圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.1橢圓及其標準方程第1課時橢圓的定義及其標準方程[教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進階式教學(xué)][課時目標]1.理解并掌握橢圓的定義.2.掌握橢圓的標準方程的推導(dǎo).3.會求簡單的橢圓的標準方程.1.橢圓的定義定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓焦點兩個定點叫做橢圓的焦點焦距兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半稱為半焦距集合語言P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}|微|點|助|解|(1)對定義中限制條件“兩個定點”的理解橢圓定義中的兩個定點F1,F2是指不重合的兩點,當F1與F2重合時,相應(yīng)點的集合是圓.(2)對定義中限制條件“2a(大于|F1F2|)”的理解條件結(jié)論2a>|F1F2|動點的軌跡是橢圓2a=|F1F2|動點的軌跡是線段F1F22a<|F1F2|動點不存在,因此軌跡不存在2.橢圓的標準方程焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程x2a2+y2b2=1y2a2+x2b2=1圖形焦點坐標F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距2ca,b,c的關(guān)系a2=b2+c2異同點相同點:橢圓的大小、形狀相同;不同點:焦點位置不同,方程不同|微|點|助|解|(1)a,b,c(都是正數(shù))為三邊長,恰好構(gòu)成一個直角三角形(圖中陰影部分),a是斜邊長,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2(如圖所示).另外,a=|OA1|=|OA2|=12|A1A2|(A1,A2是圖中橢圓與x軸的交點)(2)橢圓標準方程的形式:等號左邊是“平方+平方”,右邊是“1”,特別注意右邊不是0.(3)判斷焦點位置的方法:標準方程中含x2項的分母較大?焦點在x軸上;標準方程中含y2項的分母較大?焦點在y軸上.因此要根據(jù)標準方程中分母的大小來判斷,簡記為“焦點位置看大小,焦點隨著大的跑”.基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)已知點F1(1,0),F2(1,0),動點P滿足|PF1|+|PF2|=4,則點P的軌跡是橢圓.()(2)已知點F1(1,0),F2(1,0),動點P滿足|PF1|+|PF2|=2,則點P的軌跡是橢圓.()(3)已知點F1(0,1),F2(0,1),動點P滿足|PF1|+|PF2|=1,則點P的軌跡是橢圓.()(4)橢圓定義中到兩定點的距離之和是常數(shù),而不能是變量.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)√2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一點到兩焦點的距離之和為4,焦距為2,則A.x216+y215=1 B.C.x24+y22=1 D.解析:選D由題設(shè),知2a=4,2c=2,可得a=2,c=1,則b2=a2c2=3,3.若方程x22-m+y23+m=1表示焦點在x軸上的橢圓,則A.-3,-12 BC.(∞,3) D.(2,+∞)解析:選A由題意可得0<3+m<2m,解得3<m<12,所以m的取值范圍為-3,-題型(一)橢圓的定義[例1]平面內(nèi)有一個動點M及兩定點A,B.設(shè)p:|MA|+|MB|為定值,q:點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓.那么p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選B當|MA|+|MB|為定值時,若定值大于|AB|時,點M軌跡是橢圓,若定值等于|AB|,點M軌跡是線段,若定值小于|AB|,則軌跡不存在;當點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓時,|MA|+|MB|必為定值.所以pq,但q?p,故p為q的必要不充分條件.|思|維|建|模|橢圓定義的應(yīng)用類型(1)判定點的軌跡是否為橢圓,關(guān)鍵看是否符合橢圓的定義;(2)作為性質(zhì)運用.橢圓上所有的點一定滿足定義的條件(即到兩焦點的距離之和為常數(shù)).[針對訓(xùn)練]1.(多選)設(shè)定點F1(0,3),F2(0,3),動點P滿足|PF1|+|PF2|=a+9a(a>0),則點P的軌跡可能是()A.圓 B.線段C.橢圓 D.直線解析:選BC易知a+9a≥6,故選BC2.已知P,Q為橢圓上兩點且F1,F2為橢圓的兩個焦點,當|PF1|=4時,|PF2|=8.求Q在運動過程中,|QF1|·|QF2|的最大值.解:由題意|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=4+8=12,由基本不等式|QF1|·|QF2|≤QF1|+QF2|22=1222=36,當且僅當|QF1|=|QF2|=6時,等號成立,故題型(二)求橢圓的標準方程方法1定義法求橢圓的標準方程[例2]求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)一個焦點坐標為(5,0),且橢圓上的點到兩焦點的距離之和是26;(2)一個焦點坐標為(0,23),且橢圓經(jīng)過點(6,5).解:(1)由題意2a=26,a=13,又c=5,所以b=a2-c2橢圓標準方程為x2169+y(2)由題意橢圓另一焦點為(0,23).2a=(-6)2+(5-23)2+(-6)2+(5+23)2=23-415+23+415=203+20+3=45,a=25|思|維|建|模|定義法就是根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點位置寫出橢圓方程.方法2待定系數(shù)法求橢圓的標準方程[例3](1)求焦點在坐標軸上,且經(jīng)過兩點(2,2)和-1,142(2)求與橢圓x225+y29=1有相同焦點,且過點(3,解:(1)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),分別將兩點的坐標(2,2),-1,142代入橢圓的一般方程,得4所以所求橢圓的標準方程為x28+y(2)由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為x225+λ+y29+λ=1又橢圓過點(3,15),將x=3,y=15代入方程得925+λ+15解得λ=11或λ=21(舍去).故所求橢圓的標準方程為x236+y|思|維|建|模|1.待定系數(shù)法求橢圓的標準方程(1)定位置:根據(jù)條件確定橢圓的焦點在哪條坐標軸上.(2)設(shè)方程:設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1或y2a2+x2b2=1(a>b>0).無法確定焦點位置時,可設(shè)為Ax2+By2=1((3)尋關(guān)系:根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,c(或A,B)的方程組.(4)得方程:解方程組,將所求得的相應(yīng)值代入所設(shè)方程即可.2.與已知橢圓共焦點的橢圓方程的設(shè)法與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)有公共焦點的橢圓方程為x2a2+λ+y2b2+λ=1(a>b>0,λ>b2);與橢圓y2a2+x2b2=1([針對訓(xùn)練]3.求滿足下列條件的橢圓的標準方程:(1)焦點坐標分別為(3,0),(3,0),經(jīng)過點(0,4);(2)焦點在y軸上的橢圓上任意一點到兩個焦點的距離的和為8,c=3;(3)兩個焦點坐標分別是(0,2)和(0,2),并且經(jīng)過點32(4)橢圓中c=3b,且a+b=6;(5)以橢圓9x2+5y2=45的焦點為焦點,且經(jīng)過點M(2,6).解:(1)設(shè)橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0將(0,4)代入到方程x2a2+y2b2=1中得b=4,故a所以橢圓的標準方程為x225+y(2)設(shè)橢圓的標準方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0),依題可得2a=8,即a=4,所以b=a2-c2=(3)易知c=2,焦點在y軸上,可設(shè)橢圓的標準方程為y2b2+4將32,-52代入標準方程解得則橢圓的標準方程為y210+x(4)因為c=3b,a2b2=c2,解得a=2b,又因為a+b=6,所以b=2,a=4,橢圓的標準方程為x216+y24=1或y(5)由題意,橢圓9x2+5y2=45化為標準方程y29+x25=1,知焦點F1(0,2),F2(0設(shè)所求橢圓方程為y2λ+4+x2λ=1將x=2,y=6代入,得6λ+4+4λ=1,解得λ=8或λ=2(∴所求橢圓的標準方程為y212+x題型(三)橢圓標準方程的應(yīng)用[例4](1)“2<m<6”是“方程x2m-2+y26-mA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:選B若方程x2m-2+y26-m=1表示橢圓,則m-2>0,6-m>0,m-2≠6-m,解得2<m<6且m(2)已知橢圓的標準方程為x225+y2m2=1(m>0),并且焦距為6,解析:因為2c=6,所以c=3.