◆理解力的可傳性原理和合力投影定理?！衾斫饬Φ暮铣啥噙呅畏▌t?！羰煜と我饬ο蜃鴺?biāo)軸分解的方法并能正確列出平面匯交力系的平衡方程?！粽莆沼脦缀畏ㄇ蠼馄矫鎱R交力系未知力的方法?！粽莆沼媒馕龇ㄇ蠼馄矫鎱R交力系的未知力的方法。平面匯交力系及平衡圖6-2-1汽車制動操縱裝置如圖6—2—1所示為汽車制動操縱裝置,制動時用力F踩踏板,通過拉桿CD而使汽車制動。設(shè)F=100N,踏板和拉桿自重不計,思考如何求圖示位置時拉力Q及鉸鏈支座B的約束反力。對未知力進(jìn)行求解,要掌握平面匯交力系、平面匯交力系的平衡、三力平衡匯交定理等有關(guān)基本知識。一、平面匯交力系

平面匯交力系：作用于物體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)且相交于一點(diǎn)的力系。平面匯交力系是一種特殊的力系。例如中自卸載重汽車，作用在推桿BE上的兩個力FB、FE是平面匯交力系，作用在翻斗如圖6-2-2a所示的三個力P、RB、NA也是平面匯交力系，如圖6-2-2b。圖6—2—2平面匯交力系a)推桿b)翻斗二、三力平衡匯交定理

三力平衡匯交定理：若作用于物體同一平面上的三個不平行的力構(gòu)成平衡力系，則它們的作用線必匯交于一點(diǎn)。同一平面內(nèi)作用線匯交于一點(diǎn)的三個力不一定都是平衡的。但如果同一平面內(nèi)三個力平衡則它們的作用線必匯交于一點(diǎn)，即三力平衡匯交定理是共面且不平行三力平衡的必要條件，而非充分條件。在解決實(shí)際問題時，若物體受同一平面中三力作用而平衡，并知道其中兩力的作用線的交點(diǎn)，則第三個力的方位便可以由此定理推知。例如，圖6—2—2所示中自卸載重汽車的翻斗的受力分析就是利用三力平衡匯交定理，已知兩個力推知第三個力的方位。再如圖6—2—3a所示鋼架受力分析，受三個力P、RA、RB的作用而處于平衡狀態(tài)。其中P為已知力，方向水平向右；RA和RB屬于約束反力，其中，RB應(yīng)垂直于支承面，而RA的方向本屬未定，但由三力平衡匯交定理可推知RA的作用線必通過P和RB的作用線的交點(diǎn)D，如圖6—2—3b所示。圖6—2—3鋼架受力分析2.平面匯交力系平衡的幾何條件（1）力的多邊形法則實(shí)際利用幾何法求解未知力時，只要將力系中各力依次首尾相接地連成析線，然后用一有向線段連接析線的首未兩點(diǎn)，即可得一封閉的多邊形，封閉邊即為該力系的合力。上述方法稱為力的多邊形法則，如圖6—2—4所示。圖6—2—4力的多邊形法則

三、幾何法1.定義幾何法是利用幾何作圖求解未知力的方法。（2）平面匯交力系平衡的幾何條件如果用幾何法求平面匯交力系的合力時，各力所構(gòu)成的力的多邊形自行封閉，即第一個力的始端與最后一個力的終端相重合，即合力等于零，則該力系為平衡力系。所以平面匯交力系平衡的幾何條件：該力系的力多邊形自行封閉，即合力等于零，如圖6—2—5所示。圖6—2—5平面匯交力系平衡的幾何條件3.步驟幾何法求解工程上有關(guān)平衡問題的主要步驟如下：（1）確定研究對象，進(jìn)行受力分析，畫受力圖。（2）利用力的合成多邊形法則畫出各力圖示。（3）利用平面匯交力系平衡的幾何條件畫出未知力（包括大小和方向）。4.用幾何法求解汽車制動操縱裝置的未知力（1）確定整個制動裝置（包括踏板和拉桿）為研究對象。受力分析如下：整個制動裝置受到三個力，即踩踏板的主動力F，拉桿拉力Q和支座反力RB的作用而處平衡狀態(tài)。相關(guān)定理力的可傳性原理：作用于剛體某點(diǎn)的力，可以沿其作用線移到剛體上任意一點(diǎn)，而不會改變該力對剛體效果。上述F和Q方向為已知，根據(jù)力的可傳性原理，F(xiàn)和Q的作用線交于點(diǎn)O。RB、F與Q處于同一平面中且制動裝置受三個力作用而平衡，根據(jù)三力平衡匯交定理可得ＲＢ的作用線必通過力Ｆ和Ｑ的作用線的交點(diǎn)Ｏ。如圖6-2-6所示。圖6—2—6

