第十二章分式和分式方程章末重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一分式的求值題型二分式有（無(wú)）意義的條件求值題型三分式值的正、負(fù)確定字母的取值范圍題型四分式化簡(jiǎn)求值題型五分式加減乘除混合運(yùn)算題型六分式方程無(wú)解問(wèn)題題型七分式方程增根問(wèn)題題型八分式的規(guī)律性問(wèn)題題型九分式方程新定義運(yùn)算題型十分式在探究問(wèn)題中的綜合應(yīng)用題型十一分式方程的實(shí)際應(yīng)用題型一分式的求值1．下面是佳佳將分式A做出的正確的變形運(yùn)算過(guò)程：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．A為整數(shù)值時(shí)，2．如圖，若x為大于1的正整數(shù)，則表示分式的值落在（

）

A．段①處 B．段②處 C．段③處 D．段④處3．已知：（均不為零），則．4．若，則分式的值為．5．閱讀材料題：已知：，求分式的值．解：設(shè)，則，，，所以．參照上述材料解題：(1)已知，求分式的值．(2)已知，其中，求的值．6．在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會(huì)利用一些變形技巧來(lái)簡(jiǎn)化式子，解答問(wèn)題．材料一：在解決某些分式問(wèn)題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡(jiǎn)，以達(dá)到計(jì)算目的．例：已知：，求代數(shù)式的值．解：∵，∴4即∴，∴根據(jù)材料回答問(wèn)題：(1)已知，求的值．(2)已知，求x的值．(3)若，，，，且，求的值．題型二分式有（無(wú)）意義的條件求值1．若（m為正整數(shù)），且、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．或2．如表描述了分式的部分信息：的值…0…的值…無(wú)意義…其中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．3．若分式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．已知分式，當(dāng)時(shí)，該分式?jīng)]有意義；當(dāng)時(shí)，該分式的值為0，則．5．當(dāng)時(shí)，分式的值不存在，則當(dāng)時(shí)，求分式的值．6．已知無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式總有意義，求m的取值范圍．小明對(duì)此題剛寫了如下的部分過(guò)程，便有事離開．解：(1)請(qǐng)將小明對(duì)此題的解題過(guò)程補(bǔ)充完整；(2)利用小明的思路，解決下列問(wèn)題：無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式都有意義，求m的取值范圍．題型三分式值的正、負(fù)確定字母的取值范圍1．已知分式的值是非負(fù)數(shù)，那么x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且2由值的正負(fù)可以比較與的大小，下列正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，3．若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是．4．已知分式的值為正數(shù)，寫出一個(gè)符合條件的的正整數(shù)值：．5．我們可以將一些只含有一個(gè)字母的分式，轉(zhuǎn)化為整式與新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：參考上面的方法，解決下列問(wèn)題：(1)將變形為滿足以上結(jié)果要求的形式：________________；(2)若變形為滿足以上結(jié)果要求的形式，若該式的值為整數(shù)，求整數(shù)的值；(3)將化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為______________．6．閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數(shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”，分子比分母大，或者分子，分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似的，我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式：再如：，這樣的分式就是真分式，假分?jǐn)?shù)可以化成帶分?jǐn)?shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式）．如：．解決下列問(wèn)題：(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；將假分式化為帶分式為______；(2)如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；(3)若分式的值為，直接寫出的取值范圍是______．題型四分式化簡(jiǎn)求值1．若，互為倒數(shù)，且，則分式的值為（

）A．0 B． C． D．12．已知時(shí)，代數(shù)式的值為（

）A．6 B．－2 C．6或－2 D．03．若，則代數(shù)式的值為．4．一項(xiàng)工作，甲獨(dú)做小時(shí)完成，乙獨(dú)做小時(shí)完成，則甲、乙兩人合作完成的時(shí)間為小時(shí)．5．已知．(1)化簡(jiǎn)．(2)若，求的值．6．如圖，嘉淇的作業(yè)本上有這樣一道填空題，其中(

)部分記為代數(shù)式．化簡(jiǎn)：的結(jié)果為________若該題化簡(jiǎn)的結(jié)果為．(1)求代數(shù)式A；(2)從，，，中選擇一個(gè)合適的數(shù)代替，求原式的值．