①當焦點在x軸上時,由橢圓的標準方程知25m2=9,解得m=4.②當焦點在y軸上時,由橢圓的標準方程知m225=9,解得m=34.綜上,m=4或m=34.答案:4或34|思|維|建|模|由橢圓的標準方程求基本量a,b,c時,一要看清方程是否為橢圓的標準方程,不是標準方程的先化為標準方程;二是看清橢圓焦點位置,通過焦點位置確定a2,b2的值,進而通過c2=a2b2求得c2,開方求得a,b,c.[針對訓(xùn)練]4.已知方程mx2+(2m1)y2=1表示焦點在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是()A.0,12 BC.(1,+∞) D.(0,1)解析:選B將橢圓方程變形為x21m+y212m-1=1,因為焦點在y軸上,所以12m-1>15.已知P為橢圓C:x24+y2b2=1上的動點,A(1,0),B(1,0),且|PA|+|PB|=4,則b2A.1 B.2C.3 D.4解析:選C因為A(1,0),B(1,0),可得|AB|=2,則|PA|+|PB|=4>|AB|=2,由橢圓的定義,可得點P的軌跡表示以A,B為焦點的橢圓,其中2a=4,2c=2,可得a=2,c=1,所以b2=a2c2=3,又因為點P在橢圓C:x24+y2b2=1上,[課時檢測]1.已知點A(3,0),B(0,2)在橢圓x2m2+y2n2=1上A.x23+y22=1 B.C.x23+y2=1 D.x2解析:選B由題意得9m2=1,4n2=1,解得m2=9,n2=42.若橢圓x24+y2m2=1(m>0)的一個焦點坐標為(1,0),則mA.5 B.3C.5 D.3解析:選D根據(jù)題意知,橢圓的焦點在x軸上,且c=1,則有4m2=1,解得m=±3.又m>0,則m=3.3.如果方程x24-m+y2m-3=1表示焦點在y軸上的橢圓,則A.(3,4) B.7C.3,72 D解析:選D∵方程x24-m+y2m-3=1表示焦點在y軸上的橢圓,∴4m>0,m3>0且m3>4m,解得724.橢圓x24+y23=1的右焦點到直線xy=0的距離為A.12 B.2C.1 D.2解析:選B在橢圓x24+y23=1中,a2=4,b2=3,則c=a2-b2=1,所以橢圓的右焦點為F(1,0).所以橢圓的右焦點F(1,0)到直線xy5.關(guān)于橢圓C:x2m+y2n=1,有下列四個命題:甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距為6;丁:C的焦點在x軸上.如果只有一個假命題,則該命題是A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析:選A當甲、乙為真命題時,橢圓方程為x24+y29=1,橢圓的焦距為2c=29-4=25,此時丙和丁都是假命題,不符合題意,因此甲和乙有一個是假命題.當乙、丙和丁是真命題時,b=9=3,2c=6,∴a2=b2+c2=9+9=18,此時橢圓方程為x218+y29=1,6.橢圓x212+y23=1的一個焦點為F1,點P在橢圓上,如果線段PF1的中點M在y軸上,那么點M的縱坐標為A.±34 B.±2C.±32 D.±解析:選D∵線段PF1的中點M在y軸上且O是線段F1F2的中點(F2為橢圓的另一個焦點),∴PF2⊥x軸,∴點P的橫坐標是±3,∵點P在橢圓上,∴3212+y23=1,即y2=34,則點P的縱坐標為±32,7.中國是世界上最古老的文明中心之一,中國古代對世界上最重要的貢獻之一就是發(fā)明了瓷器,中國陶瓷是世界上獨一無二的.它的發(fā)展過程蘊藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù),陶瓷形狀各式各樣,從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤,經(jīng)測量得到圖中數(shù)據(jù),則該橢圓瓷盤的焦距為()A.83 B.23C.43 D.4解析:選C由題圖可設(shè)瓷盤所在橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),易知2a=8,2b=4,所以a=4,b=2,所以c=a2-b2=238.(5分)橢圓x2100+y236=1的焦距是解析:由橢圓方程知,橢圓焦點在x軸上,且a2=100,b2=36,所以c2=a2b2=64,解得c=8,所以焦距2c=16,兩焦點的坐標分別是(8,0),(8,0).答案:16(8,0),(8,0)9.(5分)已知橢圓4x2+ky2=4的一個焦點坐標是(0,1),則實數(shù)k的值是.

解析:由橢圓4x2+ky2=4,可得x2+y24k=1,易知4k>1,且4k1=1答案:210.(5分)已知橢圓x236+y29=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,若|AF2|+|BF2|=14,則|AB解析:因為a=6,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,兩式相加得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=24.又|AF2|+|BF2|=14,所以|AB|=10.答案:1011.(5分)阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,P是C上一點,|PF1|=3|PF2|,∠F1PF2=π3,C的面積為12π解析:由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=32a,|PF2|=12a.又∠F1PF2=π3,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|cos∠F1PF2,所以4c2=94a2+14a234a2,所以a=47c,b=a2-c2=37c.又橢圓的面積為12π,所以47c·37cπ=12π,解得c2=7,a2答案:x216+12.(10分)求滿足下列條件的橢圓的標準方程.(1)b=1,c=15,焦點在y軸上;(2分)(2)a=10,c=6;(2分)(3)經(jīng)過點P(23,0),Q(0,2)兩點;(2分)(4)與橢圓x24+y23=1有相同的焦點且經(jīng)過點(2,3).解:(1)因為b=1,c=15,所以a2=b2+c2=16,因為橢圓焦點在y軸上,所以其標準方程為y216+x2(2)因為a=10,c=6,所以b2=a2c2=10036=64,因為橢圓焦點位置不確定,所以其標準方程為x2100+y264=1或x(3)由題意得P,Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點,且橢圓的焦點在x軸上,所以a=23,b=2,所以橢圓的標準方程為x212+y(4)設(shè)橢圓x24+y23=1的兩個焦點為F1,F2,且焦點在x軸上,因為c=4-3=1,所以F1(1,0),F2(1,0),故設(shè)橢圓方程為x2a2+y2由題意得a2-b2=1,4a2+所以橢圓的標準方程為x24+23+13.(10分)已知橢圓8x281+y236=1上一點M(x0,y0),且x0<0(1)求x0的值;(4分)(2)求過點M且與橢圓x29+y24=1共焦點的橢圓的方程.解:(1)由題意知點M(x0,2)在橢圓8x281+y236=1上,則8x0281+436=1,解得x02=9(2)易知橢圓x29+y24=1的焦點在x軸上,且c2=94=5,故可設(shè)所求橢圓的方程為x2a2+y2a2-5=1(a2>5).由(1)可知點M的坐標為(3,2),將其代入所設(shè)方程,得9a2+4a2-5=1(14.(10分)已知橢圓M與橢圓N:x216+y212=1有相同的焦點,且橢圓(1)求橢圓M的標準方程;(5分)(2)設(shè)橢圓M的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓M上,且△PF1F2的面積為1,求點P的坐標.(5分)解:(1)由題意,知橢圓N的焦點為(2,0),(2,0),設(shè)橢圓M的方程為x2a2+y2b2=1(則a2-b2=4,1a2+45b2=1,化簡并整理得5b4+11b216=0,故b2=1或b2=165(舍去(2)由(1)知F1(2,0),F2(2,0),設(shè)P(x0,y0),則△PF1F2的面積為12×4×|y0|=1,解得y0=±1又x025+y02=1,所以x02=所以點P有4個,它們的坐標分別為152,12,-15第2課時橢圓的定義及方程的應(yīng)用[教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué)][課時目標]1.