第第頁第19講直角三角形【3大考點(diǎn)14大題型】考點(diǎn)一考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定1.直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．2.直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個(gè)銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.3.直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c，若a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】【例1】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD=3，BC=1，則AD的長為（

）A．5 B．10 C．2 D．2【變式1-1】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠C=20°，則∠CAD=°．【變式1-2】（2024·山東青島·中考真題）如圖，菱形ABCD中，BC=10，面積為60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC，交邊BC于點(diǎn)E，連接EO，則EO=．【變式1-3】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在△ABD中，∠ABD=30°，∠A=105°，將△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段DF，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接EF，ED．若EF=1，則A．1+34 B．2+34 C．【題型2判斷直角三角形】【例2】（2024·天津·中考真題）如圖，△ABC中，∠B=30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E，延長BA交DE于點(diǎn)FA．∠ACB=∠ACD B．AC∥DEC．AB=EF D．BF⊥CE【變式2-1】（2024·浙江溫州·一模）下列條件中，能判定△ABC為直角三角形的是（

）A．∠A=30° B．∠B+∠C=120°C．∠A:∠B:∠C=1:1:2 D．AB=AC=1，BC=【變式2-2】（2024·廣東廣州·一模）關(guān)于x的方程x2?2cx+a2+b2A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【變式2-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）已知矩形紙片ABCD，AB=5，BC=4，點(diǎn)P在邊BC上，連接AP，將△ABP沿AP所在的直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，把紙片展平，連接BB′，CB′，當(dāng)△BC考點(diǎn)二考點(diǎn)二勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a22.勾股定理的證明方法：方法一（圖一）：4SΔ+S正方形EFGH方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2方法三（圖三）：S梯形=12圖一圖二圖三【題型3由勾股定理求線段長度】【例3】（2024·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=23,∠BAC=120°，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長為（

A．3+3 B．33?3 C．2【變式3-1】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是邊AC的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)，連接BD、DE．將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)F處，則CE=【變式3-2】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為50，以AB為腰作等腰△ABF，AB=AF，AE平分∠DAF交DC于點(diǎn)G，交BF的延長線于點(diǎn)E，連接DE．若BF=2，則DG=【變式3-3】（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）【問題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于12BC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線AP交CD于點(diǎn)

【問題提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線段【問題解決】經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接OQ，如圖2．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長；方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段CQ的長．【題型4由勾股定理求面積】【例4】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，AC=8，以BC為邊向△ACB外作有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形BCDE，對(duì)角線BD，CE交于點(diǎn)O，連接OA【變式4-1】（2024·山東日照·中考真題）已知直角三角形的三邊a,b,c滿足c>a>b，分別以a,b,c為邊作三個(gè)正方形，把兩個(gè)較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個(gè)正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（A．S1>S2 B．S1<S【變式4-2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=45°．若AC=4，CD=1，則△ABC的面積是【變式4-3】（2024·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α0°<α<45°．將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，求證：△ABC≌△CED；(2)如圖2，∠ACD的平分線與AB的延長線相交于點(diǎn)F，連接DF，DF的延長線與CB的延長線相交于點(diǎn)P，猜想PC與PD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，將△BFP沿AF折疊，在α變化過程中，當(dāng)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置時(shí)，連接EF．①求證：點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)；②若CD=20，求△CEF的面積．【題型5勾股數(shù)、勾股樹】【例5】（2024·江蘇南通·中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2?12，c=1【變式5-1】（2024·山東淄博·二模）觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根據(jù)上面的規(guī)律，寫出第8組勾股數(shù)：．【變式5-2】（2024·四川遂寧·中考真題）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為．【變式5-3】（2024·河北秦皇島·一模）我們把滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b(1)當(dāng)b=n+7，c=n+8時(shí)，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示a2，并直接寫出n取何值時(shí)，a(2)當(dāng)b=2n2+2n，c=b+1時(shí)，用含nabc_____40411160_____【題型6由勾股定理求兩線段的平方和（差）】【例6】（2024·福建莆田·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C均在坐標(biāo)軸上，AO＝BO＝CO＝1，過A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點(diǎn)，連結(jié)CE，BE，則CE2＋【變式6-1】（2024·河南鄭州·一模）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AD=3，BC=8，則A【變式6-2】（2024·安徽宣城·一模）（1）如圖，以線段AB，BC為鄰邊，用尺規(guī)作圖畫出平行四邊形ABCD（保留作圖痕跡），并說明它是平行四邊形的判定方法？（2）連接AC，BD，若AB=6，BC=8，求AC【變式6-3】（2024·遼寧沈陽·二模）如圖1，已知△ABC，以AB,AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，則有BE=CD．

