第第頁第16講三角形的初步認(rèn)識【2大考點(diǎn)9大題型】考點(diǎn)一考點(diǎn)一三角形的概念與三角形的三邊關(guān)系【題型1三角形的相關(guān)概念】1．（2024·江蘇鹽城·中考真題）將一張等邊三角形紙片沿著一邊上的高剪開，可以拼成不同形狀的四邊形．試寫出其中一種四邊形的名稱．【答案】平行四邊形（或矩形或箏形）【詳解】解：將一張等邊三角形紙片沿著一邊上的高剪開，按位置擺放的不同，可以拼成平行四邊形、矩形．故答案為平行四邊形或矩形．2．（2024·四川遂寧·中考真題）一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比試1:2:3，這個(gè)三角形是三角形【答案】直角【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形類別，解答此題應(yīng)明確三角形的內(nèi)角度數(shù)的和是180°，求出最大的角的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的分類判定類型．【詳解】解：180°×3∴這個(gè)三角形是直角三角形，故答案為：直角．3．（2024·河北邢臺·中考真題）如圖，在直角△ABC中，BC邊上有E，D，F(xiàn)三點(diǎn)，BD=CD，∠BAE=∠DAE，AF⊥BC，垂足為F．以AD為中線的三角形是；以AE為角平分線的三角形是；以AF為高線的三角形有【答案】△ABC△ABD10【分析】根據(jù)三角形直線的定義得出以AD為中線的三角形是△ABC，根據(jù)三角形角平分線的定義得出以AE為角平分線的三角形是△ABD，根據(jù)三角形高的定義數(shù)出三角形的個(gè)數(shù)即可求解．【詳解】解：∵BD=CD，∴以AD為中線的三角形是△ABC；∵∠∴以AE為角平分線的三角形是△ABD；∵AF⊥BC，∴以AF為高線的三角形有△ABE、△ABD、△ABF、△ABC、△AED、△AEF、△AEC、△ADF、△ADC、△AFC，共10個(gè)，故答案為：△ABC；△ABD；10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的定義，三角形角平分線的定義，三角形高的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2024·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC．要求：（1）在圖①中畫一個(gè)鈍角三角形，在圖②中畫一個(gè)直角三角形，在圖③中畫一個(gè)銳角三角形；（2）三個(gè)圖中所畫的三角形的面積均不相等；（3）點(diǎn)C在格點(diǎn)上．【答案】見詳解（答案不唯一）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)C在格點(diǎn)上，故可將直尺的一角與線段AB點(diǎn)A重合，直尺邊長所在直線經(jīng)過3×3正方形網(wǎng)格左上角第一個(gè)格點(diǎn)，繼而以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直尺，當(dāng)直尺邊長所在直線與正方形格點(diǎn)相交時(shí)，確定點(diǎn)C的可能位置，順次連接A、B、C三點(diǎn)，按照題目要求排除不符合條件的C點(diǎn)，作圖完畢后可根據(jù)三角形面積公式判斷其面積是否相等．【詳解】經(jīng)計(jì)算可得下圖中：圖①面積為12；圖②面積為1；圖③面積為3故本題答案如下：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類及其作圖，難度較低，按照題目要求作圖即可．5．（2024·吉林長春·中考真題）一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)：A1，A2，A3，…，A【答案】55【分析】利用遞推的方法，根據(jù)三角形的定義，結(jié)合圖表依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法；（2）如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除A1所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A（3）如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮A1①A1所在三角形的一個(gè)邊所對的弧上；②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對的弧上；在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的??；如果是情形①，則由（2），這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法；共有12種連法．（4）最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)．同樣考慮A1①9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上；②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上；③每三個(gè)點(diǎn)在A1共有12×3+3×6+1=55種．所以共有55種不同的連法．【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)數(shù)方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，即采用了化難為易的方法解答，要注意各個(gè)三角形的邊都不相交這個(gè)要求．【題型2三角形的穩(wěn)定性】1．（2024·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的特性，牢記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．2．（2024·寧夏·中考真題）為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條這樣做的道理是【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】本題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性的應(yīng)用，用木條固定矩形門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【詳解】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【題型3三角形的面積】1．（2024·浙江寧波·中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE,AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S,S1,S2，若要求出

A．△ABE的面積 B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D．矩形BCDE的面積【答案】C【分析】過點(diǎn)A作FG∥BC，交EB的延長線于點(diǎn)F，DC的延長線于點(diǎn)G，易得：FG=BC,AF⊥BE,AG⊥CD，利用矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式，可得S1+S2=【詳解】解：過點(diǎn)A作FG∥BC，交EB的延長線于點(diǎn)F，DC的延長線于點(diǎn)G，