進一步掌握橢圓的定義,能利用橢圓的定義解決“焦點”三角形問題.2.能利用直接法、定義法、代入點法解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題.題型(一)焦點三角形問題設(shè)F1和F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上的任意一點,當P,F1,F2三點不在同一條直線上時,點P,F1,F2構(gòu)成一個三角形,我們把這個三角形稱為橢圓的焦點三角形,如圖所示.它們具有以下性質(zhì):(1)|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c.(2)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|·cos∠F1PF2.(3)當|PF1|=|PF2|時,∠F1PF2最大.(4)焦點三角形的周長為2a+2c.(5)S=12|PF1||PF2|sin∠F1PF=b2tan∠F[例1]已知點P是橢圓x225+y29=1上一點,橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,且cos∠F1PF2=13,求△PF解:由橢圓x225+y29=1,得a=5,b=3,c=4.|PF1|+|PF2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理可得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)22|PF1||PF2|2|PF1||PF2|·13,可得64=10083|PF1||PF2|,得|PF1||PF2|=272,故S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin∠[變式拓展]1.若本例條件去掉“cos∠F1PF2=13”,則△PF1F2面積的最大值為.解析:當|PF1|=|PF2|時,S△PF1F2最大,此時S△PF1F2=12×2c答案:122.若本例條件“cos∠F1PF2=13”變?yōu)椤癱os∠F1PF2=0”,則△PF1F2的面積為.解析:易知∠F1PF2=90°,故S=b2tan∠F1PF22=答案:93.若本例條件“cos∠F1PF2=13”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,其他條件不變,求△PF1F2的面積解:由已知得a=5,b=3,c=4,在△PF1F2中,由勾股定理知|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2.即|PF2|2=|PF1|2+64,由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=10.故(10|PF1|)2=|PF1|2+64,解得|PF1|=95.故S△PF1F24.若本例增加條件“B(2,2)”,求|PF1|+|PB|的最大值與最小值.解:由題易知B在橢圓內(nèi),則由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=10,當直線BF2與橢圓交點在x軸的上方,且P,B,F2三點共線時,|PF1|+|PB|取得最小值,最小值為|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2||BF2|=10|BF2|=1022+22=1022;當直線BF2與橢圓交點在x軸的下方,且P,B,F2三點共線時,|PF1|+|PB|取得最大值,其最大值為|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|+|BF2|=10+|BF|思|維|建|模|橢圓中的焦點三角形的應(yīng)用技巧橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2,稱為焦點三角形.在處理橢圓中的焦點三角形問題時,可結(jié)合橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解.[針對訓(xùn)練]1.已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1的直線l交該橢圓于P,Q兩點,若|PF2|+|QF2|=9,則|PQ|=A.5 B.6C.7 D.8解析:選C∵橢圓x216+y29=1,∴a2=16,a=4,∵P,Q在橢圓上,∴|PF1|+|PF2|=2a=8,|QF1|+|QF2|=2a=8,∴△PQF2的周長為|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=|PF2|+|QF2|+|PQ|=16,∵|PF2|+|QF2|=9,2.如圖,橢圓x2a2+y22=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,解析:根據(jù)題意可得|PF1|+|PF2|=2a,可得|PF2|=2a4,又c2=a22,利用余弦定理可得cos∠F1PF2=PF1|2+PF2|2-|F1F2|答案:3題型(二)與橢圓有關(guān)的軌跡問題方法1定義法求動點的軌跡方程[例2]一動圓過定點A(2,0),且與定圓x2+4x+y232=0內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程.解:將定圓的方程化為標準形式為(x+2)2+y2=62,這時,已知圓的圓心坐標為B(2,0),半徑為6,如圖,設(shè)動圓圓心M的坐標為(x,y),由于動圓與已知圓內(nèi)切,設(shè)切點為C.∴|BM|+|CM|=6,又|CM|=|AM|,∴|BM|+|AM|=6,根據(jù)橢圓的定義知M的軌跡是以點B(2,0)和點A(2,0)為焦點,且2a=6的橢圓.∴a=3,c=2,b=a2-c∴所求圓心的軌跡方程為x29+y|思|維|建|模|利用橢圓定義求標準方程本質(zhì)上是求軌跡的問題,一般解題思路如下:首先分析幾何圖形所表示的幾何關(guān)系,然后對比橢圓的定義,設(shè)出對應(yīng)橢圓的標準方程,求出a,b的值,最后得到標準方程.方法2代入法求動點的軌跡方程[例3](2024·新課標Ⅱ卷)已知曲線C:x2+y2=16(y>0),從C上任意一點P向x軸作垂線段PP',P'為垂足,則線段PP'的中點M的軌跡方程為()A.x216+y24=1(y>0) B.x216+C.y216+x24=1(y>0) D.y216+解析:選A法一設(shè)點M(x,y),則P'(x,0),因為M為PP'的中點,所以P(x,2y),又P在曲線x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2=16(y>0),即x216+y24=1(y>0),即點M的軌跡方程為x216+y法二因為P在曲線C上,不妨取P(0,4),則P'(0,0),所以中點M(0,2).因為點M滿足軌跡方程,代入選項,只有A符合.|思|維|建|模|代入法(相關(guān)點法)求軌跡方程的一般步驟(1)建立平面直角坐標系,設(shè)所求動點的坐標為(x,y),其相關(guān)動點的坐標為(x0,y0).(2)找出(x,y)與(x0,y0)之間的等量關(guān)系,用x,y表示x0,y0.(3)將x0,y0代入其所在的曲線方程.(4)化簡得所求方程.方法3直接法求動點的軌跡方程[例4]已知△ABC的兩個頂點坐標分別是B(0,6)和C(0,6),邊AB,AC所在直線的斜率的乘積是23,則頂點A的軌跡方程是解析:設(shè)頂點A的坐標為(x,y),因為A,B,C是△ABC的三個頂點,所以A,B,C三點不共線,因此x≠0,由題意得y-6x·y+6x=23,化簡整理,得x254+y236=1(x≠0),所以頂點A的軌跡方程為x答案:x254+y236=1(|思|維|建|模|求軌跡方程時,沒有坐標系時要先建立坐標系,設(shè)軌跡上任一點的坐標為(x,y),軌跡方程就是x,y之間的等式,關(guān)鍵是找到等量關(guān)系,然后用x,y表示.[針對訓(xùn)練]3.如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是點P在x軸上的射影,M是線段PD上一點,且|MD|=45|PD|.當點P在圓上運動時,動點M的軌跡方程是解析:設(shè)M(x,y),P(x1,y1),因為點D是P在x軸上的射影,M是線段PD上一點,且|MD|=45|PD|,所以x1=x,y1=54y,因為P(x1,y1)在圓x2+y2=25上,所以答案:x225+4.如圖,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點M,當點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.解:如圖所示,連接MA.