(1)如圖2，已知△ABC，以AB,AC為邊分別向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接BE、CD，猜想BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(2)如圖2，連接DE，若AB=4,AC=5,BC=6,BC2+D(3)運(yùn)用圖．（1），圖（2）中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖（3），要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B、E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,BE的長為（結(jié)果保留根號(hào)）．【題型7由勾股定理證明線段間的平方關(guān)系】【例7】（2024·甘肅蘭州·中考真題）給出定義，若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．（1）在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；（2）如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求證：△BCE是等邊三角形；②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．【變式7-1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)P在斜邊AB上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ=90°，則PA2,P【變式7-2】（2024·山東棗莊·中考真題）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+C（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE【變式7-3】（2024·福建廈門·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為AD上的定點(diǎn)，點(diǎn)F是射線BE上的動(dòng)點(diǎn)，連接AF．將點(diǎn)F繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)H，連接AH，過點(diǎn)F，H分別作AF和AH的垂線交于點(diǎn)G，射線DH與射線BE(1)求證：四邊形AFGH為正方形；(2)點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)過程中，判斷點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)連接CG，PG，AP，探究線段AB，AP，CG，PG的數(shù)量關(guān)系，并證明．【題型8勾股定理的證明方法】【例8】（2024·江蘇泰州·一模）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2證明：∵S又S四邊形∴S∴1請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2【變式8-1】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點(diǎn)C在直線m上，分別過點(diǎn)A、B作AE⊥直線m于點(diǎn)E，BD⊥直線m于點(diǎn)D．①求證：EC=②若設(shè)△AEC三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．

【變式8-2】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，BC為⊙O的直徑，A為⊙O上一點(diǎn)，請(qǐng)利用此圖證明勾股定理．

【變式8-3】（2024·福建寧德·二模）在小學(xué)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了正方形，知道它的對(duì)邊平行，四條邊相等，四個(gè)角都是直角，我們可以利用這些性質(zhì)解決幾何問題．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長線上，∠ADE+∠DFC=90°．(1)證明：∠EDF=90°；(2)證明：△ADE≌△CDF；(3)連接EF（如圖2），若AE=a，BC=b，DE=c，請(qǐng)利用圖形驗(yàn)證勾股定理．【題型9勾股定理的應(yīng)用】【例9】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π【變式9-1】（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題．即AC=5，DC=1，BD=BA，則BC=（

）A．8 B．10 C．12 D．13【變式9-2】（2024·山東青島·中考真題）如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米/時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為200千米，B市位于點(diǎn)P的北偏東75°方向上，距離點(diǎn)P320千米處.（1）說明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市；（2）求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間.【變式9-3】（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA′釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ=h．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請(qǐng)用含α、考點(diǎn)三考點(diǎn)三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b拓展：若a2+b2<c2若a2+b2>c2【題型10由勾股定理的逆定理求值】【例10】（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M、作PN⊥BC于點(diǎn)N，連接MN，線段MN的長度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)

A．5，5 B．6,245 【變式10-1】（2024·湖北黃石·中考真題）如圖，△ABC中，E為BC邊的中點(diǎn)，CD⊥AB，AB=2A．60° B．75° C．90° D．105°【變式10-2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=度．

【變式10-3】（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx?3的圖象與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

