新高考數(shù)學一輪復(fù)習

第講點、線、面的位置關(guān)系及線面平行

公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面

內(nèi)，那么這條直線在此平值內(nèi).

r岷。下而沒仃公共點，

則稱此1*1的。平面（|平行，id作/〃

如果平面外的一條直線和這個平

面內(nèi)的一條亙線平行，蹄么這條

15線和這介平面平行

如果一條*和一個平面平行「經(jīng)過

這條直線的平面和這個平面相交，那

么這條百域就和交線平行

直線、平面平行的判定與性質(zhì)

沒“公共點的兩個下面叫作flfflftl.

用符號衣示為：對于Tltta和0,若“|。=巾，則a〃p

如果―平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行

兩個平面平行判定方法

于另一個平面，那么這兩個平面平行

如果兩個平行平面同時和第三個平面

性質(zhì)定逐

相交，那么他們的交線平行

題型一：證明〃點共面〃、“線共面〃或“點共線〃及“線共點”

【典例如圖，在正四棱臺ABCO-AgGR中，M,MP,Q分別為棱A8,BC,B￡,人月上的

點.已知AB=6,AB,=3,BIQ=B,P=1,BM=BN=4,正四棱臺ABC?！狝qG2的高為6.

證明：直線MQ,BB]tNP相交于同一點.

【解析】證明：在正四棱臺中，因為用Q=B7=1,BM=BN=4,BQ〃BM,

B\P〃BN,

所以四邊形4QM8,B/NB均為梯形,則直線MQ與必相交，NP與必相交.

延長MQ,BB、,NP,設(shè)MQ的延長線與B片的延長線交于點區(qū)NP的延長線與BB1的延長線交于點尸.

在正四棱臺人-人￡GA中，AB”AM，BCHB\C\,

AMB

毀"空」改二罵」

'EBMB4FBNB4

得EBI=FB1,所以點E,產(chǎn)揖合，

即直線MQ,BB、,NP相交于同一點.

【方法技巧】

共面、共線、共點問題的證明

（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi).

（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條宜線，再證其他各點都在這條直線上.

（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

【變式1?1】在直三棱柱ABC—4MG中，AB1BC,ZACB=^,側(cè)棱長為3,側(cè)面積為9+36.

6

(1)求三棱錐4-44。的體積；

(2)若點。、E分別在三棱柱的棱CG，3/上，且CD>BE,線段42A。，。七的延長線與平面A8C交于

EG,“三點，證明：EG,"共線.

【解析】(1)由題意知2AB=AC8C=

所以該三棱柱的側(cè)面積為(2A8+、/i45+A8)xB4=9+3G=(3+g)x3A5=A8=l,8C=G,

又AB工BC,直三棱柱ABC-A4G中

且BCCBB]=B,BC、BAu平面BCi,

所以平面〃G，

又ABUAM，所以A4_L平面3C1,

故三棱錐B-AAC的體積為%=V3公BCxBB=g~;

(2)由基本事實的推論知兩條相交直線共面，所以A，F(xiàn),G,E,Oe平面4產(chǎn)G,

又HeEZXEDu平面4產(chǎn)G,所以〃e平面A尸G,

而Ht平面ABC,平面ABCH平面AFG=FG,

所以“wFG,即EG,"共線.

題型二：異面直線的判定

【典例2?1】已知正方體4BCO-A,與GR,點/>在直線上，Q為線段3。的中點，則下列說法不正確

的是()

A.存在點P,使得PQ_LAG；B.存在點P,使得PQ//A/；

C.直線2。始終與直線CG異面；D.直線P。始終與直線3G異面.

【答案】c

【解析】在正方體/WCO—A4G2中，可得AG_L42，

又由8卅JL平面A4CA，且AG<=平面A/C。，所以AG_LB&,

因為BRcBBi=Bi，且平面8力力由，所以八6J■立面，

由點尸在直線AR上，。為線段30的中點，

當點P和。重合時，可得PQu平面4。。蜴，所以夕。_LAG，所以A正確；

連接A。，如圖所示，

當點P為線段AR的中點時，尸。為的中位線，即PQ//A8,所以B正確；

因為CC|U平面ACGA，當點尸和點A重合時，PQu平面ACGA，

則直線PQ和CC在同一平面內(nèi)，所以C錯誤；

由BGu平面ABCQ,PQc平面ABCQ=P,且P/g,

所以直線PQ始終與直線BG不相交，且不平行，所以。。與8G是異面直線，所以D正確.

