幻燈片1：封面標(biāo)題：13.3.1.1三角形內(nèi)角和定理與應(yīng)用副標(biāo)題：揭秘三角形內(nèi)角的“固定總和”背景圖：左側(cè)展示三個(gè)不同類(lèi)型的三角形（銳角、直角、鈍角），每個(gè)三角形內(nèi)角標(biāo)注序號(hào)；右側(cè)呈現(xiàn)“180°”的醒目標(biāo)識(shí)，直觀關(guān)聯(lián)“三角形內(nèi)角和”的核心結(jié)論?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究與邏輯證明，理解“三角形內(nèi)角和等于180°”的定理內(nèi)涵，掌握定理的推導(dǎo)過(guò)程。能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算三角形中未知角的度數(shù)，解決與角相關(guān)的幾何問(wèn)題。了解三角形內(nèi)角和定理的延伸性質(zhì)（如直角三角形兩銳角互余、多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和的關(guān)系），拓展幾何認(rèn)知。經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—證明—應(yīng)用”的過(guò)程，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?；脽羝?：導(dǎo)入——從生活猜想引發(fā)探究生活疑問(wèn)：展示三角尺（含30°、60°、90°

和45°、45°、90°

兩種），提問(wèn)：這兩種三角尺的三個(gè)內(nèi)角之和分別是多少？（引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算：30+60+90=180，45+45+90=180）。提出猜想：是不是所有三角形的內(nèi)角和都是180°？展示銳角三角形、鈍角三角形實(shí)物模型，邀請(qǐng)學(xué)生用量角器測(cè)量?jī)?nèi)角并計(jì)算總和，初步驗(yàn)證猜想，引出本節(jié)課核心——三角形內(nèi)角和定理。幻燈片4：三角形內(nèi)角和定理的實(shí)驗(yàn)探究實(shí)驗(yàn)材料：每組準(zhǔn)備銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形紙片各1張、剪刀、量角器、鉛筆、直尺。實(shí)驗(yàn)方法（三種驗(yàn)證方式）：測(cè)量求和法：步驟：用量角器分別測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，記錄數(shù)據(jù)并計(jì)算總和。結(jié)果：各組匯報(bào)測(cè)量結(jié)果，發(fā)現(xiàn)多數(shù)三角形內(nèi)角和接近180°（因測(cè)量誤差可能存在