(1)求該拋物線的解析式；(2)判斷ΔBCM(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，C為頂點(diǎn)的三角形與ΔBCM相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P【題型11由勾股定理的逆定理證明直角三角形】【例11】（2024·廣西貴港·二模）已知：如圖，在△ABC中，AB=13，AC=5，△ABC的周長為30．(1)證明：△ABC是直角三角形；(2)過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn)，且CE=BE，過點(diǎn)E作EF⊥AB交∠ACB的角平分線于點(diǎn)F．①證明：∠DCF=∠ECF；②求線段EF的長．【變式11-1】（2024·湖南益陽·中考真題）閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1,y1，Bx2,y2，AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為xp,yp．由xp?x注：上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．解答下列問題：

如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；(3)將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線l′，求兩直線l與l【變式11-2】（2024·云南昆明·二模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2?bx+c(a≠0)的圖象記為W，圖象W(1)若圖象W與x軸交于1,0，與y軸交于0,?3，求a的值；(2)若a>0時(shí)，a+c=n，a?c=m3，二次函數(shù)的最小值為?14n，求證：以m，n【變式11-3】（2024·四川·一模）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角△ABC和△AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合)，設(shè)BE=m，CD=n．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)相似而不全等的三角形，并對(duì)其進(jìn)行證明；(2)求m和n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；(3)證明在旋轉(zhuǎn)過程中以BD，CE，DE三條線段長度為三邊的三角形是直角三角形．【題型12網(wǎng)格中判定直角三角形】【例12】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）在7×7的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,(1)在圖①中，過點(diǎn)A作EF∥(2)在圖②中，以△ABC的一邊為直角邊，構(gòu)造一個(gè)與△ABC面積相等的格點(diǎn)直角三角形．(3)在圖③中，作?BCDE，使?BCDE的面積等于△ABC面積的34【變式12-1】（2024·廣東·中考真題）綜合與實(shí)踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【變式12-2】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．2【變式12-3】（2024·浙江湖州·中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是．【題型13確定構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例13】（2024·河北承德·二模）如圖，在由邊長為1的7個(gè)正六邊形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上．若再選擇一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是直角三角形，且每個(gè)直角三角形邊長均大于1，則符合條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【變式13-1】（2024·四川·一模）如圖，在ΔABC中，AB=AC=20,BC=32，點(diǎn)D在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度從B向C移動(dòng)，連接AD，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)秒時(shí)，AD與ΔABC的邊垂直．【變式13-2】（2024·浙江·一模）如圖，∠BOC=60°，點(diǎn)A是BO延長線上的一點(diǎn)，OA=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t=s時(shí)，△POQ是等腰三角形；當(dāng)t=【變式13-3】（2024·遼寧沈陽·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A?6,0，B2,0，若點(diǎn)C在一次函數(shù)y=?12x+2的圖象上，且△ABC【題型14由勾股定理的逆定理解決實(shí)際生活問題】【例14】（2024·重慶沙坪壩·二模）已知圖1是某超市購物車，圖2是超市購物車的側(cè)面示意圖，現(xiàn)已測(cè)得支架AC=72cm,BC=54cm，兩輪輪軸的距離AB=90cm（購物車車輪半徑忽略不計(jì)），(1)猜想兩支架AC與BC的位置關(guān)系并說明理由：(2)若FG的長度為80cm,∠EHG=60°，求購物車把手F到【變式14-1】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC=15km，與公路上另一停靠站B的距離為BC=20km，停靠站A、B之間的距離為AB=25km，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C(1)請(qǐng)判斷△ABC的形狀？(2)求修建的公路CD的長．【變式14-2】（2024·廣東清遠(yuǎn)·二模）綜合與實(shí)踐主題：檢測(cè)雕塑(下圖)底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．素材：一個(gè)雕塑，一把卷尺．步驟1：利用卷尺測(cè)量邊AD，邊BC和底邊AB的長度，并測(cè)量出點(diǎn)B,D之間的距離；步驟2：通過計(jì)算驗(yàn)證底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．解決問題：(1)通過測(cè)量得到邊AD的長是60厘米，邊AB的長是80厘米，BD的長是100厘米，邊AD垂直于邊AB嗎？為什么？(2)如果你隨身只有一個(gè)長度為30cm的刻度尺，你能有辦法檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊AB【變式14-3】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）操作：小明準(zhǔn)備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現(xiàn)選用一些廢棄的紙片進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：方案一：圖形中的圓過點(diǎn)A、B、C；方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經(jīng)過兩個(gè)正方形的頂點(diǎn)紙片利用率=紙片被利用的面積紙片的總面積×100%．以上方案一、二的利用率分別為aA．b>a>13 B．b<a<13 C．【新考向：新考法】1．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)Px1,y1，當(dāng)點(diǎn)Qx2,y①點(diǎn)Q13,8，Q2②若直線y=x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,4③拋物線y=x2?④若點(diǎn)B是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則P1B其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·四川巴中·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺【新考向：新趨勢(shì)】1．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（?5，0），B（5，0），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo)2．（2024·四川資陽·中考真題）第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（JCME?14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，則A．55 B．35 C．45【新考向：新情境】1．（2024·山東淄博·中考真題）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達(dá)即：如圖，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長度是（

