知識點65：電勢差與電場強度的關(guān)系題型一：等分法計算勻強電場的電場強度【知識思維方法技巧】勻強電場中等勢面未知計算電場強度的方法：等分法（1）等分法：勻強電場中，沿任意一個方向，電勢降落都是均勻的，故在同一直線上間距相同的兩點間電勢差相等。如果把某兩點間的距離等分成n段，則每段兩端點間的電勢差等于原電勢差的eq\f(1,n)，采用這種等分間距求電勢問題的方法叫等分法。推論1：勻強電場中的任一線段AB的中點C的電勢φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如圖甲所示．推論2：勻強電場中若兩線段AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如圖乙所示．（2）若已知電場中某幾點的電勢，求勻強電場的電場強度的大小和方向時，可以利用等分法先找出一條等勢線，作等勢線的垂線就是電場線所在的直線，由電勢高的等勢線指向電勢低的等勢線是電場強度的方向，再根據(jù)E＝eq\f(U,d)(U是兩等勢面間的電勢差，d是該兩等勢面間的距離)求電場強度的大小。類型一：已知直角坐標系空間位置模型【典例1a拔尖題】（多選）有一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c、d四點的位置如圖所示，cd、cb分別垂直于x軸、y軸，其中a、b、c三點電勢分別為：4V、8V、10V，使一電荷量為q＝－2×10－5C的負點電荷由a點開始沿abcd路線運動，則下列判斷正確的是()A．坐標原點O的電勢為6VB．電場強度的大小為eq\r(2)V/mC．該點電荷在c點的電勢能為2×10－5JD．該點電荷從a點移到d點過程中，電場力做功為8×10－5J【典例1a拔尖題】【答案】AD【解析】由于是勻強電場，所以沿同一方向前進相同距離電勢的變化量相等，所以φc－φb＝φO－φa，代入數(shù)據(jù)解得：φO＝6V，故A正確；ab中點e的電勢為φe＝6V，連接Oe則為等勢面，如圖所示。由幾何關(guān)系可知，ab垂直于Oe，則ab為一條電場線，且方向由b指向a，電場強度為：E＝eq\f(Ube,dbe)＝eq\f(8－6,\f(\r(22＋22),2)×10－2)V/m＝100eq\r(2)V/m，故B錯誤；該點電荷在c點的電勢能為：Epc＝qφc＝－2×10－4J，故C錯誤；由題意結(jié)合幾何知識可知b、d在同一等勢面上，該點電荷從a點移動到d點電場力做功為：Wad＝qUad＝qUab＝(4－8)×(－2×10－5)J＝8×10－5J，故D正確?！镜淅?a拔尖題對應(yīng)練習(xí)】（多選）一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c三點的位置如圖所示，三點的電勢分別為10V、17V、26V。下列說法正確的是()A．電場強度的大小為2.5V/cmB．坐標原點處的電勢為1VC．電子在a點的電勢能比在b點的低7eVD．電子從b點運動到c點，電場力做功為9eV【典例1a拔尖題對應(yīng)練習(xí)】【答案】ABD【解析】如圖所示，設(shè)a、c之間的d點電勢與b點電勢相同，則eq\f(ad,dc)＝eq\f(10－17,17－26)＝eq\f(7,9)，所以d點的坐標為(3.5cm，6cm)，過c點作等勢線bd的垂線，電場強度的方向由高電勢指向低電勢。由幾何關(guān)系可得，ce的長度為3.6cm，電場強度的大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(（26－17）V,3.6cm)＝2.5V/cm，故選項A正確；因為Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，可知坐標原點O處的電勢為1V，故選項B正確；a點電勢比b點電勢低7V，電子帶負電，所以電子在a點的電勢能比在b點的高7eV，故選項C錯誤；b點電勢比c點電勢低9V，電子從b點運動到c點，電場力做功為9eV，故選項D正確。