2026屆高三微專(zhuān)題12.3離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征

■必背知識(shí)

1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念

(1)隨機(jī)變量：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間C中的每個(gè)樣本點(diǎn)3都有唯一的實(shí)數(shù)X(3)與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X為

隨機(jī)變量.用大寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量，如X,y,Z；用小寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量的取值，如％y,z.

(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量.

注：離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)

表示的.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為.，上,…,X…我們稱(chēng)x取每一個(gè)值項(xiàng)的概率P(X=勺)=pifi=1,2,3/

??，九為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列.

與函數(shù)的表示方法類(lèi)似，離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用表格表示：

X???xk

pPiP,???PK???Pn

3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

⑴Pi>0,i=1,2,3,—

⑵P：+P2+…+Pn=L

注意：①列出隨機(jī)變量的所有可能取值；②求出隨機(jī)變量的每一個(gè)值發(fā)生的概率.

4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

⑴離散型隨機(jī)變量的均值的概念

一般地，若崗散型隨機(jī)變量X的概率分布為：

X??????

XlX2Xk

PPlP2???Pk???Pn

則稱(chēng)E(X)=x1P1+x2p2+.??+xnpn=Ek［為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望.

⑵離散型隨機(jī)變量的方差的概念

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：

X??????

%2Xk

pPlP2???Pk???Pn

則稱(chēng)D(X)=(%i-以乂))20+???+&-E(X))2p[+???+(x“一E(X)『pn=理]?-E(X))2pi

為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X).稱(chēng)o(X)=J函為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

【重要結(jié)論】

1.隨機(jī)變量的線性關(guān)系

若X是隨機(jī)變量，丫=。萬(wàn)+匕,4匕是常數(shù)，則丫也是隨機(jī)變量.

2.分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用

(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.

(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.

3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常用性質(zhì)

⑴E(k)=k,D(k)=0,其中A為常數(shù);

⑵E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),Q,匕為常數(shù)，X是隨機(jī)變量；

⑶E(Xi+X2)=E(XJ+E(X2);

⑷D(X)=E(X2)-(E(X))2；

⑸若Xi，X2相互獨(dú)立，則E(X1?>2)=E(Xi)?E(X2)；

1.【人教A選擇性必修三P60練習(xí)T3】設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量f去描述1次試驗(yàn)的

成功次數(shù)，貝如6=0)等于()

A.0B.111C.2D.

2.【人教A版選擇性必修三P71習(xí)題7.3T3］若X是離散型隨機(jī)變量，P(X=勺)=/(X=打)='又已

知E(X)=：,O(X)=:,則⑶一句的值為()

A.7B.1C.2D.\

93

考點(diǎn)歸納

考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

【典例精講】

例L(2025?河北省?期末考試)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=n)=^^j(n=1,2,3,4),其中Q是常數(shù)，則P(；<

^<|)=()

A?葛B(yǎng).需C.-D.|

例2.(2025?河北省衡水市?月考試卷)(多選)設(shè)隨機(jī)變量f的分布列為P?=§=ak,(k=1,234,5),則()

A.15a=1B.P(0.4<f<0.8)=0.2

C.P(0.1<f<0,6)=0.2D.=1)=0.3

【方法儲(chǔ)備】

離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用：

(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.

(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概生之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

【拓展提升】

練1-1(2025?黑龍江省綏化市期末)(多選)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P(X=k)=/^(k=1,234,5),則P(X>

4)=()

A上B—c—9—

,35,25-25,35

練1-2(2025?江蘇省蘇州市月考)一校園公用電話在某時(shí)刻恰有k(kGN)個(gè)學(xué)生正在使用或等待使用該電話

cn<Zr<,4

(〃+l)(〃+2)，U-K<，，其中c為常數(shù)，則在該時(shí)刻沒(méi)有學(xué)生正在使用或

{0,k>4

等待使用該電話的概率為()

15廠3「7

AA-2BD-8C-4D-8

考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變■的數(shù)字特征

例3.(2025?河南省?期末考試)已知隨機(jī)變量X的概率分布如表所示，且E(X)=也則m=()

X123

1

Pnm

3

例4.(2025?江蘇省南京市?模擬題)不透明口袋中有幾個(gè)相同的黑色小球和紅色.白色.藍(lán)色的小球各1個(gè)，從中

任取4個(gè)小球，《表示當(dāng)九=2時(shí)取出黑球的數(shù)目，〃表示當(dāng)九=3時(shí)取出黑球的數(shù)目，則卜.列結(jié)論中成立的是()

A.E(f)<E(〃),D(f)<。⑺B.E⑹>E(〃),D(f)<。⑺

C.E(f)VES),D(f)>。⑺D.F(O>>D⑺

例5.(2025?湖北省黃石市月考)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，一局比賽中，先射擊的一方最多可射擊3次，

旦未擊中目標(biāo)即停止,然后換另一方射擊,一旦未擊中Fl標(biāo)或兩方射擊總次數(shù)達(dá)S次均停止.本局比賽結(jié)束.