故選：C.

【方法技巧】

判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：

（1）直接法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點的直線是異面直線.

（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面.

【變式2?1】在底面半徑為1的圓柱。01中，過旋轉(zhuǎn)軸。。1作圓柱的軸截面4BCD,其中母線八8=2,E是

弧BC的中點，廠是48的中點，則（）

A.AE=CF,AC與E尸是共面直線

B.AE^CF,AC與￡尸是共面直線

C.AE=CF,AC與“是異面直線

D.AEoCF,4c與E尸是異面直線

【答案】D

【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱。。|中，母線AB=2,BC=2,E是8C的中點，則8E二AE二&，

因為尸是A8的中點，又AB=2,則3/=1,

AE=JA3,+8爐=〃+=幾，CF=yjBC2+BF2=74+1=75，

.;AEwCF,

在VABC中，。是BC的中點，尸是人A的中點，OFIIAC,

???4C與。廠是共面直線，

若AC與E尸是共面直線，則。/ACE在同??平面，顯然矛盾，故4c與￡尸是異面直線

故選：D.

題型三：異面直線所成的角

【典例3-1】已知底面邊長為2的正四棱柱48CO-A百GR的體積為16,則直線4C與所成角的余弦

值為（）

A2KRx/5rV10n3V10

A.-----------C.------L）.------

551010

【答案】C

【解析】如圖，連接AA，CR,則A8//QC，取4c的中點O,連接。則。。14C,

所以4cA（或其補角）為直線力C與AB所成的角，

又正四棱柱的體枳為?則該棱柱的島為CG=蕓=4'

乂AC=2瓜AD、=CD、=5+2’=2#,

所以=皆噎嚕

即直線4C與AB所成角的余弦值為叵.

10

AB

【典例3-2】已知兩條異面直線內(nèi)。所成角為70。，若過空間內(nèi)一定點的直線/和小力所成角均為60。,

則這樣的直線/有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】C

通過平移過點P作b//CE,由題意，NBPE=7。,NEPD=110,

而“BPE的角平分線與a和。的所成角為四■=35,

2

ZEPD的角平分線與a和〃的所成角為叱=55,

2

因為60。>35,60>55、所以直線/和a,b所成角均為60。的直線有4條,

其中直線/在平面的射影為23PE的角平分線時存在2條宜線滿足條件，

當直線/在平面EPD的射影為㈤力的角平分線時存在2條滿足條件，故共4條.

故選：C.

【典例3?3】已知矩形A8C。中，A3=1,4C=夜,E是邊8c的中點.AE和8。交于點將△ABE沿

AE折起，在翻折過程中當A8與MO垂直時，異面直線以和CD所成角的余弦值為（）

A.-B.；C.—D.-

64123

【答案】D

【解析】如圖1,在矩形A8CD中，A3=1,8C=0,七是邊8C的中點，

>/2?.BEAB

2ABAD

乂=跖=90"，故VA8E:VD43，所以N84E=ZAD8,

則￡BAE+NABD=NADB+NABD=90",故A￡_LMD.

圖①圖②

如圖2,將AAAE沿A七折起，點B的對應(yīng)點為夕，在翻折過程中，當A9與MQ垂直時,

因為AEc八夕=A4￡A"<=平面A8E,所以MQ_L平面AB'E,

因為MDu平面AECO,所以平面4?七_1_平面AECQ,

因為用u平面A873平面/仍'Efl平面AECD=AK,

所以UMJ_平面4ECD,

連接B'B，因為A8〃CO,

所以N8AB或其補角即為異面直線ZM和CO所成角，

因為,所以3M=立，

223

故*知=避，則BB'=NBM?+B/=顯,又筋=鉆=1,

33

]i_r7

故C,4H+§4—8如「2一§_2,即所求角的余弦值為彳，

2ABAB'235

故選:D.

【方法技巧】

（1）點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正

方體為模型.

（2）求異面直線所成的角的三個步驟

一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

三求：解三角形，求出所作的角.

【變式3-1】如圖所示，圓錐的底面直徑A8=4,高0。=2啦，。為底面圓周上的一點，且乙400=120。,

則直線A。與3c所成角的大小為.

【解析】如圖，延長0。交底面圓于點E,連接班，CE,

c

rhAB,DE均為圓的直徑知A。//4E,且

所以NC8E即為異面直線AO與BC所成的角(或其補角).