題型五分式加減乘除混合運(yùn)算1．分式運(yùn)算“x”中的符號(hào)被墨跡覆蓋，則墨跡覆蓋住的符號(hào)是（

）A． B． C． D．2．小明在化簡(jiǎn)分式時(shí)，發(fā)現(xiàn)最終結(jié)果是整式，則表示的式子可以是（

）A． B． C．m D．3．已知，，計(jì)算．若的值為正整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．4．（新考法）試卷上一個(gè)正確的式子★，被小穎同學(xué)不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代數(shù)式★為．5．定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．(1)下列式子中，屬于“和諧分式”的是________（填序號(hào)）；①；②；③；④(2)將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為：＝________（要寫出變形過(guò)程）；(3)應(yīng)用：先化簡(jiǎn)，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．6．聰聰計(jì)算機(jī)課上利用軟件編寫了相關(guān)聯(lián)的程序和，如圖，在程序中△處輸入一個(gè)正整數(shù)則程序自動(dòng)在□處填補(bǔ)出一個(gè)比△處大1的數(shù)字并顯示計(jì)算結(jié)果，同時(shí)程序會(huì)復(fù)制程序中相應(yīng)位置的數(shù)值完成程序的計(jì)算并顯示計(jì)算結(jié)果．例：△處輸入1，則程序完成運(yùn)算，程序完成運(yùn)算．探究

若△處輸入數(shù)字2，則程序的結(jié)果為________，程序的結(jié)果為________；若△處輸入數(shù)字5，則程序的結(jié)果為________，程序的結(jié)果為________；若△處輸入數(shù)字100，設(shè)程序的結(jié)果為，則________（填“>”“<”或“=”）．應(yīng)用

請(qǐng)利用“探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論證明．題型六分式方程無(wú)解問(wèn)題1．已知關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則k的值為（

）A．或 B． C．或 D．2．已知關(guān)于的分式方程無(wú)解，求的值．甲同學(xué)的結(jié)果：．乙同學(xué)的結(jié)果：．關(guān)于甲、乙兩位同學(xué)計(jì)算的結(jié)果，下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲同學(xué)的結(jié)果正確 B．乙同學(xué)的結(jié)果正確C．甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起正確 D．甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起也不正確3．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值為．4．已知關(guān)于x的分式方程．（1）若分式方程的根是，則的值為；（2）若分式方程無(wú)解，則的值為．5．計(jì)算題(1)解不等式組．(2)把下列各式因式分解：①；②．(3)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．(4)當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解．6．嘉淇準(zhǔn)備完成題目：解分式方程：，發(fā)現(xiàn)數(shù)字◆印刷不清楚．(1)他把“◆”猜成5，請(qǐng)你解方程：；(2)老師說(shuō)：“你猜錯(cuò)了，我看到該題目的正確答案是此分式方程無(wú)解．”通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原題中“◆”是幾？題型七分式方程增根問(wèn)題1．若關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值是（

）A． B． C．2 D．02．“若關(guān)于x的方程無(wú)解，求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下（如圖1和圖2）：尖尖：去分母得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，原方程無(wú)解，，.丹丹：去分母得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，解得：，原方程無(wú)解，為增根，，解得，，解得.

圖1

圖2下列說(shuō)法正確的是（

）A．尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò) B．尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì) C．兩人都錯(cuò) D．兩人的答案合起來(lái)才對(duì)3．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為．4．已知關(guān)于x的分式方程．（1）若原分式方程有增根，則；（2）若原分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍為．5．已知關(guān)于的方程．(1)當(dāng)時(shí)，求該方程的解；(2)若方程有增根，求的值．6．（1）已知關(guān)于x的分式方程．①當(dāng)時(shí)，求方程的解．②若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）關(guān)于x的方程有整數(shù)解，求此時(shí)整數(shù)m的值．題型八分式的規(guī)律性問(wèn)題1．按一定規(guī)律排列的分式：，…．第n個(gè)分式是（

）A． B． C． D．2．若，則我們把稱為的“和負(fù)倒數(shù)”，如：的“和負(fù)倒數(shù)”為，的“和負(fù)倒數(shù)”為，若，是的“和負(fù)倒數(shù)”，是的“和負(fù)倒數(shù)”，，依次類推，的值是（

