2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在醫(yī)療技術(shù)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。2.答案必須書(shū)寫(xiě)工整，字跡清晰。3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題紙一并交回。一、填空題（每小題5分，共20分）1.在醫(yī)學(xué)影像的拉東變換中，圖像的灰度值可以看作是Radon變換的___________。2.若某種疾病的診斷試驗(yàn)的靈敏度為0.9，特異度為0.85，則該試驗(yàn)的假陰性率為_(kāi)__________。3.藥物在體內(nèi)的濃度隨時(shí)間變化的過(guò)程通?？梢杂靡粋€(gè)一階線(xiàn)性微分方程來(lái)描述，這類(lèi)模型稱(chēng)為_(kāi)__________模型。4.在基因序列比對(duì)問(wèn)題中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法常用于尋找___________最優(yōu)解。二、簡(jiǎn)答題（每小題7分，共28分）1.簡(jiǎn)述傅里葉變換在醫(yī)學(xué)圖像處理（如CT成像）中的作用。2.解釋什么是概率密度函數(shù)，并說(shuō)明其在藥物動(dòng)力學(xué)研究中的意義。3.描述線(xiàn)性回歸模型在醫(yī)學(xué)診斷中的應(yīng)用，并說(shuō)明其基本原理。4.簡(jiǎn)述最優(yōu)化方法（如最小二乘法）在醫(yī)學(xué)圖像重建中的應(yīng)用。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.設(shè)某城市流感患者的數(shù)量y（t）（t為時(shí)間，單位：周）滿(mǎn)足微分方程dy/dt=0.1y-50。若初始時(shí)患者數(shù)量為1000人，求t=10周時(shí)患者的大致數(shù)量。（提示：先求通解，再求特解）2.某醫(yī)學(xué)診斷試驗(yàn)的結(jié)果如下：真陽(yáng)性人數(shù)為120，真陰性人數(shù)為800，假陽(yáng)性人數(shù)為30，假陰性人數(shù)為70。計(jì)算該試驗(yàn)的靈敏度、特異度、準(zhǔn)確率和陽(yáng)性預(yù)測(cè)值。3.對(duì)某疾病的兩個(gè)治療方案A和B進(jìn)行療效比較，收集數(shù)據(jù)如下：方案A治療了100人，其中治愈了70人；方案B治療了150人，其中治愈了90人。試用卡方檢驗(yàn)的思路（無(wú)需計(jì)算公式，只需說(shuō)明檢驗(yàn)思路和比較方法）判斷兩種方案的治愈率是否有顯著差異。四、應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1.假設(shè)某藥物通過(guò)口服給藥后，其在血液中的濃度C（單位：mg/L）隨時(shí)間t（單位：小時(shí)）變化近似滿(mǎn)足如下模型：C(t)=C0*e^(-kt)，其中C0為初始濃度，k為消除速率常數(shù)。若已知該藥物的半衰期（濃度降至初始值一半所需時(shí)間）為6小時(shí)，求消除速率常數(shù)k的值。并解釋該模型在實(shí)際用藥劑量計(jì)算中的作用。2.在醫(yī)學(xué)圖像分割中，常使用閾值法。假設(shè)一段醫(yī)學(xué)圖像的灰度值服從均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為20的正態(tài)分布?，F(xiàn)采用閾值法分割圖像，設(shè)定閾值為115。請(qǐng)解釋該方法的基本思想，并定性分析如果將閾值改為105，會(huì)對(duì)圖像分割結(jié)果產(chǎn)生什么影響（例如，是傾向于分割出更多區(qū)域還是更少區(qū)域？）。試卷答案一、填空題1.一維投影2.0.13.一室4.最長(zhǎng)公共子序列二、簡(jiǎn)答題1.解析：傅里葉變換可以將醫(yī)學(xué)圖像（通常表現(xiàn)為空間域的灰度分布）轉(zhuǎn)換到頻率域。在頻率域中，圖像的某些特征（如不同組織的密度差異）會(huì)以不同頻率成分的形式表現(xiàn)出來(lái)，這有助于突出特定結(jié)構(gòu)（如骨骼）或抑制噪聲。通過(guò)在頻率域?qū)π盘?hào)進(jìn)行處理（如濾波），可以改善圖像質(zhì)量，增強(qiáng)對(duì)比度，或提取特定信息。CT成像正是基于對(duì)X射線(xiàn)投影進(jìn)行傅里葉變換，再進(jìn)行逆變換重構(gòu)出二維或三維圖像的原理。2.解析：概率密度函數(shù)（PDF）描述了連續(xù)隨機(jī)變量取某一特定值的概率密度。在藥物動(dòng)力學(xué)中，PDF可用于描述藥物濃度在某一時(shí)刻的概率分布情況。例如，正態(tài)分布的PDF可以用來(lái)模擬藥物在血液中的濃度波動(dòng)，其峰值對(duì)應(yīng)于平均濃度，曲線(xiàn)的形狀反映了濃度的變異性。通過(guò)分析濃度-時(shí)間曲線(xiàn)下的面積（利用PDF積分），可以計(jì)算藥物的吸收程度、分布容積和消除速率等關(guān)鍵藥代動(dòng)力學(xué)參數(shù)。3.解析：線(xiàn)性回歸模型在醫(yī)學(xué)診斷中可用于分析一個(gè)或多個(gè)自變量（預(yù)測(cè)因子）與一個(gè)因變量（響應(yīng)變量）之間的線(xiàn)性關(guān)系。例如，可以用患者的年齡、性別、癥狀評(píng)分等自變量來(lái)預(yù)測(cè)其疾病嚴(yán)重程度或某個(gè)生理指標(biāo)。