2026-2027學年度人教版數(shù)學七年級上冊新教材學講練測講義

第六章幾何圖形初步

專題6.3角

裸節(jié)學習目標

1.理解角的兩種定義和相關概念，掌握角的表示方法.

2.會正確使用量角器測量角的大小.

3.認識角的單位，會進行度、分、秒之間的換算.

4.掌握角的大小的比較方法.

5.理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關系，能夠用幾何語言進行相關表述，并能解答

相關問題.

6.會進行涉及度、分、秒的角度的計算二

7.了解余角、補角的概念.掌握余角和補角的性質(zhì)，并能利用余角、補角的知識解決相關問題.

8.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判別；并能用方位角知識解決一些簡單的實際問題.

課節(jié)知識點解讀

知識點1.角

1.角的概念

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.角

也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。

2.角的表示方法

(1)角通常用三個字母及符號來表示，如圖中角可以表示為NA0B或NBOA,表示頂點的字母0

必須放在中間，其他兩個字母A,B分別表示角的兩邊上的點..

(2)當頂點處只有一個角時，可用一個大寫字母表示角，這個字母應標在頂點上.如圖的角可以表示

為N0.

第1頁共16頁

(3)用一個數(shù)字表示一個角，如圖的角可以表示為N1.

(4)用一個字母(希臘字母a、B、Y等)表示一個角，如圖的角可以表示為Na.

注意：(3)(4)這兩種方法必須在圖上標注后才能使用，并且只能表示單獨的一個角

3.角的單位及換算關系

把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角,

記作1';把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1〃.

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60",

如：Na的度數(shù)是48度56分37秒，記作Na=48°56'37".

以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.此外，還有其它度量角的單位制.例如，我們以后將

要學到的以弧度為基本度量單位的弧度制，在軍事上經(jīng)常使用的角的密位制等.

4.角的分類及余角補角的定義

Z13銳角直角鈍角平角周角

0<Z3<90Z13=9090°<Z13<180Z13=180Z8=360

范圍

OOOOO

(1)若Nl+N2=90°,則N1與N2互為余角.其中N1是N2的余角，N2是N1的余角.

(2)若Nl+N2=180°,則N1與N2互為補角.其中N1是N2的補角,N2是N1的補角.

(3)余角和補角的性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等：同角(或等角)的補角也相等.

第2頁共16頁

注意：對余角、補角問題可以利用下面表格加深理解

名稱概念性質(zhì)

互為余角如果兩個角的和等于90°,那（1）90°-a是a的余角；

么這兩個角互為余角.（2）同角或等角的余角相等.

互為補角如果兩個角的和等于180°,（1）180°-a是a的補角;

那么這兩個隹互為補角。（2）同角或等角的補角相等.

知識點2.角的平分線

一般地，從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.

0B是NAOC的平分線

VOB是NAOC的角平分線，

I

，NAOB=/BOC二一ZAOC

2

ZA0C=2ZA0B=2ZB0C

知識點3.方位角

以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.

要點詮釋：

（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要瓏定其始邊

是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西，三要確定旋轉角度的大小.

（2）北偏東45。通常叫做東北方向,北偏西45°通常叫做西北方向,南偏東45。通常叫做東南

第3頁共16頁

2.把18°30'化成度的形式，則18°30'=度.

3.如圖，直線AB、CD相交于點0,若NB0D=40°,0A平分/COE,則NAOE=.

4.如圖，E是直線CA上一點，ZFEA=40°,射線EB平分/CEF,GE±EF.則NGEB=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

.觀察圖形并回答下列問題：

(1)ZA0C是哪兩個角的和？NDOB是哪兩個角的和？

(2)/AOB是哪兩個角的差？

6.如圖，ZB0D=l/3ZC0D=15°,0C平分NA0B,求NA0B的度數(shù).

D

7.計算：

(1)56°18,+72°48';(2)131°28'-51°32'15〃；

(3)12°3()'20〃X2;(4)12°31'21"-4-3.

8.如圖,已知NA0B=90°,ZC0D=90°,0E為NB0D的平線,ZB0E=15°,求NA0D和NB0C的度數(shù).

9.如圖,已知射線0C在ZA0B的內(nèi)部，0M和0N分別平分NAOC和NB0C.

(1)若NA0C=50°,ZBOC=30°,求NM0N的度數(shù)；

⑵探究/VON與/AOB的數(shù)量關系.

第5頁共16頁

A

M

N

O13

10.如圖，ZAOC:ZCOD:ZDOB=2:3:4,OM平分NAOC,ON平分NDOB,且NMON=90°,求N

AOB的度數(shù).

11.已知NAOB=108°,ZBOC=22°,射線OD,OE分別是NAOB和NBOC的平分線，求NDOE

的度數(shù).

12.一個角的余角比這個角的補角的;還小，求這個角的余角及這個角的補角.

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2026-2027學年度人教版數(shù)學七年級上冊新教材學講練測講義

第六章幾何圖形初步

專題6.3角

裸節(jié)學習目標

1.理解角的兩種定義和相關概念，掌握角的表示方法.