在△AOD中，AQ=2OAsin6()o=2x/J,

在RSBOC中，BC=y/OB2+OC2=2G，

所以CB=CE=BE=26所以△CBE為正三角形,

所以NCBE=60。，即直線人力與8C所成的角為60。.

故答案為：60°.

【變式3?2】如圖，直線尸￡>_L平面A4CDA4CD為正方形，PD=AD,則直線A4與5。所成角的大小

【解析】令心>=4>=1，取AA中點分別為改戶,M,

連結(jié)則五

.?./￡7必就是直線Q4與BD所成角或其補角.

又因為在中，EF=-PA=-\IAD2+PD2=1VF+T=—,

2222

22

FM=-BD=-y]AD+AB=lN/iT?=—

2222

連結(jié)DM，得DM=^AD2+AM2=

EM=yJED2+DM2

16

EF2FMEM

則cosNEFM=+--242

2EFxFM2f

2x

2

NEFM=12()

???直線始與所成角為60°.

【變式3-3】在三棱錐P—A3C中，AC=6?C=1,PA=PB=PC=AB=2,〃為AC的中點，則異面

直線BM與PA所成角的余弦值是

【答案】第

28

【解析】取0C的中點。，連接如圖所示：

則根據(jù)三角形的中位線定理可得OM〃月4，且。M=1.

所以ZDMB為異面直線BM與PA所成的角或其補角.

因為在VA3C中，AC=￡,BC=\,4?=2,

所以"2=8。2+八。2,則ACJ.BC.

又AM=A/C=，AC=立，所以BM=dBC?+MC。=亙.

222

又在8c中，BC=I,PI3=PC=2,

所以由余弦定理可得：COSZDCB=22+12-22=-!-.

2x2x14

又因為在△應(yīng))C中，DC=BC=\,

i3

所以由余弦定理可得：5D2=l+l-2xlxlx-=-.

.73

DM2+BM2-BD2“15_5夕

則在ABA"）中，由余弦定理可得，cosZDM5=

2xDMxBM―"28，

2xlx

2

所以異面直線BW與以所成角的余弦值為".

故答案為：”

題型四：等角定理

【典例4」】設(shè)/A與N3的兩邊分別平行，若乙4=60，貝|JNB=.

【答案】60“或120

【解析】根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.

所求角為60"或120二

故答案為:60°或120°.

【典例4-2】如圖，在正方體48CO-A4GA中，E是棱CG的中點，記平面4?；蚺c平面的交線

為4,平面ARE與平面的交線為《，若直線A8分別與《A所成的角為。、尸，則3!。=,

lan（Q+'）=.

【解析】在止方體A4CO—A4GA中，E是棱CG的中點，

延長。E與OC延長線交于點尸，連接A尸，則直線質(zhì)即為直線4，ct=4BAF,

由CE//DDr得CF=DC,又ABHCD,于是tana二tan/4/7）=g,

由平面CQRCJ/平面A8B4，平面4"Ec平面4B&A=的平面AREc平面CQ"G=

則"E/〃2，又CQJ1AB,因此/=NG"E,tan/y=-,

2

I1

+

rr...0、tana+tan/?724

所以tan(a+/7)=■；--------------^=-,=T

1-tanatanp]__L乂_L3

~22

【方法技巧】

空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

【變式4.1】過正方體A3CD-A4CQ的頂點A在空間作直線/,使/與平面mQQ和直線所成的角都

等于45。，則這樣的直線/共有一條.

【答案】2

【解析】在正方體中，AC與平面防門。垂直，再根據(jù)等角定理，問題可以轉(zhuǎn)化為過點A與AC、都

成45。的直線有兒條.

考慮到AC,AR夾角為60。，所乂同一平面的角平分線與AC,人R的夾角大小為30。，

因為45。＞30。，從而存在兩條直線滿足條件.而AC,AR的外角為120度，所以不存在外角平分線滿足

條件.

綜上，滿足條件的直線共2條.

故答案為：2.