）A． B． C． D．3．一組按規(guī)律排列的式子：，則第的個(gè)式子是．4．對(duì)于分式，我們把分式叫做P的伴隨分式．若分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，分式是的伴隨分式，…以此類推，則分式等于．5．已知，，，，，，當(dāng)為大于的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為大于的偶數(shù)時(shí)，；(1)求；（用含的式子表示）(2)_____；（用含的式子表示）(3)計(jì)算．6．閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面任務(wù)：材料1：為了研究分式與分母的關(guān)系，小明制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)．…01234……無(wú)意義10.50.25…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)時(shí)，隨著的值的增大，的值隨之減小，并無(wú)限接近0；當(dāng)時(shí)，隨著的值的增大，的值也隨之減小．材料2：對(duì)于一個(gè)分子、分母都是多項(xiàng)式的分式，當(dāng)分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時(shí)，我們把這個(gè)分式叫做真分式．當(dāng)分母的次數(shù)不高于分子的次數(shù)時(shí)，我們把這個(gè)分式叫做假分式．有時(shí)候，需要把一個(gè)假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．任務(wù)：(1)當(dāng)時(shí)，隨著的值的增大，的值隨之______（填“增大”或“減小”）；當(dāng)時(shí)，隨著的值的增大，的值隨之______（填“增大”或“減小”）．(2)當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值無(wú)限接近一個(gè)數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)．題型九分式方程新定義運(yùn)算1．定義一種新運(yùn)算：，例如：，若，則（

）A．-2 B． C．2 D．2．對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義一種新運(yùn)算“?”為：，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算．若，則x的值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．23．定義一種新運(yùn)算：，若，則的值為．4．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，規(guī)定新運(yùn)算：．(1)計(jì)算：；(2)若，則的值為．5．定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)則如下：，，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算，例如：．求中的值．6．新定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的分式方程的解是成立，那么我們就把實(shí)數(shù)，組成的數(shù)對(duì)稱為關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”．例如：，使得關(guān)于的分式方程的解是成立，所以數(shù)對(duì)就是關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”．(1)判斷下列數(shù)對(duì)是否為關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”（若是，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“√”．若不是，打“×”．）①（

）；②（

）．(2)若數(shù)對(duì)是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”，求的值．(3)若數(shù)對(duì)（且，）是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”，且關(guān)于的方程有整數(shù)解，求整數(shù)的值．題型十分式在探究問(wèn)題中的綜合應(yīng)用1．探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：若n為正整數(shù)，猜想；(2)化簡(jiǎn)（x為正整數(shù)）(3)若，求的值．2．如果一個(gè)式子由兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式用“+”連接而成，且任意兩個(gè)分式的分母位置互換后對(duì)式子的值沒(méi)有影響，則稱這類式子為“均衡分式串”，例中交換，的位置可得，兩個(gè)式子值相同，則是“均衡分式串”．概念理解：（1）下列3個(gè)式子中是“均衡分式串”的是________．（填序號(hào)）①；②；③．深入探究：（2）“均衡分式串”是否為定值，若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用：（3）若，求“均衡分式串”的值．3．閱讀材料：我們定義：在分式中對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，如：，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，如：，；假分式也可以化為帶分式，即整式與真分式和的形式，如：．(1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）．(2)探究：將假分式化為帶分式______．(3)拓展：先化簡(jiǎn)，并求x取何整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．4．小普在化簡(jiǎn)一個(gè)分式的時(shí)候，書寫過(guò)程如下：