由題意知點M在線段CQ上,從而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又點M在AQ的垂直平分線上,則|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1,0),C(1,0),故點M的軌跡是以(1,0),(1,0)為焦點的橢圓,且2a=5,故a=52,c=1,b2=a2c2=2541=故點M的軌跡方程為x2254+[課時檢測]1.在△ABC中,B(2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6,則頂點A的軌跡方程是()A.x29+y25=1(x≠±3) B.x29+yC.x29+y24=1(x≠±3) D.x29+y解析:選A在△ABC中,B(2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6>|BC|=4,則頂點A的軌跡滿足橢圓的定義,a=3,c=2,b=5,所以頂點A的軌跡方程是x29+y25=1(x2.設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1的兩個焦點,點P在C上,若PF1·PF2=0,則|PF1|·|PFA.0 B.1C.2 D.4解析:選C由橢圓C:x25+y2=1,可得a=5,b=1,c=2,因為PF1·PF2=0,所以PF1即|PF1|·|PF2|=(=20-162=23.已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是(5,0),(5,0),邊AC,BC所在直線的斜率之積等于35,則頂點C的軌跡方程為()A.x225+y215=1 B.C.x225+y215=1(y≠0) D.y225+x解析:選C設(shè)點C(x,y),則kAC·kBC=yx+5×yx-5=y2x2-25(y≠0),所以y2x2-25=35(y≠04.已知P是橢圓x216+y29=1上一點,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,若|PF1|·|PF2|=12,則∠F1PF2的大小為A.60° B.30°C.120° D.150°解析:選A由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=27,∴(|PF1|+|PF2|)2=64,∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40,在△F1PF2中,cos∠F1PF2=40-282×12=12,∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF25.設(shè)A1,A2是橢圓x29+y24=1與x軸的兩個交點,P1,P2是橢圓上垂直于A1A2的弦的端點,則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為A.x29+y24=1(x≠±3) B.y29+xC.=x29y241(x≠±3) D.=y29x解析:選C設(shè)交點為P(x,y),A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0),易知x≠±3,x0≠±3,∵A1,P1,P共線,∴y0x0+3=yx+3,∵A2,P2,P共線,∴-y0x0-3=yx-3.兩式相乘得-y02x02-9=y2x2-9∴y02=41-x029,將y02代入得y2x2-9=41-x06.設(shè)O為坐標原點,F1,F2為橢圓C:x29+y26=1的兩個焦點,點P在C上,cos∠F1PF2=35,則|OPA.135 B.30C.145 D.解析:選B因為|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|265|PF1||PF2|=12②,聯(lián)立①②,解得|PF1|2+|PF2|2=21,由中線定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F1F2|=23,解得|OP|=307.已知橢圓的兩個焦點為F1(0,5),F2(0,5),M是橢圓上一點,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,則該橢圓的方程是()A.x29+y24=1 B.C.x22+y27=1 D.解析:選B由|MF1|+|MF2|=2a,得(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|·|MF2|=4a2,又因為MF1⊥MF2,所以|MF1|2+|MF2|2=(2c)2=20,由|MF1|2+|MF2|2=20,|MF1|·|MF2|=8,得4a2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|·|MF2|=20+16=36,所以a2=9,a=3,又c=5,所以b=2.因為橢圓的焦點在y軸上,所以橢圓的方程是x24+y8.若F1是橢圓x29+y25=1的左焦點,P是橢圓上的動點,A(1,1)為定點,則|PA|+|PF1|的最小值是A.92 B.62C.3+2 D.6+2解析:選B如圖所示,設(shè)點F2為橢圓的右焦點,連接F2A并延長交橢圓于點P',連接P'F1,PF2.∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF1|=6|PF2|,∴|PA|+|PF1|=|PA|+6|PF2|=6+(|PA||PF2|).根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,當P,A,F2三點共線,即點P位于P'位置時,|PA||PF2|最小,其值為|AF2|=2,此時|PA|+|PF1|的最小值為62.9.(5分)到A(2,3)和B(4,1)的距離相等的點的軌跡是.解析:設(shè)所求點為M(x,y),則|MA|=|MB|,即(x-2)2+(y+3)2=答案:直線10.(5分)若動點P(x,y)到點(1,0)的距離與到定直線x=3的距離之比是33,則動點P的軌跡方程是.解析:設(shè)點P的坐標為(x,y),則由題意得x-3|(x-1)2+y2=3,整理得2x2+3y2=6,即x23+答案:x23+11.(5分)已知橢圓x2a2+y2a2-4=1的左、右焦點分別為F1,F2,若在橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2,且△PF1F2的面積是2解析:根據(jù)橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2|a|,由PF1⊥PF2,得△PF1F2為直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,又∵△PF1F2的面積為2,∴12·|PF1|·|PF2|=2,則|PF1|·|PF2|=4,∴(2a)2=(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2=4c2+8,可得a2c2=2=b2,由x2a2+y2a2-4=1可得b2=a24,所以a24=2答案:612.(5分)如圖,橢圓x24+y23=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓上任意一點(與F1,F2不共線),M在F1P的延長線上,PN是∠MPF2的角平分線,過F2作F2Q垂直于PN,垂足為Q,則|解析:由題意,延長F2Q交F1M于點A,連接OQ,如圖,因為PN為∠MPF2的角平分線且AF2⊥PN,所以|PF2|=|PA|,則|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PA|=4,即|F1A|=4.在△AF1F2中,易知O,Q分別為F1F2,AF2的中點,即OQ為中位線,所以|OQ|=12|AF1|=2答案:213.(10分)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C,求C的方程.解:由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2R)=r1+r2=4>|MN|.由橢圓定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點的橢圓(點(2,0)除外),其方程為x24+y23=1(x14.(10分)已知F1,F2分別為橢圓x2100+y2b2=1(0<b<10)(1)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面積為6433,求b的值;(6(2)求|PF1|·|PF2|的最大值.(4分)解:(1)由橢圓方程知x2100+y2b2=1,a=10,c2=100b2,則|PF1|+|PF2|=20,由△F1PF2的面積為S=12|PF1|·|PF=643解得|PF1|·|PF2|=2563由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos60°=(|PF1|+|PF2|)23|PF1|·|PF2|=400256=144,即100b2=36,所以b2=64,即b=8.