第二十八章銳角三角函數(shù)一．選擇題（共6小題）1．圖1、圖2分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖．已知跑步機(jī)手柄AB與地面DE平行，支架AC、踏板CD的長分別為a，b，∠ACD＝90°，記CD與地面DE的夾角為θ，則跑步機(jī)手柄AB所在直線與地面DE之間的距離表示正確的是（）A．a(chǎn)cosθ+bsinθB．a(chǎn)sinθ+bsinθ C．a(chǎn)cosθ+bcosθD．a(chǎn)sinθ+bcosθ2．如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L水平距離為8km，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測得仰角為53°，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° 3．如圖，在以“探索光之奧秘”為主題的趣味物理實(shí)驗(yàn)中，用透明水箱模擬光線從空氣射入某種液體，觀察到入射角（∠1）與折射角（∠2）約為4：3的比例關(guān)系．為了挑戰(zhàn)自我，同學(xué)們進(jìn)一步思考：若兩條入射光線以不同角度α，β斜射入這種液體，液體內(nèi)折射光線的夾角γ與α，β的數(shù)學(xué)關(guān)系為（）A．a(chǎn)+β＝γ B．α+β+γ＝180° C．34(α+β)=γ D．4．如圖所示的電視塔是某城市的標(biāo)志性建筑物，在水平地面上的點(diǎn)A，C處分別測得電視塔塔頂B的仰角均為α度，且點(diǎn)A，C，D在同一直線上，BD⊥AC，若測得AC＝200m，則塔高BD是（）A．200tanαm B．200tanαm C．100tanαm D．100sin5．某地正午時(shí)，太陽光線與地面形成的夾角為35°，為了使太陽能板獲得最大效率，需將其傾斜角調(diào)整為與太陽光線垂直．已知太陽能板AB的長度為1.8米，此時(shí)太陽能板頂端離地面BC的垂直高度AC為（）A．1.8×sin55米 B．1.8×sin35米 C．1.8×cos55米 D．1.8×tan55米6．一束光從空氣中以不同的角度射入水中，會(huì)發(fā)生反射和折射現(xiàn)象，如圖1是光束在空水中的徑跡，如圖2，現(xiàn)將一束光以一定的入射角α(tanα=43)射入水面GK，此時(shí)反射光線與折射光線夾角恰為90°，直線l為法線，A、O、D三點(diǎn)共線，若水深OE為3mA．2m B．4m C．74m 二．填空題（共6小題）7．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)損壞，但底部未曾受損．已知該金字塔的底面是一個(gè)邊長為130m的正方形，且每個(gè)側(cè)面與底面所夾的角都為α（0°＜α＜90°），則這座金字塔原來的高為m（用含α的式子表示）．8．座椅是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡奈锲罚鐖D，在調(diào)節(jié)椅背的過程中，椅面AB始終保持水平狀態(tài)，支撐架AC，BD與水平地面的夾角也始終保持不變．已知椅背AE的長度為60cm，當(dāng)椅背AE與椅面AB的夾角從150°調(diào)整到120°時(shí)，椅背上人的頭部支撐點(diǎn)E向上抬高了約cm．（結(jié)果精確至0.1cm．參考數(shù)據(jù)：3≈9．如圖是傳送帶和水平地面所成斜坡的示意圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i為1：3，若該傳送帶把某物體從地面?zhèn)魉偷诫x地面15米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程恰好是米．10．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作且不易收納．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可．如圖①，衣架桿OA＝OB＝20cm，∠AOB＝120°；若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，如圖②所示；則收攏時(shí)的寬度比松開時(shí)的寬度縮短了cm．（保留一位小數(shù)，311．圖1是一小型電飯煲的左視圖，為判斷電飯煲放置在餐邊柜是否合適，需要計(jì)算打開后電飯煲的最大高度，已知打開蓋后∠A'BA最大＝60°，如圖2所示，則打開后電飯煲的最大高度是cm（結(jié)果保留根號(hào)）．12．圖1是某款自動(dòng)旋轉(zhuǎn)遮陽傘，傘面完全張開時(shí)張角呈180°，圖2是其側(cè)面示意圖．為實(shí)現(xiàn)遮陽效果最佳，傘面裝有接收器，可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動(dòng)調(diào)整手柄D沿著AB移動(dòng)，以保證太陽光線與DF始終垂直，已知支架AB長為2.5米，且垂直于地面BC，某一時(shí)刻測得BD＝1.7米，懸托架AE＝DE，點(diǎn)E固定在傘面上，當(dāng)傘面完全張開時(shí)，長陽光線與地面的夾角設(shè)為α，當(dāng)tanα=34時(shí)，此時(shí)懸托架AE的長度為三．