二次函數(shù)與相彳以三角形的存在性

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備：

一、相似三角形的判定方法

判定I:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

判定2：兩邊比例且夾角相等兩三角形相似；

判定3：三邊成對(duì)應(yīng)比例兩三角形相似；

判定4:平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成三角形與原三角形相似，簡(jiǎn)稱：''平行

截相似

說(shuō)明：在解決二次函數(shù)相似三角形的存在性時(shí),一般只會(huì)運(yùn)用判定?和判定2.

二、解題方法和策略

二次函數(shù)中相似三角形的存在性問(wèn)題，通常情況下需要分類討論，一般有兩種解題思路：

策略1：兩邊比例且夾角相等兩三角形相似。先找到一組對(duì)應(yīng)用相等，再通過(guò)相似找到對(duì)應(yīng)邊成比例，建立兩組對(duì)

應(yīng)邊的二匕例關(guān)系分別解決問(wèn)題；

策略2：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。先找到一組對(duì)應(yīng)角相等，再通過(guò)找到另一組角相等，利用平行關(guān)系或者等

腰三角形的關(guān)系解決問(wèn)題.

三、找等角的方法；

1.公共角或者鈍角必對(duì)應(yīng)為相等角；2.平行線中同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，此時(shí)可以借助直線解析式K來(lái)判斷；

3.相等角三角函數(shù)值必相等，借助正切值進(jìn)行判斷；4.注意90。、6()，、45。、30。等特殊角.

第二部分：典型例題分析

題型一：?jiǎn)蝿?dòng)點(diǎn)

類型一：公共角是對(duì)應(yīng)角

例1如圖，拋物線產(chǎn):一+兒什。與x軸交于點(diǎn)A(?l,0),點(diǎn)B(3,0)與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)D(2,-3).點(diǎn)Q是拋物線尸療

+入+e上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

(2)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)口聲與□力或相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

y

【解答】⑴函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+l)(x-3),將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得"1.故拋物線的表達(dá)式為：尸2-2尸3□口

(2)匚08=003,

□□0。6=口06045,

□/3。=口。8￡故匚OBE與匚48曲似時(shí)，分為兩種情況：

①當(dāng)匚4。5=口8。0時(shí)，

力8=4,BC=3￡/1C=血，

過(guò)點(diǎn)A作力點(diǎn)H,

Sw8L；x//7x5C=；4SxOG解得:,4"=24則Sind4c5=*=1,則tanNACB=2,

則直線0Q的表達(dá)式為:y=-2x…②，

聯(lián)立①②并解得：尸田或—石、

故點(diǎn)。修-26成(-行2位

@ZBAC=ZB0Q時(shí).

OC3

tanCBAC=QA=1=3=tanBOQ,

則點(diǎn)Q(n,-3n),

則直線OQ的表達(dá)式為:y=-3x…③,

聯(lián)立①③并解得：尸呼，

故點(diǎn)0個(gè)上，上嗎成W

綜上，當(dāng)△OBE與△ABC相似時(shí)，Q的坐標(biāo)為：(行_2⑺或(-四2")或(十公，子)或

([1行,112分

類型二：平行構(gòu)造相等角

例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x-l與拋物線產(chǎn)_/+bx+c交于A、B兩點(diǎn)其中A(m,o)、B(4,n),該拋

物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn)D.

⑴求m、n的值及該拋物線的解析式；

(2)如圖，連接BD、CD,在線段CD上是否存在點(diǎn)Q，使得以A、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，若存在，

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】⑴把A(m,U),B(4,n)代入y=x-l得:m=l,n=3,/.A(1,U),B(4,3),尸+力壯G經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)B,q一1十。+c=0解

'-16+46+c=3'

得：%=6.則二次函數(shù)解析式為尸-f+6x-5;

c=-5y

⑵由

易得直線CD解析式為y=x-5,設(shè)Q(x,x-5),

由題意得:NBAD=NADQ=45。，

當(dāng)4ABDsaDAQ時(shí)，『叨即”州

DAAQy4AQ?

