數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.)

2

A=lx|x>=x-x-2<o]AII

1設(shè)集合I?I則4URB=()

A.B.{x|x>1}C.{x|-l<x<l}D.1x|l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】解二次不等式V-x-2<()確定集合以與集合A求并集即可.

【詳解】解不等式V一工一2<0,可得一1cx<2.

/.5={x|-l<x<2},

又,.,4={x|xNl},

故選:A.

2.Msin2a+cos2/7=1a±/?=0()

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

詳解】若sin'a+cos'「=l,則sin'a=sin)7,g|Jsinct=isin/?,得不出a土〃=0,如&=兀土〃，

所以“siia+cos?夕=1”不是"。±4=0”的充分條件；

若a±〃=0,則/=士a,可得cos?4=cos%,即sin%+cos/=sin%+cos2a=1,

所以“sin2a+cos7?=l”是"a±/?=0”的必要條件；

所以“sin%+cos2〃=l”是"a±/?=0"的必要而不充分條件，

故選：A.

2

3.己知f(x)=-----。是奇函數(shù)，貝()

5-1

A.IB.-1C.D.-y

【答案】B

【解析】

【分析】利用奇函數(shù)的定義列式求解.

【詳解】函數(shù)/(幻=3■-。的定義域?yàn)椴?工。｝,由/")為奇函數(shù)，得/(X)+/(一■￥)=0,

221115t

即+——。=0,則。=—^+―^=—+=—1.

yr-l5-x-\5r-l5-x-l5V-11-5"

故選：B

4.若奇函數(shù)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)，且最小值為5,則它在區(qū)間［-7,—3］上是()

A.增函數(shù)且有最大值-5B.增函數(shù)且有最小值-5

C.減函數(shù)且有最大值-5D.減函數(shù)且有最小值-5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)直接得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)，且有最小值5,

所以7(3)=5,

又八幻為奇函數(shù)，

所以函數(shù)/3)在區(qū)間［-7,-3］上是增函數(shù)，且有最大值/(-3)=-/(3)=-5.

故選：A

52I

5.已知事件AB,且P(A)=,P(B)=一,P(A\B)=-則P(B|4)=()

632t

4112

A.—B.-C.-D.一

5535

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)概率的乘法公式及條件概率公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)镻(3)=g,P(A|B)=g,

所以P(AB)=P(3)P(A|4)=2X_L=_L,

1

/、5/.x尸(AB)Q2

因?yàn)镻(A)=-,所以。(44)=蜜,=丁

6

故選:D.

6.甲、乙、丙三人參加??校史知識(shí)競(jìng)答?.比賽，若甲、乙、丙三人榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為:，

234

且三人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這三人中僅有兩人獲得一筆獎(jiǎng)的概率為()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算求解.

173

【詳解】記甲、乙、丙獲得一等獎(jiǎng)分別為事件A,B,C,則戶(A)=—,P(B)=『P(C)=-,

234

_11_2I-31

則2(4)=]一不二5，P(B)=[-4P(C)=]—z=z，

則這三人中僅有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為

P(ABC)+P[ABC]+P[ABC)

=P(,)P(8)P(C)+P(A)P⑻P(C)+P(A)P(B)P(d)

12311312111

=—X—X—+—X—X—+—X—X—=——.

23423423424

故選:C.

X'<()

7.已知函數(shù)/3=1I‘二'若依，則。的取值范圍是()

ln(x+l),x>0.

A.(—8,0]B.(-co,ljC.[-2,1]D.[-2,0]

【答案】D

【解析】

【分析】作函數(shù)|/(x)|的圖象，當(dāng)x>0時(shí)，結(jié)合圖象確定。的范圍，當(dāng)xWO時(shí)，化簡(jiǎn)不等式求。的范

圍，由此可得結(jié)論.

【詳解】由y=|/"）|圖象（如圖所示）知,

①當(dāng)x>0時(shí)，只有。工0時(shí)才能滿足|/（x）|>ar.

故由|/（刈之"，得9-2x2斯

當(dāng)《=0時(shí)，不等式為020成立；

當(dāng)上<0時(shí)，不等式等價(jià)為x-24a.

vx—2<-2,/.a>-2,

綜上可知，ae[-2,0].

故選：D.