其基本原理是找到一條直線(xiàn)（一元線(xiàn)性回歸）或一個(gè)超平面（多元線(xiàn)性回歸），使得該直線(xiàn)/超平面能夠最佳地?cái)M合數(shù)據(jù)點(diǎn)，通常采用最小二乘法來(lái)確定回歸系數(shù)，使得預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差平方和最小。診斷應(yīng)用中，回歸模型可幫助建立疾病風(fēng)險(xiǎn)評(píng)分體系或輔助醫(yī)生進(jìn)行病情預(yù)測(cè)。4.解析：最優(yōu)化方法在醫(yī)學(xué)圖像重建中扮演著核心角色。例如，在計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT）中，需要根據(jù)采集到的不同角度的投影數(shù)據(jù)（Radon變換結(jié)果）重建出原始的二維或三維圖像。常用的方法是最小二乘法，它通過(guò)尋找一個(gè)圖像解，使得該圖像經(jīng)過(guò)Radon變換（并考慮測(cè)量誤差）后，與觀測(cè)到的投影數(shù)據(jù)之間的差異（通常是平方誤差）最小。其他最優(yōu)化方法如梯度下降法等也用于求解復(fù)雜的圖像重建模型，以獲得與原始圖像最接近的估計(jì)圖像，從而提高圖像的清晰度和診斷價(jià)值。三、計(jì)算題1.解析：此為一階線(xiàn)性微分方程。首先，分離變量并積分：∫(1/y)dy=∫(0.1dt)，得到ln|y|=0.1t+C。解得y=Ce^(0.1t)。由初始條件y(0)=1000，得C=1000。所以通解為y=1000*e^(0.1t)。當(dāng)t=10時(shí)，y=1000*e^(0.1*10)=1000*e^1≈1000*2.718≈2718人。2.解析：靈敏度=真陽(yáng)性人數(shù)/(真陽(yáng)性人數(shù)+假陰性人數(shù))=120/(120+70)=120/190≈0.632。特異度=真陰性人數(shù)/(真陰性人數(shù)+假陽(yáng)性人數(shù))=800/(800+30)=800/830≈0.966。準(zhǔn)確率=(真陽(yáng)性人數(shù)+真陰性人數(shù))/(總?cè)藬?shù))=(120+800)/(120+800+30+70)=920/1020≈0.902。陽(yáng)性預(yù)測(cè)值=真陽(yáng)性人數(shù)/(真陽(yáng)性人數(shù)+假陽(yáng)性人數(shù))=120/(120+30)=120/150=0.800。3.解析：首先計(jì)算兩種方案的治愈率：方案A治愈率=70/100=0.7；方案B治愈率=90/150=0.6?？ǚ綑z驗(yàn)的基本思路是比較觀測(cè)頻數(shù)與理論頻數(shù)（基于無(wú)差異假設(shè)）之間的差異。這里可以計(jì)算每個(gè)單元格的理論頻數(shù)，例如，假設(shè)總體治愈率為(70+90)/(100+150)=0.65，則方案A治愈的理論人數(shù)為100*0.65=65，未治愈理論人數(shù)為100*(1-0.65)=35；方案B治愈的理論人數(shù)為150*0.65=97.5，未治愈理論人數(shù)為150*(1-0.65)=52.5。然后計(jì)算每個(gè)單元格的(觀測(cè)頻數(shù)-理論頻數(shù))^2/理論頻數(shù)。若計(jì)算出的卡方統(tǒng)計(jì)量大于某個(gè)臨界值（基于顯著性水平），則拒絕“兩種方案治愈率無(wú)差異”的假設(shè)，認(rèn)為有顯著差異。反之，則認(rèn)為無(wú)顯著差異。通過(guò)比較治愈率本身（0.7vs0.6）的差異大小和樣本量，可以定性判斷差異可能具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，但嚴(yán)格檢驗(yàn)需計(jì)算卡方值。四、應(yīng)用題1.解析：根據(jù)半衰期定義，當(dāng)t=6小時(shí)時(shí)，C(t)=C0*e^(-k*6)=C0/2。將此代入模型，得到C0/2=C0*e^(-6k)。兩邊同時(shí)除以C0（C0不為0），得1/2=e^(-6k)。取自然對(duì)數(shù)，得到ln(1/2)=-6k。由于ln(1/2)=-ln(2)，所以-ln(2)=-6k，即k=ln(2)/6。該模型在實(shí)際用藥劑量計(jì)算中的作用是：知道了藥物的消除速率常數(shù)k，就可以預(yù)測(cè)藥物濃度隨時(shí)間衰減的速度，進(jìn)而指導(dǎo)給藥間隔、維持劑量計(jì)算以及藥物相互作用的評(píng)估。例如，通過(guò)計(jì)算藥物濃度降至某個(gè)治療有效或安全閾值所需的時(shí)間，可以確定何時(shí)需要再次給藥。2.解析：閾值法是一種簡(jiǎn)單的圖像分割技術(shù)，其基本思想是設(shè)定一個(gè)灰度閾值T。對(duì)于圖像中的每個(gè)像素，如果其灰度值大于或等于T，則將其分類(lèi)為前景（例如，目標(biāo)區(qū)域或感興趣區(qū)域）；如果其灰度值小于T，則將其分類(lèi)為背景。在本例中，T=115。由于灰度值服從正態(tài)分布N(100,20^2)，均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為20。閾值115位于均值右側(cè)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的位置（115=100+1*20）。這意味著灰度值大于115的像素點(diǎn)在圖像中相對(duì)較少，大部分像素點(diǎn)（約68%）的灰度值在[80,120]范圍內(nèi)。因此，采用閾值115進(jìn)行分