得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得-1分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6,

乙贏機(jī)器人的概率為05求：

（1）在一輪比賽中，甲的得分X的分布歹U.

（2）在兩輪比賽中，甲的得分V的分布列.

（3）y的均值和方差.

練2-3（2025?山東省濟(jì)南市月考）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于今年在我國(guó)成都舉行.某體校田徑隊(duì)正

在積極備戰(zhàn)，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個(gè)項(xiàng)目，需要先手依次完成考核，成績(jī)合格后的枳分分別

記為Pi，P2和P3（Pi＞。，i=L2,3）,總成績(jī)?yōu)槔塾?jì)積分和.考核規(guī)定：項(xiàng)目考核逐級(jí)進(jìn)階，即選手只有

在低一級(jí)里程項(xiàng)目考核合格后，才能進(jìn)行下一級(jí)較高里程項(xiàng)目的考核，否則考核終止.對(duì)于100米和400米項(xiàng)

目，每個(gè)項(xiàng)目選手必須考核2次，且全部達(dá)標(biāo)才算合格；對(duì)于1500米項(xiàng)目，選手必須考核3次，但只要達(dá)標(biāo)2次

及以上就算合格.已知選手甲三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為2，p5,選手乙三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為&2,

每次考核是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立.

（1）用f表示選手甲考核積分的總成績(jī)，求打勺分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：無(wú)論P(yáng)i，P2和P3取何值，選手甲考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望值都大于選手乙考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)

期望值.

考點(diǎn)三方案與決策問(wèn)題

【典例精講】

例6.（2025?廣東省湛江市模擬）有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者，這兩家公司的聘用信息如表所示.

甲公司乙公司

職位ABCD職位ABCD

月薪/千元5678月薪/千元46810

獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1

(1)若一人去應(yīng)聘甲公司的C職位，另一人去應(yīng)聘乙公司的C職位,記這兩人被錄用的人數(shù)和為心求〃的分布列.

(2)若小方和小芳分別被甲、乙兩家公司錄用，求小方月薪高于小芳月薪的概率.

(3)根據(jù)甲、乙兩家公司的聘用信息，如果你是求職者，你會(huì)選擇哪一家公司？說(shuō)明理由.

例7.(2025?江蘇省?月考試卷)某品牌布娃娃做促銷(xiāo)活動(dòng)：已知有50個(gè)布娃娃，其中一些布娃娃里面有獎(jiǎng)品，

參與者可以先在50個(gè)布娃娃中購(gòu)買(mǎi)5個(gè)，看完5個(gè)布娃娃里面的結(jié)果再?zèng)Q定是否將剩下的布娃娃全部購(gòu)買(mǎi)，設(shè)

每個(gè)布娃娃有獎(jiǎng)品的概率為p(0<p<1)，且各個(gè)布娃娃是否有獎(jiǎng)品相互獨(dú)立.

(1)記5個(gè)布娃娃中有1個(gè)有獎(jiǎng)品的概率為/Xp),當(dāng)口=「。時(shí)，/(p)取得最大值，

求Po；

(2)假如這5個(gè)布娃娃中恰有1個(gè)有獎(jiǎng)品，以上問(wèn)中的po作為p的值.已知每次購(gòu)買(mǎi)布娃娃需要2元，若有中獎(jiǎng)，

則中獎(jiǎng)?wù)呙看慰傻锚?jiǎng)金15元.以最終獎(jiǎng)金的期望作為決策依據(jù)，判斷是否該買(mǎi)下剩下所有的45個(gè)布娃娃；

(3)若已知50個(gè)布娃娃中有10個(gè)布娃娃有獎(jiǎng)品，從這堆布娃娃中任意購(gòu)買(mǎi)5個(gè)，若抽到k個(gè)有獎(jiǎng)品的布娃娃可

能性最大，求〃的值.(%為正整數(shù))

【方法儲(chǔ)備】

隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般

先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.

⑴當(dāng)期望不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值水平可見(jiàn)分歧,可對(duì)問(wèn)題作巴判斷.

⑵若兩個(gè)隨機(jī)變量期望相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程

度，進(jìn)而進(jìn)行決策.

