頁第25講圖形的變化【3大考點11大題型】考點一考點一尺規(guī)作圖1.尺規(guī)作圖的要求只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過有限次操作，完成畫圖的一種作圖方法．尺規(guī)作圖不一定要寫作圖步驟，但必須保留作圖痕跡.2.五種基本尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段步驟：1.作射線OP；2.在OP上截取OA=a，OA即為所求線段作角的平分線步驟：1.以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA.OB于點N.M；2.分別以點M.N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，相交于點P；3.畫射線OP,OP即為所求角平分線作線段的垂直平分線步驟：1.分別以點A.B為圓心，以大于AB的長為半徑，在AB兩側(cè)作??；2.連接兩弧交點所成直線即為所求線段的垂直平分線作一個角等于已知角步驟：1.在∠α上以點O為圓心.以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，交∠α的兩邊于點P.Q；2.作射線O′A；3.以O(shè)′為圓心.OP長為半徑作弧，交O′A于點M；4.以點M為圓心，PQ長為半徑作弧，交前弧于點N；5.過點N作射線O′B，∠BO′A即為所求角過一點作已知直線的垂線步驟：1.在直線另一側(cè)取點M；2.以P為圓心，以PM為半徑畫弧,交直線于A.B兩點；3.分別以A.B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，交M同側(cè)于點N；4.連接PN,則直線PN即為所求垂線步驟：1.以點O為圓心，任意長為半徑向點O兩側(cè)作弧，交直線于A.B兩點；2.分別以點A.B為圓心，以大于AB長為半徑向直線兩側(cè)作弧，交點分別為M.N；3.連接MN，MN即為所求垂線3.根據(jù)基本作圖作三角形類型圖示已知三角形的三邊，求作三角形已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形abab已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形4.根據(jù)基本作圖作圓類型圖示過不在同一直線上的三點作圓

（即三角形的外接圓）作三角形的內(nèi)切圓【題型1尺規(guī)作圖】【例1】（2024·山東德州·中考真題）已知∠AOB，點P為OA上一點，用尺規(guī)作圖，過點P作OB的平行線．下列作圖痕跡不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖．作一個角等于已知角，作一個角的平分線，平分線的判定，菱形的判定和性質(zhì)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、由作圖知，OC是∠AOB的平分線，且PO=PC，∴∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PC∥B、由作圖知，PD是∠APC的平分線，且PO=OC，∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能說明∠2與∠4相等，∴PD與OB不平行，故本選項符合題意；C、由作圖知，PO=OD=CD=CP，∴四邊形POCD是菱形，∴PC∥D、由作圖知，∠1=∠O，∴PC∥故選：B．【變式1-1】（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD，E為DC邊上一點．求作：四邊形內(nèi)一點P，使EP∥BC，且點P到AB,AD的距離相等．【答案】見解析【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線和作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．作∠DAB的平分線AM，以E為頂點，ED為一邊作∠DEN=∠C，EN交AM于P，點P即為所求．【詳解】解：作∠DAB的平分線AM，以E為頂點，ED為一邊作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如圖，點【變式1-2】（2023·湖北·中考真題）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示作圖過程，實線表示作圖結(jié)果）．

(1)在圖1中作出以BE為對角線的一個菱形BMEN；(2)在圖2中作出以BE為邊的一個菱形BEPQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)對角線互相垂直平分即可作出圖形．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)四條邊平行且相等即可作出圖形．【詳解】（1）解：如圖，菱形BMEN即為所求（點M，N可以對調(diào)位置）：

（2）解：如圖，菱形BEPQ即為所求．∵BEPQ是菱形，且要求BE為邊，∴①當(dāng)BE為上底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

②當(dāng)BE為上底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

③當(dāng)BE為下底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

④當(dāng)BE為下底邊的時候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法，涉及到的知識點有菱形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟悉菱形的幾何性質(zhì)和正六邊形的幾何性質(zhì)，將復(fù)雜作圖拆解成基本作圖．【變式1-3】（1）如圖（1），點E,?F分別在正方形ABCD邊AB,?CD上，連接EF．求作GH，使點G,?（2）已知點P,?Q,?【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，正方形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)等，掌握尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．（1）作EF的中垂線即可；（2）方法一：如圖，連接QS，過點P作PF⊥QS，取PF=QS，連接FR，作PJ//FR，則PJ為正方形點P的邊所在的直線，過點Q作PJ垂線，過點S作PJ垂線，所得的四邊形為P,?Q,R,?S所在的正方形；方法二：連接PS,?QR，作以PS,?QR為直徑的圓，兩條中垂線交各自的圓于點M，點N，連接MN交兩圓于點H，點K，連接【詳解】解：（1）如圖，分別以點E,?F為圓心，大于12EF為半徑畫弧，連接交點，交BC于點G，交AD于點（2）方法一：如圖，連接QS，過點P作PF⊥QS，取PF=QS，連接FR，作PJ∥FR，則PJ為正方形點P的邊所在的直線，過點Q作PJ的垂線，過點S作PJ的垂線，所得的四邊形為P,?方法二：連接PS,?QR，作以PS,?QR為直徑的圓，兩條中垂線交各自的圓于點M，點N，連接MN交兩圓于點H，點K，連接PH、SH、KQ、KR，其中KQ、PH交于點L，連接PM、SM，則PM=SM，∠PMS=90°，∴∠MPS=∠MSP=45°；∵∠PHS=90°，∴∠PHM=∠PSM=45°，∠SHM=∠MPS=45°；同理∠LKH=∠TKH=45°，∴△LKH、△TKH都是等腰直角三角形，∴四邊形LKTH是正方形，∴四邊形LKTH是R,?∴LH為該正方形點P的邊所在的直線．【題型2補充作圖步驟及依據(jù)】【例2】（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，∠BAC=90°，點E為線段BC的中點，連接AC(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖，過點E作AC的垂線交AC于點F，交AD于點G，連接CG；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)證明：DG+AE=BC．（補充完整證明過程）證明：∵∠BAC=90°，點E是線段BC的中點∴①__________．∵EF⊥AC，∴EF垂直平分AC∴∠∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AG∥∴∠∴②__________．∴AE∴③__________．∵AC⊥EG∵四邊形AGCE是菱形，∴④__________．∴DG+AE=DG+AG=AD=BC．【答案】(1)見解析(2)AE=EC；∠EAC=∠GCA；四邊形AGCE是平行四邊形;AE=AG【分析】本題考查了作垂線，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意過點E作AC的垂線交AC于點F，交AD于點G，連接CG；（2）先證明四邊形AGCE是平行四邊形，進(jìn)而證明四邊形AGCE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE=AG，即可得證．【詳解】（1）解：如圖所示，（2）證明：∵∠BAC=90°，點E是線段BC的中點∴AE=EC．∵EF⊥AC，∴EF垂直平分AC∴∠∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AG∥∴∠ECA=∴∠EAC=∠GCA．∴AE∴四邊形AGCE是平行四邊形．∵AC⊥EG∵四邊形AGCE是菱形，∴AE=AG．∴DG+AE=DG+AG=AD=BC．【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）已知：如圖，點M在∠AOB的邊OA上．求作：射線MN，使MN∥OB．且點N在∠AOB的平分線上．作法：①以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點C，D．②分別以點C，D為圓心．大于12CD長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點③畫射線OP．④以點M為圓心，OM長為半徑畫弧，交射線OP于點N．⑤畫射線MN．射線MN即為所求．