(2)由基本不等式得|PF1|·|PF2|≤(PF當且僅當|PF1|=|PF2|=10時,等號成立,所以|PF1|·|PF2|的最大值為100.15.(10分)橢圓x29+y2=1上有動點P,點F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,求△PF1F2的重心M解:設(shè)點P,M的坐標分別為(x1,y1),(x,y),∵在已知橢圓的方程中,a=3,b=1,∴c=9-1=22,則已知橢圓的兩焦點為F1(22,0),F2(22,0).∵△PF1F2存在,∴y1≠0.由三角形重心坐標公式有x即x∵y1≠0,∴y≠0.∵點P在橢圓上,∴x129+y12=1,∴(3x)29+(3y故△PF1F2的重心M的軌跡方程為x2+y219=1(y≠3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)[教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進階式教學(xué)][課時目標]掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì).能根據(jù)幾何條件求出橢圓方程,利用橢圓的方程研究它的性質(zhì)并畫出圖形.橢圓的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程x2a2+y2b2=1y2a2+x2b2=1范圍a≤x≤a且b≤y≤bb≤x≤b且a≤y≤a對稱性對稱軸為坐標軸,對稱中心(中心)為原點頂點A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)B1(0,b),B2(0,b)B1(b,0),B2(b,0)軸長短軸長|B1B2|=2b,長軸長|A1A2|=2a焦點F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c離心率(1)定義:橢圓的焦距與長軸長的比ca稱為橢圓的離心率,用e表示,即e=c(2)性質(zhì):離心率e的范圍是(0,1).當e越接近于1時,橢圓越扁平;當e越接近于0時,橢圓就越接近于圓|微|點|助|解|(1)橢圓的焦點一定在它的長軸上.(2)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點,到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點.(3)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點,最大值為a+c,最小值為ac.(4)對于橢圓上的點P,當點P從長軸端點向短軸端點移動時,∠F1PF2逐漸增大,當點P在短軸端點時,∠F1PF2最大.(5)通徑長為2b基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長是(2)若橢圓的對稱軸為坐標軸,長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的方程為x225+y216=1.(3)設(shè)F為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點,M為其上任一點,則|MF|的最大值為a+c(c為橢圓的半焦距答案:(1)×(2)×(3)√2.橢圓6x2+y2=6的長軸的端點坐標是()A.(6,0),(1,0) B.(6,0),(6,0)C.(6,0),(6,0) D.(0,6),(0,6)解析:選D橢圓6x2+y2=6的標準方程為y26+x2=1,易知橢圓焦點在y軸上,且a2=6,a=6,所以橢圓的長軸端點坐標為(0,6),(0,63.若橢圓x2+2y2=1的離心率為e,則e的值為()A.12 B.2C.22 D.解析:選C由題意得橢圓長半軸長a=1,短半軸長b=22,所以半焦距c=1-12=22,所以離心率e=ca=224.下列四個橢圓中,形狀最扁的是()A.x220+y29=1 B.C.x220+y211=1 D.解析:選A由e=1-b2a2,根據(jù)選項中的橢圓的方程,可得b2a2的值滿足920<1020<1120<1220,因為橢圓的離心率越大,橢圓的形狀越扁,題型(一)由橢圓的標準方程研究其幾何性質(zhì)[例1]求橢圓x225+y29=1解:根據(jù)橢圓的方程x225+y29=1,得a=5,b=3,c所以橢圓的長軸長2a=10,短軸長2b=6,離心率e=ca=45,焦點為F1(4,0),F2(4,0頂點為A1(5,0),A2(5,0),B1(0,3),B2(0,3).將方程變形為y=±3525-根據(jù)y=3525-x2算出橢圓在第一象限內(nèi)的幾個點的坐標(x012345y32.942.752.41.80先描點畫出在第一象限內(nèi)的圖形,再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓.|思|維|建|模|用標準方程研究橢圓幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標準形式.(2)確定焦點位置(焦點位置不確定的要分類討論).(3)求出a,b,c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).[針對訓(xùn)練]1.(多選)已知點(3,2)在橢圓x2a2+y2b2=1上A.(3,2) B.(3,2)C.(3,2) D.(2,3)解析:選ABC由橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點對稱可知,只有點(2,3)不在橢圓上.故選ABC.2.(多選)已知橢圓C1:x24+y22=1與橢圓C2:x24+y2A.C1與C2的長軸長相等B.C2的焦距是C1的焦距的2倍C.C1與C2的離心率相等D.C1與C2有公共點解析:選CD由題意,知橢圓C1:x24+y22=1的長軸長為4,橢圓C2:x24+y28=1的長軸長為42,故A錯誤;橢圓C1的焦距為22,橢圓C2的焦距為4,故B錯誤;橢圓C1的離心率為22,橢圓C2的離心率為22,故C正確;由C1:x24+y22=1和C2:x24+y28=1聯(lián)立,可得交點為(題型(二)由橢圓的幾何性質(zhì)求其標準方程[例2]求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在x軸上,長軸長是10,離心率是45(2)在x軸上的一個焦點,與短軸兩個端點的連線互相垂直,且焦距為6.解:(1)焦點在x軸上,故設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由已知得,2a=10,a=5,e=ca=45,故c=4,故b2故橢圓的方程是x225+y(2)設(shè)橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1∵在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直,且焦距為6,如圖所示,∴△A1FA2為等腰直角三角形,OF為斜邊A1A2的中線(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.故所求橢圓的方程為x218+y|思|維|建|模|利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程的步驟(1)確定焦點位置.(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標準方程.(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式,利用方程(組)求參數(shù).(4)寫出橢圓的標準方程.[針對訓(xùn)練]3.求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)長軸長是短軸長的5倍,且過點A(5,0);(2)離心率e=35,焦距為12解:(1)若焦點在x軸上,設(shè)其標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0故所求橢圓的標準方程為x225+y2若焦點在y軸上,設(shè)其標準方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0),由題意得2a=5×2b,0a2+25b2=1,解得a=25,b(2)由e=ca=35,2c=12,得a=10,c=6,所以b2=a2c2=64.當焦點在x軸上時,所求橢圓的標準方程為x2100+y264=1;當焦點在y軸上時,綜上所述,所求橢圓的標準方程為x2100+y264=1或y題型(三)橢圓的離心率[例3]已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓短軸的一個端點,且cos∠F1PF2解析:由題意可知|PF1|=|PF2|=|OP|2+|F1O|2=b2+c2=a,|F1F2|=2c.