∵矩形BCDE，∴BC⊥BE,BC⊥CD,BE=CD，∴FG⊥BE,FG⊥CD，∴四邊形BFGC為矩形，∴FG=BC,AF⊥BE,AG⊥CD，∴S1∴S1又S=S∴S?S∴只需要知道△ABC的面積即可求出S?S故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，求三角形的面積．解題的關(guān)鍵是得到S2．（2024·遼寧丹東·中考真題）如圖，△ABC中，AD是BC上的中線，BE是△ABD中AD邊上的中線，若△ABC的面積是24，則△ABE的面積是．【答案】6【分析】本題考查三角形面積的求法，解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的中線平分三角形的面積．據(jù)此求出面積比，即可解答．【詳解】解：∵AD是BC上的中線，∴S△∵BE是△ABD中AD邊上的中線，∴S△∴S△∵△ABC的面積是24，∴S△∴△ABE的面積是6．故答案為：6．3．（2024·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DEEF的值是【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理得出AB=5，根據(jù)△ABE的面積是2，求出點(diǎn)E到AB的距離為45，根據(jù)Rt△ABC的面積，求出點(diǎn)C到AB的距離為AC?BCAB=125，即可得出點(diǎn)C到DF的距離為85，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出CDCA=【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5∵△ABE的面積是2，∴點(diǎn)E到AB的距離為45在Rt△ABC中，點(diǎn)C到AB的距離為AC?BC∴點(diǎn)C到DF的距離為85∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴CDCA∴CD=2，DF=10∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DA=DE=1，∴EF=DF?DE=10∴DEEF故答案為：37【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計(jì)算，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)E到AB的距離為45，點(diǎn)C到DF的距離為84．（2024·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為h，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A，D到直線l2的距離分別為h，h證明：∵S△ABC(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，連接AD并延長交l2于點(diǎn)M證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS△DBC∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在l2下方時(shí)，連接AD交l2于點(diǎn)E．若點(diǎn)A，E，D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABCS【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)7【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABC（2）過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，先根據(jù)平行線的判定可得AE∥DF，再根據(jù)相似三角形的判定可證△AEM～△DFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AEDF（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，先根據(jù)相似三角形的判定證出△AME～△DNE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AMDN=AEDE=【詳解】（1）證明：∵S△ABC=∴S（2）證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥DF．∴△AEM～△DFM．∴AE由【探究】（1）可知S△ABC∴S（3）解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，則∠AME=∠DNE=90°，∴AM∥DN，∴△AME～△DNE，∴AM∵點(diǎn)A,E,D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，∴AE=5?1.5=3.5，DE=1.5，∴AM又∵S△ABC=∴S故答案為：73【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型4三角形的三邊關(guān)系】1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得x1=3，x2=7，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為【詳解】解：由方程x2?10x+21=0得，x1∵3+3<7，∴等腰三角形的底邊長為3，腰長為7，∴這個(gè)三角形的周長為3+7+7=17，故選：C．2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=32,AC=2，以BC為邊作Rt△BCD，BC=BD，點(diǎn)D與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)，則ADA．2+32 B．6+22 C．5【答案】D【分析】如圖，把△ABC繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△HBD，求解AH=AB2+BH【詳解】解：如圖，把△ABC繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△HBD，∴AB=BH=32，AC=DH=2，∠ABH=90°∴AH=A∵AD≤DH+AH，（A,H,D三點(diǎn)共線時(shí)取等號），∴AD的最大值為6+2=8，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，二次根式的乘法運(yùn)算，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個(gè)三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析判斷．【詳解】A、5+7=12，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、7+7=14<15，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、6+9=15<16，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、6+8=14>12，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個(gè)數(shù)的和能否大于第三個(gè)數(shù)．4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．【答案】6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當(dāng)6為一腰長時(shí)；當(dāng)2為一腰長時(shí)；分別求出第三條邊長，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)6為一腰長時(shí)，則另一腰長為6，底邊長為2，∵6+6>2，∴能構(gòu)成三角形，∴第三邊長為6；當(dāng)2為一腰長時(shí)，則另一腰長為2，底邊長為6，∵2+2<6，∴不能構(gòu)成三角形，舍去；綜上，第三邊長為6，故答案為：6．考點(diǎn)二考點(diǎn)二三角形中的重要線段和有關(guān)的角【題型5三角形的角平分線、中線和高】1．（2024·浙江杭州·中考真題）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（

