2026屆湖南省邵陽(yáng)市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模擬檢測(cè)試卷（一）

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.[5分]已知集合4={xwN|（.”l）（x—3）?0},8={x|—3CW3},則4n3=（）

A.0B.[1，3]C.{1,3}D.{1,2,3}

[5分]復(fù)數(shù)2=芋

2.（i是虛數(shù)單位），則囪=（）

A.1B.石C.2D.E

2-xa,v<I2

3.[5分]已知函數(shù)/（》）=<一，則/（一）的值為（）

]x~+2x-2,x>1J⑷

A71C.5D.17

B.6

369

4.[5分]函數(shù)/（x）=Jln（l-x）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-8,0]B.(5)C.[0,1)D.[0,+x)

(乃乃、

5.[5分]已知a>0,,且eXFsinj，=e'sinx,則()

k44J

A.sinv<sinyB.sinxNsiny

C.cosx<cosyD.coSeV>co”

6.[5分]已知函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足H1-x）=H1+x).若/(1)=2,則

八1)+/⑵+/(3)+…+/(50)等于()

A.-50B.50C.-2D.2

7.[5分]甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球.先從甲箱中等可能地取出2個(gè)

球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲械瓤赡艿厝〕?個(gè)球，記事件“從甲箱中取出的球恰有，?個(gè)紅球”為4B=0,L2）,

“從乙箱中取出的球是黑球”為6,則（）

A.P（4）=；B.0（⑷4）=4C.P（B）=WD.尸（4|8）=:

3OV8

8.[5分]已知正方形力8。。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為邊月8的中點(diǎn)，點(diǎn)b為邊的中點(diǎn)，將

“EDQQCF/BEF分別沿DE,DF,EF折起，使4B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-尸的外接球與

內(nèi)切球的表面積之比為（）

A.6B.12C.24D.3（）

一、多選題（本大題共3小題，共15分）

9.[5分]如圖，在RtZXABC中，乙4cB=90。，C0_L/18于點(diǎn)D,下列結(jié)論中正確的是（）

B.CD2=ADBD

D.BC2=AD-AB

第1頁(yè)，共14頁(yè)

10.[5分]若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y=l,則下列說(shuō)法正確的是（）

I14

A.k有最大值為3B.一+一有最小值為6+4及

8xy

C.4/+），2有最小值為gD.x（?+I）有最大值為g

11.[5分]如圖，在正四棱柱488-44GA中，底面正方形R8C。邊長(zhǎng)為6，力4=3,時(shí)為線(xiàn)段

8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法口正確的有（）

A.已知直線(xiàn)/為平面4G。和平面力8CO的交線(xiàn)，則平面力444內(nèi)存在直線(xiàn)與/平行

B.三棱錐M-4G。的體積為定值

c.直線(xiàn)歷q與平面4G。所成角最大時(shí)，|4M：|MC|二I：3

D.|必|+1網(wǎng)的最小值為12+3行

三、填空題（本大題共3小題，共15分）

12.[5分]用1,2,3,12四個(gè)數(shù)組成一個(gè)五位數(shù)（每個(gè)數(shù)僅用到1次），則能組成個(gè)不同的

五位數(shù).

13.[5分]已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=%=1，且4+2=俚新，該數(shù)列前20項(xiàng)和S?o=_______.

q+l,〃為偶數(shù)

14.[5分]已知函數(shù)/（力=4'-辦2川+/一3,若/（'）的圖象上存在不同的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍為.

四、解答題（本大題共5小題，共80分）

15.[14分]在銳角V48C中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且9-。）⑹114+5m（7）=（0-6）亙113.

（1）求C；

（2）若6=2,求V48c的周氏的取值范圍.

16.[14分]已知止項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為小且滿(mǎn)足%=「7（〃eN?）.

（I）求證：數(shù)列"｝為等差數(shù)列；

（2）令C,=求數(shù)列｛Q｝的前〃項(xiàng)和S..

'/"+I

17.[16分]如圖，在三棱柱ABC-44G中，知，N分別為棱48,8c上的點(diǎn)，滿(mǎn)足8M=24W,

BN=CN,且“Bg與AMVC,的面積之比為3.

第2頁(yè)，共14頁(yè)

小Cl

B

（I）證明：力G”平面4MN；

（2）求點(diǎn)4到平面/18G與到平面MAC的距離之比；

（3）若8c>49,直線(xiàn)48,BC,力刀兩兩相互垂直，求平面48G與平面MNG所成角余弦值的取信范

圍.