(1)用尺規(guī)作圖，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；(2)根據(jù)以上作圖過程，完成下面的證明．證明：∵OP平分∠AOB．∴∠AON=①，∵OM=MN，∴∠AON=②，(

③

)．(括號內(nèi)填寫推理依據(jù))∴∠BON=∠ONM．∴MN∥OB．(

④

)．(填寫推理依據(jù))【答案】(1)見解析(2)①∠BON，②∠MNO，③等邊對等角；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】（1）根據(jù)題意用尺規(guī)作圖，依作法補全圖形即可；（2）由OP平分∠AOB推導(dǎo)∠AON=∠BON，由OM=MN推導(dǎo)∠AON=∠MNO，從而推出∠BON=∠ONM，繼而利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”判定MN∥OB．【詳解】（1）根據(jù)意義作圖如下：射線MN即為所求作的射線．

（2）證明：∵OP平分∠AOB．∴∠AON=∠BON∵OM=MN，∴∠AON=∠MNO，(等邊對等角∴∠BON=∠ONM．∴MN∥OB．(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．(填寫推理依據(jù))故答案為：①∠BON，②∠MNO，③等邊對等角；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查作尺規(guī)作圖—作角平分線和相等線段，等邊對等角，平行線的判定等知識，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】閱讀下列材料，解決問題．如圖1，已知正六邊形ABCDEF，要求在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作一個矩形A1B1C1小明利用尺規(guī)作圖只作了部分，如圖2所示．(1)請你根據(jù)小明的作圖思路，補畫出矩形A1(2)在（1）的基礎(chǔ)上，連接AC，若AC=4，則線段A1D1的長為(3)如圖3，已知正五邊形A2B2M，N分別在邊A2B2【答案】(1)見解析(2)2，三角形中位線的性質(zhì)定理(3)見解析【分析】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖以及正五邊形和正六邊形的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．（1）再找出BC和DE的中點，即可構(gòu)造矩形；（2）根據(jù)三角形中位線定理求解即可；（3）分別過C2，D2作C2D2的垂線，與A2B【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖，∵A1是AB的中點，D1是∴A1D1故答案為：2，三角形中位線的性質(zhì)定理；（3）解：如圖：【變式2-3】（2025·重慶·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)了內(nèi)切圓相關(guān)知識后，小麥同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)切圓半徑與這個三角形周長，面積之間有一定的數(shù)量關(guān)系，他的思路是利用面積法探索這三者之間的聯(lián)系，請根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空．(1)如圖，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，用尺規(guī)作圖作∠ABC的角平分線分別交AD，AC于點O，E（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的基礎(chǔ)上，過O分別作OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，OH⊥AC于點H，連接OC，根據(jù)題意完善圖形，求證：OM=2∵AD平分∠BAC，OM⊥AB，OH⊥AC，∴OM=OH（填寫依據(jù)：①_______），又∵BE平分∠ABC，OM⊥AB，ON⊥BC，∴OM=ON，∴②________，∵S△ABC=S∴OM=2對此，請你根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系解決問題：當(dāng)AB=42，AC=5，BC=7時，則△ABC【答案】(1)見解析；(2)①角平分線上的點到角兩邊距離相等；②ON=OH；③73?【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)切圓的定義等知識點，掌握角平分線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖的作法即可解答；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積公式、周長公式即可完成證明；如圖：AB=42，AC=5，BC=7，過A作AD⊥CB，垂足為D，設(shè)AD=b，BD=a，則DC=7?a，運用勾股定理可求得AD=4，易求的△ABC【詳解】（1）解：如圖：即為所求．（2）解：∵AD平分∠BAC，OM⊥AB，OH⊥AC，∴OM=OH（填寫依據(jù)：角平分線上的點到角兩邊距離相等），又∵BE平分∠ABC，OM⊥AB，ON⊥BC，∴OM=ON，∴ON=OH，∵S===12OM∴OM=2如圖：AB=42，AC=5，BC=7，過A作AD⊥CB，垂足為D設(shè)AD=b，BD=a，則DC=7?a，∵AB∴422=a2∴S△ABC設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，∵C△ABC∴r=2S△ABCC△ABC故答案為：角平分線上的點到角兩邊距離相等；ON=OH；73?【題型3與尺規(guī)作圖有關(guān)的計算】【例3】（2024·海南·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=8，以點D為圓心作弧，交AB于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于12MN為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線DF交AB于點E，若∠BCE=∠DCE，DE=4，則四邊形BCDE

A．22 B．21 C．20 D．18【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．利用勾股定理求得CE的長，再證明BE=BC，作BG⊥CE于點G，求得CG=EG=25，利用tan∠DCE=tan∠BCE，求得【詳解】解：∵?ABCD，AB=8，∴CD=AB=8，由作圖知DE⊥AB，∵?ABCD，∴AB∥∴DE⊥CD，∵DE=4，∴CE=4∵AB∥∴∠DCE=∠BEC，∵∠BCE=∠DCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC，作BG⊥CE于點G，

則CG=EG=1∵∠DCE=∠BCE，∴tan∠DCE=∴DECD=BG∴BG=5∴BE=BC=5∴四邊形BCDE的周長是4+8+5+5=22，故選：A．【變式3-1】（2024·湖北·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓O上一點，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交BA于點M，交BC于點N，分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點D，畫射線BD，連接AC．若∠CAB=50°，則∠CBD的度數(shù)是（

