2026-2027學(xué)年度人教版數(shù)學(xué)七年級上冊新教材學(xué)講練測講義

第五章一元一次方程

專題5.1方程

課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握方程、一元一次方程的定義以及解的概念，學(xué)會判斷某個數(shù)值是不是一元一次方程的解.

2.初步學(xué)會如何尋找問題中的等量關(guān)系，并列出方程.

牌節(jié)知識點解讀

知識點L方程的有關(guān)概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

重點提醒：在理解方程的概念時，注意以下三點

（1）方程一定是等式，但等式不一定是方程；

（2）方程中的未知數(shù)可以用x表示，也可以用其他字母表示；

（3）方程中可含有多個未知數(shù)。

2.一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式，這樣的方

程叫做一元一次方程.

3.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且aKO）。

重點提醒：一元一次方程須滿足下列三個條件：

（1）只含有一個未知數(shù)；

（2）未知數(shù)的次數(shù)是1次；

（3）整式方程.

注意：方程要化為最簡形式，且一次項系數(shù)不能為零。

4.方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

5.解方程：求方程解的過程叫做解方程.

6.方程的解與解方程間的關(guān)系：方程的解是一個數(shù)（或者說一個值），而解方程有“動”的意思，是

一個解題過程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的結(jié)果。

重點提醒：在理解方程解的概念時，注意以下幾點：

（1）方程中的未知數(shù)不一定只有一個；

（2）方程的解可能不止一個，也可能無解；

第1頁共12頁

（3）檢驗方程的解，切不可將數(shù)值直接代入原方程，要將數(shù)值分別代入原方程的左右兩邊，分別計

算。

重點提醒：判斷一個數(shù)值是不是方程的解的步驟：

（1）將數(shù)值代入方程左邊進(jìn)行計算，

（2）將數(shù)值代入方程右邊進(jìn)行計算，

（3）若左邊=右邊，則是方程的解，反之，則不是.

知識點2.等式的性質(zhì)

1.等式的定義：用等號把兩個代數(shù)式連接而成的式子叫等式。

2.等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)I：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.

如果a=b,那么a±c=b±c.

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.

如果a=b,那么ac=bc；

如果a=b（cRO）,那么a/c=b/c.

3.運用等式的性質(zhì)把方程“化歸”為最簡的形式x=a

速節(jié)知識點例題講析

【例題1】下列各方程中，屬于一元一次方程的是（）

A.x+2y=OB.V+3x+2=UC.2x~3=-+2D.x+l=O

X

.【例題2】已知下列方程：①x+l=：；②5x=8；③|=4x+l；@x24-2x—3=0；⑤x=l

⑥3x+y=6。其中是一元一次方程的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【例題3】下列說法正確的是（）

A.若許丫，則±=?

ab

B.若|a|=-a,則aVO

C.若a,b互為相反數(shù)，那么a,b的商必定等于-1

D.若關(guān)于x的方程2x-1=3與3x-2a=0的解相同，則a=3

y1k—X

【例題4】已知x=4是關(guān)于x的方程-----1=2+--的解，則立的值是（）

24

A.1B.2C.-1D.-2

【例題5】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買羊，

第2頁共12頁

每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢.問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人,

所列方程正確的是（）

A.5x-45=7x-3B.5.什45=7戶3C.1）.

55

【例題6】4100（）和.『2（X）0中哪一個是方程0.52X-（I-0.52）A=80的解？

【例題7］若關(guān)于x的方程3x?kx+2=0的解為2,則k的值為.

【例題8】下列運用等式的性質(zhì)，變形不正確的是（）

A.若x=y,則x+5=y+5B.若a=b,則ac二be

C.若x=y,則工工D.若且二'（"0）,則a=b

aacc

【例題9】利用等式的性質(zhì)解卜.列方程：

（l）x+7=26（2）—5x=20

深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉

1.下列各式不是方程的是（）

A.x2+x=0B.x+y=0C.D.x=0

2.若關(guān)于x的方程（m-2）x”s+3=0是一元一次方程，則口值為（）

A.-2B.2C.-3D.3

3.根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

A.若旦=上，則a=bB.若ac=bc,則a=b

cc

C.若a?=b2,則a=bI).若->lx=6,則x=-2

3

2kx+ax-bk,

4.若不論k取什么實數(shù)，關(guān)于x的方程-------------------------=1(a、b是常數(shù)）的解總是x=l,則a+b的

36

值是（）

A.-0.5B.0.5C.-1.5D.1.5

x-2k13

5.己知x=i是方程%的解，則k的值是《)

322

A.-2B.2C.0D.-1

6.若方程2x=8和方程ax+2x=4的解相同，則a的值為（)

A.1B.-1C.±1D.0

7.關(guān)于X的一元一次方程2yL2+〃2=4的解為X=1，則能的值為（）

A.9B.8C.5D.4

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第五章一元一次方程

專題5.1方程

課節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握方程、一元一次方程的定義以及解的概念，學(xué)會判斷某個數(shù)值是不是一元一次方程的解.

2.初步學(xué)會如何尋找問題中的等量關(guān)系，并列出方程.

