2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：尺規(guī)作圖（10題）

一.解答題（共10小題）

1.（2025?白銀一模）阿基米德是古希臘的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄

了他提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理，如圖，已知A3是一個(gè)半圓的直徑，點(diǎn)。是圓心，。是弧上一點(diǎn)，請(qǐng)你

根據(jù)以卜.步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程

①過(guò)點(diǎn)6作半圓的切線BT;

②過(guò)點(diǎn)。作半圓的切線與87交于一點(diǎn)T；

③過(guò)點(diǎn)。作A8的垂線，與AB交于點(diǎn)4

④連接A7,與DE交于點(diǎn)F.

（1）尺規(guī)作圖；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）根據(jù)（1）完成的圖，直接寫(xiě)出線段。尸與E”的數(shù)量關(guān)系.

2.（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）（1）在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在邊AC、8C上，DE//AB,AC=6A。，

點(diǎn)尸為邊。E上一點(diǎn)，貝ljS△朋8:SACAB=；

（2）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A、B、C均為格點(diǎn).在△4BC的內(nèi)部有一點(diǎn)P,滿(mǎn)

足S△閑小SNBC：SMCA=1：2：3,試在如圖所示的網(wǎng)格中，借助無(wú)刻度的直尺畫(huà)出點(diǎn)尸，并簡(jiǎn)要說(shuō)明

點(diǎn)P的位置是如何找到的.

3.（2025?山西模擬）請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以小組為單位討論利用尺規(guī)作N4O8的平分線的方法.

第一小組展示了學(xué)習(xí)過(guò)的作法：如圖1.以點(diǎn)O為圓心.任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交。小OB于點(diǎn)、M、

M再分別以點(diǎn)“、N為圓心.大于!MN長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)尸，作射線OPO2即為NAOB

的平分線.第一小組證明過(guò)程如下：

連接PM,PN,由作圖可知OM=ON,MP=NP,又OP=OP,：.叢OMP冬叢ONP（儂據(jù)），：?/MOP

=ZNOP,???OP平分N4O從

第二小組展示了他們的作法：如圖2.以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、0B于點(diǎn)、C、D；

再以點(diǎn)0為圓心.任意不等于OC的長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、0B于點(diǎn)E、F；連接CRDE.交于

點(diǎn)P，作射線OP，則。尸為/AOB的平分線.第二小組證明過(guò)程如下：

由作圖可知：OC=OD,OE=OF,V4C0F=/D0E,:.△C0F9XD0E.

：,ZOFC=ZOED-

完成下列任務(wù)：

（1）第一小組證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指;

（2）將第二小組的證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

4.（2025?溫州一模）根據(jù)要求作圖并證明.

（1）如圖，請(qǐng)按以下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡：

①畫(huà)一條直徑A8；

②作OB的垂直平分線交OO于點(diǎn)C,D；

③連結(jié)AC,AD,得到△ACD.

（2）根據(jù)第（1）小題作法，給出△ACD是等邊三角形的證明.

5.（2025?綠園區(qū)一模）圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.線段4T

的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

im)

(1)在圖①中以AB為邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形,使它的三邊長(zhǎng)均是無(wú)理數(shù);

在圖②中以AB為邊畫(huà)一個(gè)直角三角形,使它的直角邊之比為1：2；

(3)在圖③中以48為邊畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，使它的鈍角為135°.

6.(2025?九臺(tái)區(qū)一模)圖①、圖②、圖③分別是6X6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)

小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)△ABC、ADEF./XG"/的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在下列網(wǎng)

格中按要求作圖，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中，畫(huà)△ABC的角平分線人K；

(2)在圖②中，畫(huà)△O"'的角平分線。M；

(3)在圖③中，在邊G"上確定點(diǎn)N,使得NNG/=2NN/G.

圖①圖②

7.(2025?江西模擬)如圖,在4X5的方格中,C都在格點(diǎn)上.請(qǐng)用無(wú)刻度的

直尺按要求畫(huà)圖.

(1)在圖1網(wǎng)格中作格點(diǎn)P,使NCPB=/CAB；

(2)在圖2網(wǎng)格中作格點(diǎn)P,使NAPB=45°,且BP最長(zhǎng).