A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】C【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，圓周角定理，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．由圓周角定理得到∠ACB=90°，由直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=40°，根據(jù)角平分線的定義即可求得答案．【詳解】解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=50°，∴∠ABC=90°?50°=40°，由題意得，BD為∠ABC的平分線，∴∠CBD=∠ABD=1故選：C．【變式3-2】（2021·甘肅武威·中考真題）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理．如圖，已知AB,C是弦AB（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作線段AC的垂直平分線DE，分別交AB于點D,AC于點E，連接AD,CD；②以點D為圓心，DA長為半徑作弧，交AB于點F（F,A兩點不重合），連接DF,BD,BF．（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段BC,BF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）BC=BF【分析】（1）①分別A,C為圓心，大于12AC為半徑畫弧，得到兩弧的交點，過兩弧的交點作直線（2）由作圖可得：DA=DC=DF,再證明∠DBC=∠DBF,∠DFB=∠DCB,再證明△DCB≌△DFB,從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）作出線段AC的垂直平分線DE，連接AD,CD；

以D為圓心，DA長為半徑作弧，交AB于點F，連接DF,BD,BF，如圖示：（2）結(jié)論：BC=BF．理由如下：由作圖可得：DE是AC的垂直平分線，DA=DF,∴DA=DC=DF,∴∠DAC=∠DCA,AD∴∠DBC=∠DBF,∵四邊形ABFD是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠DAB+∠DFB=180°,∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB,∵DB=DB,∴△DCB≌△DFB,∴BC=BF.【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練運用基礎(chǔ)知識解題是關(guān)鍵．【變式3-3】（2024·江蘇徐州·中考真題）在△ABC中，點D在邊AB上，若CD2=AD?DB，則稱點D(1)如圖（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．試說明：點D是點C的“關(guān)聯(lián)點”．(2)如圖（2），已知點D在線段AB上，用無刻度的直尺和圓規(guī)作一個△ABC，使其同時滿足下列條件：①點D為點C的“關(guān)聯(lián)點”；②∠ACB是鈍角（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)若△ABC為銳角三角形，且點D為點C的“關(guān)聯(lián)點”．設(shè)AD=m，DB=n，用含m、n的代數(shù)式表示AC的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)證明見解析(2)圖見解析(3)mn?m2【分析】（1）證△ACD∽△CBD，根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的定義即可得結(jié)論；（2）以AB為直徑作⊙O，過點D作AB的垂線，交⊙O于P，由圓周角定理可得∠APB=90°，由（1）可得DP2=AD?DB，以D為圓心，DP為半徑作圓，在直線DP右側(cè)的⊙D上取點C（3）分類討論，①當(dāng)m<n時，根據(jù)第二問可得出銳角三角形時C的位置，再利用勾股定理求出臨界值范圍即可，②當(dāng)m<n時，同①方法．【詳解】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠CDA=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD，∴CDBD∴CD∴點D是點C的“關(guān)聯(lián)點”．（2）解：如圖，①作線段AB的垂直平分線，交AB于點O；②以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓；③過D作DP⊥AB交⊙O于點P；④以D為圓心，DP為半徑畫圓，則點C在⊙D上且在直線DP右側(cè)．連接AC、BC，△ABC即為所求，證明：∵P在以AB為直徑的圓上運動，∴∠APB=90°，由（1）可知：DP∵DC=DB，∴CD（3）①當(dāng)m<n時，如圖所示，結(jié)合第（2）問，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點C在直線DP左側(cè)、A的右側(cè)時，△ACB是銳角三角形，此時AC∵DC2=DA?DB，且DA=m∴D在Rt△ADC1在Rt△ADC2∴mn?②當(dāng)m>n時，同理可得：mn+m綜上所述，mn?m2<AC<【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識和正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型4與尺規(guī)作圖有關(guān)的證明】【例4】（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊AC于點D，連接BD，過點C作CE∥

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點B作⊙O的切線，交CE于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）(2)在（1）的條件下，求證：BD=BF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點B作AB的垂線，交CE于點F，即可求解；（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，證明∠BDC=∠BFC，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出BCD=∠BCF，進(jìn)而證明△BCD≌【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示．

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵CE∥∴∠ABC=∠BCF，∴∠BCF=∠ACB．∵點D在以AB為直徑的圓上，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90又∵BF為⊙O的切線，∴∠ABF=90°．∵CE∥∴∠BFC+∠ABF=180°，∴∠BFC=90°，∴∠BDC=∠BFC．∵在△BCD和△BCF中，∠BCD=∠BCF,∴△BCD≌∴BD=BF．【點睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在△ABC中，D是AB中點．(1)求作：AC的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若l交AC于點E，連接DE并延長至點F，使EF=2DE，連接BE，CF．補全圖形，并證明四邊形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定．（1）利用尺規(guī)作圖作出線段AC的垂直平分線l即可；（2）由D，E分別為AB，AC的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到DE∥BC，DE=12BC【詳解】（1）解：直線l如圖所示，；（2）證明：補全圖形，如圖，由（1）作圖知，E為AC的中點，∵D，E分別為AB，AC的中點，∴DE∥BC，∵EF=2DE，即：DE=1∴EF=BC，∵EF∥∴四邊形BCFE是平行四邊形．【變式4-2】（2024·廣東·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°．

(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點D為圓心，DC長為半徑作⊙D．求證：AB與⊙D相切．【答案】(1)見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識．熟練上述知識是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；（2）如圖2，作DE⊥AB于E，由角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DC，由DE是半徑，DE⊥AB，可證AB與⊙D相切．【詳解】（1）解：如圖1，AD即為所作；

（2）證明：如圖2，作DE⊥AB于E，

∵AD是∠CAD的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵DE是半徑，DE⊥AB，∴AB與⊙D相切．【變式4-3】（2023·浙江嘉興·中考真題）已知，AB是半徑為1的⊙O的弦，⊙O的另一條弦CD滿足CD=AB，且CD⊥AB于點H（其中點H在圓內(nèi)，且AH>BH，

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦CD與點H（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)連結(jié)AD，猜想，當(dāng)弦AB的長度發(fā)生變化時，線段AD的長度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出AD的長度；(3)如圖2，延長AH至點F，使得HF=AH，連結(jié)CF，∠HCF的平分線CP交AD的延長線于點P，點M為AP的中點，連結(jié)HM，若PD=12AD【答案】(1)作圖見解析(2)線段AD是定長，長度不發(fā)生變化，值為2(3)證明見解析【分析】（1）以A，B為圓心，大于12AB長為半徑畫弧，交點為G，連接OG，與⊙O交點為E，F(xiàn)，與AB交點為M，則OG⊥AB，分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長為半徑畫弧，交點為N，連接ON，則ON∥AB，以O(shè)為圓心，OM長為半徑畫弧與ON交點為P，則OP=OM，以P為圓心，OP長為半徑畫弧，交直線ON于Q，以O(shè)，Q為圓心，大于12OQ長為半徑畫弧，交點為R，連接PR，則PR⊥AB，（2）如圖2，連結(jié)AD，連接DO并延長交⊙O于E，連結(jié)AE，AC，過O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，證明四邊形OFHN是正方形，則可證△ACH是等腰直角三角形，則∠C=45°，由AD=AD，可知∠E=∠C=45°，由DE是⊙O的直徑，可得∠EAD=90°，則△ADE是等腰直角三角形，（3）如圖3，延長CD、FP，交點為G，由題意知MH是△APF的中位線，則MH∥PF，MH=12PF，由PD=12AD，可得MD=12PD，證明△MDH∽△PDG，則MHGP=MDPD=12，即GP=2MH=PF，如圖3，作△CFG的外接圓，延長CP交外接圓于點N，連結(jié)GN、FN，由CP是【詳解】（1）解：如圖1，CD、點H即為所求；