在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=a2+a22a2cos∠F1PF2,化簡得4c2=13答案:3[變式拓展]1.若本例條件“cos∠F1PF2=56”變?yōu)椤啊螰1PF2為直角”,求橢圓的離心率解:因為∠F1PF2為直角,所以△F1PF2為等腰直角三角形,所以b=c,所以a=b2+c2=2c2=2c,所以離心率為e=2.若本例條件“點P是橢圓短軸的一個端點,且cos∠F1PF2=56”變?yōu)椤包cP為橢圓的上頂點,點Q在橢圓上且滿足F1P=3F2解:由題意P(0,b),F1(c,0),F2(c,0),其中c=a2-b2.設(shè)Q(x0,y0),由F1P=3F2Q,得(c,b)=3(即x0=4c3,y0=b3|思|維|建|模|求橢圓的離心率的值或取值范圍的兩種方法直接法若已知a,c可直接利用e=ca求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=c方程法或不等式法若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,借助于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范圍[針對訓(xùn)練]4.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為()A.13 B.1C.23 D.解析:選B法一不妨設(shè)直線l過橢圓的上頂點(0,b)和左焦點(c,0),b>0,c>0,則直線l的方程為bxcy+bc=0,由已知得bcb2+c2=14×2b,整理得b2=3c2.又b2=a2c2,所以c2a2=14,即e2=14,解得法二不妨設(shè)直線l過橢圓的上頂點(0,b)和左焦點(c,0),b>0,c>0,則直線l的方程為bxcy+bc=0,由已知得bcb2+c2=14×2b,所以bca=14×2b,即c法三如圖,由題意,得在橢圓中,|OF|=c,|OB|=b,|OD|=14×2b=12b,|BF|=a.在Rt△FOB中,|OF|×|OB|=|BF|×|OD|,即c×b=a×12b,解得ca=12,5.過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P,F2為右焦點,若∠F1解:如圖,設(shè)|F1F2|=2c,由題設(shè)條件,可知|PF1|=|F1F2|tan60°=2c3又橢圓的離心率e=ca=2c2a=即該橢圓的離心率為33[課時檢測]1.(多選)已知橢圓C:16x2+4y2=1,則下列結(jié)論正確的是()A.長軸長為12 B.焦距為C.焦點坐標為0,±34 D.解析:選CD由橢圓方程16x2+4y2=1化為標準方程可得x2116+y214=1,所以a=12,b=14,c=34,所以長軸長2a=1,焦距2c=32,2.(2023·新課標Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2,若e2=3e1,則aA.233 B.C.3 D.6解析:選A由e2=3e1,得e22=3e12.因此34=3×a2-1a2.3.若橢圓x225+y29=1與橢圓x225-k+y29-k=1(k<9,A.有相等的長軸長 B.有相等的焦距C.有相等的短軸長 D.有相等的離心率解析:選B因為k<9,k≠0,所以25k>9k>0,所以橢圓x225-k+y29-k=1(k<9,k≠0)中a2=25k≠25,b2=9k≠9,故A、C錯誤;橢圓x225-k+y29-k=1(k<9,k≠0)的c2=a2b2=25k(9k)=16,橢圓x225+y29=1的c2=259=16,故兩橢圓c相等,所以有相等的焦距,故B正確;離心率e4.已知橢圓C:x2b2+y2a2=1(a>b>0)的離心率e=22,短軸的右端點為B,M(1,0)為線段OBA.x22+y24=1 B.C.x28+y216=1 D.解析:選B因為M(1,0)為線段OB的中點,且B(b,0),所以b=2,又橢圓C的離心率e=22所以ca=1-b2a2=1-4a2=22,所以a=225.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線與橢圓C交于M,N兩點,若MN=3MF2且∠F1NF2=∠F1F2NA.12 B.C.35 D.解析:選D因為∠F1NF2=∠F1F2N,所以|F1N|=|F1F2|=2c.又因為|F1N|+|F2N|=2a,所以|F2N|=2a|F1N|=2a2c.又因為MN=3MF2,所以|MN|=3|F2M|,所以|F2M|=12|F2N|=ac.又|F1M|+|F2M|=2a,所以|F1M|=a+c,|F2M|=|F2N|=a+c,所以2a=3(ac),所以橢圓C的離心率為e=ca=13.故選6.如圖,把橢圓x24+y23=1的長軸AB分成10等份,過每個分點作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點P1,P2,…,P9,F是左焦點,則|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=A.16 B.18 C.20 D.22解析:選B因為把橢圓x24+y23=1的長軸AB分成10等份,過每個分點作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點P1,P2,…,P9,設(shè)橢圓的右焦點為F',且a2=4,可得a=2,由橢圓的定義及橢圓的對稱性,可得|P1F|=|P9F'|,|P2F|=|P8F'|,|P3F|=|P7F'|,…,所以|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=(|P9F'|+|P9F|)+(|P8F'|+|P8F|)(|P5F'|+|P5F|)=9a=18.7.(多選)已知橢圓C:x24+y23=1,F1,F2是橢圓的左、右焦點,P為橢圓上任意一點.下列說法正確的是A.橢圓離心率為12 B.|PF1|的最大值為C.0≤∠F1PF2≤π3 D.|PF1|+|PF2解析:選ABC由橢圓C:x24+y23=1,可得a=2,b=3,則c=a2-b2=1,由橢圓C的離心率為e=ca=12,所以A正確;由橢圓的幾何性質(zhì),當點P為橢圓的右頂點時,可得|PF1|max=a+c=3,所以B正確;當點P為橢圓的短軸的端點時,可得|PF1|=|PF2|=a=2,|F1F2|=2c=2,所以∠F1PF2=π3,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),可得0≤∠F1PF2≤π3,所以C正確;由橢圓的定義,可得|PF8.(多選)如圖,橢圓C1:x23+y2=1和C2:y23+x2=1的交點依次為A,B,C,D.則下列說法正確的是A.四邊形ABCD為正方形B.陰影部分的面積大于3C.陰影部分的面積小于4D.四邊形ABCD的外接圓方程為x2+y2=2解析:選ABC由題意,橢圓C1:x23+y2=1和C2:y23+x2=1,根據(jù)曲線的對稱性,可得四邊形ABCD為正方形,A正確;聯(lián)立方程組,求得A32,32,所以正方形ABCD的面積為S1=3,所以陰影部分的面積大于3,B正確;由直線x=±1,y=±1圍成的正方形的面積為S2=4,所以陰影部分的面積小于4,C正確;由|OA|2=32,所以四邊形ABCD的外接圓方程為x29.(5分)若橢圓C:x2m+y2m2-1=1的一個焦點坐標為(0,1),解析:∵橢圓的一個焦點坐標為(0,1),∴m21m=1,即m2m2=0,解得m=2或m=1,由于x2m+y2m2-1=1表示的是橢圓,則m>1,∴m=2,則橢圓方程為y23+x22=1,答案:2310.(5分)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2均在x軸上,C的面積為8π,且離心率為32,則C的標準方程為解析:設(shè)C的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),則ab=8,a2-答案:x216+11.(5分)在手工課上,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型,其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm,短軸長為20cm,小橢圓的短軸長為10cm,則小橢圓的長軸長為cm.

解析:設(shè)小橢圓的長半軸長為a,a>0,依題意,e=ca=c2a2=a2-b2a2,則202-102答案:2012.(5分)已知橢圓長軸、短軸的一個端點分別為A,B,F為橢圓的一個焦點,若△ABF為直角三角形,則該橢圓的離心率為.