汽車制動操縱裝置的受力求解（2）根據(jù)力的多邊形法則，畫出力F的圖示。在力F的始端和終端根據(jù)Q和RB的方向畫出它們的作用線，如圖6—2—7所示。圖6—2—7力F的圖示（3）F、Q、RB為平面匯交平衡系。而平面匯交力系的平衡條件：各力首尾相連組成的力的多邊形自行封閉。由此確定力RB、Q的圖示。根據(jù)相應(yīng)的比例尺算出RB、Q。

RB=141N方向如圖6—2—7所示。

Q=193N方向如圖6—2—7所示。相關(guān)定理一個物體所受的力往往有好幾個，同時作用在同一物體上的許多力稱為力系。按照作用在物體上的力系中的各力的作用線是否在同一平面內(nèi)，可將力系分為平面力系和空間力系。凡各力作用線在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系；凡各力的作用線不在同平面內(nèi)的力系，稱為空間力系。平面力系中按照各力作用線是否相交或平行，可以將平面力系分為平面匯交力系、平面平行力系、平面力偶系、平面任意力系。

四、解析法1.定義解析法是通過力在坐標(biāo)軸上的投影來分析力系的合成并利用平衡條件來求解未知力的方法。2.平面匯交力系平衡的解析條件（1）力在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)在直角坐標(biāo)系xoy平面內(nèi)，有一已知力F，此力與x軸所夾的銳角為α，如圖6—2—8所示，過力F的兩端A和B分別向x、y軸引垂線，得垂足ab和a′b′。線段ab和a′b′分別為力F在x軸和y軸上的投影，用FX和FY表示。必須注意：圖6—2—8力在坐標(biāo)軸上的投影1）力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，它有正負(fù)之分。當(dāng)投影的指向與坐標(biāo)軸的正向一致時，力的投影取正值，如圖6-2-8a所示，即：（6-2-1）反之取負(fù)值，如圖6-2-8b所示，即：（6-2-2）

2）力在坐標(biāo)軸上投影的特殊情況：當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時，力在該坐標(biāo)軸上的投影為零。當(dāng)力與坐標(biāo)軸平行時，其投影的絕對值與該力的大小相等。3）已知力F在坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy，則力F的大小和F與X軸的夾角α分別為：

力F的指向應(yīng)根據(jù)Fx和Fy的正負(fù)號確定。（2）平面匯交力系的合力相關(guān)定理合力投影定理：合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上的投影代數(shù)和。應(yīng)用合力投影定理可求平面匯交力系合力的大小和方向。設(shè)有平面匯交力系F1、F2……Fn,且各力在x軸上的投影為F1x、F2x、……Fnx，各力在y軸上的投影F1y、F2y……Fny；合力R在x軸、y軸上的投影分別為Rx、Ry，由合力投影定理得：

(6-2-4)

由式（6-2-3）可計算合力R的大小和與X軸的夾角：

(6-2-5)其中α為合力R與X軸的夾角，合力R的指向要根據(jù)∑Fx和∑Fy的正負(fù)號確定，合力R的作用點(diǎn)仍通過力系的匯交點(diǎn)。（3）平面匯交力系平衡的解析條件若作用于某剛體的平面匯交力系的合力為零，則此力系不會改變該剛體的運(yùn)動狀態(tài)。即平面匯交力系平衡的充分必要條件是：力系的合力等于零。因為合力R=,要使R=0，必須，即

(6-2-6)