（2）當(dāng)弦AB的長度發(fā)生變化時，線段AD的長度不變；如圖2，連結(jié)AD，連接DO并延長交⊙O于E，連結(jié)AE，AC，過O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，則四邊形OFHN是矩形，

∵AB=CD，AB⊥CD，∴OF=ON，∴四邊形OFHN是正方形，∴FH=NH，∴AF+FH=CN+NH，即AH=CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∵AD=∴∠E=∠C=45°，∵DE是⊙O的直徑，∴∠EAD=90°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=DE?sin∴線段AD是定長，長度不發(fā)生變化，值為2；（3）證明：如圖3，延長CD、FP，交點為G，

∵HF=AH，∴點H為AF的中點，又∵點M為AP的中點，∴MH是△APF的中位線，∴MH∥PF，MH=1又∵PD=12AD∴MD=1∵M(jìn)H∥GP，∴∠MHD=∠PGD，又∵∠MDH=∠PDG，∴△MDH∽△PDG，∴MHGP=MD如圖3，作△CFG的外接圓，延長CP交外接圓于點N，連結(jié)GN、FN，∵CP是∠HCF的平分線，∴∠GCP=∠FCP，∴GN=NF，∵GP=PF，GN=NF，PN=PN，∴△GPN≌△FPNSSS∴∠GPN=∠FPN=90°，∴PF⊥CP，∵M(jìn)H∥PF，∴MH⊥CP．【點睛】本題考查了作垂線，同弧或等弧所對的圓周角相等，正弦，正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線，直徑所對的圓周角為直角，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．考點二考點二展開圖、投影1.正方體的平面展開圖正方體是特殊的棱柱，它的六個面都是大小相同的正方形，將一個正方體的表面展開，可以得到11種不同的展開圖，把它歸為四類：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1種；二二二型有一種.正方體展開圖口訣：

①一線不過四;田凹應(yīng)棄之；

②找相對面：相間，“Z”端是對面；③找鄰面：間二，拐角鄰面知.2.投影定義：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.3.平行投影概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影.（例如：太陽光）特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖1），在太陽光下，它們的影子一樣長.

2）等長的物體平行于地面放置時（圖2），它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.圖1圖24.中心投影概念：由一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.（例如：手電筒、路燈、臺燈等）

特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖3），在燈光下離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.2）等長的物體平行于地面放置時（圖4），一般情況下離點光源越近，影子越長；離點光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

圖3圖45.正投影概念：當(dāng)平行光線垂直投影面時叫正投影.正投影的分類：線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；、②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.【題型5識別常見幾何體的展開圖】【例5】（2023·四川達(dá)州·中考真題）下列圖形中，是長方體表面展開圖的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)長方體有六個面，以及Z字型進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A中展開圖有7個面，不符合要求；B中展開圖無法還原成長方體，不符合要求；C正確，故符合要求；D中展開圖有5個面，不符合要求，故選：C．【點睛】本題考查了長方體的展開圖．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．【變式5-1】（2024·江蘇常州·中考真題）下列圖形中，為四棱錐的側(cè)面展開圖的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)棱錐的側(cè)面展開圖的特征即可得到答案．【詳解】解：棱錐的側(cè)面是三角形，故四棱錐的側(cè)面展開圖的是故選：B．【變式5-2】下列幾何體中，其側(cè)面展開圖為扇形的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊幾何體的展開圖逐一進(jìn)行分析判斷即可得答案．【詳解】A、圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，故A錯誤；B、三棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，故B錯誤；C、圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，故C正確；D、三棱錐的側(cè)面展開圖是三個三角形拼成的圖形，故D錯誤，故選C．【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，熟記特殊幾何體的側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．【變式5-3】如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】由平面圖形的折疊及幾何體的展開圖解題，注意帶圖案的一個面不是底面．【詳解】解：選項A和C帶圖案的一個面是底面，不能折疊成原幾何體的形式；選項B能折疊成原幾何體的形式；選項D折疊后下面帶三角形的面與原幾何體中的位置不同．故選B．【點睛】本題主要考查了幾何體的展開圖.解題時勿忘記正四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形.注意做題時可親自動手操作一下，增強空間想象能力．【題型6由展開圖確定幾何體】【例6】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（

）A．三棱錐 B．圓錐 C．三棱柱 D．長方體【答案】C【分析】本題考查了常見幾何體的展開圖，掌握常見幾何體展開圖的特點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平面圖形的特點，結(jié)合立體圖形的特點即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖示，上下是兩個三角形，中間是長方形，∴該幾何體是三棱柱，故選：C．【變式6-1】（2024·山東青島·中考真題）如圖①，將邊長為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長、寬、高分別為4，2，2的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為【答案】12144【分析】本題考查展開圖折疊成幾何體，最小公倍數(shù)等知識，先拼成一個基礎(chǔ)圖形（體），再根據(jù)正方形（體）的特征，即可解答．【詳解】解：先用2個圖②拼成一個長為3，寬為2的長方形，面積為6，∵2,3的最小公倍數(shù)是6，如圖，∴6個這樣的長方形拼成一個面積為36的正方形，此時邊長為6，∴需圖②的個數(shù)：6×2=12（個）；同理用2個圖④拼成長，寬，高分別為4,3,2的長方體，用4×3=12個這樣的長方體拼成一個長，寬，高為12，12，2的長方體，用6個這樣的長方體可以拼成長，寬，高為12，12，12的正方體，此時需要：2×3×4×6=144（個）．故答案為：12；144．【變式6-2】（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖為一個幾何體的表面展開圖，則該幾何體是(

)A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱柱 D．圓錐【答案】B【分析】底面為四邊形，側(cè)面為三角形可以折疊成四棱錐．【詳解】解：由圖可知，底面為四邊形，側(cè)面為三角形，∴該幾何體是四棱錐，故選：B．【點睛】本題主要考查的是幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的展開圖特征是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2021·江蘇揚州·中考真題）把圖中的紙片沿虛線折疊，可以圍成一個幾何體，這個幾何體的名稱是（