8.已知X,〉￡R,且xwy,則V+1/+（上空）2的最小值為（）

51

A.J3B.—C.-D.1

*22

【答案】D

【解析】

1_y-

【分析】令z=-y,則原不等式等價(jià)于f+z2+（二^）2,應(yīng)用柯西不等式得

X+Z

3，+z2+（匕三）2]2|X+Z+匕三『，再兩次應(yīng)用基本不等式求|X+Z+匕三|的最小值，注意最小值

x+zx+zX+Z

的取值條件.

【詳解】令2=一丁，即XH-Z,則（l+l+l）[f+z2+（土三）2]N|x+z+匕上|2,

X+ZX+Z

當(dāng)且僅當(dāng)』=-=土土三時(shí)等號(hào)成立，

XZ1-XZ

又](X+Z)2+l

又lx+z+4以4----------1>|

1=也‘

x+zx+zx+z

當(dāng)且僅當(dāng)X=z且乎（x+z）=l，即X=z=^時(shí)等號(hào)成立,

綜上，3[f+z2+（匕三）2]N|JV+Z+匕三『=3,即/+9+（匕:當(dāng)2=f+z2+（上王）22],

x+zx+zx-yx+z

當(dāng)上二立，、二-立時(shí)等號(hào)成立.

33

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令2=—>,應(yīng)用柯西不等式求得3[d+z2+（l二日）2]2|x+z+上士匕再利用

X+zX+Z

1—xz

基本不等式求IY+Z+-----|的最值即可.

x+z

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.下列選項(xiàng)中，正確的是（）

A.若p：3/ieN,n2>T，則T乙V〃wN,n1<2n

B.若不等式/十陵+3>o的解集為{乂-lVx<3},則。?b=2

仁“。>1"是“'<1”充分不必要條件

a

D.若。>o,b>o,且47+〃=i,則,+■!■的最小值為9

ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)命題的否定即可判斷選項(xiàng)A正誤，根據(jù)一元二次不等式解集和一元二次方程根之間的關(guān)系，

再利用韋達(dá)定理,即可判斷選項(xiàng)B正誤，求出,>1的解后可判斷C的正誤，根據(jù)“1”的代換結(jié)合基本不等

a

式可判斷選項(xiàng)D的正誤.

【詳解】對(duì)于A,由題知,'勺〃￡怔〃2〉2"”的否定是“\/〃￡1\[,/<2"''，故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,若不等式ar2+hx+3>0的解集為{x[T<x<3},

則〃/+/?x+3=0的兩根為一L3且6/<0,

-1+3=--

a

根據(jù)韋達(dá)定理有：,解得。=-1/=2,所以。+。=1,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

-1x3=-

a

對(duì)于C,解為〃＜0或

a

故。＞1能推出,＜1,但推不出。＞］,

aa

故“a＞1”是"工＜1''的充分不必要條件，故C正確；

a

對(duì)于D,因?yàn)閍+4〃=l,所以，+，=(〃+4與(」+，］=1+竺+^+425+2］絲工=9,

abh)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)竺二；，即4=2匕=1時(shí)等式成立，故！+L的最小值為9,D正確.

ab3ab

故選：ACD

10.已知y=Mx-l)(x+l)的圖象如圖所示.若/(x)=x(x-l)(x+l)+0O,則關(guān)于方程/(x)=()根

的情況說(shuō)法正確的是()

A.有三個(gè)實(shí)數(shù)根B.當(dāng)RV-1時(shí)，恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.當(dāng)一IvxvO時(shí)，恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.當(dāng)Ovxvl時(shí)，恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】AB

【解析】

【詳解】由題意，函數(shù)/(幻的圖象可由y=Mx-l)(%+D的圖象向上平移0.01個(gè)單位長(zhǎng)度得到，如圖所

示.由圖象易知方程/(式)=。有三個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)了＜一1時(shí)，恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)一1＜工＜0時(shí)，沒(méi)有實(shí)

數(shù)根：當(dāng)0＜xvl時(shí)，恰好有兩人實(shí)數(shù)根：當(dāng)x＞l時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根.所以只有A,B正確.

11.已知函數(shù)/(x)=f+21nx的圖象在4(x，/(xJ),區(qū)(々?/(±))兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則

下面等式可能成立的是()

C10I10

A.人］十勺=2B.X)+X,=—C.人］々=1D.X)X2=—

【答案】BC

【解析】

【分析】由/'(不)=/'(七)因式分解即可判斷CD；利用基本不等式可判斷AB.