平面匯交力系平衡的解析條件為：力系中各力在兩個坐標(biāo)軸每一軸上的投影代數(shù)和等于零。式（6-2-6）稱為平面匯交力系的平衡方程，用這兩個獨(dú)立的方程，可以求解兩個獨(dú)立的未知量。3.步驟解析法求解工程上有關(guān)平衡問題的主要步驟如下：（1）確定研究對象，進(jìn)行受力分析，畫出受力圖。（2）選取坐標(biāo)軸，畫在受力圖上，計算各力在每個坐標(biāo)軸上的投影即分力。（3）列出平衡方程，求解未知力（包括大小和方向）。

圖6—2—9汽車制動操縱裝置的受力求解五、用解析法求解汽車制動操縱裝置的未知力如圖6-2-9所示為汽車制動操縱裝置的受力圖，已知F=100N，試求RB和Q。解：（1）確定整個制動裝置（包括踏板和拉桿）為研究對象。受力分析如下：整個制動裝置受到三個力，即踩踏板的主動力F，拉桿拉力Q和支座反力RB的作用而處于平衡狀態(tài)。其中F和Q方向為已知，RB方向待定。根據(jù)三力平衡匯交定理可得RB的作用線必通過F和Q的作用線的交點(diǎn)O。畫其受力如圖6-2-9a所示。（2）選取坐標(biāo)軸，如圖6-2-9b所示，計算諸力在坐標(biāo)軸x、y上的投影。（3）列平衡方程，求解未知力。

解得RB：將RB的值代入解得Q：一、三力平衡匯交定理的證明證明：設(shè)物體上A、B、C三點(diǎn)有共面且不平行的三個力F1、F2、F3作用，如圖6-2-10a所示。首先根據(jù)力的可傳性原理，將其中任意二力F1、F2分別沿其作用線移到它們的交點(diǎn)O處，并求出F1、F2的合力R，則F3應(yīng)與R平衡。再根據(jù)二力平衡公理，R與F3必在同一直線上，所以F3必須通過O點(diǎn)。于是F1、F2、F3均通過O點(diǎn)，如圖6-2-10b所示。圖6-2-10三力平衡匯交定理的證明二、合力投影定理的證明

圖6-2-11合力投影定理的證明證明：設(shè)有作用于剛體上的平面匯交力系F1、F2、F3，如圖6-2-11a所示。首先連續(xù)使用力的三角形法則求出其合力R，如圖6-2-11b所示?？梢钥闯觯蠛狭時，只要依次首尾相連各已知矢量，形成折線ABCD，然后用一個矢量連接折線首末兩點(diǎn)AD，就可得合力R。其中封閉的折線ABCD稱為力的多邊形。利用力多邊形求合力的作圖規(guī)律，稱為力的多邊形法則。其次，在力多邊形ABCD所在平面內(nèi)取直角坐標(biāo)xOy，并將力系中諸力向x軸投影，可得諸力在x軸上的投影為：F1x=ab；F2x=bc；F3x=－cd；Rx=ad,如圖6-2-11b所示。由此得到，力系的合力在x軸上的投影與諸分力在x軸上投影的關(guān)系為：

ad=ab+bc－cd 即：Rx=F1x+F2x+F3x=∑Fx同理可得，合力與諸分力在y軸上的投影關(guān)系為：

Ry=F1y+F2y+F3y=∑Fy這就證明了合力投影定理。一、填空題1.合力投影定理指的是：合力在任一軸上的投影等于

在同一軸上的投影的

。2.用扳手?jǐn)Q螺母產(chǎn)生的繞螺母中心O的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，不僅與力的

有關(guān)，而且與螺母中心O到力的作用線的

有關(guān)，此外還與力的作用

有關(guān)。3.合力對O點(diǎn)的矩，等于力系中

對O點(diǎn)之矩的

，稱為合力矩定理。二、選擇題1.球A重G，懸掛于繩端。球?qū)K的拉力為T，繩對球的拉力為T’。試指出屬于二力平衡的二力是（），屬于作用力與反作用力的二力是（）。A．G、TB．G、T’C．T、T’2.舉重時，雙