⑶實(shí)際應(yīng)用中是方差(期望)大了好還是小了好,要根據(jù)這組數(shù)據(jù)反應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題來(lái)判斷.

【拓展提升】

練3T.(2025?廣東省茂名市?模擬題)甲、乙兩人組隊(duì)準(zhǔn)備參加一項(xiàng)挑戰(zhàn)比賽，該挑戰(zhàn)比賽共分"Se/V\n>2)

關(guān)，規(guī)則如下：首先某隊(duì)員先上場(chǎng)從第一關(guān)開(kāi)始挑戰(zhàn)，若挑戰(zhàn)成功，則該隊(duì)員繼續(xù)挑戰(zhàn)下一關(guān)，否則該隊(duì)員

被淘汰，并由第二名隊(duì)員接力，從上一名隊(duì)員失敗的關(guān)卡開(kāi)始繼續(xù)挑戰(zhàn)，當(dāng)兩名隊(duì)員均被淘汰或者幾關(guān)都挑

戰(zhàn)成功，挑戰(zhàn)比賽結(jié)束.若甲每?關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為p(0<pVI),乙每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為q(0V

q<l),且甲、乙兩人每關(guān)挑戰(zhàn)成功與否互不影響，每關(guān)成功與否也互不影響.

⑴已知甲先上場(chǎng)，P=,，g=n=2,

①求挑戰(zhàn)沒(méi)有一關(guān)成功的概率；

②設(shè)X為挑戰(zhàn)比賽結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)，求E(X)；

(2)如果九關(guān)都挑戰(zhàn)成功，那么比賽挑戰(zhàn)成功.試判斷甲先出場(chǎng)與乙先出場(chǎng)比賽挑戰(zhàn)成功的概率是否相同，并

說(shuō)明理由.

練3-2(2025?浙江省溫州市期末)某景區(qū)有?個(gè)自愿消費(fèi)的項(xiàng)目，在某特色景點(diǎn)入口處，工作人員會(huì)為每

位游客拍一張與景點(diǎn)的合影，參觀后，在景點(diǎn)出口處會(huì)將剛拍下的照片打印出來(lái)，游客可自由選擇是否帶走

照片.若帶走照片則需支付20元，沒(méi)有被帶走的照片會(huì)收集起來(lái)統(tǒng)一銷(xiāo)毀.該項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間后，統(tǒng)計(jì)出平

均只有三成的游客會(huì)選擇帶走照片.為改善運(yùn)營(yíng)狀況，該項(xiàng)目組就照片收費(fèi)與游客消費(fèi)意愿的關(guān)系做了市場(chǎng)調(diào)

研，發(fā)現(xiàn)價(jià)格與消費(fèi)意愿有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.統(tǒng)計(jì)出在原有的基礎(chǔ)上，價(jià)格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片

的概率平均增加0.05.假設(shè)平均每天約有5000人參觀該特色景點(diǎn)，每張照片的綜合成本為5元，每個(gè)游客是否

選擇帶走照片相互獨(dú)立.

(1)若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多還是少？

(2)要使每天的平均利潤(rùn)達(dá)到最大值，應(yīng)如何定價(jià)？

練3-3(2025?河北省石家莊市模擬)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有力，B兩類(lèi)問(wèn)題，每位參加比賽

的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤，則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正

確，則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.4類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)

問(wèn)題回答正確得m(OVm工100,m6N)分，否則得0分；8類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得九(0</三

lOQnWN)分，否則得0分.已知學(xué)生甲能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為pi，能正確回答8類(lèi)問(wèn)題的概率為pz，

且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若學(xué)生中先回答4類(lèi)問(wèn)題，m=20,九=80,Pi=0.8,p2=0.6,記X為學(xué)生甲的累計(jì)得分，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

(2)從下面的兩組條件中選擇一-組作為已知條件.學(xué)生甲應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題，使得累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最

大？并證明你的結(jié)論.①m=P1>P2：②P1=P2，m>n.

考在四離散型隨機(jī)變■概率m分布列的綜合應(yīng)用

【典例精講】

例&(2025?湖南省?聯(lián)考題)甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各有幾(n22)個(gè)材質(zhì)、大小相同的小球，甲袋中的小球分

別編號(hào)為1,2,n,乙袋中的小球分別編號(hào)為n+1,n+2,…,2幾從甲袋中任取兩個(gè)小球,編號(hào)記為“

b(a<b),從乙袋中任取兩個(gè)小球，編號(hào)記為c,d(cvd).

(【)若"=5,設(shè)X=b—Q,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(11)設(shè)丫=?！猀,Z=d—b,事件“Y=Z”發(fā)生的概率記為匕.