8.(2025?長(zhǎng)沙模擬)如圖，在A/WC中，ZC=90°,分別以點(diǎn)八和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑

作弧，兩弧交于何，N兩點(diǎn)，連接直線A/M交BC于點(diǎn)、D,交A4于點(diǎn)瓦

何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書(shū).他在

第三卷中提出這樣一個(gè)命題："由已知點(diǎn)作直線切于已知圓”

如圖，設(shè)點(diǎn)夕是已知點(diǎn)，是已知圓，對(duì)于上述命題，我們可以進(jìn)行如下尺規(guī)作圖：

①連接OP,分別以點(diǎn)0,P為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在OP上方交于點(diǎn)、M,在0P下方

交于點(diǎn)N,連接交0。于點(diǎn)A；

②以點(diǎn)A為圓心，以AOK為半徑作OA,與OO交于兩點(diǎn)。和A：

③連接PQ，PR,則PQ,PR是00的切線.

按照上述作圖步驟，在圖中補(bǔ)全圖形，保留作圖痕跡.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：尺規(guī)作圖（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2025?白銀一模）阿基米德是古希臘的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄

了他提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理，如圖，已知A4是一個(gè)半圓的直徑，點(diǎn)。是圓心，。是弧上一點(diǎn)，請(qǐng)你

根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程

①過(guò)點(diǎn)B作半圓的切線BT；

②過(guò)點(diǎn)。作半圓的切線與BT交于一點(diǎn)T；

③過(guò)點(diǎn)。作A8的垂線，與A8交于點(diǎn)4

④連接AT，與DE交于點(diǎn)F.

（1）尺規(guī)作圖；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）根據(jù)（1）完成的圖，直接寫(xiě)出線段?！ㄅc上”的數(shù)量關(guān)系.

【考點(diǎn)】作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；平行線分線段成比例；切線的判定與性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理.

【專(zhuān)題】作圖題；幾何直觀：推理能力.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）結(jié)論：DF=EF,見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形：

（2）利用切線長(zhǎng)定理，平行線分線段成比例定理證明即可.

【解答】解：（1）圖形如圖所示：

(2)結(jié)論：DF=EF.

理由：如圖，根點(diǎn)A作o。的切線交07于點(diǎn)K.

?：DT,BT都是。。的切線，

:,KA=KD,TD=TB,AK_LA4,BT±AB.

'：DELAB,

：,AK//DE//BT,

?EFAEDK_AKDFDF

"BT~AB~KT~KT~DT~BT，

：.EF=DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，平行線分線段成比例定理

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型.

2.（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）（1）在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在邊AC、8C上，DE//AB,AC=6AD,

點(diǎn)、P為邊DE上一點(diǎn)、,則S△陰8：S^CAB=1：6；

（2）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A、B、C均為格點(diǎn).在△A4C的內(nèi)部有一點(diǎn)匕滿(mǎn)

足S△用8：S"BC：S^PCA=\：2：3,試在如圖所示的網(wǎng)格中，借助無(wú)刻度的直尺畫(huà)出點(diǎn)P,并簡(jiǎn)要說(shuō)明

點(diǎn)P的位置是如何找到的.

【考點(diǎn)】作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】尺規(guī)作圖；推理能力.

【答案】（1）1：6；

（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作CGJ_AB于G交。E于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作尸”_LA8于〃，由△CQEs/\CAB可得

CFCD5PHFG1

-=—=即得77=-=7,進(jìn)而即可求解；

CGCA6CGCG6

（2）如圖AC與網(wǎng)格相交，得到點(diǎn)。、E,取格點(diǎn)尸，連接心并且延長(zhǎng)，與網(wǎng)格相交，得到M、N、G,

連接。N、EM、DG,OV與EM相交于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求；

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)。作CG_LA8于G交OE于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作/WL48于"

即S△附3：S/yCAB=1：6,

故答案為：1：6；

（2）如圖所示，AC與網(wǎng)格相交，得到點(diǎn)。、E,取格點(diǎn)凡連接尸3并且延長(zhǎng)，與網(wǎng)格相交，得到歷、

N、G,連接力MEM、DG,DN與&W相交于點(diǎn)/>,點(diǎn)〃即為所求;

理由：???平行四邊形ABME的面積：平行四邊形CZ5N8的面積：平行四邊形OEMG的面積=1：2：3,

△的面積=劣平行四邊形八的面積，△PBC的面積=/平行四邊形CQNB的面積，△必。的面

積=/\尸八9的面積=41△OGN的面積=31平行四邊形DEMG的面積，

S/xPABtS^PBC:S.^PCA=l:2:3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?山西模擬）請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以小組為單位討論利用尺規(guī)作NAO8的平分線的方法.