）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸2．（2024·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．(1)操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有________（填序號(hào)）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB=AD，AC是它的一條對(duì)角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若BC=m，DC=n，∠BCD=2θ，求AC的長（用含m，n，θ的式子表示）．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，分別在邊BC，AC上取點(diǎn)M，N，使四邊形ABMN是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出BN【新考向：跨學(xué)科】1．（2024·陜西·中考真題）如圖，從點(diǎn)A(0,2)發(fā)出的一束光，經(jīng)x軸反射，過點(diǎn)B(4,3)，則這束光從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過路徑的長為．2．（2024·江蘇南京·中考真題）如圖，玻璃桌面與地面平行、桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），AB∥(1)在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．(2)桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP=36cm，PA=18cm，AB=18cm，桌面的高度為60cm．在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)①畫出此時(shí)AB所在位置的示意圖；②CD的長度的最大值為cm．3．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值sinα(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為α，折射角為β，且cosα=74(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C1．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知a∥b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)B，C在直線b上，∠BAC=90°，∠1=30°，則∠2的度數(shù)是（

）

A．30° B．45° C．60° D．75°2．（2024·四川攀枝花·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA與x軸正半軸的夾角為，且OA=2，若將線段OA繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)105°到線段OA′，則此時(shí)點(diǎn)A．(3,?1) C．(?3,1) 3．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)N，OM=2，BD=8，則MN的長為（

）

A．5 B．455 C．354．（2024·江蘇南京·中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何?”問題大意：如圖，在△ABC中，AB=13里，BC=14里，AC=15里，則△ABC的面積是（

）A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里5．（2024·湖北鄂州·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3．點(diǎn)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA2+PC2=ACA．3 B．33 C．3346．（2024·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，連接AE，BE，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)連接CF．若CF=292，DEEC

7．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點(diǎn)B作y軸的垂線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為8．（2024·新疆·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,AB=8．若點(diǎn)D在直線AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠BCD=30°，則AD的長為

9．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，已知⊙O的半徑為2，AB是⊙O的弦．若AB=22，則劣弧AB的長為10．（2024·浙江杭州·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A3,1為端點(diǎn)的四條射線AB，AC，AD，AE分別過點(diǎn)B1,1，點(diǎn)C1,3，點(diǎn)D4,4，點(diǎn)E5,2，則∠BAC∠DAE（填“>11．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點(diǎn)，AE分別交BD、CD于點(diǎn)F、M，過點(diǎn)F作NP⊥AE，分別交AD、BC于點(diǎn)N、P，連接MP．下列四個(gè)結(jié)論：①AM=PN；②DM+DN=2DF；③若P是BC中點(diǎn)，AB=3，則EM=210；④BF?NF=AF?BP；⑤若PM∥BD12．（2024·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的長；(2)求sin∠DAE13．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC=32，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，

(1)求證：