(i)用含n的組合數(shù)表示匕；

(ii)證明：當(dāng)nN3時(shí),^<Pn<^.

附：I2+224-32+-4-n2=n(n+1^(2n+1).

例9.(2025?四川省成都市?模擬題)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，在人工智能、自然語(yǔ)言處理、金

融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，X1,Xf,X”

那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)兒,即P(兒+1]...,4_2，4_1，兒)=P(4+1]4).己

知甲盒子中裝有2個(gè)黃球和1個(gè)黑球，乙盒子中裝有1個(gè)黃球和2個(gè)黑球(6個(gè)球的大小形狀完全相同).記操作T：

從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中.在重復(fù)九次T操作后，記甲盒子中黃球個(gè)數(shù)為小，恰

有3個(gè)黃球的概率為力，恰有2個(gè)黃球的概率為盤(pán)，并記X”的數(shù)學(xué)期望為E(X。.

(1)求A，Qi；

(2)求E(X2);

(3)證明：｛E(Xn)-|｝是等比數(shù)列.

【方法儲(chǔ)備】

離散型隨機(jī)變量概率與分布列的綜合應(yīng)用是?？碱}目，解題時(shí)對(duì)應(yīng)問(wèn)題應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)，注意此部分可能與其它

模塊內(nèi)容的聯(lián)系.

【拓展提升】

練4T.(2025?福建省?期末考試)一疫苗生產(chǎn)單位通過(guò)驗(yàn)血方法檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況,需要檢驗(yàn)血液是否

有抗體，現(xiàn)有幾(7i￡/r)份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：(1)逐份檢驗(yàn)，則

需要檢驗(yàn)n次；(2)混合檢驗(yàn)，將其中k(kEN?且kN2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果無(wú)

抗體，則這A份的血液全無(wú)抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了，若檢驗(yàn)結(jié)果有抗體，為了明確這

k份血液究竟哪幾份有抗體就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)總次數(shù)為々+1次，假設(shè)在接受檢

驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果有無(wú)抗體都是相互獨(dú)立的，且每份樣本有抗體的概率均為p(0<p<l).

(1)假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把有

抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；

(2)現(xiàn)取其中k(kEN?旦kN2)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為采用混合檢

驗(yàn)方式樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為七.若E(G)=E(3)，求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式p=/(〃)，并證明pv1_e】.

練4-2.(2025?湖北省?期末考試)

甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則如下：(一)每局勝者得1分，負(fù)者得。分;(二)若比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分

或兩人得分之和達(dá)到6分時(shí)停止比賽.設(shè)甲在每局中獲勝的概率均為VpV1),第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止

的概率為常且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.

O

⑴求p;

(2)記X表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑶若不限定局?jǐn)?shù)(即刪去兩人得分之和達(dá)到6分時(shí)停止比賽這一條件)，設(shè)a葡為比賽進(jìn)行九局后仍未停止比賽的

概率，求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式.

新題放送

1.(2025?湖北省鄂州市?模擬題)一個(gè)被染滿顏料的螞蚱從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始跳動(dòng)，每次跳躍有等可能的概率向

左或向右跳動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，螞蚱所在的點(diǎn)會(huì)留下顏色.則螞蚱跳動(dòng)4次后染上顏色的點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)X的期望

E(X)=.

2.(2025?福建省模擬)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X(X為正整數(shù))滿足：對(duì)于任意

的幾EN*,X=?i+1的樣本在X〉幾的樣本里的數(shù)量占比與X=1的樣本在全體樣本中的數(shù)量與比相同，且

均等于《，即尸(X=n+1|X>n)=P(X=1)=；,貝iJP(X=n)=.

3..<2025?廣西壯族自治區(qū)柳州市?模擬題)

不透明的口袋中裝有編號(hào)分別為1，2,…，九5'2"WN*)的幾個(gè)小球，小球除編號(hào)外完全相司.現(xiàn)從中有

放回地任取r次，每次取1個(gè)球，記取出的廠個(gè)球的最大編號(hào)為隨機(jī)變量X,則稱(chēng)X服從參數(shù)為出廠的“8M”

分布，記為X?BM(n,r).

(1)若X?8M(2,2),求P(X=2)；

(2)若X?且E(X)之千，求相的最小值；

(3)若X?8”(八,八)，求證：V>2.^.ne/V*,F(X)>n-l.

【答案解析】

1.【人教A選擇性必修三P60練習(xí)T3】

解：設(shè)P(《=l)=p,則P(《=o)=l-p.

