點M和點N同時到達(dá)點D和點C，此時的面積達(dá)到最大值為，利用最大值即可求得運動時間，即可知菱形邊長．【詳解】解：根據(jù)題意知，，，∵四邊形為菱形，，∴，過點M作于點H，連接交于點O，如圖，

則，那么，的面積為，設(shè)菱形的邊長為a，∴，∴點M和點N同時到達(dá)點D和點C，此時的面積達(dá)到最大值為，∴，解得，（負(fù)值舍去），∴．【例題4】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）如圖1，在菱形中，，點在邊上，連接，動點從點出發(fā)，在菱形的邊上沿勻速運動，運動到點C時停止．在此過程中，的面積y隨著運動時間x的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查的是動點函數(shù)圖象問題、菱形的性質(zhì)、勾股定理．設(shè)菱形的邊長為，過點作于，根據(jù)圖象可求出，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，根據(jù)圖象當(dāng)點到達(dá)點時，，據(jù)此計算即可求解．【詳解】解：設(shè)菱形的邊長為，過點作于，如圖，，則，，，，，由圖可知，當(dāng)點在點時，的面積最大，此時，解得：或（舍去），，，當(dāng)點到達(dá)點時，，，．【鞏固練習(xí)1】（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發(fā)，沿著的路徑行進(jìn)，過點作，垂足為．設(shè)點的運動路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定的長，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解．【詳解】解：由圖象得：，當(dāng)時，，此時點P在邊上，設(shè)此時，則，，在中，，即：，解得：，【鞏固練習(xí)2】（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形的點A出發(fā)，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到中點時，的長為（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時，，當(dāng)點P運動到點B時，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，繼而得到，當(dāng)點P運動到中點時，的長為，解得即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)時，，當(dāng)點P運動到點B時，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，故，當(dāng)點P運動到中點時，的長為【鞏固練習(xí)3】（24-25九年級上·廣東深圳·期中）如圖1，在矩形中，點P從點A出發(fā)，勻速沿向點D運動，連接，設(shè)點P的運動距離為x，的長為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則當(dāng)點P為中點時，的長為（

）A．5 B．8 C． D．【答案】D【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖2中點的實際意義可得∶當(dāng)時，，再根據(jù)圖2中點的實際意義可得∶，，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解∶由圖2可得∶當(dāng)時，，當(dāng)點P的運動距離為0時，的長為6，當(dāng)時，．由圖2可得∶當(dāng)時，，當(dāng)點的運動距離為a時，的值最大，最大為6，當(dāng)點P運動到和點B重合時，的值最大，，，在中，，．，，點P為的中點，，【鞏固練習(xí)4】（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，點，分別從正方形的頂點，同時出發(fā)，沿正方形的邊逆時針方向勻速運動，若點的速度是點速度的倍，當(dāng)點運動到點時，點，同時停止運動．圖是點，運動時，的面積隨時間變化的圖象，則正方形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式，動點問題的函數(shù)圖象等，根據(jù)圖可知，當(dāng)時，點運動到點，點運動到的中點，的面積為，進(jìn)行計算即可，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象分析得到時，點運動到點，點運動到的中點，且的面積為．【詳解】解：∵四邊形是正方形，點的速度是點速度的倍，∴，，由圖可知，當(dāng)點在上運動時，的面積為，當(dāng)時，的面積為，即，此時點為的中點，故，解得：【鞏固練習(xí)5】（2024·安徽宣城·模擬預(yù)測）如圖1，在正方形中，點以每秒3cm的速度從點出發(fā)，沿的路徑運動，到點停止．過點作，與邊（或邊）交于點，的長度（）與點的運動時間的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)點運動時，的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象、正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，從圖象中獲取正確的信息是解題的關(guān)鍵．由題意知，當(dāng)運動到時，最長，此時，由圖象可知，當(dāng)時，，得出正方形邊長為，當(dāng)時，，由，得出，推出，根據(jù)勾股定理計算，得出答案即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，由題意知，當(dāng)運動到時，最長，此時，由圖象可知，當(dāng)時，，∴，整理得：∵，∴，即正方形邊長為，∴當(dāng)時，，∵，∴，∴，∴【鞏固練習(xí)6】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達(dá)點后停止，連接．設(shè)點的運動時間為，為．當(dāng)動點沿勻速運動到點時，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個結(jié)論：①；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；④動點沿勻速運動時，兩個時刻，分別對應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④【答案】D【分析】由圖知當(dāng)動點沿勻速運動到點時，，作于點，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當(dāng)時，證明是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)時，且時，最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出和進(jìn)行比較，即可判斷④．【詳解】解：由圖知當(dāng)動點沿勻速運動到點時，，作于點，是等邊三角形，點在邊上，，，，，，，，故①正確；當(dāng)時，，，，是等邊三角形，，，故②正確；當(dāng)時，且時，最小，，，，最小為，即能取到，故③錯誤；動點沿勻速運動時，，，，，，；當(dāng)時，，，；，；故④正確；綜上所述，正確的有①②④【鞏固練習(xí)7】（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖1，點E在正方形的邊上，且，點P沿從點B運動的到點D，設(shè)B，P兩點間的距離為x，，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，若圖象的最低點M的縱坐標(biāo)為，則最高點N的縱坐標(biāo)a的值為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形三邊之間的關(guān)系、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析圖1與圖2的對應(yīng)變化關(guān)系．根據(jù)正方形的對角線的軸對稱性得到，則得到y(tǒng)的最小值是AE，對應(yīng)到圖2中的最低點M的縱坐標(biāo)，結(jié)合之間的關(guān)系及勾股定理可求得的長，再觀察到當(dāng)點P運動到D點時，y達(dá)到最大值a，勾股定理求得長，則可求得a的值．【詳解】解：連接，