18.[18分]DccpScck是由中國(guó)杭州的DccpScck公司開(kāi)發(fā)的人工智能模型，在金融、醫(yī)療健康、智能制

造、教育等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景.為提高DeepSeek的應(yīng)用能力，某公司組織4、8兩部門(mén)的員工

參加DeepSeek培訓(xùn).

（I）已知該公司48部門(mén)分別有3名領(lǐng)導(dǎo)，此次DccpScck培訓(xùn)需要從這6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人

負(fù)責(zé)，假設(shè)每人被抽到的可能性都相同，求全部來(lái)自/!部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)的概率；

（2）此次DccpScck培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為

DDL

每輪培訓(xùn)結(jié)果相互獨(dú)工至少兩輪培訓(xùn)達(dá)至廣優(yōu)秀''的員工才能合格，求每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率.

19.[18分]如圖，圓臺(tái)形水桶內(nèi)裝有少量水，已知水桶的上底面直徑片G=50cm,下底面直徑

8c=40cm,水面直徑夕。=42cm,用，陰，CC；均為圓臺(tái)形水桶的母線(xiàn)，長(zhǎng)度均為50cm.現(xiàn)有?根細(xì)

棒/,其長(zhǎng)度為16Vldcm,將/放入水桶中，且將/的一端置于點(diǎn)6處（水桶厚度、細(xì)棒粗細(xì)均忽略不

計(jì)）.

A

（1）/如何放置時(shí)，浸入水中部分的長(zhǎng)度最小，最小為多少？

（2）若將/的另一端置于母線(xiàn)CG上點(diǎn)“2處，求/浸入水中部分的長(zhǎng)度.

（3）已知力4_L5C,若將/的另一端置于母線(xiàn)44上點(diǎn),玄處，求/浸入水中部分的長(zhǎng)度.

第3頁(yè)，共14頁(yè)

若x<0,><0,則誓〈半，根據(jù)八刈的單調(diào)性，可知-￡<”x<0.

ce4

故比情況下，sinx>siny,cos.ccos幾可排除A選項(xiàng).

綜上，當(dāng)滿(mǎn)足題目條件時(shí)，cosxNcosy恒成立.

故選D

6.【答案】D

【詳解】因?yàn)?(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以/。一幻=一/。-1)且/(0)=0

又因?yàn)槭?1一外=5(1+x),①

所以/(X+I)=-/(x-1),

所以/(x+2)=-/(x),②

所以/(x+4)=-/(x+2),

所以/(x+4)=/(x),③

即/。)的周期為4,

將4=1代入①得:/⑵=/(())=0,

將x=l代入②得：/(3)=-/(0，

又因?yàn)?。)=2,

所以/(3)=—2,

將x=0代入③得：/(4)=/(0)=(),

所以/。)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以/⑴+/(2)+”3)+…+/(50i=12x[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)=12x0+2+0=2,

故選D.

7.【答案】D

r2]C；C「2

【詳解】根據(jù)題意，甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則P(4)=另=7，。(4)

>-*4。

c2i

口4)=占=：，故A不正確；

C46

乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，QljP(8|4)=I='=尸(見(jiàn)4)=工■=：，故

4+264+234+22

B不正確：

1522112

則有尸(8)=尸(/)尸(B|4)+P(4)P(8|4)+P(4)P8?/齊彳，故c不正確；

06533623

則P⑷班播J⑷器14)=亭與故D正確：

3

故選D

8.【答案】C

【詳解】解：如圖，依題意知40_LZ￡,CD1CF

：.PDIPE,PF工PD,

第5頁(yè)，共14頁(yè)

???P￡：nPF=P,：.PD工平面PEF,

又;?EFu平面PEF,:.PDLEF

所以三棱錐尸-。后尸中，尸。,尸￡,0/兩兩垂直，且尸￡=尸產(chǎn)=1/。=2,

所以三楂錐P-DEF的外接球即為以PD,PE、PF為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，

所以三棱錐P-DEF的外接球半徑R滿(mǎn)足2R=J1+1+4=&，則其外接球的表面積為4乃收=.

因?yàn)槿忮FP-DEF的表面積為正方形ABCD的面積S衣=2x2=4,rp_D￡F=Ixlxlx1x2=1,

設(shè)三棱錐P-DEF的內(nèi)切球的半徑為「，

所以山等體積法得gs獷廠=心""，得廠=；，

所以?xún)?nèi)切球的表面積為44/=f

4

絲二24

所乂三棱錐尸-。后尸的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為￡

4

故選C.