類型二：已知三角形空間位置模型【典例1b拔尖題】(多選)如圖所示，在電場中有一等邊三角形OPC，O點位于坐標原點，OC與x軸重合，P點坐標為(2cm，2eq\r(3)cm)，A、B分別為OP、PC的中點，坐標系處于勻強電場中，且電場方向與坐標平面平行。已知O點電勢為6V，A點電勢為3V，B點電勢為0，則下列說法正確的是()A．C點電勢為3VB．C點電勢為0C．該勻強電場的電場強度大小為100V/mD．該勻強電場的電場強度大小為100eq\r(3)V/m【典例1b拔尖題】【答案】BD【解析】找OC的中點D，連接AD和BD，如圖所示。由幾何知識可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3V，φC＝0，故A錯誤，B正確；由于φA＝φD，故AD為等勢線，已知電場線和等勢線互相垂直且方向由高電勢指向低電勢，又OB⊥AD，且φO＞φB，故電場強度方向由O指向B，E＝eq\f(UOB,dOB)＝eq\f(6－0,2\r(3)×10－2)V/m＝100eq\r(3)V/m，故C錯誤，D正確。【典例1b拔尖題對應(yīng)練習(xí)】(多選)如圖所示，勻強電場中等腰直角三角形ABC，eq\o(AB,\s\up6(－))＝eq\o(BC,\s\up6(－))＝2cm，D為AB邊中點，電場方向與△ABC所在平面平行，規(guī)定B點的電勢為0。將電荷量q＝－6×10－6C的點電荷從A點移到B點，電場力做了－2.4×10－5J的功，再將電荷從B點移到C點，電場力又做了1.2×10－5J的功，則()A.點電荷q在D點具有的電勢能為1.0×10－5JB.A點的電勢為4VC.該勻強電場的場強大小為100eq\r(5)V/m，方向垂直于CD連線指向B點D.將△ABC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)，無論轉(zhuǎn)過多大的角度，A、C兩點電勢都不會相等【典例1b拔尖題對應(yīng)練習(xí)】【答案】BC【解析】根據(jù)公式U＝eq\f(W,q)，則有UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－2.4×10－5,－6×10－6)V＝4V①UBC＝eq\f(WBC,q)＝eq\f(1.2×10－5,－6×10－6)V＝－2V②規(guī)定B點的電勢為0，則φA＝UAB＝4V，在勻強電場中沿著同一方向距離相等的任何兩點間電勢差相等，則φD＝eq\f(φA＋φB,2)＝2V，故點電荷q在D點具有的電勢能為EpD＝qφD＝(－6×10－6)×2J＝－1.2×10－5J，故A錯誤，B正確；因φB＝0，則φC＝－UBC＝2V，故連接CD則為一條等勢面，過B做CD垂線則為一條電場線，如圖所示，由幾何關(guān)系得，sin∠BCD＝eq\f(1,\r(12＋22))＝eq\f(\r(5),5)，則E＝eq\f(|UBC|,BCsin∠BCD)＝eq\f(2,2×10－2×\f(\r(5),5))V/m＝100eq\r(5)V/m，根據(jù)沿著電場線方向電勢逐漸降低可知，電場方向為垂直于CD連線指向B點，故C正確；將△ABC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到AC與電場線垂直時，A、C兩點電勢相等，故D錯誤。類型三：已知四邊形空間位置模型【典例1c拔尖題】(多選)如圖所示，勻強電場中的A、B、C、D點構(gòu)成一位于紙面內(nèi)的平行四邊形，電場強度的方向與紙面平行。已知A、B兩點的電勢分別為φA＝12V、φB＝6V，則C、D兩點的電勢可能分別為()A．9V、15V B．9V、18VC．0V、6V D．6V、0V【典例1c拔尖題】【答案】AC【解析】已知ABCD為平行四邊形，則AB與CD平行且等長，因為勻強電場的電場強度的方向與紙面平行，所以UAB＝UDC＝6V，分析各選項中數(shù)據(jù)可知，A、C正確，B、D錯誤?！