2025年大學(xué)《量子信息科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——量子編碼解碼中的信息解析算法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、量子糾錯(cuò)碼能夠糾正錯(cuò)誤，其基本原理是利用額外編碼信息來檢測(cè)和/或糾正量子比特在傳輸或存儲(chǔ)過程中發(fā)生的錯(cuò)誤。簡(jiǎn)述量子糾錯(cuò)的基本思想，并解釋什么是穩(wěn)定子碼（StabilizerCode）。二、Steane碼是一種重要的量子糾錯(cuò)碼，其編碼空間為2維。請(qǐng)寫出5-qubitSteane碼的編碼規(guī)則（即如何將一個(gè)2-qubit的邏輯態(tài)編碼為一個(gè)5-qubit的物理態(tài)），并給出該碼的穩(wěn)定子群（StabilizerGroup）和糾正單個(gè)錯(cuò)誤的能力。三、在標(biāo)準(zhǔn)量子解碼（StandardQuantumDecoding,SQD）中，當(dāng)發(fā)生單個(gè)錯(cuò)誤時(shí)，解碼器通過測(cè)量輔助量子比特來推斷錯(cuò)誤發(fā)生的位置和類型，然后根據(jù)預(yù)設(shè)規(guī)則重構(gòu)正確的邏輯態(tài)。以Shor碼為例，描述其針對(duì)單個(gè)錯(cuò)誤的標(biāo)準(zhǔn)量子解碼過程，包括必要的測(cè)量操作和狀態(tài)重構(gòu)步驟。四、測(cè)量反饋解碼（Measurement-basedDecoding,MBDec）是另一種重要的量子解碼方法，尤其適用于某些穩(wěn)定子碼。請(qǐng)簡(jiǎn)述MBDec的基本思想。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的量子碼（如3-qubitGHZ碼或7-qubitSteane碼），描述其MBDec的基本流程，并指出MBDec相較于SQD可能的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)。五、考慮一個(gè)使用了5-qubitShor碼的系統(tǒng)，假設(shè)在編碼后的一個(gè)邏輯qubit上發(fā)生了單個(gè)錯(cuò)誤，導(dǎo)致其狀態(tài)變?yōu)?|0\rangle+\alpha|1\rangle$，其中$|\alpha|^2=0.1$。解碼器通過測(cè)量輔助量子比特，得到了錯(cuò)誤類型為$X$的信息。請(qǐng)描述解碼器如何利用這個(gè)信息重構(gòu)正確的邏輯態(tài)$|0\rangle$。六、比較標(biāo)準(zhǔn)量子解碼（SQD）和測(cè)量反饋解碼（MBDec）在性能上的主要區(qū)別。在哪些方面（例如錯(cuò)誤閾值、計(jì)算復(fù)雜度、對(duì)錯(cuò)誤模型的依賴等）它們可能表現(xiàn)不同？請(qǐng)結(jié)合具體編碼方案進(jìn)行討論。七、量子糾錯(cuò)碼的糾正能力通常與其編碼空間的維度和穩(wěn)定子群的結(jié)構(gòu)有關(guān)。討論如何從理論上評(píng)估一個(gè)量子碼能夠糾正的錯(cuò)誤類型和數(shù)量。對(duì)于一個(gè)一般的穩(wěn)定子碼，其糾正錯(cuò)誤的能力由哪些數(shù)學(xué)屬性決定？試卷答案一、量子糾錯(cuò)的基本思想是通過引入冗余信息（編碼），將一個(gè)邏輯量子比特的信息分布到多個(gè)物理量子比特上。當(dāng)物理量子比特發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)，這種冗余信息使得錯(cuò)誤可以被檢測(cè)出來（有時(shí)甚至可以糾正）。穩(wěn)定子碼是一類重要的量子糾錯(cuò)碼，其編碼空間由所有滿足某個(gè)穩(wěn)定子生成集（一組測(cè)量算符）的量子態(tài)組成。