依題意知，p=2(l-p),解得p=故p(《=0)=1-p=/.

故選從

2.1人教A版選擇性必修三P71習(xí)題7.3T3]

解：因?yàn)镻(X=%1)+P(X=%2)=[+[=1，故隨機(jī)變量X的值只能為%1，%2,

(2

/]+./12=Q4=1

1hI22,解得

12,所以%-不|=1.

匕卜1-3)+式“2-§)=9

故選：B.

例1.解：???P(X=n)="12)(九=1234),

aaaa.

.?//西+五=1,

30

???Q=F'

VP(Z12<X<25\)=/5(X=1)、+P(,X=2)=3107X(31+81)=6585-

例2.解：選項(xiàng)A,由己知可得，a+2a+3a+4a+5a=1,即15a=1,故該選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)B,尸(0.4VfV0.8)=P延=0.6)=3Q=卷=0.2,故該選項(xiàng)正確；

JL。

選項(xiàng)C,P(0,1<f<0.6)=P(f=0.2)+P(f=0.4)=P(f=|)+P(f=|)=-^+^=0.2,故該選項(xiàng)正確;

選項(xiàng)。，P?=l)=^x5=1^0.3,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

練1-1.解：P(X=k)==(2>_i)(2k+i)=-iTPT〉

5

???￡P(guān)(X=k)=l,

k=l

故選：A.

練1-2.解：,?,E2=oP(Z)+0=q+：+/+?=l(k€N),c=J,即P(0)=；xc=，.

4OA./UiLaO

故選:B.

例3解：由分布列的性質(zhì)可得，n+m+1=1,所以九+m=

又因?yàn)镋(X)=2，所以E(X)=〃+2m+3x.=P，即n+2m=搟,

OOOO

21

n+m=-m=-

聯(lián)立《*3，解得，b

,r51

n+2m=-6n=2

所以m="

o

故選:B.

例4.解：當(dāng)幾=2時(shí)，f的可能取值為1,2,

P(f=l)=萼4P(一)=等4,

55

2389243

X+2X=⑹X+X

一

一-^-

因此E(f)=55555

252525

當(dāng)幾=3時(shí)，〃的可能取值為1,2,3,

PS=1)=警=/PS=2)=誓=1,P(〃=3)=警=p

因此E(〃)=lx1+2x14-3xl=2,。⑺=lxi+Ox|+lx|=1,

所以E⑹VES),。⑹VD<).

故選：A.

111

X

----?

例5.解：(1)甲、乙各得0分的概率尸。326，

甲、乙各得1分的概率A=卜**：=3；

5SLLlo

甲、乙各得2分的概率P2"x,x：x：x：=S

?5OO乙乙乙/

故兩人得分相同的概率為Po+Pl+P2=務(wù)

(2)由題意知X的所有可能取值分別為0,1,2,3,4,

因?yàn)榧鬃疃嗌鋼?次，所以X=0表示乙第一次射擊就未擊中目標(biāo)，其概率與甲的得分無(wú)關(guān),

故P(X=0)=1x1=|,同理P(X=l)=lx|x|=i,

X=2時(shí)，考慮甲射擊3次和少于3次兩種情況，

P(X=2)Vx；x"C)3(；4x；)x(；)Zx；=/

同理P。=3)=如#(，+*(，＞?方P(X=4)=gx0'=q

X的分布列為：

X01234

p111371

247214448

7.±1￡1

?、橐?十+36十48十12=-144.

2

練2-1.解：P(6=2)=為邑-=—=J=Cm+n+4=36,所以m+九+4=9,

Cm+n+4Gn+n+4b

取出的兩個(gè)球一紅一黃的概率：P=?Cm=復(fù)=￡=；,...^=3,所以幾=2,則771-71=1.

*+n+43693

由于P(f=2).P(f=D=警=黑JP(f=O)=g=H=得

U□JUzC#QJUJL。

^(O=ix2+|xl+Ax0=l+f=f.

故空1答案為：1；空2答案為:5.

練2-2.解：(1)X的可能取值為-1,0,1,根據(jù)記分規(guī)則，

得P(X=-1)=(1-0.6)x0.5=0.2,

P(X=0)=0.6x(1-0.5)+(1-0.6)x0.5=0.5,

P(X=1)=0.6x0.5=0.3.