∵四邊形是正方形，是其對角線，∴，又，∴，∴，，連接交于點，（三角形兩邊之和大于第三邊）．當(dāng)點P運動到時，，解得，．連接，則．在圖1中，當(dāng)P運動到D點時，對應(yīng)圖2中最高點N，此時y取最大值a，，故答案為：．【題型9】動點的函數(shù)圖像分析與判定【例題1】（2023·四川資陽·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點從點出發(fā)以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運動至點．設(shè)點的運動時間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象問題,涉及平行四邊形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形面積公式等知識．由平行四邊形性質(zhì)得到厘米，點速度為每秒厘米，則點在上時，時間滿足的取值范圍為，觀察符合題意的、、的圖象，即點在處時，的面積各不相同，求得此時的面積，即可找到正確選項．判斷出點運動到點時的時間及此時的面積是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，厘米，厘米，點從點出發(fā)以每秒厘米的速度，點走完所用的時間為：秒，當(dāng)點在上時，；故排除；當(dāng)時，點在點處，過點作于點，如圖所示：，，，厘米，厘米，厘米，平方厘米【例題2】（2023·遼寧·中考真題）如圖，，在射線，上分別截取，連接，的平分線交于點D，點E為線段上的動點，作交于點F，作交射線于點G，過點G作于點H，點E沿方向運動，當(dāng)點E與點B重合時停止運動．設(shè)點E運動的路程為x，四邊形與重疊部分的面積為S，則能大致反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分三種情況分別求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的類型與其圖象的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴是邊長為6的正三角形，∵平分，∴，，，①當(dāng)矩形全部在之中，即由圖1到圖2，此時，

∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴；②如圖3時，當(dāng)，則，解得，由圖2到圖3，此時，