镜淅?c拔尖題對應(yīng)練習(xí)】如圖在勻強電場中有一長方形區(qū)域ABCD，邊長AB＝0.3m、BC＝0.4m，勻強電場方向與ABCD所在平面平行，A、B、C三點的電勢φA＝55V，φB＝19V，φC＝－45V，則勻強電場的電場強度大小和方向為()A．120V/m，沿AB方向B．200V/m，沿AC方向C．160V/m，沿AD方向D．300V/m，沿BD方向【典例1c拔尖題對應(yīng)練習(xí)】【答案】B【解析】連接AC，過B點作BB′⊥AC，由幾何關(guān)系知，AB′＝0.18m，B′C＝0.32m，AC＝0.5m，據(jù)題知UAC＝100V，因為AC線上電勢均勻降落，由比例關(guān)系可知φB′＝19V，所以類型四：已知多邊形空間位置模型【典例1d拔尖題】(多選)如圖所示，水平面內(nèi)有A、B、C、D、E、F六個點，它們均勻分布在圓心為O、半徑為R＝2cm的同一圓周上，空間有一方向與圓平面平行的勻強電場。已知A、C、E三點的電勢分別為φA＝(2－eq\r(3))V、φC＝2V、φE＝(2＋eq\r(3))V，下列判斷正確的是()A.電場強度的方向由A指向DB.電場強度的大小為100V/mC.該圓周上的點電勢最高為4VD.將電子沿圓弧從D點移到F點，電場力始終做負功【典例1d拔尖題】【答案】BC【解析】由于圓周處于勻強電場中，且φA＝(2－eq\r(3))V、φE＝(2＋eq\r(3))V，則線段AE的中點電勢為2V，等于C點電勢，故過C點和O點的直線與F點在同一等勢線上，AE和等勢線垂直，故場強方向由E指向A，故選項A錯誤；dEA＝2Rsin60°＝2eq\r(3)cm，則電場強度的大小為E＝eq\f(UEA,dEA)＝100V/m，選項B正確；ED中點位置的電勢最高，大小為φmax＝4V，選項C正確；電子從D點沿圓周順時針移到F點，電勢先升高后降低，電子的電勢能先減少后增加，故電場力先做正功后做負功，電子從D點沿圓周逆時針移到F點，電勢先降低后升高，電子的電勢能先增加后減少，故電場力先做負功后做正功，選項D錯誤?！镜淅?d拔尖題對應(yīng)練習(xí)】如圖，邊長為1cm的立方體abdc－fgih處于勻強電場中，d、c兩點間電勢差Udc＝3V，d、b兩點間電勢差Udb＝3V。若一電子從b到g電場力做功為零，則()A．b、g兩點間的電勢差為零B．勻強電場的方向從d指向cC．a(chǎn)、b兩點間的電勢差Uab＝3VD．勻強電場的電場強度E＝300V/m【典例1d拔尖題對應(yīng)練習(xí)】【答案】A【解析】由于電子從b到g電場力做功為零，因此b、g兩點間的電勢差一定為零，A正確；由題可知，c、b、g處于同一個勢面上，因此這三點確定的平面為等勢面，電場線與等勢面垂直，因此電場強度的方向為從d到a，B錯誤；d、b兩點間電勢差Udb＝3V，c、b、g三點確定的平面為等勢面，根據(jù)對稱性，a、b兩點間的電勢差Uab＝－3V，C錯誤；根據(jù)E＝eq\f(U,d)，勻強電場的電場強度E＝eq\f(3,\f(\r(2),2)×10－2)V/m＝300eq\r(2)V/m，D錯誤。題型二：非勻強電場中U＝Ed的定性應(yīng)用【知識思維方法技巧】非勻強電場中公式U＝Ed的定性應(yīng)用：（1）判斷電場強度大小：結(jié)合等差等勢面的疏密判斷電場強度大小，根據(jù)E＝eq\f(U,d)，當(dāng)電勢差U一定時，等差等勢面越密，則沿電場方向的距離d越小，電場強度E＝eq\f(U,d)越大；反之，則E越小。等差等勢面越密，電場強度越大。（2）判斷電勢差的大?。航Y(jié)合電場線的疏密定性判斷非勻強電場中兩點間電勢差的大小，根據(jù)U＝Ed，距離相等的兩點間，E越大，U越大。如圖甲所示，AB＝BC，則有UAB＞UBC；平均場強E越小，則電勢差U越小，如圖乙所示，AB＝BC，則有UAB＜UBC【典例2拔尖題】(多選)某種靜電除塵器中的電場線如圖中虛線所示．K為陰極，A為陽極，兩極之間的距離為d.B點是AK連線的中點．在兩極之間加上高壓U，有一電子在K極由靜止被加速．不考慮電子重力，元電荷為e，則下列