江蘇省南通市如皋市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上)1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】∵，，∴.故選：A.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】，所以.故選：B3.“雙曲線的兩漸近線夾角為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】雙曲線的兩漸近線夾角為，所以或，所以或.“或”是“”的必要不充分條件.故選：C4.已知隨機(jī)事件互相獨(dú)立，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因為隨機(jī)事件互相獨(dú)立，所以，則，,解得，，，．故選：A．5.三棱錐中，平面平面，和均為等邊三角形，則二面角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】如圖，作出符合題意的圖形，取的中點(diǎn)，連接，因為和均為等邊三角形，所以，，因為平面平面，且面，所以面，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)和的邊長為，可得，，，得到，，設(shè)面的法向量為，可得，令，解得，故，易得面法向量為，設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則，故C正確故選：C6.函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】函數(shù)定義域為，，因為函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，所以區(qū)間有解，即在區(qū)間有解，所以在區(qū)間上能成立，故，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以．故選：B．7.已知圓及兩點(diǎn)，，若圓上任一點(diǎn)，都滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，.若滿足，則，即，即，所以.令，則表示點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.如圖，當(dāng)線段過圓心時，最大，最大值為.所以的取值范圍是.故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足：，都有，且，當(dāng)時，有，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】定義在上的函數(shù)滿足：，都有，且，所以，故，在等式中，令可得，所以，所以，，，，，在等式中，令可得，所以，所以，，，，當(dāng)時，有，又因為，且，故.故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A. B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時， D.若，則【答案】BC【詳解】因為，對于A選項，，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以，對任意的，，故函數(shù)為偶函數(shù)，B對；對于C選項，當(dāng)時，，所以，故，C對；對于D選項，若，則，此時，D錯.故選：BC.10.已知二項展開式，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【詳解】令，對于A選項，的展開式通項為，其中，，所以，A對；對于B選項，，所以，B錯；對于C選項，，所以，C對；對于D選項，，故，D對.故選：ACD.11.一個封閉的直三棱柱容器內(nèi)裝有高度為3的水(如圖所示，底面處于水平狀態(tài))．記水面為，，，現(xiàn)以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將容器逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A.水面形狀的變化依次為三角形，等腰梯形，矩形B.水面可能是正三角形C.當(dāng)經(jīng)過時，與面的交線長為D.當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)時，水面的面積為【答案】ABCD【詳解】A選項，水的體積，，所以當(dāng)水面經(jīng)過時，水面與棱相交，如圖3，當(dāng)水面經(jīng)過點(diǎn)時，水面與面相交，如圖4，則在此之前水面形狀均為三角形，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直至之前，水面形狀為等腰梯形，如圖5，轉(zhuǎn)至?xí)r，水面形狀為矩形，如圖6，故A選項正確；B選項，初始位置，如圖1，，當(dāng)水面經(jīng)過時，如圖3，此時，所以，，所以在轉(zhuǎn)動過程中，存在，使得水面是正三角形，故B選項正確；C選項，如圖4，，且由于與相似，則，，故C選項正確；D選項，當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)時，如圖6，，且由于與相似，則，則，則水面的面積為，故D選項正確.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.已知，，則的最小值為______．【答案】【詳解】，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又，故時，等號成立，所以的最小值為8.故答案為：13.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，過的直線與交于兩點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線沿軸翻折，則三棱錐體積的最大值為_____.【答案】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為.易知直線的斜率必不為0，故設(shè)直線：.聯(lián)立方程組，消去并整理得.設(shè)，，則，.設(shè)拋物線沿軸翻折后點(diǎn)到平面的距離為，則，∴.故答案為：.14.小明同學(xué)有一個質(zhì)地均勻的正四面體玩具，四個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，現(xiàn)隨機(jī)拋擲，記錄每次朝下的面上的數(shù)字，如果是數(shù)字4就停止，否則繼續(xù)拋擲，至多拋3次．