第一小組展示了學(xué)習(xí)過(guò)的作法：如圖1.以點(diǎn)O為圓心.任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交Q4、。8于點(diǎn)M、

N；再分別以點(diǎn)M、N為圓心.大于^MN長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)巴作射線OP,O尸即為NAOB

的平分線.第一小組證明過(guò)程如下：

連接PM,PN,由作圖可知OM=OMMP=NP,乂?；OP=OP,???△OMPg/XONP（依據(jù)），,NMOP

=4N0P,???OP平分NAO8.

第二小組展示了他們的作法：如圖2.以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、08于點(diǎn)C、。；

再以點(diǎn)O為圓心.任意不等于。。的長(zhǎng)為半徑作弧，分別交04、0B于點(diǎn)、E、F；連接CRDE.交于

點(diǎn)P,作射線OP,則0P為NA03的平分線.第二小組證明過(guò)程如下：

由作國(guó)可知；OC=OD,OE=OF,<2COF=NDOE,ACOF^ADOE.

：,/OFC=NOED…

AA

完成下列任務(wù)：

(1)第一小組證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指SSS；

(2)將第二小組的證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

【考點(diǎn)】作圖一基本作圖：全等三角形的判定；角平分線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】作圖題；推理能力.

【答案】(1)SSS；

(2)見(jiàn)解答.

【分析】(1)根據(jù)SSS判定三角形全等；

(2)根據(jù)三角形全等的性質(zhì)證明.

【解答】解：(1)連接尸M，PN,由作圖可知。M=ON,MP=NP,

又?.?OP=OR

：.XOMP仝叢ONP(SSS),

ZMOP=/NOP,

平分NAO8.

故答案為：SSS；

(2)由作圖可知：OC=OD,OE=OF,

■:乙C0F=4D0E,

:.△C0F9XD0E(SAS).

：?/OFC=/OED,

?：OC=OD,OE=OF,

:?CE=DF,

又?：/CPE=NDPF,

?二△CEP四△。尸尸(AAS),

:?PE=PF,

?：OE=OF,ZOEP=ZOFP,

:?△0PE9X0PF（SAS）,

：,ZPOE=ZPOF,

即OP平分NAOB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了基本作圖，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?溫州一模）根據(jù)要求作圖并證明.

（1）如圖，請(qǐng)按以下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡：

①畫(huà)一條直徑A8：

②作。8的垂直平分線交。0于點(diǎn)C,D；

③連結(jié)AC,AD,得到△ACD

（2）根據(jù)第（1）小題作法，給出△人CO是等邊三角形的證明.

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；垂徑定理.

【專(zhuān)題】作圖題：推理能力.

【答案】（I）見(jiàn)解答；

（2）見(jiàn)解答.

【分析】（1）根據(jù)題中步驟作圖；

（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定理及等邊三角形的判定定理證明.

【解答】（1）解：△AC。即為所求；

（2）證明：連接OC,BC,設(shè)A3、C。相交于點(diǎn)F,

〈CD垂直平分OB,

：.OC=BC,X?=/W,

：.AC=AD,

???△ACD是等腰三角形，

VOC=OB,

；?OC=OB=BC,

???△O8C是等邊三角形，

???/8。。=60°,

???NCA3=3（r,

同理：N￡M8=30°,

???NC4Q=60°,

???△AC。是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握線段的垂直平分線的基本作法和等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)

鍵.

5.（2025?綠園區(qū)一模）圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.線段A3

的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

（1）在圖①中以A8為邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使它的三邊長(zhǎng)均是無(wú)理數(shù)；

（2）在圖②中以A6為邊畫(huà)一個(gè)直角三角形，使它的直角邊之比為1：2：

（3）在圖③中以八〃為邊畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，使它的鈍角為135。.

【考點(diǎn)】作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；無(wú)理數(shù)；等腰一:角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理.