解析:如圖,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=a2+b2,由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2c2,e=ca>0,得c2+aca2=0,e2+e1=0,答案:513.(10分)求下列曲線的標準方程.(1)長軸長為12,離心率為23,焦點在x軸上的橢圓;(5分(2)一個焦點為(0,2),長軸長為6的橢圓.(5分)解:(1)由題意,2a=12,∴a=6,又e=23,即ca=23,∴c=4,∴b2=a2c2=3616=20,又焦點在x軸上,∴橢圓的標準方程為x2(2)由題意,c=2,橢圓焦點在y軸上,2a=6,即a=3,∴b2=a2c2=5,∴橢圓的標準方程為y29+x14.(10分)已知P為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點,F1,F2分別是橢圓(1)若P為橢圓的上頂點,且PF1⊥PF2,△F1PF2的面積等于4,求橢圓的標準方程;(5分)(2)若△POF2為等邊三角形,求橢圓C的離心率.(5分)解:(1)由題意可得|PF1|=|PF2|=a,因為PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=2a2=4c2,所以S△PF1F2=12|PF1|·所以a2=8,所以b2=4,所以橢圓的標準方程為x28+y(2)法一若△POF2為等邊三角形,則P的坐標為c2,±32c,代入方程x2a2+y2b2=1,可得c24a2+3c24b法二由△POF2為等邊三角形,所以|OF1|=|OF2|=|OP|,所以PF1⊥PF2,由∠OF2P=π3,|F1F2|=2c所以|PF1|=3c,|PF2|=c,所以|PF1|+|PF2|=2a=(3+1)c,所以e=31.15.(15分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,長軸長與短軸長的和為6,F1(1)求橢圓C的方程;(6分)(2)設(shè)P為橢圓C上一點,M(1,0).若λ=PF1|+PF2|2解:(1)由橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,得a2由長軸長與短軸長的和為6,得2a+2b=6,則a=2,b=1,所以橢圓C的方程為x24+y2(2)設(shè)P(x,y),由(1)知,y2=1x24,x∈[2,2],而|PF1|+|PF2|=2a因此λ=2|PM|==2(x-1)由x∈[2,2],得34x-432+23∈23,9,則23第2課時橢圓簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用[教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué)][課時目標]進一步學(xué)習(xí)橢圓的簡單幾何性質(zhì),并能利用橢圓的性質(zhì)解決實際應(yīng)用問題及與最值、范圍有關(guān)的問題.題型(一)求橢圓離心率的最值(范圍)[例1]已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,P是橢圓上一點,∠F1解:法一:利用基本不等式不妨設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,因為∠F1PF2=90°,所以m2+n2=|F1F2|2=4c2.而m+n=2a?m2+2mn+n2=4a2.由基本不等式2mn≤m2+n2,可知4a2≤m2+m2+n2+n2=2(m2+n2),所以m2+n2≥2a2,于是4c2≥2a2?e=ca≥2又因為橢圓離心率小于1,所以所求橢圓離心率的取值范圍為22法二:利用焦半徑公式設(shè)P(x1,y1),由焦半徑公式知|PF1|=a+ex1,|PF2|=aex1.因為∠F1PF2=90°,所以|PF1|,|PF2|,|F1F2|滿足勾股定理.所以4c2=(a+ex1)2+(aex1)2=2a2+2e2x1整理得x12=2c2-a2e2=a2c2·又因為0≤x12<a2(點P不能與長軸端點重合所以0≤2a2a4c2<a2,即0≤2化簡整理可得橢圓離心率的取值范圍為22法三:利用余弦定理設(shè)橢圓短軸的一個端點為B.由于橢圓上存在點P,使∠F1PF2=90°,則∠F1BF2最大且為鈍角或直角.于是cos∠F1BF2≤0.由余弦定理可得cos∠F1BF2=a2+a2-4c2化簡整理可得ca2≥12,所以22即橢圓離心率的取值范圍為22法四:利用數(shù)形結(jié)合如圖,設(shè)橢圓短軸的一個端點為B.要使∠F1BF2為鈍角或直角(即使得橢圓上存在點P,使∠F1PF2=90°),顯然需有|OF2|≥|OB|,即c≥b.此時,∠OBF2≥45°,即∠F1BF2≥90°,當點P沿橢圓運動時才會出現(xiàn)∠F1PF2為直角的情況.所以c2≥b2=a2c2,于是a2≤2c2.所以ca2≥又橢圓的離心率小于1,故橢圓離心率的取值范圍為22|思|維|建|模|求離心率的取值范圍,關(guān)鍵在于需要找到一個或多個限制a,b,c的不等式,即要構(gòu)造一個關(guān)于a,b,c的不等式或不等式組.[針對訓(xùn)練]1.已知橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點分別為F1,F2,且橢圓上存在點P,使得|PF1|=7|PF2|A.0,34 BC.34,1 D解析:選C由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=7|PF2|,所以|PF1|=74a,|PF2|=14a.又|PF1||PF2|≤|F1F2|=2c,當且僅當點P在橢圓下頂點時等號成立,所以74a14a≤2c,即32a≤2c,則e=ca≥34,即34≤e題型(二)橢圓的最值問題[例2](1)已知橢圓C的方程為x24+y2=1,點A是橢圓C的下頂點,點M是橢圓C上任意一點,則|MA|的最大值是(A.2 B.4C.433 D解析:選C因為橢圓C的方程為x24+y2所以A(0,1),設(shè)M(x,y),則x24+y2=1,故x2=44y2,且1≤y≤1,所以|MA|2=x2+(y+1)2=44y2+(y+1)2=3y2+2y+5=3y-132+163,當y=13時,|MA|2取得最大值163,故|(2)若點O和點F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則OP·FP解析:由橢圓方程x24+y23=1可得F(1,0).設(shè)P(x,y),2≤x≤2,則OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以O(shè)P·FP=x2+x+y2=x2+x+31-x24=14x2+x+3=14(x+2)2+2,當x答案:6|思|維|建|模|求最值問題的基本策略(1)求解形如|PA|+|PB|的最值問題,一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線,當且僅當三點共線時|PA|+|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值問題,一般通過二次函數(shù)的最值求解,此時一定要注意自變量的取值范圍.(3)求解形如ax+by的最值問題,一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決.(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍.[針對訓(xùn)練]2.已知定點M(m,0),P為橢圓C:x24+y2=1上一動點,滿足當|PM|取得最小值時,點P恰為橢圓C的右頂點,則m的取值范圍是(A.[1,+∞) B.3C.[3,+∞) D.[2,+∞)解析:選B記P(x0,y0),|PM|=(x0-m)2+y02=(x0-m)2+1-x024=34x02-2mx0+m2+1,x0∈[2,2],f(x)=34x22mx+m2+1(3.已知A,B分別是橢圓x24+y2=1與圓(x1)2+y2=16上的動點,則|AB|的最小值為(A.63 B.6C.34 D.解析:選B依據(jù)題意,圓心記為C(1,0),半徑r=66,則|AB|的最小值為|AC|的最小值減去圓的半徑.設(shè)A(x0,y0),∵A在橢圓上,則有x024+y02=1,且2≤x0≤2,=3x024-2x0+2,∴當x0=43時,|AC|有最小值63.∴|AB題型(三)橢圓的實際應(yīng)用[例3]如圖,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分.過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個焦點F1上,片門位于另一個焦點F2上.由橢圓一個焦點F1發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm.試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求截口BAC所在橢圓的方程.(精確到0.1cm)解:建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y2b2=1(在Rt△BF1F2中,|F2B|=|F1B由橢圓的性質(zhì)知,|F1B|+|F2B|=2a,所以a=12(|F1B|+|F2B|)=12(2.8+2.82+4.52)≈4.1,b=a2-c2=4.|思|維|建|模|解決關(guān)于橢圓的實際問題的基本步驟(1)認真審題,理順題中的各種關(guān)系,如等量關(guān)系.