①

②

③(1)小普在檢查時(shí)發(fā)現(xiàn)，這道題解錯(cuò)了．現(xiàn)請(qǐng)你指出：小普從第_____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（填入表示解題步驟的序號(hào)①②③即可）(2)小普對(duì)這道題進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)雖然自己的解題過(guò)程出現(xiàn)了錯(cuò)誤，但當(dāng)，時(shí)，按照上述錯(cuò)誤的化簡(jiǎn)方法所求得的值與的值相等，他將滿足這一情況的數(shù)對(duì)，稱為“巧數(shù)對(duì)”，小普發(fā)現(xiàn)，這樣的“巧數(shù)對(duì)”不止一對(duì)，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粚?duì)“巧數(shù)對(duì)”：_____，______．(3)小普與同學(xué)一起運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)“巧數(shù)對(duì)”進(jìn)行進(jìn)一步探究，找到了確定“巧數(shù)對(duì)”的方法．請(qǐng)寫出確定“巧數(shù)對(duì)”的方法，并說(shuō)明理由．5．“探究比例的性質(zhì)”【描述定義】如果兩個(gè)數(shù)與的比等于另外兩個(gè)數(shù)與的比，則稱這四個(gè)數(shù)，，，成比例．記作，或．其中與稱為比例的外項(xiàng)，與稱為比例的內(nèi)項(xiàng)．【活動(dòng)目的】通過(guò)具體數(shù)的計(jì)算到式的計(jì)算，讓學(xué)生體會(huì)兩者之間的聯(lián)系；由特殊到一般得出比例的性質(zhì)的猜想，再進(jìn)行有關(guān)的驗(yàn)證．培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化能力：【理論支撐】等式的性質(zhì)，分式的運(yùn)算．【進(jìn)程跟蹤】在小學(xué)，學(xué)生已學(xué)過(guò)比例的基本性質(zhì)，此性質(zhì)是在具體的數(shù)的基礎(chǔ)上得出的．提出問(wèn)題如何進(jìn)行證明?（1）已知：．求證：．【證明】，等式兩邊同乘得，．（2）由等比式得出等積式，由等積式能得出等比式嗎?你能得出幾種式子?除了外還有①反比性質(zhì)：在比例式中，把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)交換后的比例式仍然成立．若，則．②更比性質(zhì)：在比例式中，更換兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)，比例式仍然成立．若，則，．（3）除了上述結(jié)論還有哪些結(jié)論?③合比性質(zhì)：已知：．求證：．【證明】設(shè)，則，，，，．請(qǐng)用上面的證明方法證明下面三個(gè)結(jié)論：①分比性質(zhì)：．②和分比性質(zhì)：．③等比性質(zhì)：若，則．實(shí)踐應(yīng)用已知，則___________．6．小明設(shè)計(jì)了一個(gè)凈水裝置，將雜質(zhì)含量為n的水用m單位量的凈水材料過(guò)濾一次后，水中的雜質(zhì)含量為．利用此凈水裝置，小明進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水．(1)用2單位量的凈水材料將水過(guò)濾一次后，水中雜質(zhì)含量為_______；(2)小明共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計(jì)了如下的三種方案：方案A是將6a單位量的凈水材料一次性使用，對(duì)水進(jìn)行過(guò)濾；方案B和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對(duì)水先后進(jìn)行兩次過(guò)濾．三種方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：方案編號(hào)第一次過(guò)濾用凈水材料的單位量第一次過(guò)濾后水中雜質(zhì)含量第二次過(guò)濾用凈水材料的單位量第二次過(guò)濾后水中雜質(zhì)含量A6aB5aaC4a2a①請(qǐng)將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；②通過(guò)計(jì)算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過(guò)濾效果最好？(3)當(dāng)凈水材料總量為6a單位量不變時(shí)，為了使兩次過(guò)濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為________________（用含a的式子表示）．題型十一分式方程的實(shí)際應(yīng)用1．某某電力公司有，兩種型號(hào)的高壓線智能巡檢機(jī)器人，型機(jī)器人比型機(jī)器人每小時(shí)多巡檢，型機(jī)器人巡檢所用時(shí)間與型機(jī)器人巡檢所用時(shí)間相等，型機(jī)器人每小時(shí)巡檢線路多少千米？2．師大附中團(tuán)委組織八年級(jí)部分同學(xué)到長(zhǎng)沙縣“慢天使”之家給腦癱兒童送新春慰問(wèn)．在準(zhǔn)備禮品時(shí)發(fā)現(xiàn)，購(gòu)買一件甲禮品的費(fèi)用是購(gòu)買乙禮品的1.5倍，并且花費(fèi)600元購(gòu)買甲禮品比花費(fèi)600元購(gòu)買乙禮品的數(shù)量少4件．(1)求甲、乙兩種禮品的單價(jià)各為多少元？(2)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買30件禮品送給“慢天使”們，正逢商店新年促銷，甲禮品打八折，乙禮品打九折，要求購(gòu)買禮品的總費(fèi)用不超過(guò)1500元，那么最多購(gòu)買多少件甲禮品？3．小明和同學(xué)相約到離家2400米的電影院看電影，到電影院后，發(fā)現(xiàn)電影票忘帶了，此時(shí)離電影開始還有25分鐘，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一輛“共享單車”原路趕回電影院