題型五：平行的判定

【典例5?1】設(shè)例y是三個不同平面,J§L?Ar=/,^n/=m,則“〃/切”是“。〃夕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若?！ㄏ?，。。7=//%，=機，則由平面平行的性質(zhì)定理：得〃/〃?：

但當〃/〃?，any=//ny=陽時，可能有a〃尸,也可能有a,■相交,

如/,機是三棱柱的兩條側(cè)棱所在直線，/是/，機確定的平面，

另兩個側(cè)面所在平面分別為見夕，此時符合條件，而外夕相交，

所以“/〃M’是“?！ㄏΑ谋匾怀浞謼l件.

故選：B

【典例5-2】已知平面滿足a_L/?/JLy,aJ_y,下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線/J_a,則/〃夕或〃//

B.若直線〃/a,則/與夕和產(chǎn)相交

C.若/ua,貝ij/_!_/?,且/-L/

D.若直線/過空間某個定點，則與夕，成等角的直線/有且僅有4條

【答案】D

【解析】在正方體ABCO-AECR中，平面八8c。，平面AORA，平面兩兩垂直，

令平面ABCD為平面a,平面AORA為平面夕，平面CDD?為平面/,

對于A,直線。R_La,DD\Up,DD、uy,當/為直線QR時，luRluy,A錯誤；

對干B,9Jia,當,為直線時，///九B錯誤；

對于C,A8ua,當/為直線45時，Illy,C錯誤；

對于D,在正方體—中，直線4G，AC8A，8Q用交于點O,

它們與平面八38,平面AODM，平面CDQ￡所成的角都相等，

而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個面所成的角相等，

過空間給定點作直線平行于直線AG，4C8R,6。之所得直線與與a,夕,7所成先相等，

因此直線/過空間某個定點，與。,夕，7成等角的直線/有且僅有4條，D正確.

故選：D

【方法技巧】

排除法：畫一個正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進行排除.

【變式5?1］（多選題）已知/是兩個不同平面.，利，〃是兩條不同直線，則下列命題為假命題的是

（）.

A.如果/〃_L〃，m±a,nl10,那么aJ■夕

B.如果n/!a,那么，〃_L〃

C.如果a/R,"?ua,福么mH0

D.如果/〃〃〃，alipt那么加與。所成的角和〃與尸所成的角的大小不相等

【答案】AD

【解析】對于A,可運用長方體，舉反例說明其錯誤，如圖，

不妨設(shè)AA為宜線〃?，CD為宜線〃，平面438為。，平面八5C77為夕，

顯然這些直線和平面滿足題目條件，但。1夕不成立，故A為假命題；

對于B,設(shè)過直線〃的某一個平面與平面。相交于直線/,則〃/〃，

由〃?_1_口知〃1_1_/,從而〃?_!_〃，故B為真命題；

對于C,如果a//。,加ua,則加〃A，故C為真命題；

對于D,如果/〃〃〃，allp,那么〃?與a所成的角和〃與夕所成的角相等，故D為假命題.

故選：AD.

【變式5?2】已知a,p,y為三個不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若?？谙?/，。口尸〃，夕07=仇〃/%則下列說法正確的是（）

A.a與/相交B.2與/相交C.a\\bD.。與夕相交

【答案】C

【解析】對于AB,〃/%/u平面a,則/〃a，

同理可得〃/〃，則AB錯誤；

對于C,由AB知道〃〃〃，則C正確；

對于D,由A知道〃/4MN平面尸，/u平面夕，則4〃夕，故D錯誤.

故選：C.

題型六：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

【典例6-1】如圖，己知四棱錐PA8C。的底面48CO是平行四邊形，例，N分別是棱PB,PC的中點，Q

是棱布上一點，且AQ=3。尸.

求證:NQ〃平面MCD;

【解析】取以的中點S,連接SM,SD,SC,因為M為。4的中點，

所以SW//八3,又ABHCD、所以SM//C，故S,M,C,。四點共面,

由題意知Q,N分別為PS,PC的中點，故NQ//SC,

乂NQU平面MCDSCu平面MCO,因此NQ〃平面MC。；

【典例6?2】如圖，四棱錐的底面是正方形，H?_L平面點E足叢的中點，尸足線段

P8上靠近P的三等分點，PD=AD=2.

(1)求證：PC〃平面8。七；

(2)求點尸到平面BDE的距離.

【解析】(1)證明：如圖,

連接AC交于點O,連接KO,

???四邊形A8CO是正方形，「.O為AC中點，

?.?E是"中點，：.EO//PC,

EOU平面UDE,PCa平面BDE,；.PC//平面BDE.

(2)平面ABC。，A3u平面A8CZ),/.ABLPD.