牌節(jié)知識點解讀

知識點L方程的有關(guān)概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

重點提醒：在理解方程的概念時，注意以下三點

（1）方程一定是等式，但等式不一定是方程；

（2）方程中的未知數(shù)可以用x表示，也可以用其他字母表示；

（3）方程中可含有多個未知數(shù)。

2.一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式，這樣的方

程叫做一元一次方程.

3.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且aKO）。

重點提醒：一元一次方程須滿足下列三個條件：

（1）只含有一個未知數(shù)；

（2）未知數(shù)的次數(shù)是1次；

（3）整式方程.

注意：方程要化為最簡形式，且一次項系數(shù)不能為零。

4.方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

5.解方程：求方程解的過程叫做解方程.

6.方程的解與解方程間的關(guān)系：方程的解是一個數(shù)（或者說一個值），而解方程有“動”的意思，是

一個解題過程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的結(jié)果。

重點提醒：在理解方程解的概念時，注意以下幾點：

（1）方程中的未知數(shù)不一定只有一個；

（2）方程的解可能不止一個，也可能無解；

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（3）檢驗方程的解，切不可將數(shù)值直接代入原方程，要將數(shù)值分別代入原方程的左右兩邊，分別計

算。

重點提醒：判斷一個數(shù)值是不是方程的解的步驟：

（1）將數(shù)值代入方程左邊進(jìn)行計算，

（2）將數(shù)值代入方程右邊進(jìn)行計算，

（3）若左邊=右邊，則是方程的解，反之，則不是.

知識點2.等式的性質(zhì)

1.等式的定義：用等號把兩個代數(shù)式連接而成的式子叫等式。

2.等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)I：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.

如果a=b,那么a±c=b±c.

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.

如果a=b,那么ac=bc；

如果a=b（cRO）,那么a/c=b/c.

3.運用等式的性質(zhì)把方程“化歸”為最簡的形式x=a

速節(jié)知識點例題講析

【例題1】下列各方程中，屬于一元一次方程的是（）

A.x+2y=OB.V+3x+2=UC.2x~3=-+2D.x+l=O

X

【答案】D

【解析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1i次）的方程叫做一元一次方程.它的一

般形式是辦+2=0（小〃是常數(shù)且.

A.是二元一次方程，故A錯誤；

B.是元二次方程，故3錯誤；

C.是分式方程，故C錯誤；

D.是一元一次方程，故。正確.

【例題2】己知下列方程：①x+l=|；②5x=8：③1=4x+l；④x?+2x—3=0；⑤x=l

@3x+y=6o其中是一元一次方程的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1,這樣的方程是一元一次方程，滿足要求的有②③

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⑤。

【例題3】下列說法正確的是（）

A.若乂=丫，則±=4

ab

B.若|a|=-a,則aVO

C.若a,b互為相反數(shù)，那么a,b的商必定等于?1

D.若關(guān)于x的方程2x-1=3與3x-2a=O的解相同，則a=3

【答案】D

【解析】利用相反數(shù)、絕對值乂及等式的性質(zhì)方程的解的定義分別作出正確的判斷即可.

A.若4y,則二=§,其中a,b不為0,a,萬不一定相等，故本選項錯誤；

ab

B.若同=-〃，則aWO，故本選項錯誤；

C.若出人互為相反數(shù)，那么小〃的商必定等于T,其中〃，〃不為0,故本選項錯誤；

D.解方程2x-1=3得：入=2,

由題意兩方程解相同，將尸2代入3L2a=0得：6-2斫0,

解得：。=3.故本選項正確.

丫+]k—Y

【例題4]已知*=4是關(guān)于x的方程------1=2+—^的解，則〃的值是（）

24

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

r4-1k—X

【解析】根據(jù)方程的解的概念將x=4代入方程=--1=2+——^,得到一個關(guān)于k的方程，解

24

Y-1-1k-x

方程即可.???x=4是關(guān)于x的方程------1=2+——的解，

24

?工「2+匚

24

解得左=2.

【例題5】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買羊，

每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢.問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人,

所列方程正確的是（）

A.5x-45=7x-3B.5rH5=7產(chǎn)3C.^111=D.

55

【答案】B

【解析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，

依題意，得：5產(chǎn)45—7盧3.

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［例題6］x=1000和x=2000中哪一個是方程0.52x?(l-0.52)x=80的解?

【答案】x=20()0

【解析】當(dāng)廣1000時,

方程左邊=0.52x1000-(1-0.52)x1000=520-480=40,

右邊二80,左邊#右邊，所以41000不是此方程的解.

當(dāng)x=20()0時，

方程左邊=0.52x2000-(1-0.52)x2000=1040-960=80,

右邊二80,左邊=右邊，所以-2()00是此方程的解.

［例題7］若關(guān)于x的方程3x-kx+2=0的解為2,則k的值為.

【答案】4

【解析】???關(guān)于x的方程3x-kx+2=0的解為2,.*.3x2-2k+2=0,

解得：k=4故答案為：4

【點睛】此題主要考查了一元一次方程的解，使方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解；正確

把已知數(shù)據(jù)代入是解題關(guān)鍵.