）A．五棱錐 B．五棱柱 C．六棱錐 D．六棱柱【答案】A【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．【詳解】解：由圖可知：折疊后，該幾何體的底面是五邊形，則該幾何體為五棱錐，故選A．【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，掌握各立體圖形的展開圖的特點是解決此類問題的關(guān)鍵．【題型7正方體展開圖的常見類型與相對面】【例7】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，已知骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面展開圖的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)骰子表面展開后，其相對面的點數(shù)之和是7，逐項判斷即可作答．【詳解】A項，2的對面是4，點數(shù)之和不為7，故A項錯誤；B項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故B項錯誤；C項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故C項錯誤；D項，1的對面是6，2的對面是5，3的對面是4，相對面的點數(shù)之和都為7，故D項正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了立體圖形的側(cè)面展開圖的知識，解答時，找準(zhǔn)相對面是解答本題的關(guān)鍵．沒有共同邊的兩個面即為相對的面．【變式7-1】（2022·山東淄博·中考真題）經(jīng)過折疊可以圍成正方體，且在正方體側(cè)面上的字恰好環(huán)繞組成一個四字成語的圖形是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體側(cè)面上的字恰好環(huán)繞組成一個四字成語，即是正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，且有兩組相對的面，根據(jù)這一特點作答．【詳解】解∶由正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形可知，A.“心”、“想”、“事”、“成”四個字沒有相對的面，故不符合題意；B.“吉”、“祥”、“如”、“意”四個字沒有相對的面，故不符合題意；C.“金”與“題”相對，“榜”、“名”是相對的面，故符合題意；D.“馬”、“到”、“成”、“功”四個字沒有相對的面，故不符合題意；故選∶C．【點睛】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，明確正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·山東青島·中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，得出相對面上的數(shù)字，再結(jié)合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，即可解答．【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，由圖2可知：要使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數(shù)字為6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3+4+5=15；左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數(shù)字分別為4，5，6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3=6；右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數(shù)字為4，6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3+5=11；∴能看得到的面上數(shù)字之和最小為：15+6+11=32，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】如圖給定的是紙盒的外表面，下面能由它折疊而成的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】將A、B、C、D分別展開，能和原圖相對應(yīng)的即為正確答案：【詳解】A、展開得到，不能和原圖相對應(yīng)，故本選項錯誤；B、展開得到

，能和原圖相對，故本選項正確；C、展開得到

，不能和原圖相對應(yīng)，故本選項錯誤；D、展開得到

，不能和原圖相對應(yīng)，故本選項錯誤故選B【題型8平行投影與中心投影】【例8】（2020·貴州安順·中考真題）在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行投影特點，熟練掌握平行投影的特點是解題的關(guān)鍵；平行投影特點是在同一時刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例．根據(jù)平行投影特點結(jié)合選項判斷即可．【詳解】解：A、影子的方向不相同，故本選項錯誤；B、影子的方向不相同，故本選項錯誤；C、相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，故本選項錯誤；D、影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，故本選項正確；故選：D．【變式8-1】（2024·江蘇常州·中考真題）下面是一天中四個不同時刻兩個建筑物的影子：將它們按時間先后順序進(jìn)行排列，正確的是（

）A．③④②① B．②④③① C．③④①② D．③①②④【答案】C【分析】根據(jù)影子變化規(guī)律可知道時間的先后順序．【詳解】解：從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長．所以正確的是③④①②．故選：C．【點睛】本題考查平行投影的特點和規(guī)律．在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長．【變式8-2】（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因為中心投影物體的高和影長成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項即可找到符合題意的選項【詳解】因為正方形的對角線互相垂直，且一條對角線垂直地面，光源與對角線組成的平面垂直于地面，則有影子的對角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，則上方的邊長影子會更長一些，故選D【點睛】本題考查了中心投影的概念，應(yīng)用，利用中心投影的特點，理解中心投影物體的高和影長成比例是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·浙江溫州·中考真題）如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA,OB，此時各葉片影子在點M右側(cè)成線段CD，測得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2∶3，則點O，M之間的距離等于【答案】1010+【分析】過點O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點O作水平線OJ交BD于點J，過點B作BI⊥OJ，垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，求出CH的長度，根據(jù)EFFG=OMMH=23，求出OM的長度，證明△BIO∽△JIB，得出BI=23IJ，【詳解】如圖，過點O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點O作水平線OJ交BD于點J，過點B作BI⊥OJ，垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，由題意可知，點O是AB的中點，∵OH∥AC∥BD，∴點H是CD的中點，∵CD=13m∴CH=HD=1∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15m又∵由題意可知：EFFG∴OM15=2∴點O、M之間的距離等于10m∵BI⊥OJ，∴∠BIO=∠BIJ=90°，∵由題意可知：∠OBJ=∠OBI+∠JBI=90°，又∵∠BOI+∠OBI=90°，∴∠BOI=∠JBI，∴△BIO∽△JIB，∴BIIJ∴BI=23IJ∵OJ∥CD,OH∥DJ，∴四邊形OHDJ是平行四邊形，∴OJ=HD=6.5m∵OJ=OI+IJ=4∴IJ=4.5m，BI=3m，∵在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB∴OB=O∴OB=OK=13∴MK=MO+OK=10+∴葉片外端離地面的最大高度等于10+13故答案為：10，10+13【點睛】本題主要考查了投影和相似的應(yīng)用，及勾股定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．考點三考點三幾何體的三視圖1.三視圖的概念：一個物體在三個投影面內(nèi)同時進(jìn)行正投影，①在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；②在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；③在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關(guān)系：1）位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，2）大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.