2

【詳解】因?yàn)閒(x)=x2+2］nx,所以尸(x)=2x+-,x>0,

X

22

又/(%)在A8兩點(diǎn)處的切線相互平行，所以/'(百)=2內(nèi)+—=r)=2/+一，

X\X2

整理得(％-工2)11----=()，因?yàn)閮?nèi)羊々，所以不工2=1，C對(duì)D錯(cuò)；

又F+々22=2,且%。工2，所以凡+電>2,A錯(cuò)B對(duì).

故選：BC

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知函數(shù)/口11%)=8§2工-5皿2工，則/(1)=.

【答案】一,相④與

2

【解析】

【分析】解法1：首先將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)成正切形式，然后將tanx=l代入求值即可；解法

2：首先求出滿足tanx=l的x的一個(gè)值，然后將其直接代入解析式中求函數(shù)值即可.

【詳解】解法1：/(tain)=cos?2sim=c°sk2si-=

sin"x+cos-xtarrx+1

當(dāng)tanx=l時(shí)，有川)=『：=一；.

解法2：令x=工，得/(1)=半-1=--.

4k2J2

故答案為:

2

V2r

13.已知函數(shù)y=log2x,y=犬,丁=2在同一個(gè)坐標(biāo)系的圖象如圖，則能使不等式log2x<x<2成立的

【答案】0cx<2或x>4

【解析】

【分析】利用案函數(shù)與指對(duì)函數(shù)的圖象性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】由題圖可知，當(dāng)x>4或0vxv2時(shí)，符合不等式

故答案為：0cx<2或x>4.

61

14.已知/7>1,=2",—^―=log2b,則'+'=___.

a-\b-\ab

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對(duì)稱性求得答案.

X1

【詳解】依題意，分別可視為函數(shù)/*)=—=1+—與ga)=2'和〃(x)=log,x圖象交點(diǎn)的橫

x-\x-1

坐標(biāo)，

函數(shù)的圖象關(guān)于直線)'=X對(duì)稱，g(x),/z(x)的圖象也關(guān)亍直線y=x對(duì)稱，

fl

因此兩個(gè)交點(diǎn)(。,2),(^,log2b)也關(guān)于直線y=X對(duì)稱,則a=log,b,b=2。,

由3=2“=b,得a+b=ab,所以，+」=l.

a-\cib

故答案為：1

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

15設(shè)函數(shù)/(R)=e',XGR.

(1)求方程(/(x)y=/(x)+2的實(shí)數(shù)解；

(2)若不等式x+2〃2一〃4“力對(duì)干一切xfR都成立..求實(shí)數(shù)人的取值范鬧.

【答案】(1)x=ln2

(2)

2

【解析】

【分析】(1)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e'的一元二次方程進(jìn)行求解.

⑵分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g(x),求導(dǎo)得到g(x)的最小值即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由f(x)=e1代入方程(〃x)y=/(x)+2得：(寸=自+2,

即(e'—2)(e'+l)=0,解得/=2，即x=ln2.

【小問(wèn)2詳解】

不等式工+2〃一力W/(力即工+一人41，

原不等式可化為2"一〃4e'-x對(duì)Vx丘R都成立，

令g(x)=e'-x,則g<x)=e'-l,

當(dāng)工>0時(shí)，g'(x)>。，當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減.在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)工=0時(shí)，g(x)min=g(0)=L

所以—〃W1，即2Z?—1W0，解得：-

16.對(duì)于函數(shù)/(力，若存在XER,使/(%)=%成立，則稱與為/("的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)

/(x)=ar2+(Z?+l)x+(〃-1),工0).

(1)當(dāng)〃=1/=2時(shí)，求函數(shù)/(X)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/(4)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若/(X)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為西,馬，且/(百)+々=7^—，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2a~+1

【答案】(1)-1

(2)0<a<\

(3)0<b<—

4

【解析】

【分析】（1）首先得到函數(shù)的解析式，然后根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的概念列出方程求解方程的解即可.

（2）首先根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的概念列出方程，然后令判別式大于0,可得到關(guān)于。功的不等式，然后構(gòu)造關(guān)于力

的新函數(shù)，令其最小值大于0,即可求得〃的取值范圍.