【專(zhuān)題】幾何直觀.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，A8可能是腰或底兩種情況，考慮所做線段AC也是有小正方形

組成的矩形的斜邊，點(diǎn)C的位置不唯一，找到一個(gè)符合條件的點(diǎn)C,連結(jié)AC即可.

(2)根據(jù)網(wǎng)格可知AB得長(zhǎng)度為VTU,根據(jù)直角邊之比為1：2及勾股定理可知AD=或，為一個(gè)小正

方形的對(duì)角線，BD=2V2,為邊長(zhǎng)為2兩個(gè)網(wǎng)格的正方形的對(duì)角線，即可得出交點(diǎn)即為所求，

(3)以3為頂點(diǎn)的一個(gè)小正方形對(duì)角線得到45°,再加一個(gè)正方形的角，故點(diǎn)石在B為頂點(diǎn)的一個(gè)小

正方形對(duì)角線即為所求.

【解答】解：(1)如圖所示：△ABC即為所求；

(2)如圖所示：△A3。即為所求;

圖③

(3)如圖所示：AABE即為所求;

圖④

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)以及等腰三角形性質(zhì)和直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

6.(2025?九臺(tái)區(qū)一模)圖①、圖②、圖③分別是6X6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)

小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)△ABC、XDEF、△G”/的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，僅川無(wú)刻度的直尺在下列網(wǎng)

格中按要求作圖，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中，畫(huà)△A8C的角平分線AK；

(2)在圖②中，畫(huà)△￡＞石廠的角平分線。例：

（3）在圖③中，在邊G"上確定點(diǎn)N,使得NNG/=2NN/G.

【考點(diǎn)】作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；等腰三角形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【答案】（1）見(jiàn)解答.

（2）見(jiàn)解答.

（3）見(jiàn)解答.

【分析】（I）取AC'的中點(diǎn)K,連接AK即可.

（2）結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，取格點(diǎn)P,使力P=OE=5,連接EP,取的中點(diǎn)Q,連接DQ交EF

于點(diǎn)M,則。M即為所求.

（3）取格點(diǎn)P,使GP=HG=5,連接”P(pán),取”P(pán)的中點(diǎn)。，連接GQ,再分別取"G,1G的中點(diǎn)J,

L,連接〃交GQ于點(diǎn)O,連接并延長(zhǎng)，交HG于點(diǎn)N,則點(diǎn)N即為所求.

【解答】解：（1）如圖①，取8C的中點(diǎn)K,連接AK,

則AK即為所求.

（2）由勾股定理得，DE=V42+32=5,

如圖②，取格點(diǎn)P,使。0=DE=5,連接￡尸，取EP的中點(diǎn)Q,連接。。交E廣于點(diǎn)M,

則QM即為所求.

（3）如圖③，取格點(diǎn)P,使GP=〃G=5,連接取〃尸的中點(diǎn)Q,連接GQ,再分別取“G,/G的

中點(diǎn)1,L,連接"交GQ于點(diǎn)0,連接/O并延長(zhǎng)，交HG于點(diǎn)N,

則點(diǎn)N即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問(wèn)題.

7.（2025?江西模擬）如圖，在4X5的方格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上.請(qǐng)用無(wú)刻度的

直尺按要求畫(huà)圖.

（1）在圖1網(wǎng)格中作格點(diǎn)尸,使/CPB=NCAB；

（2）在圖2網(wǎng)格中作格點(diǎn)P,使NAP8=45°,且BP最長(zhǎng).

【考點(diǎn)】作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖;

【專(zhuān)題】幾何直觀.

【答案】（1）圖見(jiàn)解析:

（2）圖見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特征得N4WB=90°,tanziBAW=第=2,結(jié)合網(wǎng)格特征，圖中NCP8=N

CP28=NCP3/3均滿(mǎn)足NCP4=NCW,即可作答.

（2）因?yàn)?P最長(zhǎng)，根據(jù)網(wǎng)格特征得484尸是等腰直角三角形，且BP為斜邊，即可作答.

【解答】解：（1）如圖，格點(diǎn)P即為所求，

（2）如圖，格點(diǎn)尸即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了網(wǎng)格作圖，解直角三角形，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

1

8.（2025?長(zhǎng)沙模擬）如圖，在A48C中，ZC=90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)4為圓心，大于548的長(zhǎng)為半徑

作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，連接直線MN,交8c于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E.