9.【答案】ABC

【詳解】在Rt△48c中，Z/1C5=90°,CD上4B于點(diǎn)D,

對(duì)于A,由乙4。。+4=90。=/8+44,得4CZ)=N8,故A正確:

對(duì)于B,由4co=/8,得RtA.4C。?RSC4Q,

貝”空=空，^CD2=ADBD,故B正確；

CDBD

對(duì)于C,由4CO=/8,得RtA4CO~RlZ\/18C,

則空=段，即4C1C=4Zr。。，故C正確；

ABBC

nrj

對(duì)于D,n△8CO~Rt△比IC,則-^=U，即8c°=63/8,故D錯(cuò)誤.

ABBC

故選ABC.

10.【答案】ABC

【詳解】對(duì)于仆因?yàn)?……2際’則號(hào)4,當(dāng)口僅當(dāng)2『，，即卜.時(shí)取等號(hào)'故A

第6頁(yè)，共14頁(yè)

正確，

對(duì)于B,，+3=如乜+衛(wèi)士2=包」第22,呼祀當(dāng)且僅當(dāng)史=上，即

xyxyyx'yxyx

、=與14=2-6■時(shí)取等號(hào)，故B正確，

對(duì)于C因?yàn)轶由稀懂a(chǎn)產(chǎn)，M4x2+/>1,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即x=：,y=；時(shí)取等號(hào)，故C正

確，

「12

對(duì)于D：因?yàn)閤(y+l)=gx2x(y+l)42、+7+1)=L,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y+l,即％=<，J，=0時(shí)取等號(hào)，這與"J均為正實(shí)數(shù)矛盾，故D錯(cuò)誤，

2

故選ABC.

11.【答案】BC

【詳解】選項(xiàng)A,因?yàn)?G〃平面/8CQ,且4Gu平面4￡。，所以平面4Go和平面4BC0的交線(xiàn)

又4a與平面月期4相交，則平面4844內(nèi)不存在直線(xiàn)與4G平行，即平面力期4內(nèi)不存在直線(xiàn)與直線(xiàn)

/平行，所以A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,因?yàn)?C7/AQ,且A|D匚平面4G。，所以4c〃平面4G。，所以點(diǎn)M到平面4CQ的距離為

定值，

而△4G。的面積也為定值，故三棱錐加-4G。的體積為定值，所以B正確：

選項(xiàng)c,記點(diǎn)用到平面4G。的距離為d,由選項(xiàng)B可知，d為定值，記直線(xiàn)MG與平面40。所成角

為。w°；，

d-

則sme=pi^，又正弦函數(shù)在0,f單調(diào)遞增，則。最大時(shí)，sin。最大，即卜懷。取最小值，此時(shí)

MC,1CB,.

在25￡中，忸?|=百，明|=3,四卜屈=2占，所以收卜忸巖界=:!母

3}

所以14*8?.告=百4除|陷?=!明黑=3看再，

所以幽M|:|MC|=*:孚=1:3,所以C正確；

選項(xiàng)D,如圖，作平面44CQ與平面網(wǎng)C的展開(kāi)圖，則|A必㈤M8|的最小值即為展開(kāi)圖中線(xiàn)段|4坪的

長(zhǎng)，

RJ88C中，BC=6BB、=3,所以/C48=m，則/力田/二名，所以在△力田田中，

63

由余弦定理得|4靖一(>/5『+32-2乂6乂3乂(一；)-12+3行，

第7頁(yè)，共14頁(yè)

所川M4j十|"?|的最小值為712+3萬(wàn)，所以D錯(cuò)誤.

故選BC.

12.【答案】21

【詳解】分兩大類(lèi)進(jìn)行：

第一類(lèi)：數(shù)字1和2相鄰時(shí)，再分兩小類(lèi)：

①數(shù)字1和2相鄰且1在2的左邊，這時(shí)相當(dāng)于兩個(gè)12和一個(gè)3排序，先排兩個(gè)12只有一種方法如圖,

再由這兩個(gè)12產(chǎn)生3個(gè)空中選一個(gè)空插入3,所以共有1x3=3種不同的五位數(shù)；

?；??；?。

②數(shù)字1和2相鄰且2在1的左邊，這時(shí)1,2,3的排法有2種順序如圖，此時(shí)產(chǎn)生3個(gè)空，

再?gòu)倪@3個(gè)空中選一個(gè)空插入12,所以共有2x3=6種不同的五位數(shù).