乂四邊形ABC。是正方形，.?.A8/AO.

乂PDcAD=D,PDAOu平面PAO,.?.AB/平面PAD.

乂DEu平面PAD，ABIDE.

?.?點E是融的中點，PD=AD=2,：.DELPA.

又ABCIPA=A，A8,PAu平面尸AB,.?.￡)石，平面

又BEu平面如

乂易知DE=6,：.BE=4BD2-DE2=瓜.

???^flD￡=-xV2xx/6=^.

1(1)4

,?"fm=丁旨2乂2—2=§.

又2“比=是線段尸8上靠近尸的三等分點,

v_lv_22_2

4-ADE=2Vp-AHD=§'外-n》：=耳X§二§

4

“F-BDE=Vp-ABD~^B-ADE~^F-PDE=一

9,

則!xGx"=:，解得公迪

設(shè)點F到平面BDE的距離為d,

399

點F到平面BDE的距離為半.

【方法技巧】

利用三角形中位線找線線平行.

【變式6-1】如圖所示，PDCE為矩形，A3CO為梯形，平面H)CK_L平面A5C。，Z￡?AD=Z4DC=90°,

AB=AD=-CD

2

若點M為E4的中點，證明:AC//平面MDE；

【解析】連接PC，交。E于N,連接MN

PDCE為矩形，N為PC的中點

在中，M,N分別為用，PC的中點

:.MNHAC,

因為何*u平面MDE,ACU平面MDE,

所以AC〃平面MQE.

題型七：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

【典例7?1】如圖，在四棱錐F-A3CZ)中，四邊形A4CD是矩形，M,N分別是尸。和3c的中點，平面

PAB平面ABCD,P/\=PB=AB=AD=2.

BNC

(1)證明：MN〃平面八鉆；

(2)求三棱錐M-ABC的體積.

【解析】(1)如圖，取尸A的中點E,連接E&EM,

因為ME是△PA。的中位線，所以ME//A。，RME=^AD,

又因為BN//AD且BN=、AD,所以ME//BNRME=BN,

2

所以四邊形ME3N是平行四邊形，所以MN//BE,

又因為MVu平面PAB,BEu平面PAB,所以MN〃平面PAB；

(2)取48的中的中點尸，連接P尸，

因為P4=QB=A8,所以尸尸且PF=6,

又因為平面Q48_L平面/WC。，立面P48c平面

PFu平面R4B，所以比_L平面

因為SHBC=；4BBC=2,PE=75，

所以L板=、5ABC,PF=空,

r-Ank.3A/toC3

又因為“是尸。的中點，所以Vw_A8C=-Vp-ABC=—.

23

【方法技巧】

利用平行四邊形找線線平行.

【變式7-1］如圖，在正三棱柱ABC-A8c中，分別是BC,B￡,A￡的中點，BC=4BE，

求證：：律〃平面ADRA；

【解析】證明：取AD的中點G,連接EG,DG,

小Cl

根據(jù)題總可得/G//4R,且產(chǎn)G=g4R,DE.BD,

由三棱柱得性質(zhì)知4。〃4〃，所以/G〃8Z),則四邊形Z)G所是平行四邊形,

所以瓦V/￡>G,

因為耳'(Z面AORA，ZX；u面AOQ4，

所以所〃面AOA4.

題型八：利用面面平行證明線面平行

【典例8?1】由正極錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四楂臺A3。。-A/G。中，￡尸分別為ADA8的

中點，A8=2A4=4,側(cè)面88CC與底面A8CD所成角為45。.