2.會正確使用量角器測量角的大小.

3.認識角的單位，會進行度、分、秒之間的換算.

4.掌握角的大小的比較方法.

5.理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關系，能夠用幾何語言進行相關表述，并能解答

相關問題.

6.會進行涉及度、分、秒的角度的計算二

7.了解余角、補角的概念.掌握余角和補角的性質(zhì)，并能利用余角、補角的知識解決相關問題.

8.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判別；并能用方位角知識解決一些簡單的實際問題.

課節(jié)知識點解讀

知識點1.角

1.角的概念

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.角

也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。

2.角的表示方法

(1)角通常用三個字母及符號來表示，如圖中角可以表示為NA0B或NBOA,表示頂點的字母0

必須放在中間，其他兩個字母A,B分別表示角的兩邊上的點..

(2)當頂點處只有一個角時，可用一個大寫字母表示角，這個字母應標在頂點上.如圖的角可以表示

為N0.

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(3)用一個數(shù)字表示一個角，如圖的角可以表示為N1.

(4)用一個字母(希臘字母a、B、Y等)表示一個角，如圖的角可以表示為Na.

注意：(3)(4)這兩種方法必須在圖上標注后才能使用，并且只能表示單獨的一個角

3.角的單位及換算關系

把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角,

記作1';把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1〃.

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60",

如：Na的度數(shù)是48度56分37秒，記作Na=48°56'37".

以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.此外，還有其它度量角的單位制.例如，我們以后將

要學到的以弧度為基本度量單位的弧度制，在軍事上經(jīng)常使用的角的密位制等.

4.角的分類及余角補角的定義

Z13銳角直角鈍角平角周角

0<Z3<90Z13=9090°<Z13<180Z13=180Z8=360

范圍

OOOOO

(1)若Nl+N2=90°,則N1與N2互為余角.其中N1是N2的余角，N2是N1的余角.

(2)若Nl+N2=180°,則N1與N2互為補角.其中N1是N2的補角,N2是N1的補角.

(3)余角和補角的性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等：同角(或等角)的補角也相等.

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注意：對余角、補角問題可以利用下面表格加深理解

名稱概念性質(zhì)

互為余角如果兩個角的和等于90°,那（1）90°-a是a的余角；

么這兩個角互為余角.（2）同角或等角的余角相等.

互為補角如果兩個角的和等于180°,（1）180°-a是a的補角;

那么這兩個隹互為補角。（2）同角或等角的補角相等.

知識點2.角的平分線

一般地，從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.

0B是NAOC的平分線

VOB是NAOC的角平分線，

I

，NAOB=/BOC二一ZAOC

2

ZA0C=2ZA0B=2ZB0C

知識點3.方位角

以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.

要點詮釋：

（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要瓏定其始邊

是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西，三要確定旋轉角度的大小.

（2）北偏東45。通常叫做東北方向,北偏西45°通常叫做西北方向,南偏東45。通常叫做東南

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方向，南偏西45°通常叫做西南方向.

課節(jié)知識點例題講析

考點L角的概念

【例題1】下列關于角的說法正確的是()

A.由兩條射線組成的圖形叫做角

B.角的邊畫得越長，角越大

C.在角一邊延長線上取一點

D.角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形

【答案】D

【解析】有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩

條邊.角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的性形.

考點2.角的度量及換算

【例題2】填空:

⑴5400"二°；

(2)25.72°=°'":

(3)45°12'36〃=°.

【答案】見解析

【解析】(1)5400〃=(5400/60)'=90',90'=(90/60)°=1.5°；

5400〃=1.5。；

(2)0.72°=0.72X60'=43.2',0.2'=0.2X60〃=12、

25.72°=25°43'12"；

(3)36"=(36/60)'=0.6',12.6'=(12.6/60)°=0.21°.

45°12'36"=450+12'+36"=45°+12'+0.6'=450+12.6'=450+0.21°=45.21°

考點3.余角補角

【例題3】已知Na是銳角，Na與NB互補，Na與/丫互余，則/。-/丫的值等于()

A.45°B.60°C.90°D.180°

【答案】C

【解析】已知/a是銳角，/。與/8互補，則/a+/B=180°

第10頁共16頁

Z13=180°-Za

/(1與/丫互余，則Na+Ny=90°

Zy=90°-Za

貝JINB-NY=(1800-Za)-(90°-Za)=90°

考點4.角的平分線

【例題4】如圖，點。在直線AB上，射線OC平分/D0B.若NC0B=35°,則NA0D等于()

A.35°B.70°C.110°【).145°

【答案】C

【解析】???射線0C平分/DOB.??.NB0D=2NB0C,

VZCOB=35°,???ND0B=70>,.\ZA0D=180°-70°=110°

【點撥】本題考查角的平分線性質(zhì)和平角的特點。

考點5.方位角

【例題5】如圖，8處在力處的南偏西42。方向，C處在力處的南偏東30°方向，C處在6處的北偏

東72°方向，則/力⑦的度數(shù)是.