穩(wěn)定子算符作用在任何正確編碼的態(tài)上結(jié)果仍為自身，并且對(duì)特定類型的錯(cuò)誤（如單個(gè)位錯(cuò)誤或特定組合的錯(cuò)誤）作用后會(huì)得到一個(gè)可測(cè)量的非零結(jié)果，從而用于錯(cuò)誤檢測(cè)。二、5-qubitSteane碼的編碼規(guī)則為：將一個(gè)2-qubit的邏輯態(tài)$|\psi\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|11\rangle$編碼為一個(gè)5-qubit的物理態(tài)$|\phi\rangle=|\psi\rangle\otimes|+\rangle$，其中$|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$。具體編碼為：編碼$|00\rangle\rightarrow|00000\rangle$編碼$|11\rangle\rightarrow|11111\rangle$該碼的穩(wěn)定子群為$\{I,Z_1,Z_2,X_1,X_2\}$，其中$Z_1,Z_2$是對(duì)第1、2個(gè)物理qubit應(yīng)用Z門，$X_1,X_2$是對(duì)第1、2個(gè)物理qubit應(yīng)用X門。該碼能夠糾正單個(gè)任意錯(cuò)誤。三、Shor碼針對(duì)單個(gè)錯(cuò)誤的標(biāo)準(zhǔn)量子解碼過程如下：1.將編碼后的5-qubit態(tài)（如$|0\rangle\rightarrow|00000\rangle$）置于一個(gè)5-qubit寄存器，另加2個(gè)輔助量子比特，初始狀態(tài)為$|00\rangle$。2.應(yīng)用Shor碼的糾錯(cuò)變換$U$到寄存器上的5個(gè)編碼qubit上（$U|q_1q_2q_3q_4q_5\rangle=(-1)^{q_1q_2}|q_1q_2q_3q_4q_5\rangle$）。3.將輔助量子比特置于$|+\rangle$態(tài)，并將寄存器置于$|+\rangle^{\otimes5}$態(tài)。4.應(yīng)用$X\otimesI\otimesI\otimesI\otimesI$（其中$X$作用在第一個(gè)輔助qubit，$I$作用在其他輔助qubit和編碼qubit上）。5.應(yīng)用$U^\dagger$到寄存器上的5個(gè)編碼qubit上。6.測(cè)量?jī)蓚€(gè)輔助量子比特。根據(jù)測(cè)量結(jié)果（00,01,10,11）可以判斷錯(cuò)誤類型（無錯(cuò)誤，$Z$錯(cuò)誤，$X$錯(cuò)誤，$XZ$錯(cuò)誤）。7.如果測(cè)量結(jié)果指示有錯(cuò)誤（01,10,11），則應(yīng)用相應(yīng)的翻轉(zhuǎn)門（$X$或$Z$或$XZ$）到寄存器上的對(duì)應(yīng)編碼qubit上。8.測(cè)量寄存器上的5個(gè)編碼qubit，得到正確的邏輯態(tài)。四、MBDec的基本思想是將編碼和解碼過程統(tǒng)一到一個(gè)測(cè)量過程中。編碼態(tài)被制備為一個(gè)多量子比特的特定糾纏態(tài)（通常是簇態(tài)）。解碼時(shí)，通過對(duì)部分量子比特進(jìn)行隨機(jī)測(cè)量，根據(jù)測(cè)量結(jié)果和預(yù)設(shè)的規(guī)則，直接獲得原始邏輯態(tài)的信息，同時(shí)消除了部分編碼量子比特。對(duì)于穩(wěn)定子碼，MBDec通常通過測(cè)量編碼態(tài)中的輔助（ancilla）量子比特來實(shí)現(xiàn)錯(cuò)誤檢測(cè)，并根據(jù)檢測(cè)結(jié)果調(diào)整后續(xù)測(cè)量或重構(gòu)邏輯態(tài)。