【例題8】下列運用等式的性質(zhì)，變形不正確的是()

A.若x=y,則x+5=y+5B.若a=b,則ac=bc

C.若*=丫，則三=工D.若且=上(存0),則a=b

aacc

【答案】C

【解析】A.兩邊都加5,故A正確；

B.左邊乘c,右邊除以c,故B正確；

C.根據(jù)等式的性質(zhì)2,當(dāng)a=0,變形不正確，故C錯誤；

D.兩邊都除以c(c翔)，故D正確。

【例題9】利用等式的性質(zhì)解下列方程：

(l)x+7=26(2)-5x=20

【答案】⑴x=l9⑵尸―4

【解析】(1)方程兩邊同時減去7,

x4-7-7=26-7

于是x=19

為使(2)中未知項的系數(shù)化為1,將要用到等式的什么性質(zhì)？

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兩邊同時除以一5,

-5x^-(-5)=204-(-5)

化簡，得x=-4

深化對課節(jié)知識點理解的試題專燎

1.下列各式不是方程的是（）

A.x2+x=0B.x+y=0C.D.x=0

【答案】C

【解析】含有未知數(shù)的等式叫做方程。

A.x2+x=0是方程，x是未知數(shù)，式子乂是等式，故本選項不符合題意；

B.x+y=0是方程，x、y是未知數(shù)，式子乂是等式，故本選項不符合題意；

C.1+x是分式，不是等式，故本選項符合題意：

x

D.x=0是方程，x是未知數(shù)，式子乂是等式，故木選項不符合題意。

2.若關(guān)于x的方程（m-2）x/i+3=0是一元一次方程，則口值為（）

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】A

【解析】一元一次方程須滿足下列三個條件：

1）只含有一個未知數(shù)；

2）未知數(shù)的次數(shù)是1次；

3）整式方程.

方程要化為最簡形式，且一次項系數(shù)不能為零。

根據(jù)一元一次方程的定義，即可得到關(guān)于m的方程，求解即可.

???關(guān)于x的方程（m-2）x"43=0是一元一次方程,

Am-2W0且|m|-1=1,

Am^2且|m=2,

解得：m=-2.

3.根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

A.若旦=上，則a=bB.若ac=bc,貝I」a=b

cc

C.若a?=b‘，則a=bD.若-1_x=6,則x=-2

3

【答案】A

第9頁共12頁

【解答】A、若且=",則2=人故A符合題意;

cc

B、若ac=bc（c#0）,則a=b,故B不符合題意;

C、若a?=b2,則a=±b,故C不符合題意；

D、-—x=6,則x=-18,故D不符合題意；故選：A.

3

2左K-4-/7X—bk

4.若不論k取什么實數(shù)，關(guān)于x的方程?=-------------=1（a,b是常數(shù)）的解總是x=l,則a+b的

36

值是（）

A.-0.5B.0.5C.-1.5I）.1.5

【答案】A

【解析】把x=l代入原方程并整理得出（b+4）k=7?2a,然后根據(jù)方程總有根推出b+4=0,7-2a

=0,進(jìn)一步即可求出結(jié)果.解：把x=l代入竺之—士藝二1,得：竺土色―上如=1,

3636

去分母，得：4k+2a-l+kb=6.即（b+4）k=7-2a,

Dkx?nx—hk

???不論k取什么實數(shù)，關(guān)于X的方程「——-——=1的根總是x=l,

36

?,"+4=0,7-2。=0,

解得：a=—,b=-4,/.a+b=-0.5.

2

【點睛】考查了一元一次方程的相關(guān)知識，正確理解題意、得出b+4=0,7-2a=0是解本題的關(guān)鍵.

5.已知x=l是方程立養(yǎng)［得乂的解，則k的值是（）

A.-2B.2C.0D.-1

【答】B

【解析】把x=l代入方程，即可得出一個關(guān)于k的一元一次方程，求出方程的解即可.

把x=l代入方程紅淄：2歲=焉-親＜1,

322322

解得：k=2.

6.若方程2x=8和方程ax+2x=4的解相同，則a的值為（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【解答】解2x=8,得

x=4.

由同解方程，得

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4a+2X4=4.

解得a=-1,故選：B.

7.關(guān)于x的一元一次方程2y?2+m=4的解為1=1,則。+機(jī)的值為()

A.9B.8C.5D.4

【答案】C

82

【解析】因為關(guān)于x的一元一次方程2x-+m=4的解為x=l,

可得：a-2=L2+m=4,解得：a=3,m=2,所以a+m=3+2=5,故選C.

【點睛】此題考查一元一次方程的定義，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答.

8.某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)600個螺釘或1Q00螺母.1個螺釘配兩個螺母，為使每

天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺釘，可

列方程為()

A.2X600x=1000(22-x)B.2X1000x=600(22-x)

C.600x=2X1000(22-x)D.1000x=2X600(22-x)

【答案】A

【解答】設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則(22-x)人生產(chǎn)螺母，

由題意得：2X600x=1000(22-x),故選：A.

9.甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車