【答案】78°

【解析】根據(jù)方向角的定義，即口J求得/DBA,ZDBC,NEAC的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即

可求解.

VAE,DB是正南和正北方向,

ABD/7AE,

???B處在A處的南偏西42°方向，

AZBAE=ZDBA=42°,

???C處在A處的南偏東30°方向，

/.ZE/\C=30°,

/.ZBAC=ZBAE+ZEAC=420+30°=72°,

又處在B處的北偏東72°方向，

???NDBC=72°,

AZABC=72°-42°=30°,

.,.ZACB=180°-ZABC-ZBAC=180°-30°-72°=78°.

第11頁共16頁

故答案為：78°.

【點睛】本題考查的是方向角的概念，用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以

對象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.

深化對課節(jié)知識點理解的試題專煉一

1.如果Na=35°,那么Na的余角等于°.

【答案】55.

【解析】若兩角互余，則兩角和為90°,從而可知Na的余角為90°減去Na,從而可解.

解：VZa=35°,

???Na的余角等于90。-35°=55°

【點撥】本題考查的兩角互余的基本概念，題目屬于基礎概念題，比較簡單.

2.把18°30'化成度的形式，則18°30,=度.

【答案】18.5.

【解析】V30f=0.5度,

/.18°30'=18.5度。

【點撥】本題考查的角度之間換算，記住角度單位之間基本關系.

3.如圖，直線AB、C1)相交于點0,若NB()D=40°,0A平分/COE,則NA0E=.

【答案】40c

【解析】NB0D和NA0C是對頂角,所以NB0D=NA0C=40°,

0A平分ZC0E,則ZA0E=ZB0C

所以NAOE=NBOD=40"

4.如圖，E是直線CA上一點，NFEA=40°,射線EB平分NCEF,GEXEF.則NGEB=()

A.10°B.20°C.30°1).40°

第12頁共16頁

【答案】B

【解析】VZFEA=40°,GE1EF,

/.ZCEF=1800-ZFEA=1800?40°=140°,ZCEG=1800-ZAEF-ZGEF=180°-400-90

°=50°,

???射線EB平分NCEF,

AZGEB=ZCEB-ZCEG=70°-50°=20°

5.觀察圖形并回答下列問題：

(1)ZA0C是哪兩個角的和？NDOB是哪兩個角的和？

(2)NAOB是哪兩個角的差？

【答案】見解析

【解析】(DNAOC是NAOB與/BOC的和，NDOB是NCOD與NBOC的和.

即NA()C=/AOB+NBOC,ZDOB=ZCOD+ZBOC.

⑵ZAOB是NAOC與NBOC的差,

或NAOB是NAOD與NDOB的差.

即ZAOB=ZAOC-ZBOC=ZAOD-ZDOB.

6.如圖,ZBOD=1/3ZCOD=15°,0C平分NAOB,求NAOB的度數(shù).

D

7.計算：

(1)56°18,+72°48';(2)131°28'-51°32,15〃；

(3)12°3()z20〃X2;(4)12°31'21"+3.

【答案】見解析

【解析】(1)56°18'+72°48r=128°66'=129°6';

(2)131°28'-51°32'15"

=130°87,60"-51°32r15"

第13頁共16頁

=79°55z45"

(3)12°30'20〃X2

=24°60'40〃

=25°40”;

(4)12°3J21"+3

=4°+31'21"4-3

=4°10'+81〃4-3

=4°10'27〃.

8.如圖，已知NA0B=90°,NC0D=90°,0E為NBOD的平線，ZBOE=15°,求NAOD和NBO二的度數(shù).

【答案】見解析

【解析】因為OE為NBOD的平分線，ZBOE=15°,

所以NBOD=2NBOE=30°,

所以NAOD=NAOB+NBOD=900+30°=120°,ZB0C=ZC0D-ZB0D=90o-30°=60°.

9.如圖，已知射線0C在NA0B的內(nèi)部，0M和ON分別平分NAOC和NBOC.

(1)若NA0C=50。,ZB0C=30°,求NMON的度數(shù)；

⑵探究/UON與NAOB的數(shù)量關系.

【答案】見解析

第14頁共16頁

【解析】⑴因為OM,ON分別平分NAOC,ZB0C,

所以NCOM=1/2NAOC,ZCON=1/2ZBOC.

因為NAOC=50°,ZB0C=30°,

所以NC0M=25°,ZC0N=15d

所以NM0N=/C0U+NC0N=40°.

⑵因為0M,ON分別平分NAOC和NBOC,

所以/C()M=1/2NA()C,ZCON=1/2ZBOC.

所以/MON=ZCOM+ZC0N=l/2ZAOC+1/2ZBOG

=1/2(Z.WC+ZB0C)=l/2Z/WB.

10.如圖，ZAOC:ZCOD:ZDOB=2