解答題（共5小題）13．綜合與實(shí)踐：某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組測量田徑場看臺(tái)對(duì)面教學(xué)樓的高度．活動(dòng)主題測量田徑場看臺(tái)對(duì)面教學(xué)樓的高度測量工具測角儀，皮尺、計(jì)算器等模型抽象測繪過程與數(shù)據(jù)信息①用皮尺測得看臺(tái)CD的長為12米，看臺(tái)最低點(diǎn)C到地面BF的距離CE為2米；②用測角儀在看臺(tái)最高點(diǎn)D處測得教學(xué)樓最高點(diǎn)A的仰角為25°，在看臺(tái)最低點(diǎn)C處測得教學(xué)樓最高點(diǎn)A的仰角為55°，看臺(tái)的坡角α為20°；③參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，2≈1.41請(qǐng)你根據(jù)測量結(jié)果，幫助數(shù)學(xué)興趣小組求出教學(xué)樓AB的高度（結(jié)果精確到0.1米）．14．綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實(shí)驗(yàn)操作】將一束光線從游泳池邊點(diǎn)A處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)C折射到池底B處．【測量數(shù)據(jù)】點(diǎn)A，D，E在同一條豎直線上，所有點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)，MN是法線，點(diǎn)N在BE上．記入射角為α，折射角為β．測得點(diǎn)A到水面的距離AD＝1m，水深DE＝1.2m，入射角α＝51°16′．【問題解決】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求CD的長；（2）小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，根據(jù)光的折射物理學(xué)知識(shí)可知sinαsinβ≈1.3，從而可求得①由上可在Rt△BCN中推理求得tanβ＝；②求B，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin51°16′≈0.78，cos51°16′≈0.63，tan51°16′≈1.25）15．現(xiàn)在人們經(jīng)常使用電腦，若坐姿不正確，容易造成眼睛疲勞，腰酸頸痛．使用電腦時(shí)一般正確的坐姿是：眼睛望向顯示器屏幕時(shí)，“視線角”α為20°（望向屏幕上邊緣的水平視線與望向屏幕中心的視線的夾角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β為100°，如圖1所示．（1）如圖2，當(dāng)水平視線AB與屏幕BC垂直，“視線角”α為20°，BC＝24cm時(shí)，求眼睛與屏幕的距離為多少厘米．（結(jié)果精確到1cm）（2）如圖3，肩膀到水平地面的距離DG＝100cm，大臂DE＝30cm，小臂水平放在桌面EF上，桌面到地面的距離FH＝72cm，通過計(jì)算判斷此時(shí)是不是正確坐姿．若是，請(qǐng)說明理由；若不是，那么應(yīng)如何調(diào)整桌面（桌面可上下調(diào)整）才能使肘部形成的“手肘角”β為100°？（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin69°≈0.93）16．單擺是一種能夠產(chǎn)生復(fù)動(dòng)的裝置．某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)步驟如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長度變化忽略不計(jì)）實(shí)驗(yàn)說明如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，BD⊥OA．∠BOA＝64°，OB＝20cm；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，∠COA＝37°，CE⊥OA．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長．（結(jié)果精確到0.1cm）參考數(shù)據(jù)：cos37°≈0.80，cos64°≈0.44．17．如圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭P的仰角、俯角都調(diào)整為15°，攝像頭高度OP＝160cm，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OQ＝150cm．（1）小張站在離攝像頭水平距離90cm點(diǎn)M處，恰好能被識(shí)別（頭的頂部恰好在仰角線AP處），請(qǐng)問小張的身高約為多少厘米？（2）身高139cm的小軍，頭部高度為18cm，當(dāng)他直立站在離攝像頭最遠(yuǎn)處時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明這時(shí)的小軍能被攝像頭識(shí)別嗎？（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