所以X的分布列為：

X-101

P【).20.50.3

(2)丫的可能取值為-2,-1,0,1,2,由于兩輪比賽的結(jié)果是獨(dú)立的,

所以P(y=-2)=0.2x0.2=0.04,

P(Y=-1)=0.2x0.5+0.5x0.2=0.2,

p(y=0)=2x0.2x0.3+0.5x0,5=0.37,

P(y=1)=2x0.3x0.5=0.3,

P(y=2)=0.3x0.3=0.09,

所以y的分布列為：

Y-2-1012

p0.040.20.370.30.09

(3)￡(V)=(-2)X0.04+(-1)x0.2+0x0.37+1x0.3+2x0.09=0.2,

D(y)=(-2)2x0.04+(-1)2x0.2+02x0.374-l2x0.3+22x0.09-0.22=0.98.

練2-3.解：(1)選手甲考核積分的總成績(jī)t的所有可能取值為0,%,P1+P2,P1+P2+P3.

P(f=0)=l-(1)2=￡=%)=(1)2x[1-(1)2]=,

431217

=Pl+P2)-(耳)2X(4)2X[q)34-C3x-X(2)2]=方

P(f=Pl+P2+P3)=(款X弓)2X[Clx(獷X|+(|)3]=去

所以f的分布列為

0PiPi+P2Pl+P2+P3

9774

P

25257515

所以數(shù)學(xué)期期E(f)=0x,+Pix《+(Pi+火)(Pi+P2+P3)xA=Pi+晟P2+AP3-

(2)證明：記選手乙考核積分的總成績(jī)?yōu)镚，

則&所有可能的取值為0,Pi?P1+P2，Pl+P2+P3-

P(4=。)=1-?2=晟，P&=PD=?2x[1一(1]=

P?=P1+P2)=()2X(1)2X傷)3+盤(pán)X'X@)2]=

P(6=Pl+P2+P3)=()2X(1)2X\ClX弓/X；+停尸]=備

所以fl的分布列為

0PiPl+P2Pl+P2+P3

939527

P

25100128128

所以數(shù)學(xué)期望E6)=0X費(fèi)+P1X篇+(pl+P2)X言+(pl+P2+p3)X磊=￡pi+；P2+得P3?

所以E(f)-￡?1)=裊1+蓊2+33一碟Pl+\vz+磊P3)=蓋P2+提P3>0,

所以E(f)>E(A),即無(wú)論P(yáng)i，P2和P3取何值，選手甲考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望都大于選于乙考核積分總

成績(jī)的數(shù)學(xué)期望.

例6.解：(1)??=0,1,2,

則pg=0)=以O(shè)S=0.64,p(rj=1)=?0.2X0.8=0.32,p["=2)=C^0.22=0.04,

所以〃的分布列為

012

P0.640.320.04

小方月薪高于小芳月薪的概率：P=0.4x0.4+0.3x0.4+0.2x(0.4+0.3)+0.1x(0.4+0.3)=0.49

(3)入職甲公司，月薪的期望為E(X)=0.4x54-0.3x6+0.2x7+0.1x8=6,

方差D(X)=0.4x(5-6)2+0.3x(6-6)2+0.2x(7-6)2+0.1x(8-6)2=1,

入職乙公司，月薪的期望為E(y)=0.4x4+0.3x6+0.2x8+0.1x10=6,

方差。(X)=0.4X(4-6)2+0.3X(6-6)2+0.2X(8-6)2+0.1X(10-6)2=4,

乙公司月薪高于甲公司的概率為P=0.3X0.4+0.2X(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,

即E(X)=E(Y),D(X)<D(y),即兩家公司月薪的期望相同，但平公司月薪的波動(dòng)性小，乙公司的月薪波動(dòng)

性更大，且甲公司月薪高于乙公司的月薪概率更大，故選甲公司.

例7.解：(1)由題意可得/(p)=C》(l-p)4,

f'(p)=C9[(l-p)4-4p(l-p[3]=cg(l-p)3(l-5p),

令r(p)=。得p=

當(dāng)pe(0,3時(shí)，/'(p)>0；

?

當(dāng)PE號(hào),1)時(shí)，f(p)<0,

f(p)的最大值點(diǎn)為p=Po="

因此當(dāng)p=Po=上時(shí)，/(p)取最大值.

(2)由(1)可知po=

設(shè)剩下45個(gè)布娃娃中有y個(gè)獎(jiǎng)品，獲利為X元，

則丫~8(45w),

XX=157-90.

因此E(X)=E(15Y-90)=15E(y)-90=15x45x1-90=45>0,

因此該買(mǎi)下剩下所有的45個(gè)布娃娃.

(3)設(shè)抽到Z個(gè)有獎(jiǎng)品的布娃娃的可能性為p(￡),

則/)=啥，根據(jù)題意可得｛；猾;;

(10-k)(5-k)&(k+1)[36+k)

化簡(jiǎn)得々(35+6<(11-卜)(6-k)

解得看小三弟從而k=1.