3.畫幾何體三視圖的基本方法：畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體

1）確定主視圖的位置，畫出主視圖；

2）在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

3）在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

【注意】幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.4.由三視圖確定幾何體的方法：1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、高；②從實線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線；③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助.利用三視圖計算幾何體面積的方法：利用三視圖先想象出實物形狀，再進(jìn)一步畫出展開圖，然后計算面積.【題型9已知幾何體判定三視圖】【例9】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖所示的幾何體，其主視圖是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了主視圖“從正面觀察物體所得到的視圖是主視圖”，熟記主視圖的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)主視圖的定義求解即可得．【詳解】解：這個幾何體的主視圖是故選：A．【變式9-1】（2024·吉林長春·中考真題）南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）．A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．右視圖【答案】B【分析】本題主要考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)三視圖主視圖、俯視圖、左視圖的定義即可解答．【詳解】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖．故選B．【變式9-2】（2024·吉林·中考真題）葫蘆在我國古代被看作吉祥之物．下圖是—個工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的是（

）A．主視圖與左視圖相同 B．主視圖與俯視圖相同C．左視圖與俯視圖相同 D．主視圖、左視圖與俯視圖都相同【答案】A【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖的定義找到葫蘆的三視圖即可得到答案．【詳解】解：葫蘆的俯視圖是兩個同心圓，且?guī)в袌A心，主視圖和左視圖都是下面一個較大的圓，中間一個較小的圓，上面是一條線段，故選：A．【變式9-3】（2024·寧夏·中考真題）用5個大小相同的小正方體搭一個幾何體，其主視圖、左視圖如圖2，現(xiàn)將其中4個小正方體按圖1方式擺放，則最后一個小正方體應(yīng)放在（）A．①號位置 B．②號位置 C．③號位置 D．④號位置【答案】B【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握簡單組合體三視圖的畫法和形狀是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)題意主視圖和左視圖即可得到結(jié)論．【詳解】據(jù)主視圖、左視圖可知，最后一個小正方體應(yīng)放在②號位置．故選：B【題型10根據(jù)視圖判斷幾何體的組成】【例10】（2024·山東東營·中考真題）某幾何體的俯視圖如圖所示，下列幾何體（箭頭所示為正面）的俯視圖與其相同的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了三視圖的判斷，根據(jù)圖形特點，正確的確定出俯視圖是關(guān)鍵．首先由俯視圖可知該幾何體共兩列，左邊一列最底層共三個正方體，右邊一列最底層共一個正方體，找出正確的答案即可．【詳解】解：由俯視圖可知該幾何體共兩列，左邊一列最底層共三個正方體，右邊一列最底層共一個正方體，由此可得只有C符合題意，故選：C．【變式10-1】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）下圖是某幾何體的三視圖，則這個幾何體是（

）

A．

B．

C．D．

【答案】C【分析】認(rèn)真觀察三視圖結(jié)合選項確定正確的答案即可．【詳解】解：結(jié)合三視圖發(fā)現(xiàn)：該幾何體為圓柱和長方體的結(jié)合體，故選：C．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是有足夠的空間想象能力，掌握三視圖的定義.【變式10-2】（2021·廣西·中考真題）如圖是一個幾何體的主視圖，則該幾何體是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．依題意，由幾何體的主視圖即可判斷該幾何體的形狀．【詳解】解：由該幾何體的主視圖可知，該幾何體是選項C中的圖形．故選：C．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也考查了空間想象能力．【變式10-3】（2023·四川眉山·中考真題）由相同的小正方體搭成的立體圖形的部分視圖如圖所示，則搭成該立體圖形的小正方體的最少個數(shù)為（

）

A．6 B．9 C．10 D．14【答案】B【分析】根據(jù)俯視圖可得底層最少有6個，再結(jié)合左視圖可得第二層最少有2個，即可解答．【詳解】解：根據(jù)俯視圖可得搭成該立體圖形的小正方體第三層最少為6個，根據(jù)左視圖第二層有2個，可得搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為2個，根據(jù)左視圖第三層有1個，可得搭成該立體圖形的小正方體第三層最少為1個，故搭成該立體圖形的小正方體最少為6+2+1=9個，故選：B．【點睛】本題考查了由三視圖判斷小立方體的個數(shù)，準(zhǔn)確地得出每層最少的小正方體個數(shù)是解題的關(guān)鍵．【題型11利用三視圖計算幾何體的面積或體積】【例11】（2021·山東菏澤·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)計算這個幾何體的體積為（

）A．12π B．18π C．24π D．30π【答案】B【分析】根據(jù)三視圖可以確定該幾何體是空心圓柱體，再利用已知數(shù)據(jù)計算空心圓柱體的體積．【詳解】解：先由三視圖確定該幾何體是空心圓柱體，底面外圓直徑是4，內(nèi)圓直徑是2，高是6．空心圓柱體的體積為π×(42)2×6-π×故選：B．【點睛】本題主要考查由三視圖確定幾何體和求圓柱體的體積，考查學(xué)生的空間想象．【變式11-1】某幾何體的三視圖如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）A．該幾何體是長方體B．該幾何體的高是3C．底面有一邊的長是1D．該幾何體的表面積為18平方單位【答案】D【分析】根據(jù)幾何體的三視圖判斷出幾何體的形狀，然后根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行表面積計算即可.【詳解】解：A、該幾何體是長方體，正確；B、該幾何體的高為3，正確；C、底面有一邊的長是1，正確；D、該幾何體的表面積為：2×1×2+2×3+1×3故選D．【點睛】本題考查的是幾何體的三視圖，熟練掌握幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.【變式11-2】（2020·湖南懷化·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個幾何體的側(cè)面積是（結(jié)果保留π）．【答案】24πcm2【分析】根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓柱體，再計算圓柱體的側(cè)面積．【詳解】解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是4÷2=2cm，高是6cm，圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，長方形的長是圓柱的底面周長，長方形的寬是圓柱的高，且底面周長為：2π×2=4π(cm)，∴這個圓柱的側(cè)面積是4π×6=24π(cm2)．故答案為：24πcm2．【點睛】此題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓柱體的側(cè)面積，關(guān)鍵是根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓柱體．【變式11-3】如圖，一個幾何體由5個大小相同、棱長為1的小正方體搭成，下列關(guān)于這個幾何體的說法正確的是（）A．主視圖的面積為5 B．左視圖的面積為3C．俯視圖的面積為3 D．三種視圖的面積都是4【答案】B【分析】先得出這個幾何體的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），再根據(jù)正方形的面積計算即可．【詳解】這個幾何體的三視圖如下：A、從正面看，可以看到4個正方形，面積為4，此項錯誤B、從左面看，可以看到3個正方形，面積為3，此項正確C、從上面看，可以看到4個正方形，面積為4，此項錯誤D、三種視圖的面積不相同，此項錯誤故選：B．【點睛】本題考查了三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），掌握三視圖的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．【新考向：新考法】1．（2022·湖北恩施·中考真題）下圖是一個正方體紙盒的展開圖，將其折疊成一個正方體后，有“振”字一面的相對面上的字是（