AFB

求證：〃平面4七~；

【解析】連接瓦)、BR,由E尸分別為4。,AB的中點，則所〃加，

又E尸a平面BBQQ,BDu平面故EF"平面BBQQ,

正四棱臺人8a)一人16力|中，人用//人8且A旦=5/，

則四邊形四為平行四邊形，極W網(wǎng),

又A尸a平面BBQ\D,BB\u平面BB\D\D,故A尸〃平面BBRD,

乂％FcEF=F,且AFu平面4￡7"Eru平面吊石尸，

故平面人破〃平面88QQ,又8Ru平面BBQN，故3。//平面兒七尸；

AFB

【典例8-2］如圖，AD///3C,AD_LAB,點、E、尸在平面ABCQ的同側(cè)，CF//AE,4)=1,

AB=BC=2,平面AC尸E_L平面45。/九EA=EC=6

求證：8尸〃平面A/)E；

【解析】因為CQ/A石，6U平面AOE,

所以CFH平面ADE,同理BC//平面ADE,

又BC,Bu平面加牙,BCC\CF=Cf

所以平面8b〃平面AOE，B/u平面ADE，

所以8尸〃平面A￡>￡；

【方法技巧】

本法原理：已知平面a〃平面夕，則平面夕里的任意直線均與平面。平行

【變式8-1］如圖，在直角梯形"8中，ADHBC,AB±BC,AB=BC=2AD,把梯形八28繞八3旅

轉(zhuǎn)至A8G",E,尸分別為AB,CG中點.

證明：七尸〃平面。。人；

【解析】證明：設(shè)。G中點為G,連接/G,EG,

FG為，CC\R中位線，F(xiàn)GI/CD,,

又CD]u平面CD】A,FGa平面CD、A,

/.FG//平面CD,A,

???EG為梯形ABCR中位線，EG//AD.,

又ARu平面EGa平面C〃A,

.?.EG〃平面CRA,

?.￡GDFG=G,FGu平面EFG,EGu平面瓦'G,

，平面EFG〃平面CQE,

?.?Mu平面防G,

二.叱〃平面CRA.

題型九：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

【典例9?。如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,八人,8片為圓臺的兩條不同的母線.

分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，且△048為等邊三角形.求證：4M//A8.

B

【解析】證明：???圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，

所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應(yīng)母線的一部分.

???母線AA與母線BBl的延長線必交于一點，AA,氏用四點共面.

圓面a//圓面O，且平面A88An圓面0]=AB],平面ABB|An圓面o=八笈.A|B|//4B.

【方法技巧】

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

【變式9-2］如圖，在四棱臺ZWCD-AMGA中，。2_1平面人8。。，AD//BC.AD=2,fiC=l,

NBCD=60,/\D,=D,D=I.

記平面AAQR與平面48CG的交線為/,證明：〃/8C；

【解析】

因為AD//BC,八Du平面AA。。，3。0平面AA。。，

所以8C〃平面AAQR.

又BCu平面B.BCC,,平面A.ADD^平面與比(=/,所以/〃8C.

題型十：面面平行的證明

【典例10-1］如圖，在多面體尸中，四邊形A8C。是正方形，。七_!_平面48。/),B/_L平面"CO,

DE=2BF=2AB.

(1)求證：平面A4/〃平面COE；

⑵若AB=2,求多面體45C￡見尸的體積.

【解析】(1)因為力E_L平面"CD,M_L平面相8,

所以Z)￡〃8",

因為QEu平面CDE,8尸u平面COE,

所以笈尸〃平面COE,

因為四邊形A8CD是正方形，所以A8//CD,

因為CDu平面COE,從30平面8石，

所以A8〃平面CQE,

又ABu平面ABF,BFu平面A8F,且ABp8尸=6,

所以平面ABF//平面CDE.

(2)如圖，連接AC,8。，記ACn“D=".

因為四邊形AAC/)是正方形，

所以ACIBDA〃=CH=1AC,

2

因為OEL平面ABCDACi平面ABC。，

所以。石/AC,

因為。Eu平面8。后￡8。匚平面8。斯，且DEcBD=D,

所以47，平面8。所，

因為￡>E=28/=2AB，且加=2，所以“"=2?！?4,

因為四邊形A3CD是正方形，所以4C=8￡>=2Q，

則A〃=C〃=血，

故多面體ABCDEF的體積V=V：+匕加"

=42+力2巴&+9(2十》2凡&會.

3232

【方法技巧】

常用證明面面平行的方法是在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時

垂直于這兩個平面.證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行.

【變式10?1】如圖，直棱柱ABCO-AqGR中，底面A4c。為睇形，AB//DC,且A3=2OC,E,E分別

是棱A8,AO的中點.

證明：平面RE尸〃平面G班）；

【解析】在A46”中，瓦廠分別為A8,A￡）的中點，則E尸//6D,

而斯二平面G323OU平面G3。，因此所〃平面G8D,

又DC//AB,DC=；AB=EB,而￡）C//OC,RG=。。，

于是EB//DG且EB=DG，四邊形4CQ石為平行四邊形，則2石〃。出，

乂AES平面GBAGBu平面G8。，因此AE//平面C/D.

