第02章重點突破訓(xùn)練：整式運算及其應(yīng)用

考點體系

考點1：常規(guī)整式運算

方法或規(guī)律點撥

本題考查了整式的化簡求值和整式的混合運算，解決本題的關(guān)鍵是掌握整式的運算順序和運算法則.注意

互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為o,互為倒數(shù)的兩數(shù)的積為1.

鞏固練習(xí)

2.（2020?廣東省初一期末）先化簡，再求值：已知6/-3（2x2-4j，）+2（f-），），其中x=-l,），=；.

3.[2020?上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)初二月考）某同學(xué)在計算一個多項式乘以-3x2時，因抄錯運算符號，算成了

加上?3x2,得到的結(jié)果是X2?4X+I,那么正確的計算結(jié)果是多少？

（1）求B；（用含a、b的代數(shù)式表示）

（2）比較A與B的大小.

2

7.（2020.南京市金陵中學(xué)河西分校初一期中）已知A=2x2+3xy2xl,B=x+xyl.

⑴求3A+6B；

⑵若3A+6B的值與x無關(guān)，求y的值.

8.（2019?山西省初一期中）張老師給學(xué)生出了一道題：

小紅說：“不給這兩個條件，就不能求出結(jié)果，所以不是多余的.“

你認為他們誰說的有道理？為什么？

⑴求〃2、〃的值；

1?11

11.（2020?河北省石家莊新世紀外國語學(xué)校初三二模）（1）計算2--3--5—+（-3—）

7337

（2）某同學(xué)做一道數(shù)學(xué)題：”兩個多項式AB,fi=3x2--6,試求A+B”,這位同學(xué)把“4+B”看成“4?B”,

結(jié)果求出答案是-8/+71+10,那么A+B的正確答案是多少？

考點2：與某項無關(guān)問題

方法或規(guī)律點撥

此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

（2）如果A與23的差中不含4和V，求的值.

2.(2020.甘州中學(xué)初一月考)(1)化簡求值：已知氏一11+6+32=0,求代數(shù)式一3(2/-4y)+2(/-y)

的值.

(2)若化簡(2瓶產(chǎn)-工+3)-(3/-%-4)的結(jié)果與％的取值無關(guān)，求7n的值.

4.(2019.廣西壯族自治區(qū)初一期口)課堂上李老師給出了一道整式求值的題目，李老師把要求的整式(7a3—

6a3b+3a?b)一(—3a3-6a3b+3a2b+10a3-3)寫完后，讓王紅同學(xué)順便給出一組a,b的值，老師自己說答案，

當(dāng)王紅說完：“a=65,b=-2005”后，李老師不假思索，立刻就說出答案“3”.同學(xué)們莫名其妙，覺得不可

思議，但李老師用堅定的口吻說：”這個答案準(zhǔn)確無誤”，親愛的同學(xué)你相信嗎？你能說出其中的道理嗎？

考點3：整式運算的應(yīng)用

典例：(2020?珠海市斗門區(qū)實驗中學(xué)初一期中)今年秋季，長白山土特產(chǎn)喜獲豐收，某土特產(chǎn)公司組織10輛

汽車裝運甲、乙、丙三種土特產(chǎn)云外地銷售，按計劃10輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種土特產(chǎn)，

且必須裝滿.設(shè)裝運甲種土特產(chǎn)的汽車有x輛，裝運乙種土特產(chǎn)的汽車有y輛，根據(jù)下表提供的信息，解

答以下問題.

土特產(chǎn)種類甲乙丙

每輛汽車運載里(噸)456

每噸土特產(chǎn)獲利(元)120010001500

⑴裝運丙種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為(用含x、y的式子表示)；

(2)用含x、y的式子表示這10輛汽車共裝運土特產(chǎn)的噸數(shù)；

(3)求銷售完裝運的這批土特產(chǎn)后所獲得的總利潤(用含x、y的式子表示).

方法或規(guī)律點撥

本題主要考查了列代數(shù)式，正確理解各種數(shù)量關(guān)系之間的運算關(guān)系是列代數(shù)式的關(guān)鍵所在.

鞏固練習(xí)

A.盈利了B.虧損了C.不贏不虧D.盈虧不能確定

2.(2019?霍林郭勒市第五中學(xué)初一?期中)如圖所示，某長方形廣場的四角都有一塊半徑相同的L圓形的草地,

4

已知圓形的半徑為，米，長方形的長為。米，寬為5米.

(1)請列式表示廣場空地的面積;

⑵若長方形的長為300米，寬為200米，圓形的半徑為10米，計算廣場空地的面積（計算結(jié)果保留冗）.