如圖4，記，的交點為，則是正三角形，∴，∴，而，∴，∴，③如圖6時，，由圖3到圖6，此時，

如圖5，同理是正三角形，∴，，，∴，因此三段函數(shù)的都是二次函數(shù)關(guān)系，其中第1段是開口向上，第2段、第3段是開口向下的拋物線，故選：A．【例題3】（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點，在同一水平線上，點與的中點重合，，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運動，當(dāng)點運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，先求得菱形的面積為，進(jìn)而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱形，分別求得面積與運動時間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合選項，即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)交于點，∵菱形，，∴又∵，∴是等邊三角形，∵，，∴∴∴當(dāng)時，重合部分為，如圖所示，依題意，為等邊三角形，運動時間為，則，∴當(dāng)時，如圖所示，依題意，，則∴∴∵∴當(dāng)時，當(dāng)時，同理可得，當(dāng)時，同理可得，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時，函數(shù)圖象為一條線段，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線【鞏固練習(xí)1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為y，下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查動態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以及對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項分析當(dāng)與重合時，及當(dāng)時圖象的走勢，和當(dāng)時圖象的走勢即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)與重合時，設(shè)，由題可得：∴，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴當(dāng)時，，∵，∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)在下方時，設(shè)，由題可得：∴，，∵，,∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，∵，∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，綜上所述：A正確【鞏固練習(xí)2】（2024·安徽合肥·三模）如圖，為正方形的中心，分別為的中點，，點從點出發(fā)沿方向勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向勻速運動，兩點運動速度相等，當(dāng)點運動到點時，兩點同時停止運動．設(shè)點運動的路程為的面積為，則隨變化的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】當(dāng)時，點在上，點在上，求得，故圖象是正比例函數(shù)，當(dāng)時，點在上，點在上，求得，圖象是開口向下的拋物線，當(dāng)時，點在上，點在上，求得，據(jù)此可求出答案．本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，準(zhǔn)確的分析動點的運動位置，獲得相應(yīng)的解題條件是本題的解題關(guān)鍵．【詳解】解：兩點運動速度相等，兩點的運動路程相等，當(dāng)時，點在上，點在上，如圖，

，，，故圖象是正比例函數(shù)，當(dāng)時，點在上，點在上，如圖，

此時，為中點，，，點到的距離為，，圖象是開口向下的拋物線，當(dāng)時，點在上，點在上，如圖，

此時，，，，，，圖象與前一段函數(shù)一樣，據(jù)此判斷B正確【鞏固練習(xí)3】（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當(dāng)其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】連接，過點作于點，根據(jù)已知條件得出是等邊三角形，進(jìn)而證明得出，當(dāng)時，在上，當(dāng)時，在上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，當(dāng)時，在上，

菱形中，，，∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴當(dāng)時，在上，

∴，綜上所述，時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)時，函數(shù)圖象是直線的一部分【鞏固練習(xí)4】（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，，，是邊上的高．點E，F(xiàn)分別在邊，上（不與端點重合），且．設(shè)，四邊形的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，過點E作于點H，由勾股定理求出，根據(jù)等面積法求出，先證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可求出，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出，根據(jù)，代入可得出一次函數(shù)的解析式，最后根據(jù)自變量的大小求出對應(yīng)的函數(shù)值．【詳解】解：過點E作于點H，如下圖：∵，，，∴，∵是邊上的高．∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，．【鞏固練習(xí)5】（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，．點M在菱形的邊和上運動（不與點A，C重合），過點M作軸，與菱形的另一邊交于點N，連接，，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A. B.C. D.

【答案】A【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出各點坐標(biāo)，分M的橫坐標(biāo)x在，，之間三個階段，用含x的代數(shù)式表示出的底和高，進(jìn)而求出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式判斷圖象即可．【詳解】解：菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得，直線的解析式為．軸，N的橫坐標(biāo)為x，（1）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時，點N在線段上，中上的高為，，，，該段圖象為開口向上的拋物線；（2）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時，點N在線段上，中，上的高為，，該段圖象為直線；（3）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時，點N在線段上，中上的高為，由，可得直線的解析式為，，，，，該段圖象為開口向下的拋物線；觀察四個選項可知，只有選項A滿足條件模塊三規(guī)律探索【題型10】數(shù)字類規(guī)律探索【例題1】（2024·山東日照·中考真題）在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了一個數(shù)字構(gòu)造游戲：對于給定的一列有序數(shù)字，在每相鄰兩個數(shù)之間插入這兩數(shù)的和，形成新的一列有序數(shù)字．現(xiàn)有一列數(shù)：，進(jìn)行第1次構(gòu)造，得到新的一列數(shù)：，第2次構(gòu)造后，得到一列數(shù)：，…，第n次構(gòu)造后得到一列數(shù)：，記．某小組經(jīng)過討論得出如下結(jié)論，錯誤的是（

