2025年大學《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在醫(yī)學與生物學科研中的重要作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述數(shù)學建模在解決醫(yī)學傳播問題（如傳染病擴散）中的主要作用和基本步驟。二、給定一階線性微分方程模型$\frac{dy}{dt}=-ky$，其中$y(t)$表示時刻$t$的感染者數(shù)量，$k$為傳染率常數(shù)。假設(shè)在$t=0$時，感染者數(shù)量為$y_0$。試推導該微分方程的通解，并用初始條件$y(0)=y_0$確定特解，并解釋通解中各參數(shù)的生物學意義。三、在藥物動力學中，一級吸收一級消除模型描述了藥物在體內(nèi)的濃度變化。設(shè)$C(t)$為時刻$t$的血藥濃度，$C_0$為給藥后瞬間（$t=0$）的濃度，$k_a$為吸收速率常數(shù)，$k_e$為消除速率常數(shù)。試建立描述該過程的微分方程，并推導穩(wěn)態(tài)血藥濃度（長期給藥時的平衡濃度）的表達式。四、生物統(tǒng)計中常用正態(tài)分布來描述測量數(shù)據(jù)。假設(shè)某項醫(yī)學檢測指標（如血壓）的測量值服從均值為$\mu$，標準差為$\sigma$的正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$。試解釋標準正態(tài)分布$Z\simN(0,1)$的作用。若已知某病患者的該指標檢測值低于平均值一個標準差，即$X=\mu-\sigma$，請計算其對應(yīng)的標準化分數(shù)（或Z分數(shù)），并說明該分數(shù)的統(tǒng)計意義。五、線性回歸是統(tǒng)計學中用于分析兩個變量之間線性關(guān)系的常用方法。在醫(yī)學研究中，可能想探究某藥物的劑量（$x$）與療效（$y$）之間的關(guān)系。假設(shè)通過實驗獲得了若干組數(shù)據(jù)點$(x_i,y_i)$，利用最小二乘法擬合得到線性回歸方程$\hat{y}=bx+a$。請簡述最小二乘法的核心思想，并說明回歸系數(shù)$b$和$a$的幾何意義和統(tǒng)計意義。六、考慮一個簡單的生態(tài)模型，描述某物種數(shù)量$N(t)$的變化。假設(shè)在沒有捕食者的情況下，物種數(shù)量按指數(shù)增長，增長率為$r$；存在捕食者時，由于捕食作用，物種數(shù)量按比例$d$減少與捕食者數(shù)量$P$相關(guān)。若捕食者數(shù)量$P$保持恒定，試建立描述該物種數(shù)量變化的微分方程模型，并分析其平衡點的存在性及意義。七、在基因組學中，基因表達調(diào)控網(wǎng)絡(luò)非常復(fù)雜。數(shù)學方法，特別是圖論和網(wǎng)絡(luò)分析，被用于研究這些網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能。請解釋什么是基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)？在利用數(shù)學方法分析基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)時，可能遇到哪些主要的數(shù)學挑戰(zhàn)？并舉例說明圖論中哪些概念或工具可能被用來分析這類網(wǎng)絡(luò)。八、假設(shè)一項臨床研究旨在比較兩種不同藥物（A藥和B藥）治療某種疾病的療效。研究人員將患者隨機分為兩組，分別服用A藥和B藥，并在一段時間后評估治療效果。請簡述在設(shè)計和分析這類比較研究時，為什么需要使用隨機化和對照？在統(tǒng)計分析中，可能會采用哪些方法來比較兩組患者的治療效果差異？并簡述這些方法的基本原理。