答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)等校2026屆高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，，，，，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比分位數(shù)小，則的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．94．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線與軸交于點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度等于雙曲線的焦距的一半，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．1679年，萊布尼茨發(fā)明了二進(jìn)制，即在數(shù)學(xué)和數(shù)字電路中以2為基數(shù)的記數(shù)系統(tǒng)，這一系統(tǒng)中，通常用兩個(gè)不同的符號(hào)0和1來(lái)表示.現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)和依賴計(jì)算機(jī)的設(shè)備里都使用二進(jìn)制.設(shè)正整數(shù)，，其中，，令，若，且，則有（

）種情況A．120 B．126 C．136 D．1427．已知函數(shù)存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知為拋物線上一點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)不在直線上，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱10．以下說(shuō)法正確的是（

）A．若為隨機(jī)變量，，則B．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則C．若一批產(chǎn)品共有10件，其中有3件次品，從10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件（不放回），用表示抽取到的2件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，則D．若隨機(jī)變量，且，則11．已知函數(shù)，則（

）A．曲線在點(diǎn)處的切線方程為B．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)C．若且，則D．若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則三、填空題12．已知單位向量，的夾角為，則.13．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則.14．已知正方體的棱長(zhǎng)為，以為球心，為半徑的球面與該正方體不含頂點(diǎn)的三個(gè)面的交線總長(zhǎng)度為，則.四、解答題15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前48項(xiàng)和.16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，是的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若平面平面，，，求直線與平面所成的角的正弦值.17．已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是，現(xiàn)在門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次.(1)當(dāng)時(shí)，記目標(biāo)被擊中的次數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；(2)如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過(guò)，至少需要多少門大炮？（，）18．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為”.已知離心率都為的橢圓，的對(duì)稱中心都是原點(diǎn).焦點(diǎn)都在軸上，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)分別求橢圓，的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線.切點(diǎn)分別為，，直線，分別與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).（i）證明：線段是的中位線：（ii）證明：直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn).《河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)等校2026屆高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CADABBDCACBC題號(hào)11答案BCD1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法確定復(fù)數(shù)，即可判斷其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所在的象限為第三象限.故選：C2．A【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】若，則，因此，當(dāng)，時(shí)，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．D【分析】由中位數(shù)的定義和百分位數(shù)的定義求所給數(shù)據(jù)的中位數(shù)和分位數(shù)，由條件列方程，解方程可得結(jié)論.【詳解】由已知中位數(shù)為，由，可知分位數(shù)為10，有，可得.故選：D.4．A【分析】由正弦定理邊角互化和余弦定理解三角形可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又，由余弦定理得?故選：A.5．B【分析】設(shè)點(diǎn)在軸的正半軸上，由已知可得點(diǎn)，根據(jù)直線與漸近線垂直可得，即可求解雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸的正半軸上，，有，可得點(diǎn)，直線的斜率為，又由直線與漸近線垂直，有，可得，可得雙曲線的離心率為.故選：B.6．B【分析】由條件結(jié)合組合數(shù)公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，，，這個(gè)數(shù)中恰有個(gè)，其余為，故有種情況.故選：.7．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)存在最大值，必有，可化為，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，可得，故選：D.8．C【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程得，則拋物線方程為，根據(jù)直線與的傾斜角互補(bǔ)得，化簡(jiǎn)得，利用兩點(diǎn)間斜率求得，即可得解.【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，得，所以拋物線方程為，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，易知直線、直線、直線的斜率存在，則，，由題意，可得，所以，所以直線的斜率為定值.故選：C.9．AC【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)性質(zhì)求最小正周期、對(duì)稱中心、整體法判斷區(qū)間單調(diào)性，根據(jù)圖象平移寫出解析式判斷奇偶性，即可知各項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由函數(shù)的最小正周期為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，得，即的對(duì)稱中心為，其中.當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，平移后的函數(shù)為，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10．BC【分析】根據(jù)隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算公式、性質(zhì)性質(zhì)判斷ABC，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以，，所以，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，的所有可能取值為，，，，所以，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC11．BCD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷即可；對(duì)于B選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可；由可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而判斷即可；結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，有，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，可得存在，使得，則時(shí)，，時(shí)，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由，，，，可得函數(shù)在上各有一個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，有，有，可得，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)及，，可得，又由，有，有，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又，可得，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD.12．0【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律求解即可.【詳解】由，則.故答案為：0.13．【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得，由二倍角公式求得，最后利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】由三角函數(shù)定義可知，則，所以.故答案為：14．1【分析】根據(jù)正方體體對(duì)角線和面對(duì)角線的長(zhǎng)度判斷球面與正方體的交點(diǎn)位置，由球的截面性質(zhì)求出截面圓的半徑，利用弧長(zhǎng)公式求解可得.【詳解】由，，有，可知球僅與正方形，，表面相交，且交線長(zhǎng)都相等.設(shè)點(diǎn)在球與正方形的表面的交線上，有，有，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)該圓與正方形的交點(diǎn)分別為、（點(diǎn)在上，點(diǎn)在上）.又由，可得，同理可得.又由，可得，所以每個(gè)表面上的圓弧所對(duì)的圓心角均為，則每個(gè)圓弧的長(zhǎng)度為，可得球面與該正方體表面的交線的長(zhǎng)度為，由已知，所以.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列方程求解等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)裂項(xiàng)求和求解【詳解】（1）設(shè)公比為，由，有，解得.又由，有，解得.故，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，有.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接輔助線，利用中位線定理可得，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，平面的法向量坐標(biāo)，根據(jù)直線與平面所成角的向量公式求解線面角的正弦值即可.【詳解】（1）如圖，連接與相交于點(diǎn)，連接，正方形的對(duì)角線和交于點(diǎn)，又，，又平面，平面，平面.

（2）如圖，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線，可得垂線垂直于平面，又因?yàn)椋瑒t以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，方向分別為，軸的正方向，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，又由，，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，又由，有，故直線與平面所成的角的正弦值為.17．(1)分布列見(jiàn)解析，，(2)12門【分析】（1）由已知根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式分別計(jì)算概率，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式求解即可；（2）由已知可得，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）的可能取值為0，1，2，3，4，由，有，，，，，隨機(jī)變量的分布列為：01234有，；（2）由目標(biāo)至少被擊中一次的概率為，又由目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過(guò)，則，則，所以，所以至少需要12門大炮.18．(1)答案見(jiàn)解析(2)(3).【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)后，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性；（2）由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可得出且函數(shù)的極小值小于0，求出范圍，再由零點(diǎn)存在性定理分析即可得解；（3）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，分析求解即可得解.【詳解】（1）由，①當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）由（1）可知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必有且，可得.又由當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，又，所以有，故若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，令，有，令，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增.①當(dāng)時(shí)，可得，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，（利用不等式），由函數(shù)單調(diào)遞增，必存在使得，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由，可得當(dāng)時(shí)，，不合題意.由上知，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)：，：.(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)和離心率即可求得橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，并由橢圓方程得到參數(shù)的關(guān)系式，（i）由題意寫出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程整理得到一元二次方程，由韋達(dá)定理得到三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再由中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系即可得證；（ii）根據(jù)題意寫出直線和的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程，聯(lián)立橢圓方程和直線方程，整理得到一元二次方程，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)方程，由韋達(dá)定理寫出關(guān)系式，得到線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形中平行關(guān)系，證明三點(diǎn)共線即可得證.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，焦距為，橢圓的方程為，焦距為，由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率都為，可得，，，又由橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍，可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，，，，有，，.（i）證明：直線的方程為，聯(lián)立方程，消去有，代入，上述方程可化為，又由一元二次方