（3）根據(jù)韋達(dá)定理可得到關(guān)于。力的等式，然后化簡(jiǎn)用。的表達(dá)式將人表示出來(lái)，然后根據(jù)基本不等式的

性質(zhì)可求出〃的范圍.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椤?1,/?=2,所以=V+3x+l.

設(shè)函數(shù)/（力的不動(dòng)點(diǎn)為/,則/（%）=^+35+1=%.

化簡(jiǎn)得（公+1）2=0,解得/=-1,所以外工）的不動(dòng)點(diǎn)為-1.

【小問(wèn)2詳解】

令"x）=x,則a?+瓜+口一1=0有兩個(gè)相異的解.

所以4=從一4a（方即:從—4c活+4。＞0對(duì)于任意〃，恒成立.

令=-4ab+4a,則g(/>)而門=g(2a)=(2a/-4ax2a+4a>0,

解得0<4<l.

【小問(wèn)3詳解】

=2

因?yàn)橛?工2為/（X）的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且/（%）+々2a+i

-I

所以％+x.=~：―

-2a2+1

b_Ib

因?yàn)橛桑?）知，X[+x,=—,所以—；—=—,

■a2a~+\a

1

所以"二

2萬(wàn)+1-r.

2a+—

a

由（2）得到Ocavl,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可得2a+'22及,

a

當(dāng)且僅當(dāng)2。二，時(shí)，即〃=42時(shí)等號(hào)成立,

a2

所以匕=立.

2x/24

又。＞0,所以人=-7—＞—=0.

2a“+11

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍為0＜人工也.

4

17.某健身俱樂(lè)部研究會(huì)員每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)與體重減少量的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名會(huì)員的數(shù)據(jù)如下:

總

會(huì)員序號(hào)12345678910

和

鍛煉時(shí)長(zhǎng)X（小

342564534440

時(shí)）

體重減少量y

1.01.51.02.02.51.82.01.01.62.016.4

（千克）

101010

并計(jì)算得：=172,Z），；=293=70.6

r-lr-li-l

（i）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量》之間的線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)

加以說(shuō)明；

（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程亍=方+去（結(jié)果精確到0.01）；

（3）該俱樂(lè)部推廣了一項(xiàng)激勵(lì)措施后，發(fā)現(xiàn)會(huì)員平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)增加2個(gè)小時(shí)，實(shí)際觀測(cè)到的平均體

重減少量增加了（）.8千克.請(qǐng)結(jié)合回歸分析結(jié)果，判斷該回歸模型是否具有參考價(jià)值，并給出合理的解釋.

2內(nèi)_問(wèn)

（參考公式：相關(guān)系數(shù):二建"底，回歸方程§，二2十八中斜率和截距的最小二乘法

Vr=lV/=!

人Z&K一訪

估計(jì)公式分別為公=號(hào)----------，2=》一/岳.參考值：72.404?1.550）

、一、

、匯一〃廠

f=l

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）y=0.42x-0.03；

（3）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)公式直接代入數(shù)據(jù)求解即可；

⑵利用公式----------，先求一次項(xiàng)系數(shù),再利用經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(元?)，可求出6=了-加，

口2-就2

1=1

從而可得回歸直線方程；

(3)利用一次項(xiàng)系數(shù)B可解釋會(huì)員平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)增加2個(gè)小時(shí)，預(yù)測(cè)平均體重減少量增加0.84千克，與

實(shí)際效果相當(dāng)，說(shuō)明具有參考價(jià)價(jià).

【小問(wèn)1詳解】

i-40,_16.4-

由表可知：x=—=4,y=-----=1.64

10.10

70.6-10x4x1.645?5

=0.93

V172-10X42x729.3-1Ox1.642712x72404^5.37

因?yàn)閥與X的相關(guān)系數(shù)〃。0.93接近I,

所以)'與x的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

【小問(wèn)2詳解】

沖

ZEY—70.610x4x1.645八房

由題可知：&-----------------------z—二一之0.42

172—10x4C12

-而2

a=y-bx=1.64--^x4?-0.03,

所以$，=0.421一0.03

【小問(wèn)3詳解】

由(2)可知：根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)，會(huì)員平均每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)增加2個(gè)小時(shí),

預(yù)測(cè)平均體重減少量增加0.84千克，與實(shí)際增加值0.8千克較為接近，

因此實(shí)際結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果基本一致，說(shuō)明該回歸模型具有參考價(jià)值；

造戌一定差異的原因可能是由于樣本數(shù)據(jù)過(guò)少,

或者造成體重減少的原因還受其他因素影響，

比如睡眠，飲食、鍛煉強(qiáng)度以及效果等.