試卷答案一、數(shù)學建模通過建立數(shù)學方程或模型來描述醫(yī)學傳播過程中的關(guān)鍵因素（如易感者、感染者、康復(fù)者數(shù)量變化），能夠量化傳播速率、預(yù)測疫情發(fā)展趨勢、評估干預(yù)措施效果（如隔離、疫苗接種），為疫情防控提供科學決策依據(jù)?；静襟E通常包括：問題理解與背景分析、模型假設(shè)、模型建立（選擇合適的數(shù)學工具）、模型求解（解析或數(shù)值方法）、模型驗證與修正、結(jié)果解釋與應(yīng)用。二、通解：$y(t)=Ce^{-kt}$，其中$C$為任意常數(shù)。應(yīng)用初始條件$y(0)=y_0$，得$y_0=Ce^{-k\cdot0}=C$。所以特解為$y(t)=y_0e^{-kt}$。解析思路：求解一階線性微分方程，首先分離變量$\frac{dy}{y}=-kdt$，然后兩邊積分$\int\frac{1}{y}dy=\int-kdt$，得到$\ln|y|=-kt+C_1$。指數(shù)化得到$y=e^{-kt+C_1}=e^{C_1}e^{-kt}$。令$C=e^{C_1}$，得通解$y(t)=Ce^{-kt}$。代入初始條件$y(0)=y_0$確定常數(shù)$C$。通解中$y(t)$代表時刻$t$的感染者數(shù)量，$k$代表傳染率常數(shù)（或單位時間內(nèi)感染者的平均增長率），$C$代表初始時刻感染者數(shù)量$y_0$。三、微分方程：$\frac{dC}{dt}=k_a(C_{\text{in}}-C)-k_eC$。其中$C_{\text{in}}$為外部輸入藥物的濃度（若為單次靜注則$C_{\text{in}}=C_0$）。對于持續(xù)恒速靜注，$C_{\text{in}}$為常數(shù)；對于口服或其他吸收過程，$C_{\text{in}}$可能是時間的函數(shù)。穩(wěn)態(tài)解：指$\frac{dC}{dt}=0$時的$C$值。令$\frac{dC}{dt}=0$，得$0=k_a(C_{\text{in}}-C)-k_eC$。整理得$k_aC_{\text{in}}=(k_a+k_e)C$。穩(wěn)態(tài)濃度（平衡濃度）：$C_{\text{ss}}=\frac{k_aC_{\text{in}}}{k_a+k_e}$。解析思路：藥物動力學模型基于質(zhì)量平衡原理。對于吸收過程，單位時間進入體循環(huán)的藥物量等于吸收速率常數(shù)$k_a$乘以動脈血中藥物濃度$(C_{\text{in}}-C)$（$C$為體循環(huán)中濃度）；對于消除過程，單位時間從體循環(huán)中清除的藥物量等于消除速率常數(shù)$k_e$乘以體循環(huán)中藥物濃度$C$。因此，$\frac{dC}{dt}$=吸收速率-消除速率。穩(wěn)態(tài)濃度是動態(tài)平衡狀態(tài)，即吸收速率等于消除速率，求解此平衡方程即得。四、標準正態(tài)分布$Z\simN(0,1)$的作用是將任意正態(tài)分布$X\simN(\mu,\sigma^2)$轉(zhuǎn)換為標準形式，便于使用標準正態(tài)分布表或軟件查找概率。轉(zhuǎn)換公式為$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$。計算標準化分數(shù)：$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{(\mu-\sigma)-\mu}{\sigma}=\frac{-\sigma}{\sigma}=-1$。統(tǒng)計意義：標準化分數(shù)（Z分數(shù)）表示一個原始分數(shù)$X$距離其均值$\mu$有多少個標準差$\sigma$。$Z=-1$表示該檢測值低于平均值一個標準差。在標準正態(tài)分布中，$Z=-1$對應(yīng)的累積概率約為0.1587，意味著該患者的檢測值低于平均值一個標準差的概率約為15.87%，或者說，在健康人群中，僅有約15.87%的人的該指標值低于此患者。五、最小二乘法的核心思想是通過尋找一條直線（或曲線），使得所有數(shù)據(jù)點到該直線的垂直距離（或某種加權(quán)距離）的平方和最小。