解得：&R

由兩點(diǎn)間的距離公式得：(1)2+0-5)2=S，

解得：x=：或產(chǎn)弋此時(shí)0々-濰(？：)(舍去)；

當(dāng)△ABDS4QA時(shí)，賓=i,即力8?？?_四35)=］。，

解得:x=2或x=4,此時(shí)QQ,-3)或(4,-1)(舍去),

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,?3)或(2，_8)

類型三：計(jì)算三角函數(shù)得相等角

例3已知拋物線產(chǎn)以2+隊(duì)+3與X軸分別交于A(-3,0).B(L0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C.

(I)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)F是線段AD上T動(dòng)點(diǎn)，如圖，以A,F,0為頂點(diǎn)的三角形是否與仆ABC相似?若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+b"c經(jīng)過(guò)A(-1.0),B(4,0),C(0,4)三點(diǎn)

(I)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交⑴中的拋物線于點(diǎn)Q,當(dāng)△PQC與4

ABC相似時(shí)，求△PQC的面積.

【解答】⑴函數(shù)表達(dá)式為：尸4+1｛一一42_3.?山即-4a=4,解得:a=-l故拋物線的表達(dá)式為：

數(shù)頂點(diǎn)D&2

⑵過(guò)點(diǎn)p作y軸的平行線交拋物線和X軸于點(diǎn)Q、H,???0B=0C=4,二^^8八=/0?8=45。=/(^(2,直線BC的表達(dá)式

為:y=_x+4廁/8=5,8。=4乃/。=而,5〃8C=；X5X4=10設(shè)點(diǎn)Q(m-nr+3m+^^P(m,-m+4),

CI>=^2m,r>Q=-m2+3m+4+ni-4=-m2+4m,

①當(dāng)△CPQ^ACBA,

"=因即聿=幾也解得：U

BC力力'442554,

相似比為："=口

BC16'

②當(dāng)△CPQ<^AABC,

同理可得：相似比為：因=匹

AB25'

利用面積比等于相似比的平方可得：

SMOEOXS)、怠或心文=仆(胃)；黑類型二：構(gòu)造兩直角邊成比例

例5如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)0(0,0),A(8,4),與x軸交于另一點(diǎn)B,且對(duì)稱軸是直線x=3.

(I)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)P是x軸上的點(diǎn).過(guò)P作.pQ、軸與拋物線交于Q.過(guò)A作.力仁益由于C,當(dāng)以O(shè),P,Q為頂點(diǎn)的三角形與以。，

A,C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

y

【解答】⑴???拋物線過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=3,,??.B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),設(shè)拋物線解析式為尸ax(x-6)把A(8,4)代入

得小82=4,解得斫〉.?拋物線解析式為尸*即尸%2』；

Q)設(shè)Q傘：/一：/口口opgjjAcO,工當(dāng)案=受時(shí),□尸QOEICOa即早=半，□尸0=2尸(？,即□：〃『-：

而口=2口〃?□，解方程:〃/一:加=2〃?得〃?]=0(舍去2=14,,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(14,0)；解方程一：片一2〃[得/〃]=())(舍

去)，,〃2=-2,，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2。)；???當(dāng)隼=年時(shí),□尸0OCIC4。即產(chǎn)=牛,□P0=；PO,即口,

解方程：〃/_；〃?='〃得〃八=0(舍去)，相2=8,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(8，°)；解方程%/_1〃=_；〃?得皿=0(舍去)，叱=4,，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)；綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為(14為或(?2,0)或(4,0)或(8,0).

類型三：構(gòu)造直角

例6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)產(chǎn)一%+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y=-x^bx+c

經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作℃一雪由于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)是否存在點(diǎn)D,使得匚皿和匚力C￡相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【解答】⑴在產(chǎn)一?3中，令x=。得尸3,令尸。，得I,1-4?+4b+c=0A(4,0),B(0,3),將A(40),B(O,

lc=3

3)分別代入拋物線產(chǎn)+版+'中，得：

解得：｛4；???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：

2.12

產(chǎn)-X+4H3

c=3

(2)存在.過(guò)點(diǎn)B作BH_LCD于H,設(shè)C(t,O),則。〃-八,./七〃一1+3/〃〃以

匚EC=-:/+3C=4-t,BH=t,DH=-t2+?t,DE=~r+4t

VABDEACE相似,NBED=NAEC,，△BDEs/\ACE或^DBE^AACE

①當(dāng)△BDEs/\ACE時(shí),NBDE二NACE=90。,此時(shí)BD〃AC,可得Q俘，.