18.某公司計(jì)劃舉辦周年慶活動(dòng)，其中設(shè)計(jì)了“做游戲贏獎(jiǎng)金”環(huán)節(jié)，從所有員工中選取10名業(yè)績(jī)突出的員

工參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規(guī)則如下：參與者投擲一枚均勻的骰子，初始分?jǐn)?shù)

為0,每次擲得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)得2分，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)得I分.連續(xù)投擲累計(jì)得分達(dá)到9分或10分時(shí)，游戲結(jié)束.

（1）設(shè)員工在游戲過(guò)程中累計(jì)得〃分的概率為匕.

①求

②求證數(shù)列｛勺一匕J（2<〃W9）為等比數(shù)列.

（2）得9分的員工，獲得二等獎(jiǎng)，得10分的員工，獲得一等獎(jiǎng)，若一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金的兩

倍，且該公司計(jì)劃作為游戲獎(jiǎng)勵(lì)的預(yù)算資金不超過(guò)1萬(wàn)元，則一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金最多不能超過(guò)多少元？（精確

到I元）

135

【答案】（1）①6二36=?、谧C明見(jiàn)解析:

（2）1499元.

【解析】

【分析】（1）①根據(jù)事件發(fā)生概率，依次分類進(jìn)行求解即可；

②由題知，累計(jì)獲得〃分時(shí)有可能是獲得〃-1分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)或獲得〃-2分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為偶

數(shù)，而擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率均為所以匕=；。1+；e_2（3?〃《9）,結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)

系，即可證明一月_1｝是公比為—;的等比數(shù)列.

21I1Y

(2)由(1),運(yùn)用累加法可求得+±--(l<n<9)進(jìn)而可求得員工獲得二等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)的

3312/

(x341171]

概率，設(shè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為X元，連而可得-------F712Jx10<10000,解不等式即可.

(2512

【小問(wèn)1詳解】

①由題意，員工游戲過(guò)程中累計(jì)得1分，即第一次投擲為奇數(shù)，其概率為6=g；

1113

累計(jì)得2分，即第一次投擲為偶數(shù)或連續(xù)兩次投擲都是奇數(shù)，其概率為8二二十二x二二:：累計(jì)得3

"2224

分，即前兩次投擲一次為偶數(shù)，一次為偶數(shù)或連續(xù)三次投擲都是奇數(shù)，其概率為

c111115

P\=2x—x—+—x—x—=

222228

②由題如，累計(jì)獲得〃分時(shí)有可能是獲得分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)或獲得〃-2分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為偶

數(shù)，而擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率均為；.

所以《=：ET+：6T(3W〃W9),

則XEi=-；（匕」一匕一2），（3（〃《9），又6-［二：

故優(yōu)一CT｝（24〃《9）為首項(xiàng)為：，公比為—g的等比數(shù)歹I.

【小問(wèn)2詳解】

t/1、〃-2./]\?-3

由⑴知屋，……，

將所有等式相加得勺-片=；?

(1<?<9),

所以右河信341

設(shè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為x元，二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為;元,

2

(Y3411711

由題意知5?好+x-wxlO<10000it,

、乙JIND\乙)

解得暮期映之1499.27,即一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金最多不超過(guò)1499元.

683

19.已知函數(shù)〃==加+（a-2）x-lnx.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若“X）有兩個(gè)零點(diǎn)，/'（X）為"》）的導(dǎo)函數(shù).

（i）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（ii）記”力較小的一個(gè)零點(diǎn)為M,證明:X。/'（為）＞—2.

【答案】（1）在（01）上單調(diào)遞減，在（1,+8）單調(diào)遞增；

（2）（i）（0,1）；（ii）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）（i）先討論單調(diào)性，根據(jù)/（X）有兩個(gè)零

點(diǎn)得出最小值即可得〃的取值范圍；（ii）結(jié)合（i）知，要證不/'（?%）＞-2,即證

（2Ao+l）（ar0-l）＞-2,即用）（2%+1）＞2/-1,分0＜%4g和g＜/＜1進(jìn)行證明.

【小問(wèn)I詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，/（x）=x2-x-lnx,函數(shù)的定