）A．“恩” B．“鄉(xiāng)” C．“村” D．“興”【答案】D【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖的特點即可得．【詳解】解：由正方體的平面展開圖的特點得：“恩”字與“鄉(xiāng)”字在相對面上，“施”字與“村”字在相對面上，“振”字與“興”字在相對面上，故選：D．【點睛】本題考查了正方體的平面展開圖，熟練掌握正方體的平面展開圖的特點是解題關(guān)鍵．2．（2023·湖南·中考真題）作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了從三個方面看物體，準(zhǔn)確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形是解決問題的關(guān)鍵．從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．【詳解】解：從左面看，得到的平面圖形是，故選：B．【新考向：新趨勢】1．請寫出一個主視圖、左視圖和俯視圖完全一樣的幾何體．【答案】正方體（答案不唯一）【分析】本題考查學(xué)生對三視圖的掌握程度以及靈活運用能力．主視圖、左視圖、俯視圖是物體分別從正面、左面和上面看，所得到的圖形．【詳解】解：球的三視圖都為圓；正方體的三視圖都為正方形．故答案為：正方體（答案不唯一）．2．春蕾數(shù)學(xué)興趣小組用一塊正方形木板在陽光做投影實驗，這塊正方形木板在地面上形成的投影是可能是（寫出符合題意的兩個圖形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）．【詳解】解：根據(jù)平行投影的特點：在同一時刻，平行物體的投影仍舊平行．所以，在同一時刻，這塊正方形木板在地面上形成的投影是平行四邊形或特殊的平行四邊形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）．故答案為：正方形、菱形（答案不唯一）．3．如圖，平面內(nèi)的兩條直線l1、l2,點A、B在直線l2上，過點A、B兩點分別作直線l1的垂線，垂足分別為A1、B1，我們把線段A1B1叫做線段AB在直線l2上的正投影，其長度可記作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特別地，線段AC在直線l2上的正投影就是線段A1C，請依據(jù)上述定義解決如下問題.（1）如圖1，在銳角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，則T（BC，AB）=；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面積；（3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠A=60°，點D在AB邊上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.【答案】（1）2；（2）△ABC的面積=39；（3）T（BC，CD）=7【分析】(1)如圖1，過C作CH⊥AB，根據(jù)正投影的定義求出BH的長即可；(2)如圖2，過點C作CH⊥AB于H，由正投影的定義可知AH=4，BH=9，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CH的長即可解決問題；(3)如圖3，過C作CH⊥AB于H，過B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.【詳解】(1)如圖1，過C作CH⊥AB，垂足為H，∵T(AC，AB)=3，∴AH=3，∵AB=5，∴BH=AB-AH=2，∴T(BC，AB)=BH=2，故答案為2；(2)如圖2，過點C作CH⊥AB于H，則∠AHC=∠CHB=90°，∴∠B+∠HCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°∴∠A=∠HCB，∴△ACH∽△CBH，∴CH：BH=AH：CH，∴CH2=AH·BH，∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，∴AH=4，BH=9，∴AB=AH+BH=13，CH=6，∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；(3)如圖3，過C作CH⊥AB于H，過B作BK⊥CD于K，∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，∴AC=2，∵∠A=60°，∴∠ADC=∠BDK=30°，∴CD=AC·tan60°=23，AD=2AC=4，AH=12∴DH=4-1=3，∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，∴BH=6，∴DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，∴DK=BD·cos30°=33∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=3+323=

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了正投影的定義，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，理解題意，正確添加輔助線，構(gòu)建直角三角形是解題問題的關(guān)鍵.【新考向：新情境】1．定義：兩組鄰邊對應(yīng)相等的四邊形為箏形．如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，BC=CD，請利用尺規(guī)（無刻度的直尺和圓規(guī)），在箏形ABCD中找一點P，連接PB、PD，使折線BPD將箏形【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作垂線，中線等知識．熟練掌握作垂線，中線是解題的關(guān)鍵．作出AC的中點P，連接BP、DP，則折線BPD將箏形ABCD的面積等分．【詳解】解：如圖，連接AC，作AC的垂直平分線，交AC于P，連接PB、PD，∴AP=CP，∴S△ABP=S∵S△ABP+S∴S△ABP=S∵AB=AD，BC=CD，∴△ABC≌△ADCSSS∴S△ABC∴S△ABP∴S四邊形∴折線BPD即為所作．2．定義：自一點引出的兩條射線分別經(jīng)過已知線段的兩端點，則這兩條射線所成的角稱為該點對已知線段的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．問題：如圖②，已知線段AB與直線l，在直線l上取一點P，使點P對線段AB的視角最大．小明的分析思路如下：過A、B兩點，作⊙O使其與直線l相切，切點為P，則點P對線段AB的視角最大，即∠APB最大．小明的證明過程：為了證明點P的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點Q，連接AQ、BQ，如圖②，設(shè)直線BQ交圓O于點H，連接AH，則∠APB=∠AHB．（依據(jù)1）∵∠AHB=∠AQH+∠QAH．（依據(jù)2）∴∠APB=∠AQH+∠QAH∴∠APB>∠AQH所以，點P對線段AB的視角最大．(1)請寫出小明證明過程中的依據(jù)1和依據(jù)2；依據(jù)1：________________________________________依據(jù)2：________________________________________(2)應(yīng)用：在足球電子游戲中，足球隊球門的視角越大，越容易被踢進(jìn)，如圖③，A、B是足球門的兩端，線段AB是球門的寬，CD是球場邊線，∠ADC是直角，EF⊥CD．①若球員沿EF帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點P，在圖③中，用直尺和圓規(guī)在EF上求作點P，使點P對AB的視角最大（不寫作法，保留作圖痕跡）．②若AB=10，DE=25，直接寫出①中所作的點P對AB的最大視角的度數(shù)（參考數(shù)據(jù)：sin67°≈【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)①見解析；②23°【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，即可求解；（2）①作線段AB的垂直平分線交EF于點P，點P即為所求；②過A、B兩點，作⊙O使其與直線EF相切，切點為P，設(shè)OP交AB于點M，設(shè)OA=OP=OB=x，則OP⊥EF，可得四邊形DEPM是矩形，從而得到PM=DE=25，OM⊥AB，在Rt△BOM中，根據(jù)勾股定理，可得OM=12，從而得到∠ABO=67°，進(jìn)而得到∠AOB=180?67?67=46°【詳解】（1）解：在直線l上另外任取一點Q，連接AQ、BQ，如圖②，設(shè)直線BQ交圓O于點H，連接AH，則∠APB=∠AHB．（同弧所對的圓周角相等）∵∠AHB=∠AQH+∠QAH．（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．）∴∠APB=∠AQH+∠QAH∴∠APB>∠AQH，所以，點P對線段AB的視角最大．（2）解：①如圖，作線段AB的垂直平分線交EF于點P，點P即為所求．②過A、B兩點，作⊙O使其與直線EF相切，切點為P，設(shè)OP交AB于點M，設(shè)OA=OP=OB=x，則OP⊥EF，∴∠DMP=∠D=∠DEP=90°，∴四邊形DEPM是矩形，∴PM=DE=25，OM⊥AB，∴OM=25?x，BM=1在Rt△BOM中，O∴52∴x=13，∴OM=12，∴OM:BM=2.4，∵tan∴∠ABO=67°，∴∠AOB=180?67?67=46°，∴∠APB=1∴最大視角是23°．【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了解直角三角形、直線和圓相切等，這種新定義類的題目，通常按照題設(shè)的順序求解，一般比較容易解答．3．綜合與實踐．【實踐背景】人體工學(xué)座椅通常具有可調(diào)節(jié)的功能，座椅的傾斜度、高度和深度等都可以根據(jù)使用者的需求進(jìn)行調(diào)整．座椅在如圖1的形態(tài)下，靠背與座面基本垂直，腳板收攏于座面下方，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示．【實踐操作】現(xiàn)需要將座椅從圖1的形態(tài)變成適合小李的圖2的形態(tài)，使得靠背AE與腳板BF平行，請在圖4中用尺規(guī)作圖法畫出腳板BF；（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）【升級設(shè)計】如圖5，現(xiàn)將上述座椅簡圖置于平面直角坐標(biāo)系中，把靠背AE由直變曲，并賦予座面AB一定的座位深度，使其不再與地面平行．其中曲線AE是二次函數(shù)的部分圖象，點A為頂點：線段AB=582cm（實際生產(chǎn)時?。?）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如果座椅兩扶手之間相距60cm【答案】（實踐操作）見解析；（升級設(shè)計）（1）y=9【分析】該題主要考查了尺規(guī)作圖，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，長方體的展開圖等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（實踐操作）根據(jù)尺規(guī)作平行線的方法作圖即可；（升級設(shè)計）（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得出當(dāng)座椅位于圖3位置時，體積最小，畫圖即可．【詳解】（實踐操作）解：如圖所示，BF即為所求．（升級設(shè)計）（1）解：∵點A50,40∴可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax?50把E70,130代入表達(dá)式，得130=a解得：a=9∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=9（2）解：根據(jù)題意可得，當(dāng)座椅位于圖3位置時，體積最小，此時，所需的長方體的長寬高分別是70?50?45設(shè)計圖如圖所示．【新考向：跨學(xué)科】1．手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如圖2所示．若在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則光源與小明的距離應(yīng)（