±2°

偏差）。剪拼法：步驟：將三角形紙片的三個(gè)內(nèi)角剪下，把三個(gè)角的頂點(diǎn)重合，使它們的邊順次拼接在一起。現(xiàn)象：三個(gè)角拼接后形成一個(gè)平角（180°），直觀證明內(nèi)角和為180°。注意：分別對(duì)銳角、直角、鈍角三角形進(jìn)行剪拼，確保結(jié)論適用于所有三角形類(lèi)型。平行線(xiàn)輔助法：步驟：在三角形紙片的一邊（如BC邊）上取一點(diǎn)D，過(guò)D作AB的平行線(xiàn)DE，作AC的平行線(xiàn)DF，觀察形成的角與原三角形內(nèi)角的關(guān)系?，F(xiàn)象：DE∥AB、DF∥AC，形成的平角∠EDF與三角形三個(gè)內(nèi)角相等，總和為180°，從幾何變換角度驗(yàn)證猜想。實(shí)驗(yàn)結(jié)論：通過(guò)三種實(shí)驗(yàn)方法，初步得出“三角形內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論，為后續(xù)理論證明奠定基礎(chǔ)。幻燈片5：三角形內(nèi)角和定理的理論證明證明依據(jù)：利用“平角的定義”（平角為180°）和“平行線(xiàn)的性質(zhì)”（兩直線(xiàn)平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等）進(jìn)行邏輯證明。證明過(guò)程（標(biāo)準(zhǔn)證明方法）：已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°。證明步驟：過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)EF∥BC（構(gòu)造平行線(xiàn)，為角的轉(zhuǎn)化做準(zhǔn)備）。因?yàn)镋F∥BC（已作），所以∠EAB=∠B（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠FAC=∠C（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。因?yàn)椤螮AB+∠BAC+∠FAC=∠EAF（平角的定義），且∠EAF=180°（平角為180°）。所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代換），即△ABC的內(nèi)角和為180°。圖形標(biāo)注：在證明圖中清晰標(biāo)注平行線(xiàn)EF、內(nèi)錯(cuò)角∠EAB與∠B、∠FAC與∠C，以及平角∠EAF，幫助學(xué)生理解角的轉(zhuǎn)化過(guò)程。其他證明思路（拓展）：延長(zhǎng)三角形的一邊（如延長(zhǎng)BC至D），過(guò)C作CE∥AB，利用“兩直線(xiàn)平行，同位角相等（∠ECD=∠B）、內(nèi)錯(cuò)角相等（∠ACE=∠A）”，結(jié)合平角∠ACD=180°，證明內(nèi)角和為180°。鼓勵(lì)學(xué)生思考不同證明方法，培養(yǎng)邏輯思維的靈活性?；脽羝?：三角形內(nèi)角和定理的核心性質(zhì)定理內(nèi)容：任意三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。延伸性質(zhì)（結(jié)合三角形類(lèi)型）：直角三角形：直角三角形的兩個(gè)銳角互余（即兩個(gè)銳角之和為90°）。證明：設(shè)Rt△ABC中，∠C=90°，由內(nèi)角和定理得∠A+∠B+90°=180°，故∠A+∠B=90°。應(yīng)用：若已知直角三角形一個(gè)銳角的度數(shù)，可直接求出另一個(gè)銳角（如∠A=35°，則∠B=90°-35°=55°）。等腰三角形：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，結(jié)合內(nèi)角和定理可快速計(jì)算頂角或底角（如等腰三角形頂角為100°，則底角=(180°-100°)÷2=40°）。鈍角三角形：鈍角三角形的兩個(gè)銳角之和小于90°（因鈍角大于90°，故兩個(gè)銳角和=180°-鈍角＜90°）。性質(zhì)總結(jié)：三角形內(nèi)角和定理是解決三角形角的計(jì)算問(wèn)題的“核心工具”，需結(jié)合三角形類(lèi)型靈活運(yùn)用?；脽羝?：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用1——求未知角的度數(shù)例題1：在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度數(shù)。解答：由三角形內(nèi)角和定理得∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。例題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，求∠A和∠B的度數(shù)。解答：設(shè)∠B=x，則∠A=2x，由直角三角形兩銳角互余得x+2x=90°，解得x=30°，故∠A=60°，∠B=30°。例題3：在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求∠A的度數(shù)。解答：因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C=70°（等腰三角形兩底角相等），由內(nèi)角和定理得∠A=180°-70°-70°=40°。解題步驟總結(jié)：明確已知角的度數(shù)及三角形類(lèi)型（直角、等腰等）。利用內(nèi)角和定理或延伸性質(zhì)（如直角互余、等腰底角相等）建立等式。求解未知角的度數(shù)，驗(yàn)證結(jié)果是否符合三角形內(nèi)角的取值范圍（每個(gè)角大于0°