優(yōu)勢(shì)在于解碼過程可能更簡(jiǎn)單（尤其對(duì)于某些編碼），易于并行實(shí)現(xiàn)；劣勢(shì)在于測(cè)量具有隨機(jī)性，解碼性能（如錯(cuò)誤閾值）可能不如優(yōu)化的SQD，且對(duì)錯(cuò)誤模型的依賴性可能更強(qiáng)。五、解碼器知道發(fā)生了單個(gè)$X$錯(cuò)誤，意味著在編碼后的5-qubit態(tài)上應(yīng)用了$X$門。假設(shè)原始編碼態(tài)為$|00000\rangle$（編碼$|0\rangle$）。發(fā)生錯(cuò)誤后狀態(tài)為$|XXX00\rangle=|11111\rangle$。解碼器需要通過測(cè)量輔助qubit來推斷哪個(gè)編碼qubit發(fā)生了$X$錯(cuò)誤。Shor碼的輔助qubit測(cè)量結(jié)果與發(fā)生錯(cuò)誤的位置有關(guān)。假設(shè)輔助qubit初始為$|0\rangle$，編碼態(tài)為$|0\rangle$。根據(jù)Shor碼的編碼規(guī)則和輔助qubit的測(cè)量結(jié)果（由教師根據(jù)具體編碼過程設(shè)定，例如假設(shè)測(cè)量得到結(jié)果指示第3位發(fā)生$X$錯(cuò)誤），解碼器知道$|11111\rangle$是由于$X$作用在第3位$|00000\rangle$上得到的。因此，解碼器需要應(yīng)用$X$門到第3位物理qubit上，將其狀態(tài)從$|1\rangle$恢復(fù)為$|0\rangle$。最終重構(gòu)正確的邏輯態(tài)$|00000\rangle$。六、SQD和MBDec的性能區(qū)別：1.錯(cuò)誤閾值：通常，精心設(shè)計(jì)的SQD可以達(dá)到更高的錯(cuò)誤閾值（如針對(duì)特定錯(cuò)誤模型），而MBDec的性能可能受限于測(cè)量過程引入的隨機(jī)性，閾值可能較低。2.計(jì)算復(fù)雜度：SQD的解碼過程通常涉及復(fù)雜的量子邏輯門操作和后處理，計(jì)算復(fù)雜度可能較高；MBDec的解碼過程與編碼過程結(jié)合，測(cè)量步驟相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度可能較低。3.對(duì)錯(cuò)誤模型的依賴：SQD通常針對(duì)特定的錯(cuò)誤模型（如單個(gè)錯(cuò)誤、特定錯(cuò)誤類型）進(jìn)行優(yōu)化；MBDec的性能可能更依賴于對(duì)錯(cuò)誤發(fā)生方式和測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)的理解。4.實(shí)現(xiàn)方式：SQD需要精確控制的量子門和測(cè)量；MBDec通常基于簇態(tài)等特定糾纏態(tài)，測(cè)量相對(duì)簡(jiǎn)單，但要求高質(zhì)量的糾纏態(tài)制備。對(duì)于特定編碼，如Steane碼，MBDec有較有效的實(shí)現(xiàn)方式，性能良好；而對(duì)于其他編碼，SQD可能更優(yōu)。選擇哪種解碼方法取決于具體應(yīng)用場(chǎng)景、錯(cuò)誤環(huán)境、硬件資源和性能要求。七、評(píng)估量子糾錯(cuò)碼糾正錯(cuò)誤的能力通?；谄浞€(wěn)定子群和編碼空間性質(zhì)：1.糾正錯(cuò)誤類型：一個(gè)量子碼能夠糾正的錯(cuò)誤類型通常由其穩(wěn)定子群決定。例如，穩(wěn)定子碼能糾正所有由穩(wěn)定子生成的錯(cuò)誤（如單個(gè)位錯(cuò)誤或特定組合的錯(cuò)誤）。2.糾正錯(cuò)誤數(shù)量：一個(gè)量子碼能糾正的錯(cuò)誤數(shù)量通常由其編碼空間維度$d$和穩(wěn)定子群的大小$|S|=2^k$決定。一個(gè)能糾正$t$個(gè)錯(cuò)誤的量子碼，其編碼空間維度$d$通常滿足$d\approx(t+1)^2$。對(duì)于穩(wěn)定子碼，糾正$t$個(gè)錯(cuò)誤的條件是$|