練3-1.解：(1)①記甲先上場(chǎng)且挑戰(zhàn)沒(méi)有一關(guān)成功的概率為P,

則「=

②依題可知，X的可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=；;

P(X=l)=p(l-p)(l-q)+(l-p)(7(l-Q)=|xlx(l-1)+ixlx(l-i)=A,

1，7

P(X=2)=l-5--=-,

所以E(X)=0xl+lx-+2x^=i|；

(2)設(shè)甲先出場(chǎng)比賽挑戰(zhàn)成功的概率為P],乙先出場(chǎng)比賽挑戰(zhàn)成功的概率為P2，

則P：=p71+pn-1(1-p)q+pn-2(l-p)q2+…+(1-p)qn

=(pn+pnTq+pn~2q2+…+q71)-(_pnq+pn-1q2+pn~2q3+…+pqn)；

nn-1n22

P2=q+Q(l—q)p+q~(l-q)p+???+(1-q)p"

=(qn+qn-1p+qn~2p2H---Fpn)-(q"p+Qn-1p2+qn~2p3+…+qp");

由p"+p"Tq+pn-2q2+...4-Qn=q"+Qn-1p+qn~2p2+…+pn,

pnq+prt-1q2+pn~2q'3H---Fpq"=qnp+qn~yp2+qn~2p'3H---Fqpn,

得P：=P2，

則甲先出場(chǎng)與乙先出場(chǎng)比賽挑戰(zhàn)成功的概率相同.

練3-2.解：(1)當(dāng)收費(fèi)為20元時(shí)，照片被帶走的概率為0.3,不被帶走的概率為07設(shè)每個(gè)游客的利潤(rùn)為匕元,

則X是隨機(jī)變量，其分布列為：

Yi15-5

P0.30.7

E(K)=15x0.3-5x0.7=1阮),故5000個(gè)游客的平均利潤(rùn)為5000元,

當(dāng)收費(fèi)為10元時(shí)，照片被帶走的概率為0.3+0.05X10=0.8,不被帶走的概率為0.2,

設(shè)每個(gè)游客的利潤(rùn)為七元，則為是隨機(jī)變星，其分布列為：

彩5-5

P0.80.2

E(Y2)=5x0.8-5x0.2=3(元)，故5000個(gè)游客的平均利潤(rùn)為5000x3=15000(元),

該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多10000元；

(2)設(shè)降價(jià)工元，則OWxV15,照片被帶走的概率為0.3+0.05%,不被帶走的概率為0.7-0.05》,

設(shè)每個(gè)游客的利潤(rùn)為丫元，則V是隨機(jī)變量，其分布列為：

Y15—%-5

P0.3+0.05x0.7—0.05%

E(K)=(15-x)(0.3+0.05x)-5(0.7-0.05x)=0.05[69-<%-7)2],

當(dāng)％=7時(shí),E(y)有最大值3.45元,

當(dāng)定價(jià)為13元時(shí)，口平均利潤(rùn)的最大值為5000x3.45=17250(元).

練3-3.解:(1)由題意得X的可能取值為0,20,100.

P(X=0)=0.2,P(X=20)=0.8x0.4=0.32,P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

分布列如下表：

X020100

P0.20.320.48

則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

(2)如果選擇條件①.

若甲同學(xué)選擇先回答4類(lèi)問(wèn)題，得到對(duì)應(yīng)的分布列為

X】0m2m

P1-PiPl(l-P2)P1P2

E(XD=mpi(l+p2).

若甲同學(xué)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，得到對(duì)應(yīng)的分布列為

x?0n2n

P1一P2P2(l-Pi)P1P2

E(X?)=即2(1+pi).

E(XJ-F(XZ)=mpi(l+p2)-np2(l+p?=m(px-p2)>0,

所以甲同學(xué)先回答人類(lèi)問(wèn)題的期望大.

如果選擇條件②.

若甲同學(xué)選擇先回答人類(lèi)問(wèn)題，得到對(duì)應(yīng)的分布列為

X30mm+n

P1—PiP1(1-P2)P1P2

￡(>3)=Pi(m+np2).

若甲同學(xué)選擇先回答8類(lèi)問(wèn)題，得到對(duì)應(yīng)的分布列為

X40nm+n

P1一P2P2（1-P1）P1P2

n

￡(局)=p2(+mPi)，EC%)-F(X4)=(m-n)pr>0,

所以甲同學(xué)先回答A類(lèi)問(wèn)題的期望大.