這能使得擬合直線在整體上“最好地”逼近所有數(shù)據(jù)點。幾何意義：回歸系數(shù)$b$代表回歸直線$y=bx+a$的斜率，表示自變量$x$每增加一個單位時，因變量$y$平均變化的量。回歸系數(shù)$a$代表回歸直線$y=bx+a$的截距，表示當自變量$x=0$時，因變量$y$的估計值。統(tǒng)計意義：$b$是自變量$x$對因變量$y$的回歸系數(shù)，反映了$x$與$y$之間的線性關(guān)系強度和方向（正相關(guān)或負相關(guān)）。$a$是回歸方程的常數(shù)項，是當$x=0$時$y$的期望值或預(yù)測值。在實際情況中，$x=0$可能沒有實際意義，$a$的解釋需要結(jié)合具體問題背景。六、微分方程模型：$\frac{dN}{dt}=rN-dNP$。平衡點：令$\frac{dN}{dt}=0$，得$rN-dNP=0$。即$N(r-dP)=0$。解得平衡點：$N=0$或$N=\frac{r}{dP}$。解析思路：該模型描述了物種數(shù)量$N$的增長率。增長率由兩部分組成：一部分是指數(shù)增長項$rN$（代表沒有捕食壓力時的增長）；另一部分是負向項$-dNP$（代表捕食作用，與捕食者數(shù)量$P$成正比）。當增長率為零時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。令增長率等于零，求解關(guān)于$N$的方程，即得平衡點。$N=0$是無生物平衡點，$\frac{r}{dP}$是有捕食者存在時的生態(tài)平衡點，表示在捕食者數(shù)量$P$恒定的情況下，物種數(shù)量會穩(wěn)定在某個水平。七、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)是指通過轉(zhuǎn)錄因子、小分子調(diào)控物等相互作用的網(wǎng)絡(luò)，調(diào)控基因表達（開啟或關(guān)閉）的復(fù)雜系統(tǒng)，最終影響生物體的性狀。數(shù)學挑戰(zhàn)：1）網(wǎng)絡(luò)規(guī)模巨大且高度復(fù)雜；2）網(wǎng)絡(luò)中相互作用關(guān)系（調(diào)控強度、時滯）通常未知且可能隨環(huán)境變化；3）節(jié)點（基因）和邊（調(diào)控關(guān)系）的性質(zhì)多樣且不均勻；4）系統(tǒng)對初始條件和參數(shù)變化的敏感性（噪聲）可能很大；5）從觀測數(shù)據(jù)中精確推斷網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動力學參數(shù)非常困難。可能用到的數(shù)學工具：圖論（網(wǎng)絡(luò)拓撲分析，如度分布、聚類系數(shù)、模塊性）用于描述和量化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；線性代數(shù)（如特征值分析用于尋找關(guān)鍵節(jié)點）和微分方程（用于模擬動態(tài)行為）；概率論與統(tǒng)計學（用于數(shù)據(jù)分析和模型參數(shù)估計）；優(yōu)化算法（用于網(wǎng)絡(luò)推斷）。八、需要使用隨機化和對照的原因：1）隨機化：將研究對象（患者）隨機分配到不同治療組（藥物A或藥物B），可以排除除藥物本身以外的其他因素（如年齡、性別、病情嚴重程度等）對不同治療組結(jié)果的影響，減少選擇偏倚，確保兩組在基線特征上具有可比性。2）對照：設(shè)置對照組（通常給予安慰劑或標準治療），可以提供一個比較基準，用于判斷所研究藥物的療效是否確實優(yōu)于現(xiàn)有方法或無治療狀態(tài)，并評估藥物的副作用。統(tǒng)計分析方法及原理：1）假設(shè)檢驗（如t檢驗、卡方檢驗）：比較兩組樣本的均值（如療效評分均值）、比例（如有效率的比例）是否存在顯著差異?；?/p>