（1）求證：直線MN垂直平分線段/W：

（2）若乙鈉。=36°,連接人。，求NC4O的度數(shù).

【考點(diǎn)】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】作圖題；線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

(2)18’.

【分析】（1）連接MA,MB,NA,NB,由作圖知，MA=MS=NA=N8,得到點(diǎn)N,M在線段A8的垂

直平分線上，于是得到直線MN垂直平分線段A以

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ND44=NA8Q=36°,

求得/人。。=/"￡>+/948=72°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接MA,MB,NA,NB,由作圖知，A4A=MB=NA=NB,???點(diǎn)M股在線段AB

的垂直平分線上，

工直線MN垂直平分線段AB；

（2）解：???直線MN垂直平分線段A8,連接直線MN,交BC于點(diǎn)D,

:,AD=BD,

：,ZDAB=ZABD=36°,

AZADC=Z4BD+ZDAB=72°,

VZC=90°,

???NC4O=90°-72°=18°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題

的關(guān)健.

9.（2025春?玄武區(qū)校級(jí)月考）平行線是研究相似三角形的基本工具

【嘗試】

已知線段A8,請(qǐng)用無(wú)刻度直尺與圓規(guī)作出線段A8的一個(gè)三等分點(diǎn)P.

AB

【應(yīng)用】?jī)H用無(wú)刻度直尺在下面6X6的網(wǎng)格中作出線段A&8c的一個(gè)三等分點(diǎn)。、E.

【拓展】?jī)H用無(wú)刻度直尺完成下列作圖

（1）在AC邊找一點(diǎn)￡,使得tanN4BE=0.6；

在如圖的8c中，請(qǐng)直接寫(xiě)出sinA?cosb?tanC的值.

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖；平行線分線段成比例；解直角三角形.

【專(zhuān)題】尺規(guī)作圖；推理能力.

【答案】【嘗試】見(jiàn)解析;

【應(yīng)用】見(jiàn)解析：

【拓展】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析?：

【計(jì)算】展98-y2，

65

【分析】【嘗試】先作出連接BC,再作NAZ）尸=N4CB,則。P〃BC,由平行線分線段成

1

比例可得AP

40AN1

［應(yīng)用］取格線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)。，由ND//BM得AANDsAAMB,則一=—=故點(diǎn)D即

ABAM3

CECF1CE1

為所求；取格點(diǎn)F,G,連接FG與BC交點(diǎn)即為點(diǎn)同理，-=—=則六二二，故點(diǎn)七即為

EBBG2CB3

所求；

【拓展】（1）取格點(diǎn)G,K,F,連接GK,4/交于點(diǎn)J,連接與AC交點(diǎn)即為點(diǎn)￡首先由邊角邊

可證明△/77A絲△4/8,則A/=AB,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可證明NEW=90°,同上由平行得相

似，則N=三==,則3=3==,故ianZ/^E=0.6；

JAAK3AFAB5

(2)取格點(diǎn)M,N,連接CM,BN交于點(diǎn)、F,CM與AB交點(diǎn)即為點(diǎn)E,同上可得BN=8C,BNLBC,

BFBM1BFBF1,—

由“8字形"相似得二^=—=則/工=77=不設(shè)BF=m,BC=3m,則由勾股定理得/。=VTOm,

FNNT2BNBC3

故sEcBCE=罌=

【計(jì)算】過(guò)點(diǎn)。作CMJ_AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作ANJ_8C于點(diǎn)N,通過(guò)勾股定理以及解直角三角形即可

求解.

【解答】解：【嘗試】如圖，點(diǎn)P即為所求;

【應(yīng)用】如圖，點(diǎn)。，E即為所求;

【拓展】(1)如圖，點(diǎn)E即為所求;

HG

【計(jì)算】過(guò)點(diǎn)C作CMJ_A8于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AN_L8c于點(diǎn)N,

由勾股定理可得4c='I?+32=VIU,AB=V22+32=V13,BC=Vl2+22=V5,

設(shè)AM=x,則=

由勾股定理得：。02=4。2-AM2=BC2-BM?,

AlO-x2=5-（x^l3-x）2,

俎9/13

得：x=F-，

???CM=>JAC2-AM2=

：,BM=AB-AM=號(hào)空，

?ssB=^=前,

7y/13

?AN—

,,夜=7r

:.AN二星,

???CN=\/AC2-AN2=9，

...?__CMBMAN_（后_98g

??SinA-COSB-tCinC=-r^XXyrr?=r--X—T=~X]「=.匚-?