3.（2019?河南省初一期中）自我國實施“限塑令”起，開始有償使用環(huán)保購物袋，為了滿足市場需求，某廠家

生產(chǎn)A、B兩種款式的布質(zhì)環(huán)保購物袋，每天生產(chǎn)4500個，兩種購物袋的成本和售價如下表，若設(shè)每天生

產(chǎn)A種購物袋x個.

成本（元個）售價（元少）

A223

B335

⑴用含x的整式表示每天的生產(chǎn)成本，并進行化簡：

（2）用含x的整式表示每天獲得的利潤，并進行化簡（利潤=售價成本）；

（3）當(dāng)x=1500時，求每天的生產(chǎn)戌本與每天獲得的利潤.

4.（2019?內(nèi)蒙古自治區(qū)初一期末）如圖所示，一塊正方形紙板剪去四個相同的三角形后留下了陽影部分的圖

形.已知正方形的邊長為a,三角形的高為h.

（1）用式子表示陰影部分的面積；（2）當(dāng)a=2,h=L時，求陰影部分的面積.

2

5.（2020?黑龍江省初一期末）A、B兩倉庫分別有水泥15噸和35噸,C、D兩工地分別需要水泥期噸和30

噸.已知從A、B倉庫到C、D工地的運價如表：

到C工地到D工地

A倉庫每噸15元每噸12元

B倉庫每噸10元每噸9元

（1）若從A倉庫運到C工地的水泥為x噸，則用含x的代數(shù)式表示從A倉庫運到D工地的水泥為一噸，從

B倉庫將水泥運到D工地的運輸費用為元；

(1)求。的值；

(2)請用含X的代數(shù)式分別表示鋪設(shè)地面需要木地板和地磚各多少平方米：

(3)按市場價格，木地板單價為300元/平方米，地磚單價為100元/平方米.裝修公司有A,B兩種活動方案,

如表：

活動方案一木地板價格「地磚價格.總安裝費「

8折「8.5折/2000元~

屈9折「8.5折/免收*

己知臥室2的面積為21平方米，則小方家應(yīng)選擇哪種活動，使鋪設(shè)地面總費用(含材料費及安裝費)更低？

考點4：數(shù)字規(guī)律探究

典例：(2020?河北省初三一模)如圖，階梯圖的每個臺階上都標(biāo)著一個數(shù)，從卜.到上的第1個至第4個臺階上

依次標(biāo)著-3,-2,-1,0,且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等.

(1)求第五個臺階上的數(shù)x是多少？

(2)求前21個臺階上的數(shù)的和是多少？

(3)發(fā)現(xiàn)：數(shù)的排列有一定的規(guī)律，第n個-2出現(xiàn)在第個臺階上；

(4)拓展：如果倩倩小同學(xué)一步只能上1個或者2個臺階，那么她上第一個臺階的方法有1種：1=1,上第

二個臺階的方法有2種：1+1=2或2=2,上第三個臺階的方祛有3種：1+1+1=3、1+2=3或2+1=3,…,

她上第五個臺階的方法可以有種.

方法或規(guī)律點撥

本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中數(shù)字的變化特點，求出相應(yīng)的結(jié)果.

鞏固練習(xí)

1.(2020?綿竹市孝德中學(xué)初一期口)已知一個三位數(shù)：100a+10b+c,將它的百位數(shù)字與個位數(shù)字交換后得

到一個新的三位數(shù)：100c+10b+a,試求這兩個三位數(shù)的差，并求當(dāng)a=5,c=7時，差的值是多少？

3.(2020?河北省初三二模)把正整數(shù)1,2,3,4.…排成如下的一個數(shù)表.

第第第第第第第第

12345678

列列列列列列列列

第1行12345678

第2行910111213141516

第3行1718192021222324

第4行2526272829303132

（2）第〃行第3列的數(shù)是______（用含“〃”的代數(shù)式表示）

（3）嘉嘉和淇淇玩數(shù)學(xué)游戲，嘉嘉對淇淇說：“你從數(shù)表中挑一個數(shù)工，按如圖所示的程序計算，只要你告訴

我所得的數(shù)在第幾行，我就知道你挑的數(shù)在第幾行你認為嘉嘉說得有道理嗎？計算說明理由.

/輸入x卜一-+10―x5——10一+5-/輸出y/

5.（2020?河北省初三學(xué)業(yè)考試）觀察下列等式，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決問題，

⑴直接寫出第④個等式：；

（2）猜想第〃個等式（用含字母〃的式子表示），并說明這個等式的正確性；

6.（2020?河北省初三二模）魔術(shù)師說將你想到的數(shù)進行以下四步操作，我就可以猜到你心里想的數(shù).

第一步：心中想一個數(shù)，求其平方；

第二步：想比這個數(shù)小2的數(shù)，求其平方；

第三步：求其平方的差值；

第四步：平方的差值除以4再加1.