）A． B．為偶數(shù) C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，先求出的值，以及對應(yīng)的k值，可得規(guī)律，此時，據(jù)此可判斷A、C、D；再證明是偶數(shù)即可判斷B．【詳解】解：由題意得，此時，，此時，第3次構(gòu)造后得到的一列數(shù)為，∴，此時，故A正確，不符合題意；同理可得，此時，……，以此類推可知，，此時，故D錯誤，符合題意∴，，故C正確，不符合題意；∵是偶數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是偶數(shù)，以此類推，也是偶數(shù)，∴為偶數(shù)，故B正確，不符合題意【例題2】（2024·四川眉山·中考真題）已知（且），，則的值為．【答案】【分析】此題考查了分式的混合運算，利用分式的運算法則計算得到每三個為一個循環(huán)，分別為，，，進(jìn)一步即可求出．【詳解】解：，，，，，，……，由上可得，每三個為一個循環(huán)，，．【鞏固練習(xí)1】（2024·江蘇揚州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（

）A．676 B．674 C．1348 D．1350【答案】D【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù)．由于，即前2024個數(shù)共有674組，且余2個數(shù)，∴奇數(shù)有個．【鞏固練習(xí)2】（2024·山東德州·中考真題）觀察下列等式：……則的值為．【答案】【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律的探究，算術(shù)平方根．通過前三個式子找出其中的規(guī)律即可．【詳解】解：，，，，，，，【題型11】圖形類規(guī)律探索【例題1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（

）A．90 B．91 C．92 D．93【答案】B【分析】本題主要考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到有關(guān)圖形個數(shù)的規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形知道第1個圖形有1個正方形，第2個有個，第3個圖形有個，…由此得到規(guī)律求得第6個圖形中正方形的個數(shù)即可．【詳解】第1個圖形有1個正方形，第2個圖形有個正方形，第3個圖形有個正方形，……第6個圖形有（個）正方形【例題2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則度．【答案】【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先分別對運用三角形的外角定理，設(shè)，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．【詳解】解：如圖：∵，，∴設(shè)，，則，，由三角形的外角的性質(zhì)得：，，∴，如圖：同理可求：，∴，……，∴，即，【例題3】（2024·山東濰坊·中考真題）將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表．記為數(shù)表中第行第列位置的數(shù)字，如，，．若，則，．【答案】452【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：當(dāng)正整數(shù)為時，若為奇數(shù)，則在第行，第1列，下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2列；若為偶數(shù)，則在第1行，第列，下一個數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行．【詳解】解：由圖中排布可知，當(dāng)正整數(shù)為時，若為奇數(shù)，則在第行，第1列，下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2列；若為偶數(shù)，則在第1行，第列，下一個數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行；∵，而，在第行，第1列，∴2024在第行，第2列，∴，【鞏固練習(xí)1】（2024·西藏·中考真題）如圖是由若干個大小相同的“”組成的一組有規(guī)律的圖案，其中第1個圖案用了2個“”，第2個圖案用了6個“”，第3個圖案用了12個“”，第4個圖案用了20個“”，……，依照此規(guī)律，第n個圖案中“”的個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了圖形類規(guī)律，根據(jù)圖形規(guī)律求得第n個圖案中“”的個數(shù)為，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中個數(shù)的變化規(guī)律．【詳解】解：∵第1個圖案用了個“”，第2個圖案用了個“”，第3個圖案用了個“”，第4個圖案用了個“”，……，∴第n個圖案中“”的個數(shù)為【鞏固練習(xí)2】（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“○”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．【答案】12【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；…，所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；由題知，解得，又n為正整數(shù)，則，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．【鞏固練習(xí)3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點O的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應(yīng)點為，點C的對應(yīng)點為，與的交點為，稱點為第一個“花朵”的花心，點為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”的花心的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，，，，推導(dǎo)得到，滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，由此得到滾動2024次后停止?jié)L動，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，由題意得，，，∴，∴，，，∴，∴，，同理，，，滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，∴滾動2024次后停止?jié)L動，則時，【題型12】點坐標(biāo)規(guī)律探索【例題1】（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小好同學(xué)用計算機(jī)軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點中心對稱．若點，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個點的橫坐標(biāo)從開始依次增加，則的值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】本題是坐標(biāo)規(guī)律題，求函數(shù)值，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)題意可得，，即可求解．【詳解】解：∵這個點的橫坐標(biāo)從開始依次增加，∴，∴，∴，而即，∵，當(dāng)時，，即，∵關(guān)于點中心對稱的點為，即當(dāng)時，，∴【例題2】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點B坐標(biāo)是