）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線【答案】B【分析】根據(jù)高線的定義注意判斷即可．【詳解】∵線段CD是△ABC的AB邊上的高線，∴A錯(cuò)誤，不符合題意；∵線段CD是△ABC的AB邊上的高線，∴B正確，符合題意；∵線段AD是△ACD的CD邊上的高線，∴C錯(cuò)誤，不符合題意；∵線段AD是△ACD的CD邊上的高線，∴D錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高線的理解，熟練掌握三角形高線的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2024·江蘇連云港·中考真題）小華在電話中問小明：“已知一個(gè)三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個(gè)三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知該三角形為鈍角三角形，其最長邊上的高應(yīng)在三角形內(nèi)部，按照三角形高的定義和作法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：三角形最長邊上的高是過最長邊所對的角的頂點(diǎn)，作對邊的垂線，垂足在最長邊上．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形高線的畫法，無論什么形狀的三角形，其最長邊上的高都在三角形的內(nèi)部．3．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12，則BE的長為（A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)S△ABC=12和AD=4求出BC=6，根據(jù)【詳解】解：∵S△ABC=1∴BC=6∵AE是中線，∴BE=故選：B4．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以?ABCD的頂點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)A，E為圓心，大于12AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，畫射線BF，交AD于點(diǎn)G，交CD的延長線于點(diǎn)(1)由以上作圖可知，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是_______(2)求證：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面積．【答案】(1)∠1=∠2(2)證明見解析(3)9【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作圖可知，BF為∠ABC的角平分線，即可得到答案；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知∠1=∠H，結(jié)合∠1=∠2，從而推出∠2=∠H，即可證明；（3）過點(diǎn)H作BC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)M，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)AB=CD=4，∠HCM=∠ABC=60°，ABDH=AGGD，結(jié)合AG=2GD，推出DH=12AB，從而得到CH【詳解】（1）解：由作圖可知，BF為∠ABC的角平分線∴∠1=∠2故答案為：∠1=∠2（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB∥CD∴∠1=∠H∵∠1=∠2∴∠2=∠H∴CB=CH（3）解：如圖，過點(diǎn)H作BC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)M∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB=4∴AB∥CD，AB=CD=4∴∠HCM=∠ABC=60°，△ABG∽△DHG∴又∵AG=2GD∴∴∴DH=∴CH=DH+CD=6∴BC=CH=6∴HM=CH?∴S【題型6三角形的內(nèi)角和定理】1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于12BE的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線AF【答案】10°/10度【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出AF平分∠BAC，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：因?yàn)椤螧=50°，所以∠BAC=180°?50°?30°=100°，根據(jù)題意得：AF平分∠BAC，所以∠BAF=1因?yàn)锳D為高，所以∠BDA=90°，所以∠BAD=180°?50°?90°=40°,所以∠DAF=∠BAF?∠BAD=50°?40°=10°，故答案為：10°．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=°．

【答案】55°/55度【分析】先由鄰補(bǔ)角求得∠ADE=60°，∠BFG=65°，進(jìn)而由平行線的性質(zhì)求得∠B=【詳解】解：∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°∴∠ADE=60°，∠∵DE∥BC,FG∥AC，∴∠B=∠ADE=60°∵∠A+∴∠C=180°?65°?60°=55°故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角，平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數(shù)．【答案】30°【分析】根據(jù)DE垂直平分AB，求證∠DAE=∠B，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，∴∠DAE=12∠CAB=12（90°-∠∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B，∴∠DAE=12∠CAB=12（90°-∠B）=∠∴3∠B=90°，∴∠B=30°．∴若DE垂直平分AB，∠B的度數(shù)為30°．【點(diǎn)睛】此題本題考查的知識點(diǎn)為線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，比較簡單．【題型7三角形的外角性質(zhì)】1．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)E在AB的延長線上，當(dāng)DF∥AB時(shí)，∠EDB的度數(shù)為（

）

A．10° B．15° C．30° D．45°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．證明∠AED=∠FDE=30°，再利用∠EDB=∠ABC?∠AED，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：∠EDF=30°，∵DF∥∴∠AED=∠FDE=30°，∴∠EDB=∠ABC?∠AED=45°?30°=15°；故選B．5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，AB∥CD，∠C=33°，OC=OE．則∠A=【答案】66【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角可得∠E=∠C=33°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠DOE=66°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵OC=OE，∠C=33°，∴∠E=∠C=33°，∴∠DOE=∠E+∠C=66°，∵AB∥∴∠A=∠DOE=66°，故答案為：66．2．（2024·海南·中考真題）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)B處，測得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上．