而EF,D.E為平面D}EF中兩相交直線，所以平面尸//平面C^D.

題型H"一：面面平行的性質(zhì)

【典例n?l】在正四面體A8C。中，P為棱A。的中點，過點A的平面a與平面P8C平行，平面an平面

ABD=m,平面aPl平面A8=“，則根，〃所成角的余弦值為（）

A0R102n

A?D?C?\J.

3333

【答案】B

【解析】因為平面a〃平面PBC,aPl平面八加=/〃，平面PBCCI面4比>=8。，

所以m"BP,

因為平面a//平面P8C,afl平面ACZ）=",平面PBCR面從?！?gt;=PC,

所以〃//PC,

所以川，〃所成角即為月P/C所成角，

而BP、PC所成角為NBPC,設(shè)正四面體ABCD的棱長為2,

所以A8=AC=A/）=9=/?C=2,所以BP=CP=M%=5

3+3-4I

所以8、""=瓦反耳=亍

A

故選：氏

【典例11?2】已知正方體A3CO-A與GR,平面48。與平面ORGC的交線為/,則（）

A.WApB.IHB\DC.〃/G。D.U/D.C

【答案】C

【解析】正方體A4C?！狝MGR中，平面A4,44〃平面。RGC,

平面A5Cn平面平面ABCn平面AAB/=AB1,麻以〃）旦，

正方體中，AD=BC「HAD〃BC「四邊形AOC禺為平行四邊形，

則有AB//CZ）,所以〃/G。，C選項正確；

425。,。。都與6。相交，則/與A23Q，AC都不平行，ABD選項都錯誤.

故選：C.

【方法技巧】

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行=＞線面平行”）

【變式11?1】如圖，梯形ABC。中A8〃CZ）,四邊形/VZTC77是梯形ABC。在平面a內(nèi)的投影

（AA：//BB'//CC//DD'）,則對四邊形A7TC'。'的判斷正確的是（）

A.可能是平行四邊形不可能是梯形B.可能是任意四邊形

C.可能是平行四邊形也可能是梯形D.只可能是梯形

【答案】D

【解析】由題意，因為/W//39//CC7/。。，所以A4與確定平面人

CC與Diy確定平面CCDD,

/Wo平面CC7)7),"u平面CC。。，A4//平面CC*。。，

又在梯形ABCD中，AB11CD,AS仁平面CCDD,

CQu平面CC77。，了.AB〃平面CCDZ).

乂AAnAB=A,AA'u平面AA^B,ABu平面AA'ITB，

???平面44方8//平面。C。。.

易知平面A4Z'8ca=A'8'，

平面CCDDca=CD',，A,B,//CD,.

在平面A8CD中，A8與CD長度不相等，3C,A。必然會相交于一點，

則平面3&CC與平面AT。'。相交，8'C，4。必然會相交于一點，

則四邊形49右。只可能是梯形，

故選:D

題型十二：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例12-1］如圖，在三棱錐P-A8C中，NL底面ABC,AC1BC,L為PC的中點，M為A”的中點,

昨AC=2,8C=1.

(1)求證：AHJ.4C；

⑵求點。到平面A/汨的距離;

(3)在線段尸8上是否存在點N,使MN〃平面48C?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)因為24_1_底面ABC,8Cu平面A8C,所以PA_L3C.

又因為4C_L8C,4?？?二4,八。,胡(=平面。4。，

所以3C_L平面尸八C,

又因為4/u平面/%C，所以4方_L8C.

(2)設(shè)點C到平面A8"的距離為

因為PA_L底面八3C,24=2,H為PC的中點,

所以點，到平面AB”的距離為g處=1.

又因為在VA3C中，AC±BC,AC=2,BC=\.

=%-CA8=5'/尸/4'5#8（?=§X1X,X2X1=3.

乂因為R4_L底面ABC,ACu平面ABC,所以R4_LAC,

又因為B4=2,AC=2,H為PC的中點，

所以PC=2&，AH=；PC=yfi

又因為由（1）知8C_L平面PAC,PCu平面PAC,所以3C_LPC,

則BH=JBC?+CH?=J?+（竿）=6

所以AS?=A〃2+S〃2,則A"_L4",

則乙48”的面積為』x&xG=遠，

22

所以?巫」，解得△=逅.

c3233

IPNI3

（3）線段依上當點N滿足萬兩="使MN〃平面A8C

證明：取CH的中點K,連接MK