(2)結(jié)合所給圖形及題意建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?(3)利用橢圓知識及其他相關(guān)知識求解.[針對訓(xùn)練]4.某高速公路隧道設(shè)計為單向三車道,每條車道寬4米,要求通行車輛限高5米,隧道的斷面輪廓線近似地看成半個橢圓形狀(如圖所示).若橢圓形邊的最高點到地面的距離h為6米,則隧道設(shè)計的拱寬l至少是多少米?(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):11≈3.3)解:設(shè)橢圓隧道的標準方程為x2a2+y2b2=1(y>0,a>b>0).建立平面直角坐標系,如圖所示,則點P(6,5)在橢圓x2a2+y2b2=1上.將b=h=6與點P(6,5)代入橢圓方程得0+36b2=1,36a2+25b2[課時檢測]1.(多選)如圖,某月球探測衛(wèi)星發(fā)射后,該衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長,則給出下列式子中,正確的是()A.a1+c1=a2+c2 B.a1c1=a2c2C.c1a1<c2a2 D.c1a解析:選BD觀察圖形可知a1+c1>a2+c2,即A不正確;a1c1=a2c2=|PF|,即B正確;由a1c1=a2c2>0,c1>c2>0,知a1-c1c1<a2-c2c2,即a1c1<a2c2,從而c1a2.已知水平地面上有一個籃球,球的中心為O',在斜平行光線的照射下,其陰影為橢圓(如圖),在平面直角坐標系中,橢圓中心O為原點,橢圓的標準方程為x24+y22=1,設(shè)籃球與地面的接觸點為H,則OH的長為A.62 B.2C.32 D.解析:選B由題意,得橢圓的短半軸長是球的半徑.如圖,連接AO',OO',BO',則∠O'AB+∠O'BA=12(∠A'AB+∠B'BA)=12×180°=90°,所以∠AO'B=90°.因為O是中點,所以球心O'到橢圓中心O的距離等于橢圓的長半軸的長度.過球心O'向地面作垂線,垂足為H,在構(gòu)成的Rt△O'HO中,|OO'|2=|OH|2+|O'H|2,所以|OH|=a2-b2=4-23.如圖,橢圓E:x25+y24=1的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1,F2分別作弦AB,CD.若AB∥CD,則|AF1|+|CF2|的取值范圍為A.25,1655C.855,25解析:選C由橢圓的對稱性可知|CF2|=|BF1|,所以|AF1|+|CF2|=|AF1|+|BF1|=|AB|.因為弦AB,CD分別過橢圓E的左、右焦點,且AB∥CD,所以|AB|∈2b2a,2a.又a=5,b2=4,所以|AB|∈4.已知F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,過F2的一條直線與C交于A,B兩點,且AF1⊥AB,|BF2|=1A.42 B.3+22C.6 D.4+22解析:選B設(shè)|AF2|=t(t>0),則|AB|=t+1,|BF1|=2a1,|AF1|=2at,由AF1⊥AB,可得(t+1)2+(2at)2=(2a1)2,則2a=t2+tt-1>0,有t>1,所以2a=t2+tt-1=(t1)+2t-1+3≥3+2(t-1)·2t-15.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,且|F1F2|=2c,點P為直線x=a2c上一點,若點F2在線段PF1的垂直平分線上A.0,22 BC.22,1 D解析:選D由題意可知F2(c,0),因為點P在直線x=a2c上一點,所以|PF2|≥a2cc,若點F2在線段PF1的垂直平分線上,可得|PF2|=|F1F2|=2c,則2c≥a2cc,整理可得c2a2≥13,即e=ca≥6.若F1,F2是橢圓x24+y2=1的左、右焦點,點P在橢圓上運動,則|PF1·PF2A.4 B.5C.2 D.1解析:選C由橢圓x24+y2=1,得a=2,b=1,即c=a2-b2=3,所以F1(3,0),F2(3,0).設(shè)P(x,y),則PF1=(3x,y),PF2=(3x,y),PF1·PF2=x23+y2.由P在橢圓上,得y2=1x24,即PF1·PF2=34x22(2≤x≤2),易知P7.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積,當我們垂直地縮小一個圓時,得到一個橢圓,橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為6π,兩個焦點分別為F1,F2,點A是橢圓C上的動點,點B是點A關(guān)于原點的對稱點,若四邊形AF1BF2的周長為12,則四邊形AF1BFA.45 B.25C.235 D.35解析:選A由題可知,πab=6π,即ab=6,由四邊形AF1BF2的周長為12,得2a+2a=12,即a=3,所以b=2,所以橢圓C:x29+y24=1,則c=5.設(shè)A(x1,y1),x1∈[3,3],y1∈[2,2],則B(x1,y1),所以四邊形AF1BF2的面積為2c·|y1|=25|y1|≤458.已知點P為橢圓C:x216+y212=1上任意一點,直線l過☉M:x2+y24x+3=0的圓心且與☉M交于A,B兩點,則PA·PB的取值范圍是A.[3,35] B.(3,35]C.[2,6] D.(2,6]解析:選A由☉M:(x2)2+y2=1,圓心M(2,0),半徑為1,則MA=MB,可得PA·PB=(PM+MA)·(PM+MB)=(PMMB)(PM+MB)=|PM|2|MB|2=|PM|21,由橢圓方程可知a=4,b=23,c=a2-b2=2,即M恰為橢圓C的右焦點,則2=ac≤|PM|≤a+c=6,所以PA·PB∈[3,35]9.(5分)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,滿足MF1·MF2=0的點M總在橢圓內(nèi)部解析:根據(jù)橢圓的對稱性,不妨設(shè)焦點在x軸上的橢圓標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),設(shè)F1(c,0),F2(c,0),設(shè)M(x0,y0),MF1·MF2=0?(cx0,y0)·(cx0,y0)=0?x02c2+y02=0?y02=c2x02,點M(x0,y0)在橢圓內(nèi)部,有x02a2+y02b2<1?b2x02+a2(c2x02)a2b2<0?x02>2a2a4c2,要想該不等式恒成立,只需2a答案:0,10.(5分)已知橢圓C:x24+y2=1,則橢圓C上的點到點B(0,1)的距離的最大值是解析:設(shè)P(x,y)是橢圓上的一個動點,則x2=44y2,|PB|=x2+=-3y2-2y+5=-3y+132+163,由于1≤y≤1,故當答案:411.(10分)如圖所示的圖徽外框由半圓和半橢圓組成,半圓的直徑為10,橢圓的離心率為32,且短軸與半圓的直徑重合,圖徽內(nèi)有一矩形區(qū)域ABCD用于繪畫圖案,矩形關(guān)于橢圓的長軸對稱,且頂點在圖徽外框上(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求出半圓的方程和半橢圓的方程;(5分)(2)根據(jù)美學(xué)知識,當|AD||AB|=0.6時達到最佳美觀的效果,求達到最佳美觀的效果時AB的長.(5分解:(1)以半圓的直徑為x軸,圓心為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,由已知,圓的半徑為5,則半圓的方程為x2+y2=25(y≤0).橢圓的短半軸長b=5,ca=32,又b2=a2c所以a2=100,b2=25,所以半橢圓的方程為x225+y2100=1(y(2)設(shè)第一象限內(nèi)的點A的橫坐標為m(0<m<5),則|AB|=2m,|AD|=25-m2+1001-m225=325-m2.由|AD||AB|=0.6得325-m22m12.(10分)在平面直角坐標系xOy中,M(x0,y0),A(2,0),B(2,0),|MA|+|MB|=6.(1)求M的軌跡方程;(4分)(2)若∠AMB=60°,求△AMB的面積.(6分)解:(1)因為|MA|+|MB|=6,|AB|=4,|MA|+|MB|>|AB|,所以點M的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢圓,其中2a=6,2c=4,故a=3,c=2,b2=a2c2=94=5,故M的軌跡方程為x29+y(2)由∠AMB=60°,|MA|+|MB|=6,|AB|=4,及余弦定理得cos∠AMB=|MA|2+即36-2|MA||MB|-162解得|MA|·|MB|=203則S△AMB=12|MA||MB|sin=12×203×32第3課時直線與橢圓的位置關(guān)系——[教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué)][課時目標]會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,掌握點差法在中點弦問題中的應(yīng)用.題型(一