?；?目。或0目0回o

第二類(lèi)：數(shù)字1和2不相鄰時(shí)，再分兩小類(lèi)：

③數(shù)字3在數(shù)字1和2中間,此時(shí)共有兩種順序132和231如圖,

再占這3個(gè)數(shù)產(chǎn)生4個(gè)空選一個(gè)空插入12,所以共有2x4=8種不同的五位數(shù)，

OHOHOEI］?；?回。巨1ORO

④數(shù)字3不在數(shù)字1和2中間，那么只能12在數(shù)字1和2中間，此時(shí)共有2種不同的排法如圖，

最后3只能排首位或者末位，所以共有2x2=4種不同的五位數(shù).

c叵叵Enaco叵目。

故一共有3+6+8+4=21種不同的五位數(shù).

故答案為：21.

13.【答案】1078

【詳解】.??當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，-=2,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，“2-%=1，

%

???數(shù)列"｝的奇數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，

2子,〃為奇數(shù)

h一+1=觸為偶數(shù)

AS20=a,+a2+ay+a4+?-?+6/l9+o20=心+4+…+味+包+%+???+%)

lx1-2,°1+10xlO

-------+-----=1023+55=1078.

1-22

14.【答案】（1-6,2立］

第8頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】/3=(2'『-2〃>2'+1-3,

由于/(工)的圖象上存在不同的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以/(-x)=-/(x)有解，

即［2~x)2-2m-2-x+〃/-3=-(2,y+2〃?.2、一，/+3,

(2)+^7-2，〃{2'+/)+2〃?2-6二0①，

令，=2、+-!->25.上=2,當(dāng)日僅當(dāng)2'==0時(shí)等號(hào)成立，

2XVT2

則1-2=(2*)+—y,則①可化為“_2加4+2〃/-8=0，

依題意，此方程在(2,+8)上有解，

2

當(dāng)△=4〃/-4(2〃/-8)=-4w+32=0,解得m=±272，

當(dāng)〃?=2及時(shí)，/_46+8=(/-26")2=0"=26，符合題意.

當(dāng)〃?=一2近時(shí)，/+4"+8=1+26y=0j=-2",不符合題意.

當(dāng)△=-4〃?2+32>0，即一2起<附<2起②時(shí)，

設(shè)g?)=『-264+2〃?2―8?>2),的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸f=〃i,

要使g(/)在(2,+句上有零點(diǎn)，

則卜⑵=4+4〃?+2〃/-8<0或心2,

m<2

所以機(jī)>1-，

結(jié)合②得I->/3<m<25/2.

綜上所述，〃，的取值范圍是(1-3,2夜］.

15.【答案】(1)C=y

(2)(百+3,2豆+6)

【詳解】(1)在V-5C中,S(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB,

得(a-c)(a+c)=(a-b)b,

整理得故cosC=g.

2

又；Ce(0,兀)，所以C=g；

(2)由(1)知力+4=—,A=-—B,

33

由于V48C是銳角二角形，貝()<手一3<5，

第9頁(yè)，共14頁(yè)

.兀<8苫

"6

由正弦定理得而^=/?萬(wàn)=1,即。=生?

C=---------

SIT）—cir>Rsin8

又b=2,故V/18C的周長(zhǎng)為

.2sin/+6,樂(lè)os8+sin8+

L=---------------+2=

sinBsinBsinB

22c°d,

g*ll+3=6x——2-+3ST

.82sin^cos^tan避

222

易畦且國(guó)京I”在信胃單調(diào)遞減,

71,

C0S-+1

可得Le百x—!—+3,6X—§-F3

n.7t

sin

6

解得V48C的周氏的取值范圍為（百+3,2百+6）.

16.【答案】（1）見(jiàn)詳解

n

(2)

6/1+9

【詳解】（1）證明：當(dāng)〃=1時(shí)，q=T=為，乂/>0,（00,所以（=3,

'”=：=為，又刀尸。，所以1-2=7；-

當(dāng)〃22時(shí),即m,

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列.

（2）由（1）知數(shù)列｛9｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

則7；=2〃+1,3七1伽+1）伽+3）=

11

5+5-7+,+--------------

2〃+12〃+3

=lfl__O=1__1:〃

2132/7+3J64n+66〃+9

所以數(shù)列｛C｝的前〃項(xiàng)和，=-^―.