②當(dāng)△DBEs/XACE時(shí),NBDE二NCAE「??BH_LCD,???ZBHD=90°,

□卷二tann8O￡=tan」UE=%,即:BHAC=CE?DH

□/（4r）=Q33）（T+i）.解得：『0（舍），/4（舍），白/匚。?'》綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（?，3）或

（空）；

類型四：構(gòu)造相等的銳角

例7如圖，拋物線產(chǎn)數(shù)2+瓜+C經(jīng)過(guò)A（-l,0）,B（4,0）,C（0,3）三點(diǎn).D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),DE_LBC于E.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為F,連接CD,CF,是否存在點(diǎn)D，使得ACDE中有一個(gè)角與NCFO相等?若存在，求點(diǎn)

D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1

ci-b^~c=O4

【解答】⑴由題意，得｛16/4什D,解得｛42、拋物線的函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)-￥+++3;

c=3

c=3

（2）存在.假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D,△CDE使得中有一個(gè)角與/CF0相等,

???點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，DOF=JanDCFO==2,

過(guò)點(diǎn)B作BG_LBC,交CD的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)過(guò)點(diǎn)G作GH_Lx軸.垂足為H、如圖

①若NDCE=NCF0,

GB

CtanDCE=廿=2,匚BG=10,

???△GBHSBCO,

==

BOOCBC'

???GH=K,BH=6,???G(10,8),設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b',

□｛心？解得產(chǎn);

10A+Z>=8，g=3

工直線CG的解析式為+9解得尸2或x=0（舍）.

（y——彳《?+彳工+3八3，

②S匚CQEMCTO,同理可得8G=；,GH=2,8//=；,L]G修2）,同理可得，直線CG的解析式為

L尹｛二惠二解得戶事X=0(舍),

綜上所述，存在點(diǎn)D,使得匚CQ￡中有T角與口30相等，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為;或￡

第三部分：針對(duì)提高訓(xùn)練

練I如圖，已知拋物線產(chǎn)奴2+6/(.與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y粕交于點(diǎn)C,D為0C的中點(diǎn)，直線AD交拋物

線于點(diǎn)E(2,6),且1/BE與匚48〃勺面積之比為3:2.

(I)求直線AD和拋物線的解析式；

⑵拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)F,點(diǎn)Q為直線AD上一點(diǎn)，且匚相戰(zhàn)匚4Q尸相似，直接寫出點(diǎn)Q點(diǎn)的坐標(biāo)

練2如圖，已知拋物線產(chǎn):一—火。經(jīng)過(guò)□力8c的三個(gè)頂點(diǎn).其中點(diǎn)A(O,1),點(diǎn)B(9,10),AC〃x軸.

⑴求這條拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)□“)￡與□力Be?似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

練3如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線尸/1c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=-x+3.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

⑵在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與(4CO相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練4如圖，已知拋物線產(chǎn)乜2+區(qū)+仁與直線產(chǎn);X+3交于A,B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC,已知A(0,

3),C(30).

(1)求此拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過(guò)點(diǎn)p作0?？诋a(chǎn)力交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn)：是否存在點(diǎn)p,使得以A,P,

Q為頂點(diǎn)的三角形與□/?相似?若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練5如圖、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-l,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P

的坐標(biāo)為(m,0),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線1交拋物線于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)M.

⑴求t雉物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與匚8OQ相似？若存在，求出

點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線尸，/+人工+《經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(8,0).

(I)求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)口。。』口。"相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

二次函數(shù)與相似三角形存在性

【絳I】解:⑴:△ABE與^ABC的面積之比為3:2,E(2,6),，C(0,4),D(0,2),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b.由題意得弓上器'解得片二；'直線人口的解析式為Y=2x+2,

c=4

AA(-1,O).拋物線經(jīng)過(guò)A、C、E三點(diǎn)得｛a-b+c=O，所求拋物線的解析式為：y=*+3.什4.

4a+2b+c=6

(2)二?當(dāng)Q在第三象限時(shí)△ABQ為鈍角三角形，不與△ADF相;以，，答案為兩個(gè).