例8.解：(1)由題意得：設(shè)“甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)”為事件兒

比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲的比賽成績(jī)達(dá)到9.50以上的有：9.80,9.70.9.55,9.54四個(gè)，

所以，甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(4)=0.4,

(2)X所有可能取值為0,1,2,3.

甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(力)=0.4.

乙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件8,則尸(B)=0.5.

丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件C,則P(C)=0.5.

P(X=0)=0.6x0.5x0.5=0.15,

P(X=1)=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.4,

P(X=2)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35,

R(X=3)=0.4x0.5x0.5=0.1,

則E(X)=0x0.15+1x0.4+2x0.35+3x0.1=1.4;

(3)丙獲得冠軍的概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī)比賽一次，丙獲得9.85的概率為%甲獲得9.80的概率為擊,

乙獲得9.78的概率為：，并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.

O

例9.解：(1)由題目有：

DC；C；1c或c\c\c14

(2)由題目定義:假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，X—，兒一1，兒，4+1，

那么治+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)兒，

即P(4+i|...,X”2，XS1，XJ=P(X,+1]XJ

記重復(fù)n次7?操作后，甲盒子中恰有1個(gè)黃球的概率為降，

易得&=*福=/

X2的所有可能得取值為3,2,1,0,

且尸%=3)=P2=P10+Q](4一昌)+&.0=言,

「301

P/=2)=Q2=P…+Q「箸赳$奧+&.*機(jī)喑,

P(￡z=i)=&=P「o+Q「gS+R「(l，5=||，

P(Xz=0)=P】?()+Qi?0+%.日尋=4,

所以X2的分布列為:

X?3210

441324

p

81818181

3x4+2x41+1x32+0x414

E(Xz)=81V

(3)證明：記重復(fù)幾次r操作后，甲盒子中恰有1個(gè)黃球的概率為尤

G1

o+a+RO

n=9-

711G44

%1+6-+-+=8+-+-

Qn033/?n9Qn9/?n

221221

Rn+l=%,0+Qn?(W,W)+Rn?(W,W+W,W)+(1-4-Qn-Rn)-1

二1一吊_1^n?

18RKK21

3&+1+2Qn+l+Rn+1=§Qn+24+§Qn+§&t+1-B-§Qn-§%=&+§Qn+§Rm+L

即E(X豌+i)=jf(Xn)+1=E(Xn+1)-1=|叩(XQ-|],

首項(xiàng)是E(X1)-R3P1+2Q1+R1-R95/

因此｛E(X〃)-小是公比為;等比數(shù)列，故得證.

練4-1.解：(1)設(shè)恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)?zāi)馨延锌贵w血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件4

所以P(A)=膽警殂=擊

所以恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率為得.

(2)由已知得E(&)=匕

基的所有可能取值為1，k+1.

所以P&2=1)=(1-p)"，P&2=k+1)=1-(1-p)k,

所以E(&)=(1-P)"+(k+1)[1-(1-P)k]=k+l-k(l-p)k,

若E&1)=F(G),則憶=k+1—A(1-p)k,

所以R(l-P)k=1,(1-P)k=p

所以1-P=即p=1-(J”,

1

所以p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為p=f(k)=1-(k>2且keN)

i

證明：令￡=@丫(攵工2且攵€/7)

所以Int=|lni=-哈

令9(%)=一竽(％?2),gZ(x)=掾L

所以g'Q)=0得x=e,

所以0W(2,e),“(%)V0,g(x)單調(diào)遞減，

xe(e,4-oo),g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(%)min=g(e)=-：，所以乎之一也

因?yàn)閗>2且keN\

所以半>即9n卜

kekke

所以e》年〉el,即Cy>e4,

i]

所以p=l-G)”<l-e=.

練4-2.解：(1)第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為今

O

則/+(1-p)2=]整理得：16P2-16p+3=0,

o

解得：V=[或P=；，

因?yàn)閜<1,所以P=1:

(2)X的可能取值為2,4,6,

P(X=2)=p2+(1-p)2=G)’+Q)?=I，

22

P(X=4)=2X1X1X[(1)+(1)]=|X|=||,

P(X=6)=G)2=A，

則x的分布列為:

r6

||864|64|

數(shù)學(xué)期望：E(X)=2x|+4xi1+6x^=^；

(3)由題可得Qi=1,Q3=。2=2XXX彳=E，

當(dāng)九為奇數(shù)5二3)時(shí)，第5-1)局沒(méi)有停，甲乙得分均為號(hào)分，則Qn=Qn-l，

當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，an+2=2x^x^