6〃+9

17.【答案】（1）見(jiàn)詳解

（2）2

⑴,、[（136*21A）

【詳解】（1）作平行四邊形版1。與平行四邊形M4GQ，連接力D交8c與點(diǎn)尸，如下圖所示:

第10頁(yè)，共14頁(yè)

小Cl

CDPC11

顯然4W=C￡>,dCPDfBPA,所以即尸C=-8C；

ABPB34

PN1AM

又BN=CN,可知P為NC的中點(diǎn)，Rfl—=-=—,

所以MNUAP,

又因?yàn)镃DHAM,C、D\〃AM,CD=AM,CR=AM；

所以C0//G2,且CQ=GQ,所以。"G為平行四邊形，即C￡〃Z)A；

又因?yàn)閄V/CG，所以44//?？冢傻肕N"AD"4R,

故M,N,4，〃四點(diǎn)共面，

又力G//MD\,力G0平面MNA\D\,MD\u平面；

故4G〃平面4MN

(2)設(shè)點(diǎn)4到平面，"G與到平面,WVG的距離分別為4,a,

由“C[〃平面A\MN，有VqfMN=匕-AMN=Vq-AMN，

則%-ABA=VQ-ABA=&w=4-曲，

易知力，點(diǎn)N到北的距離為點(diǎn)C到的距離的一半，

所以S&AMN=%S&ABC，可得y：N=匕-G"N=~^CX-ARC?

又“Q-48Al=VCL&MN=1$4河川(：1/2，

又因?yàn)镾&48C1=3sAMNCI,

即得由二2d2.

(3)如圖，以8為原點(diǎn)，刀，5C，甌為X,y,Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)84=1,BC=a>1,BAX=b,

則4(7,0,0),C(0,a,0),4(0,0,b),G(l,a,b),M(-|,0,0),?/(0,^,0).

8\x

易知荔=(1,0,0),宿=(2,a,b),M^V=(ppO),西=G，a,匕)

設(shè)平面相G的一個(gè)法向量為或=(再，加zj,

第11頁(yè)，共14頁(yè)

k.^：；：；X=o>可取—）

則2

設(shè)平面仞V。的一個(gè)法向量為n2=（x2,v2,z2）,

MN-nJ=7X7+7V7=0/、

則西H法+%+%=。'可取放=(,，)

則由=吟=含,B=|A】Ci?記|_a

I司1|nj

由4=24可知同=2同，

即4（1+劫=9a2+16+^>25+^?解得女=tG（7,4-co）,

設(shè)平面44G與平面MNG所成角為0，

同詞_

則cose=14Tl_f-4_I=1-G

I同同I2|jq|22(t+l)K777)(^^)

18.【答案】（1）

（2）

3

【詳解】（1）記A部門(mén)的3名領(lǐng)導(dǎo)為％,生嗎，"部門(mén)的3名領(lǐng)導(dǎo)為可也也，

從6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人負(fù)責(zé)，不同結(jié)果有：

。出2,。1。3M2。3）a[b、,ciib?,>。2瓦,a2b2‘a(chǎn)2b33b2>a3b3,4瓦,b力3，J與15

選取2人全部來(lái)自彳部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)的事件,不同結(jié)果有：。化，4%，與內(nèi)，共3種,

所以全部來(lái)自A部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)的概率為尚=；.

（2）記。=”每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格”，4="每位員工第，?輪培訓(xùn)達(dá)到優(yōu)秀"（/.=1,2,3）,

2I———

則。（4）=尸（4）=§，P（4）=5，C=444U444U444U444，

依題意，P（c）=尸（444）+尸944）+1（段4）+尸（4C：

=P（4）P（4）尸（4）+尸（田）尸（4）尸（4）+?（4"值）3用+P（&P（A）弱

22I1212112212

=-X—X—+—X—X—+—X—X—+—X—X—=—,

3323323323323

2

所以每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率為

19.【答案】（1）3x/Ticm

⑵2響標(biāo)+1）加

3

（3）4>/r（）cm

【詳解】（1）當(dāng)/垂宜于圓臺(tái)形水桶的底面，即直線(xiàn)員％垂直于圓臺(tái)形水桶底面時(shí)，浸入水中部分的長(zhǎng)

度最小，記BMqPQ=D,8Mc8￡=E,="工14c=5cm,QD=PQ~B（=1cm,

水桶的高。=3￡二/叫2二片爐=i5Ecm,因?yàn)椤鱍DBs"EB,所以煞二整，即2=12叵，解得