設(shè)這幾次記錄的最大數(shù)字為，則_____；_____．【答案】①.②.【詳解】的可能取值為1，2，3，4，，即拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字均為1，拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字共有種情況，故，，即拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字中，最大數(shù)字為2，分有1個2，2個2和3個2三種情況，故；，即拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字中，最大數(shù)字為3，分有1個3，2個3和3個3三種情況，故；，拋擲1次，朝下的面上的數(shù)字為4，此時概率為，或拋擲2次，第二次朝下的面上的數(shù)字為4，此時概率為，拋擲3次，第三次朝下的面上的數(shù)字為4，此時概率為，故；故故答案為：，.四、解答題（本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.為促進(jìn)消費(fèi)，擴(kuò)大內(nèi)需，江蘇省體育局主辦了年城市足球聯(lián)賽，簡稱“蘇超”．隨著賽事的進(jìn)行，引發(fā)全省乃至全國人民的關(guān)注，城市旅游人數(shù)顯著提升．下表是比賽五個月來的某城市旅游人數(shù)（百萬）與第個月的數(shù)據(jù)：（月份）（人數(shù)）（1）已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）該市隨機(jī)抽取了部分市民及游客，調(diào)查他們對賽事的關(guān)注情況，得到如下列聯(lián)表：性別不關(guān)注賽事關(guān)注賽事男性女性請依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為關(guān)注“蘇超”賽事與性別有關(guān)．參考公式：，，其中．【答案】（1）（2）能，理由見解析【小問1詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，所以，，故關(guān)于的線性回歸方程為.【小問2詳解】零假設(shè)關(guān)注“蘇超”賽事與性別無關(guān)，由表格中的數(shù)據(jù)可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，能認(rèn)為關(guān)注“蘇超”賽事與性別有關(guān).16已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若，都有，求的取值范圍．【答案】（1）極小值為，極大值為（2）【小問1詳解】由題意可知，且，所以，當(dāng)時，，列表如下：減極小值增極大值減此時，函數(shù)的極小值為，極大值為；當(dāng)時，，列表如下：增極大值減極小值增此時，函數(shù)的極小值為，極大值為.綜上所述，函數(shù)的極小值為，極大值為.【小問2詳解】當(dāng)時，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，都有，只需，即，解得，此時；當(dāng)時，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，與題設(shè)條件矛盾.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.17.如圖，在斜三棱柱中，，側(cè)面為矩形，在底面內(nèi)的射影為．（1）求證：且；（2）若，，與底面所成角的正切值為，求直線到平面的距離．【答案】（1）見解析（2）【小問1詳解】連接并延長交于點(diǎn)，連接，因為在底面內(nèi)射影為，所以平面，則，又因為側(cè)面為矩形，所以，而，所以，由于平面，所以平面，又因為平面，所以，即，因為，，所以D為中點(diǎn)，則為的垂直平分線，所以，因此，且得證；【小問2詳解】由（1）知平面，已知，，則就是與底面所成角，其正切值為，余弦值為，，解得，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，解得，又易得平面，所以到平面的距離為．18.某班準(zhǔn)備在周六和周日兩天分別進(jìn)行一次環(huán)保志愿活動，分別由李老師和王老師負(fù)責(zé)通知，已知該班共60名學(xué)生，每次活動需40人參加，假設(shè)李老師和王老師通過“家校通”平臺分別將通知獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給60位學(xué)生家長中的40人，且保證所發(fā)通知都能收到．（1）求該班甲同學(xué)家長收到李老師或王老師通知的概率；（2）設(shè)該班乙同學(xué)家長收到通知的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)兩次都收到通知的人數(shù)為變量，則的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一個值的可能性最大？請說明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）取到27的可能性最大【小問1詳解】李老師通知40人，甲同學(xué)家長未收到李老師通知的概率為，王老師通知40人，甲同學(xué)家長未收到王老師通知的概率也為，因為李老師和王老師發(fā)通知是獨(dú)立事件，所以甲同學(xué)家長未收到李老師和王老師通知的概率為，所以甲同學(xué)家長收到李老師或王老師通知的概率為；【小問2詳解】表示乙同學(xué)家長收到通知的次數(shù)，的可能取值為0，1，2，，，，所以分布列為：012期望；【小問3詳解】表示兩次都收到通知的人數(shù)，的可能取值為20，21，22，…，40，設(shè)，則，所以，令，解得，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，又，則，所以時概率最大，則取到27的可能性最大．19.已知橢圓的離心率為，短軸長為2，橢圓上有兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，動點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線分別交橢圓于點(diǎn)，滿足，.（1）求橢圓的方程；（2）求動點(diǎn)的軌跡方程；（3）過點(diǎn)作橢圓的兩條切線（與坐標(biāo)軸不垂直），試探究兩切線斜率乘積是否為定值？【答案】（1）（2）（3）為定值，證明見解析【小問1詳解】因為橢圓的短軸長為2，離心率為，所以，，由橢圓的性質(zhì)得，且，解得，，則橢圓的方程為.【小