(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號）；(3)求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)30，45(2)燈塔M到輪船航線AB的距離為103(3)港口C與燈塔M的距離為103【分析】（1）作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由三角形外角的定義與性質(zhì)可得∠AMB=30°，再由平行線的性質(zhì)可得∠BCM=45°，即可得解；（2）作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由（1）可得：∠A=∠BMA=30°，從而得到BM=AB=20海里，再由EM=BM?sin（3）作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，證明四邊形CDEM是矩形，得到CD=EM=103海里，DE=CM，由BE=BM?cos∠EBM計(jì)算出BE的長度，證明△CDB【詳解】（1）解：如圖，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，

，∵∠DBM=∠A+∠AMB=30°+∠AMB=60°，∴∠AMB=30°，∵AB、CM都是正北方向，∴AB∥CM，∵∠DBC=45°，∴∠BCM=45°，故答案為：30，45；（2）解：如圖，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，

，由（1）可得：∠A=∠BMA=30°，∴BM=AB=20海里，在Rt△BEM中，∠EBM=60°，BM=20∴EM=BM?sin∴燈塔M到輪船航線AB的距離為103（3）解：如圖，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，

，∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，∴四邊形CDEM是矩形，∴CD=EM=103海里，DE=CM在Rt△BEM中，∠EBM=60°，BM=20∴BE=BM?cos∵在Rt△CDB中，∠DBC=45°∴△CDB是等腰直角三角形，∴CD=BD=103∴CM=DE=BD?BE=103∴港口C與燈塔M的距離為103【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2024·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD=α．(1)如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．(2)當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD=β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)25°(2)①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，2α－β＝50°；②當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，2α＋β＝50°【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根據(jù)AE平分∠BAC，P與E重合，可得∠ACD，從而α＝∠ACB?∠ACD；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，可得∠ADC＝∠ACD＝90°?α，根據(jù)∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α?β＝50°；②當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，延長AD交BC于點(diǎn)F，由∠ADC＝∠ACD＝90°?α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°?α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．【詳解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵P與E重合，AE平分∠BAC，∴D在AB邊上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，延長AD交BC于點(diǎn)F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)．4．（2024·甘肅·中考真題）閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：例題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B,C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM=MN．求證：∠AMN=60°．點(diǎn)撥：如圖②，作∠CBE=60°，BE與NC的延長線相交于點(diǎn)E，得等邊△BEC，連接EM．易證：△ABM≌△EBM(SAS)，可得AM=EM,∠1=∠2；又AM=MN，則EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，進(jìn)一步可得∠1=∠2=∠5,又因?yàn)椤?+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．問題：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B【答案】見解析；【分析】延長A1B1至E，使EB1=A1B1，連接EM1C、EC1，則EB1=B1C1,∠EB1【詳解】解：延長A1B1至E，使E則EB1=B1∴△EB∴∠B∵N1是正方形A1B∴∠M∴∠B∴E、C在△A1B1M∴△A∴A1∵A1∴EM∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造三角形全等是解本題的關(guān)鍵．【題型8三角形的內(nèi)角和定理與外角的綜合應(yīng)用】1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD

，垂足為F，若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到∠ABD=∠EBD=12∠ABC=35°2，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠【詳解】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC=35°2，∠AFB=∠∴∠BAF=∠BEF，∴AB=BE，AE⊥BD，∴BD是AE的垂直平分線，∴AD=ED，∴∠DAF=∠DEF，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的大小為度．【答案】34【分析】先根據(jù)尺規(guī)作圖可得AB=BD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD=∠BDA=70°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】解：由同圓的半徑相等得：AB=BD，∴∠BAD=∠BDA=1∵∠C=36°，∴∠DAC=∠BDA?∠C=34°，故答案為：34．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2024·重慶·中考真題）如圖，AB∥CD，△EFG的頂點(diǎn)F，G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度數(shù)．【答案】20°【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠FGH=55°，再根據(jù)GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根據(jù)∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【詳解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，兩直線平行時(shí)，應(yīng)該想到它們的性質(zhì)，由兩直線平行的關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．4．（2024·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B＝30°，∠DAB＝45°．(1)求∠DAC的度數(shù)；(2)求證：DC＝AB．【答案】（1）75°（2）證明見解析【分析】（1）由AB=AC可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC，再利用角的和差可求得∠DAC；（2）由外角的性質(zhì)得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC，從而有AC=DC，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；（2）∵∠ADC=∠B+∠DAB=30°+45°=75°