當(dāng)AABQ與^CED相似時(shí).由⑴有B(4.0),產(chǎn)60)

①若口480口4尸。累=%即4=/,AQ=26,(?(1,4)或(-3,-4)(舍去)

②若n/B0力。匕與吟，即日=去，力2=曝。65方￡(-/5)(舍去).綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(1,4)或(

【練2】解:(1)???拋物線產(chǎn)*_2A+C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,l)和點(diǎn)8(9,10),□(?.解得｛片2,這條拋物線的解

81〃—18+。—1U(,=]

析式為y=^x2-2x+\.

(2)如圖所示:過(guò)點(diǎn)D作DKJ_AC.垂足為K.

???點(diǎn)D是拋物線產(chǎn);f-2x+l的頂點(diǎn)，

AD(3,-2)./.K(3J)

ACK=DK=3.又,?,ZCKD=90°,AACDK是等腰直角三角形.二ZDCK=45°

又?；NBAO45".ZDCK=ZBAC.

???要使△CDE與^ABC相似時(shí),則點(diǎn)E在點(diǎn)C的左側(cè).當(dāng)冷卻寸，則^==^,AEC=2,AE(4,1).

當(dāng)夢(mèng)髀，則矗嘿,

AEC=9./.E(-3J).

綜上所述，當(dāng)△CDE與^ABC相似時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(4.1)或E(-3J).

【練3】解:⑴把x=0代入y=-x+3得y=3,???C(03)把y=0代入y=?x+3得:x=3,??.B(3,O)將C(0,3)、B(3,0)代入y=-

得：卜9+3b+c=。不得｛空

lc=3C=3

???拋物線的解析式為尸-『+2X+3;

(2)如圖.

連接AC把y=0代入尸-f+2x+3,解得：x=j或x=3,

力(一1，0),匚04=1,□笊=；,

-CD―一V2——1L一。.4CD

BC3加3'0CBC'

又丁ZAOC=DCB=90O,AAAOC^ADCB.

，當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)時(shí),△AQCsZ\DCB,過(guò)點(diǎn)C作CQ_LAC,交x軸于點(diǎn)Q.

VAACQ為直角三角形CO_LAQ.

AAACQ^AAOC.

又???△AOCSZ\DCB,???Z\ACQSZ\DCB,□冷熱即■=零解得:AQ=10.???Q(9,0).綜上所述，當(dāng)Q的坐標(biāo)

為(0◎或(9。時(shí)以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似.

【練4】解:(I)將A((),3),C(-3,O)代入函數(shù)解析式得

｛匚鼠尸0,解得產(chǎn)3拋物線的解析式是y=32+：戶3;

26=3

(2存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

在RSBEC43,VBE=CE=1,AZBCE=45°,

在RtAACO中」??人0:0)=3,???乙40>450,□[*08=180二-45-45=90,

過(guò)點(diǎn)P作PGly軸于G點(diǎn),NPGA=90。,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x^x2+|x+3)(.v)0)

①當(dāng)NPAQ=NBAC時(shí),△PAQ^ACAB,

VZPGA=ZACB=90°,ZPAQ=ZCAB.AAPGAUS。,—

/GAG

即4與G-A空C-3扛#1、4^s'+32-3Y3，解得Xi-1/2-。(舍去)’

???P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；xi2+|x1+3=6,CP(l,6),

②當(dāng)NPAQ:NABC時(shí),△PAQ^ACBA,

VZPGA=ZACB=90°,ZPAQ=ZABC,AAPGA□/。氏口黑=會(huì)，即^=^=3,D-；一=3解得修=一?(舍

/it//1//it//JC—X"^3—3J

去)心=0(舍去)綜上所述,存在點(diǎn)P(l,6).

【練5】解:⑴由拋物線過(guò)點(diǎn)A(-l,0)、B(4,0)可設(shè)解析式為y=a(x+l)(x-4),將點(diǎn)C(0.2)代入得Ua=2,解得：a=-；,則

拋物線解析式為產(chǎn)-;(/1)(廠4)=-卜2+22;

L“工

(2)如圖所示：

??,QM〃DF,??.NODB=/QMB,分以下兩種情況：

①當(dāng)NDOB=NMBQ=9()。時(shí),△DOB^AMBQjl］器=博=；=；,

Uo8Q42

???ZMBQ=90°.AZMBP+ZPBQ=90°.

ZMPB=ZBPQ=90°,.\NMBP+NBMP=90。，

???NBMP=NPBQ,，