將結(jié)果告訴我，我就能猜中你心里想的數(shù).

（1）若你想的數(shù)是5,求出你告訴魔術(shù)師的結(jié)果是多少.

（2）聰明的同學(xué)們，你覺得魔術(shù)師的步驟一定能猜中你心中的數(shù)嗎？請用代數(shù)式計算證明你的結(jié)論.

解答：魔術(shù)師猜中你心中的數(shù)（填“能''或"否”）；

證明：設(shè)心中想的數(shù)為〃（〃為任意實數(shù)）

7.（2020?河北省初三三模）如圖，從左向右依次擺放序號分別為I,2,3,…，n的小桶，其中任意相鄰的四

個小桶所放置的小球個數(shù)之和相等.

嘗試求x+y的值；

應(yīng)用若n=22,則這些小桶內(nèi)所放置的小球個數(shù)之和是多少？

發(fā)現(xiàn)用含k（k為正整數(shù)）的代數(shù)式表示裝有“4個球”的小桶序號.

8.（2020.云南省初三學(xué)業(yè)考試）觀察下列等式的規(guī)律

請用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題：

9.（2020?石家莊市第二十八中學(xué)初三一模）小麗同學(xué)準(zhǔn)備化簡：（3r?6-8）?（r?2加6）,算式中“口”是“+,

?，x,釬中的某一種運算符號.

⑴如果是“x”，請你化簡：（3.r-6.v-8）-（x2-2.vx6）；

⑵若r-2x-3=0,求（3.F-6A-8）-（x2-2x-6）的值；

⑶當(dāng)x=\時，（3N-6x-8）-（肘-2ra6）的結(jié)果是-8,請你通過計算說明所代表的運算符號.

10.（2020?重慶中考真題）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然

數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)一吻數(shù)

定義：對于三位自然數(shù)〃，各位數(shù)字都不為0,且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個位數(shù)字整除，則稱這

個自然數(shù)〃為“好數(shù)”.

例如：426是“好數(shù)”，因為4,2,6都不為0,且4+2=6,6能被6整除;

643不是“好數(shù)”,因為6+4=10,10不能被3整除.

（I）判斷312,675是否是“好數(shù)”?并說明理由;

⑵求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)，并說明理由.

考點5：圖形規(guī)律探究

（問期探究）：我們先考慮以下簡單的情況：一條直線穿越一個正方形的情況.（如圖2）

從圖中我們可以看出，當(dāng)一條直線穿過一個小正方形時，這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中

的兩個邊相交，所以當(dāng)一條直線穿過一個小正方形時，這條直線會與其中某兩條邊產(chǎn)生兩個交點，并且以

兩個交點為頂點的線段會全部落在小正方形內(nèi).

這就啟發(fā)我們：為了求出直線/最多穿過多少個小正方形，我們可以轉(zhuǎn)而去考慮當(dāng)直線/穿越由小正方形拼

成的大正方形時最多會產(chǎn)生多少個交點.然后由交點數(shù)去確定有多少根小線段，進而通過線段的根數(shù)確定下

正方形的個數(shù).

再讓我們來考慮3x3正方形的情況（如圖3）：

為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線/右上方至左下方穿過一個3x3的正方形，我們從兩個

方問來分析直線/穿過3x3正方形的情況:從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段;

從左右來看，這條宜線最多可穿過左右平行的四條線段；這樣直線/最多可穿過3x3的大正方形中的六條線

段，從而直線/上會產(chǎn)生6個交點，這6個交點之間的5條線段，每條會落在一個不同的正方形內(nèi)，因此直

線/最多能經(jīng)過5個小正方形.

（問題解決）:

（問即拓展）：

（4）如果用一條直線穿過2x3的大長方形的話（如圖5）,最多可以穿過個小正方形.

IW5

（5）如果用一條直線穿過3x4的大長方形的話（如圖6）,最多可以穿過____________個小正方形.

（類比探究）:

由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的M體空間，平面中的止方形中四條邊可聯(lián)想到正方體中的止方形的六

個面，類比上面問題解決的方法解決如卜.問題：

方法或規(guī)律點撥

本題考查線線相交得點、以及正方形、立方體的有關(guān)知識，是個探究題學(xué)會從簡單到復(fù)雜的推理方法,

找到規(guī)律即可解決問題，本題難度比較大，從穿過的線段入手，找到問題的突破口，這個方法值得在以后

的學(xué)習(xí)中應(yīng)用.

鞏固練習(xí)

1.（2020?安徽省初三二模）（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空:

??o?0?

第一個圖形：??:-。O=°：乙°；

????。?O?

.0?°?

?G?o?

第二個圖形：°。。-

??A?O.