且小于180°）?；脽羝?：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用2——判斷三角形類(lèi)型例題4：已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為2:3:5，判斷該三角形的類(lèi)型。解答：設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為2x、3x、5x，由內(nèi)角和定理得2x+3x+5x=180°，解得x=18°，則三個(gè)角分別為36°、54°、90°，故該三角形為直角三角形。例題5：一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，另一個(gè)內(nèi)角為30°，判斷該三角形的類(lèi)型。解答：第三個(gè)內(nèi)角=180°-100°-30°=50°，因有一個(gè)角大于90°，故該三角形為鈍角三角形。判斷方法：通過(guò)內(nèi)角和定理求出所有內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)“銳角三角形（三個(gè)角＜90°）、直角三角形（一個(gè)角=90°）、鈍角三角形（一個(gè)角＞90°）”的定義判斷類(lèi)型?；脽羝?：三角形內(nèi)角和定理的拓展——多邊形內(nèi)角和初步關(guān)聯(lián)思考：三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，能否利用三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和？推導(dǎo)過(guò)程（以四邊形為例）：連接四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)（如連接四邊形ABCD的AC），將四邊形分成2個(gè)三角形（△ABC和△ADC）。每個(gè)三角形內(nèi)角和為180°，故四邊形內(nèi)角和=2×180°=360°。拓展延伸：五邊形：連接兩條對(duì)角線(xiàn)，分成3個(gè)三角形，內(nèi)角和=3×180°=540°。n邊形：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作(n-3)條對(duì)角線(xiàn)，分成(n-2)個(gè)三角形，故n邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°（初中階段暫作初步介紹，為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪墊）。應(yīng)用示例：求正六邊形（各邊相等、各角相等）的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，解答：正六邊形內(nèi)角和=(6-2)×180°=720°，一個(gè)內(nèi)角=720°÷6=120°?；脽羝?0：課堂練習(xí)——鞏固定理應(yīng)用練習(xí)1：在△ABC中，∠A=45°，∠B=∠C，求∠C的度數(shù)（答案：67.5°）。練習(xí)2：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A比∠C大20°，求∠A和∠C的度數(shù)（答案：∠A=55°，∠C=35°）。練習(xí)3：一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最大角是最小角的3倍，另一個(gè)角是最小角的2倍，判斷該三角形的類(lèi)型（答案：直角三角形，三個(gè)角分別為30°、60°、90°）。練習(xí)4：求五邊形的內(nèi)角和，并計(jì)算正五邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（答案：內(nèi)角和540°，一個(gè)內(nèi)角108°）。練習(xí)要求：學(xué)生獨(dú)立完成，小組內(nèi)核對(duì)答案并交流解題思路，教師針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)（如等腰三角形頂角與底角混淆、直角三角形互余性質(zhì)遺忘）進(jìn)行講解?；脽羝?1：課堂小結(jié)核心知識(shí)：三角形內(nèi)角和定理：任意三角形內(nèi)角和為180°，通過(guò)實(shí)驗(yàn)（測(cè)量、剪拼）和理論證明（平行線(xiàn)輔助）驗(yàn)證。延伸性質(zhì)：直角三角形兩銳角互余，等腰三角形底角相等，鈍角三角形兩銳角和小于90°。應(yīng)用場(chǎng)景：求未知角的度數(shù)、判斷三角形類(lèi)型、初步推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和。解題方法：利用定理建立等式，結(jié)合三角形類(lèi)型（直角、等腰等）簡(jiǎn)化計(jì)算，注意驗(yàn)證結(jié)果的合理性?；脽羝?2：課后作業(yè)一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，其中一個(gè)內(nèi)角為80°，求另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（提示：分80°

為頂角或底角兩種情況討論）。在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，AB=6cm，求BC的長(zhǎng)度（提示：先判斷三角形類(lèi)型，再利用直角三角形特殊角的性質(zhì)求解）。如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，求∠BAD和∠ADC的度數(shù)（提示：先求∠BAC，再用角平分線(xiàn)性質(zhì)，最后在△ADC中用內(nèi)角和定理）。查閱資料，了解除本節(jié)課介紹的方法外，還有哪些證明三角形內(nèi)角和定理的方法，選擇一種整理成證明過(guò)程，并與同學(xué)分享。2024人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

13.3.1.1內(nèi)角和定理與應(yīng)用第十三章

三角形

aiTujmiaNg1、理解并掌握三角形的內(nèi)角和定理；2、能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行角度的計(jì)算；重點(diǎn)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入問(wèn)1：在小學(xué)你學(xué)到了有關(guān)三角形內(nèi)角和的那個(gè)知識(shí)？問(wèn)2：我們?nèi)绾悟?yàn)證這個(gè)結(jié)論？三角形的內(nèi)角和180?1測(cè)量2剪拼方法3折疊方法(有誤差)(只能對(duì)有限個(gè)三角形使用這些方法)自主學(xué)習(xí)閱讀課本第11、第12頁(yè)內(nèi)容，學(xué)會(huì)下列問(wèn)題：（時(shí)間：3分鐘）1、如何通過(guò)剪拼的方法得出三角形的內(nèi)角和？2、利用你的剪拼方法怎么證明三角形的內(nèi)角和是180?？3、如何運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角的計(jì)算？合作探究命題證明三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.畫(huà)圖寫(xiě)出已知求證已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.ABC證明過(guò)程