ACBCCNV10后？寫(xiě)65

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了使用無(wú)刻度直尺作圖，涉及解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?永昌縣校級(jí)一模）歐幾里德是古希臘著名數(shù)學(xué)家，被稱(chēng)為“幾何之父”.他最著名的著作《幾

何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書(shū).他在

第三卷中提出這樣一個(gè)命題：“由已知點(diǎn)作直線切于已知圓”

如圖，設(shè)點(diǎn)戶(hù)是已知點(diǎn)，。。是已知圓，對(duì)于上述命題，我們可以進(jìn)行如下尺規(guī)作圖：

①連接。夕，分別以點(diǎn)O,。為圓心，以大于30P的長(zhǎng)為半徑作弧，在OP上方交于點(diǎn)、M,在0。下方

交于點(diǎn)N,連接MM交OP于點(diǎn)4

②以點(diǎn)A為圓心，以A。長(zhǎng)為半徑作OA,與。。交于兩點(diǎn)。和R：

③連接PQ，PR,則PQ，PR是。0的切線.

按照上述作圖步驟，在圖中補(bǔ)全圖形，保留作圖痕跡.

O

【考點(diǎn)】作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；數(shù)學(xué)常識(shí)；線段垂直平分線的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】作圖題：幾何直觀.

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)要求作出圖形即可.

【解答】解：如解圖，PQ,PR即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)學(xué)常識(shí)

數(shù)學(xué)常識(shí)

此類(lèi)問(wèn)題要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識(shí)要了解.比如給出一個(gè)物體的高度要會(huì)選擇它合

適的單位長(zhǎng)度等等.

平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識(shí).

2.無(wú)理數(shù)

（I）、定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

說(shuō)殂：無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、2的平方根

等.

（2）、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫(xiě)成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫(xiě)成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,1=0.33333…而無(wú)理數(shù)只能寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，比如魚(yú)=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比：而無(wú)理數(shù)不能.

（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無(wú)理數(shù)，了解它的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有n

71

的數(shù)，如分?jǐn)?shù)彳是無(wú)理數(shù)，因?yàn)門(mén)I是無(wú)理數(shù).

無(wú)理數(shù)常見(jiàn)的三種類(lèi)型

（I）開(kāi)不盡的方根，如企，V5,運(yùn)等.

（2）特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）.

（3）含有IT的絕大部分?jǐn)?shù)，如27r.

注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果.如的%是有理數(shù)，而不是無(wú)理數(shù).

3.全等三角形的判定

（I）判定定理1：555--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（4）判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

<5）判定定理5："L■一斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知i邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

4.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，???c

在乙40B的平分線上，CO_LO4,CELOB：,CD=CE

5.線段垂直平分線的性質(zhì)

（I）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）

垂直平分線，簡(jiǎn)稱(chēng)“中垂線

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的

距嘲相等.一③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的

距離相等.

6.等腰三角形的性質(zhì)

（I）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【二線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

7.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解

決訶題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴(lài)全等三角形的

思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決.

8.等邊三角形的性質(zhì)

（【）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對(duì)而言的.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線

是對(duì)稱(chēng)軸.

9.勾股定理

（I）勾股定理：在任何一個(gè)直年三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是小b,斜邊長(zhǎng)為C,那么〃2+廬=,2.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式的變形有：4=）-2-2,b=&2-。2及￡=7a2”2.

（4）由于。2+62=。2，/，所以同理。＞力，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊，

10.勾股定理的逆定理

（I）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)小6C滿(mǎn)足/+后=02,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

說(shuō)明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是大是直角二角形.必須滿(mǎn)足較小兩邊平方的

和等于最大邊的平方才能做出判斷.

（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件

來(lái)解決問(wèn)題.

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和

與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

11.平行四邊形的性質(zhì)

（I）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：