）A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．減少1米【答案】C【分析】本題考查了中心投影、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題是關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題，根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖：點O為光源，AB為小明的手，CD表示小狗手影，則AB∥CD，作OE⊥AB，延長OE交CD于F，則OF⊥CD，，∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴ABCD∵OE=2米，OF=6米，∴ABCD令A(yù)B=k，則CD=3k，∵在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话?，如圖，，即AB=k，C′D′∴ABC′D∴OE∴光源與小明的距離應(yīng)增加4?2=2米，故選：C．2．手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（

）

A．減少32米 B．增加32米 C．減少53米 【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖，點O為光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，則AB∥CD，過點O作OE⊥AB，延長OE交CD于F，則OF⊥CD，

∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，則ABCD∵EF=1米，OE=2米，則OF=3米，∴ABCD設(shè)AB=2k，CD=3k∵在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

即AB=2k，C′D′=6k∴ABC則O′∴O′∴光源與小明的距離變化為：OE?O故選：A．【點睛】此題考查了中心投影，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題．1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖是由七個完全相同的小正方體組成的立體圖形，選項給出的四個平面圖形中不屬于其三視圖的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)立方體的結(jié)構(gòu)，按照三視圖的要求判斷選項中是否是三視圖．【詳解】A項為左視圖，B項為俯視圖，C項不屬于三視圖，D項為主視圖，故選：C．【點睛】本題主要考查了立體圖形的三視圖問題，主要訓(xùn)練學(xué)生的空間想象力．2．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國”六個字，還原成正方體后“我”的對面的字是（

）

A．熱 B．愛 C．中 D．國【答案】B【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，據(jù)此作答即可．【詳解】解：正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，則與“我”字相對的字是“愛”，與“們”字相對的字是“中”，與“國”字相對的字是“熱”，故選：B．3．（2024·北京·中考真題）下面是“作一個角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）作射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C（3）過點D′作射線O′B

上述方法通過判定△C′O′D′≌△CODA．三邊分別相等的兩個三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得OC=O故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，故選A.4．（2005·廣東深圳·中考真題）如圖是胡老師畫的一幅寫生畫，四位同學(xué)對這幅畫的作畫時間作了猜測.根據(jù)胡老師給出的方向坐標(biāo)，猜測比較合理的是（）A．小明：“早上8點” B．小亮：“中午12點”C．小剛：“下午5點” D．小紅：“什么時間都行”【答案】C【詳解】可根據(jù)平行投影的特點分析求解，或根據(jù)常識直接確定答案．解：根據(jù)題意：影子在物體的東方，根據(jù)北半球，從早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-東北-東，可得應(yīng)該是下午．故選C．本題考查了平行投影的特點和規(guī)律．在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長．5．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，EF和BC交于點O；②以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D；③分別以點D，C為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M﹐連接AM，AM和CD交于點N，連接ON若

A．2 B．52 C．4 D．【答案】A【分析】利用三角形中位線定理以及線段的垂直平分線的性質(zhì)求解．【詳解】解：由作圖可知EF垂直平分線段BC，AM垂直平分線段CD，∴OB=OC，∴ON=1∵AB=9，∴BD=AB?AD=9?5=4，∴ON=1故選：A．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，三角形中位線定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．6．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為．【答案】3π+4【分析】首先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，然后計算其表面積即可．【詳解】解：觀察該幾何體的三視圖發(fā)現(xiàn)其為半個圓柱，半圓柱的直徑為2，高為1，故其表面積為：π×12+（π+2）×2=3π+4，故答案為：3π+4．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)三視圖得到幾何體的形狀，難度不大．7．（2023·四川·中考真題）如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點，分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，作直線EF，分別交直線a，b于點C，D，連接AC，若∠CDA=34°，則

【答案】56°/56度【分析】先判斷EF為線段AB的垂直平分線，即可得∠CAB=∠CBA，∠ACD=∠BCD，再由a∥b，可得∠CDA=∠BCD=34°，即有∠ACD=∠BCD=34°，利用三角形內(nèi)角和定理可求【詳解】解：由作圖可知EF為線段AB的垂直平分線，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∠ACD=∠BCD，∵a∥∴∠CDA=∠BCD=34°，∴∠ACD=∠BCD=34°，∵∠ACD+∠BCD+∠CAB+∠CBA=180°，∴∠CAB=56°，故答案為：56°．【點睛】本題考查了垂直平分線的作圖、垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，判斷EF為線段AB的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個棱長為10dm的