將三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角剪下，試著拼拼看.你有什么發(fā)現(xiàn)？合作探究如圖所示，∠B和∠C

分別拼在∠A的左右，三個(gè)角合起來(lái)形成一個(gè)平角，出現(xiàn)了一條過(guò)點(diǎn)A

的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與邊BC有什么位置關(guān)系？BBCCAl直線(xiàn)l

與邊BC

平行你能由這個(gè)圖發(fā)現(xiàn)證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？合作探究已知：△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.證法：過(guò)點(diǎn)A作l∥BC，∵

l∥BC，

∴∠2=∠4，∠3=∠5（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

．∵∠1+∠4+∠5=180°（平角定義），∴∠1

+∠2

+∠3

=180°（等量代換）．ABC24153

l即∠A+∠B+∠C=180°.合作探究合作探究BBCAAl探究：從下圖給出的操作過(guò)程中，類(lèi)比上一個(gè)證明過(guò)程，你能發(fā)現(xiàn)其他證明的思路嗎？ABCl12345如何添加輔助線(xiàn)？說(shuō)說(shuō)證明過(guò)程.ABC合作歸納新知三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°.幾何語(yǔ)言：在△ABC

中，∠A+∠B+∠C=180°如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，求∠ADB的度數(shù)CBDA解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°∴∠BAD=∠BAC=20°例題嘗試課堂檢測(cè)1、如圖，說(shuō)出各圖中∠1的度數(shù).

30°105°

1（2）

80°50°1（1）

22°1（3）

50°45°68°（1）∠1=180°–50°–80°=50°（2）∠1=180°–105°–30°=45°（3）∠1=180°–22°–90°=68°解：2、如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？北北CABDE分析：∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，求∠ACB需先求

∠CAB、∠ABC.課堂檢測(cè)作

業(yè)：

必做題：

選做題：課本第13頁(yè)

練習(xí)題1、2課本第17頁(yè)

第7題第十三章

三角形

13.3.1三角形的內(nèi)角和第二課時(shí)

直角三角形的性質(zhì)與判定重點(diǎn)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解直角三角形的定義，會(huì)用符號(hào)表示直角三角形的2、探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理和判定方法3、能夠靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定解決相關(guān)的角度計(jì)算、推理證明等問(wèn)題。重難點(diǎn)新課導(dǎo)入

1、哪位同學(xué)回顧一下上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的三角形的內(nèi)角和定理？答：三角形的內(nèi)角和等于180°2、三角形按“角”怎么分類(lèi)的？答：三角形按“角”可分為：·銳角三角形：三個(gè)角都小于90°的三角形·直角三角形：有一個(gè)角等于90°的三角形（其余兩個(gè)角為銳角）·鈍角三角形：有一個(gè)角大于90°且小于180°的三角形（其余兩個(gè)角為銳角）3、那一類(lèi)三角形有特殊角度？答：直角三角形，特殊角度90°自主學(xué)習(xí)自學(xué)課本第13,14頁(yè)并學(xué)會(huì)下列內(nèi)容：（時(shí)間：3分鐘）（1）直角三角形的定義（2）直角三角形的符號(hào)表示（3）直角三角形的性質(zhì)、判定及其語(yǔ)言描述如下圖所示是我們常用的三角板，兩銳角的度數(shù)之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1問(wèn)題1：合作探究1如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？

在直角三角形ABC中，因?yàn)?/p>

∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，

即

∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？問(wèn)題2：合作探究1ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．(直角三角形的性質(zhì)定理）幾何語(yǔ)言：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫(xiě)成Rt△ABC．合作歸納例2如圖，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°–∠AEC.

在Rt△BDE中，

∠DBE=90°–∠BED.

∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.應(yīng)用解題有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？

如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？直角三角形的判定知識(shí)點(diǎn)2ABC合作探究2

在△ABC中，

因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.由此，你可以得到直角三角形的判定方法嗎？ABC幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的判定定理）合作歸納教材P13練習(xí)第1題1.如圖，從A處觀測(cè)C

處的仰角∠CAD=30°，從B

處觀測(cè)C

處的仰角∠CBD=45°.從C

處觀測(cè)A，B

兩處的視角∠ACB

是多少度？CABD隨堂演練教材P13練習(xí)第1題CABD解