參考答案與試題解析題號(hào)123456答案ADDCAC1．A【解析】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB，交直線AB于F，延長FC，交直線DE于H，在Rt△DCH中，∠D＝θ，CD＝b，則CH＝CD?sinD＝bsinθ，∵∠D＝θ，∴∠DCH＝90°﹣θ，∵∠ACD＝90°，∴∠ACF＝θ，∴CF＝AC?cos∠ACF＝acosθ，∴手柄AB所在直線與地面DE之間的距離為：acosθ+bsinθ．2．D【解析】由題意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR?tan53°＝8tan53°（km），∴這枚火箭此時(shí)的高度AL為8tan53°km．3．D【解析】如下圖所示，過B，D，F(xiàn)分別作水平線的垂線，則PC∥DE∥QG，則∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG，由題可得，∠DBC=34∠ABP=34（90°﹣α），∠DFG=34∠HFQ=34（90°﹣β），從而∠BDF=34（90°﹣α）+34（90°﹣β）=34（180°﹣α﹣β），即γ＝135°4．C【解析】由題意可知：∠A＝∠C＝a，BD⊥AC，∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∵AC＝200m，∴AD＝CD=12AC＝100m，在Rt△ABD中，BD＝AD?tanα＝100tanα（5．A【解析】由題意得：∠ABC＝55°，∵sin∠ABC=ACAB，AB＝1.8m，∴AC＝ABsin∠6．C【解析】如圖：由題意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∴∠α＝∠ECO，∵∠EOD＝∠α，∴tanα=tan∠ECO=tan∠EOD=43，在直角三角形ECO中，OE＝3m，∴CE=OEtan∠ECO=347．65tanα【解析】如圖，∵底部是邊長為130m的正方形，∴BC=12×130＝65（m），∵AC⊥BC，∠ABC＝α，∴AC＝BC?tanα＝65tanα8．21.9【解析】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BA，交BA的延長線于E，過點(diǎn)E′作E′G⊥BA，交BA的延長線于G，在Rt△EAF中，AE＝60cm，∠EAF＝180°﹣150°＝30°，則EF＝AE?sin∠EAF＝60×12=30（m），在Rt△E′AG中，AE′＝60cm，∠E′AG＝180°﹣120°＝60°，則E′G＝AE′?sin∠E′AG＝60×32=303（m），E′G﹣EF＝303?9．30【解析】如圖，過點(diǎn)B作BC⊥水平面于C，∵斜坡AB的坡度為1：3，∴tanA=BCAC=13=33，∴∠10．14.6【解析】如圖①，過O點(diǎn)作OM⊥AB，∵OA＝OB＝20cm，∠AOB＝120°，∴在Rt△AOM中，∠A＝30°，OA＝20cm，∴AM＝OA?cos∠A＝20×cos30°＝103≈17.3（cm），∴AB＝2AM＝34.6（cm），如圖②，∠A'O'B'＝60°，OA'＝OB'＝20cm，∴△O'A'B'為等邊三角形，∴A'B'＝O'A'＝20cm，∴34.6﹣20＝14.6（cm），∴收攏時(shí)的寬度比松開時(shí)的寬度縮短了14.6cm11．(17.5+2532)【解析】如圖，作A′C⊥AB于點(diǎn)C，DE⊥AB于點(diǎn)E，A′F⊥DE于點(diǎn)F，A′B交DE于點(diǎn)O，∴∠DEC＝∠A′FE＝∠A′FD＝∠OEB＝90°，四邊形A′CEF是矩形，∴∠FA′O＝∠A′BA＝60°，∴∠DA′F＝30°，∴DF=12A′D=12×5=2.5cm，由條件可得12．0.5【解析】如圖2，過點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，∵∠FDG＝90°，∴∠ADE+∠BDG＝90°，∵∠ABG＝90°，∴∠BGD+∠BDG＝90°，∴∠BGD＝∠ADE，∴GD∥FH，∴∠BGD＝∠α，∴∠ADE＝∠α，∵tanα=34，∴tan∠ADE=IEID=34，∵AB長為2.5米，BD＝1.7米，AE＝DE13．解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，延長CG交DF于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)AB＝x米，由題意可知，四邊形BGCE，CEFH，BFHG，MGHD都是矩形，∴BG＝CE＝HF＝2米，CG＝BE，CH＝EF，AG＝（x﹣2）米，在Rt△CDH中，CH＝CDcosα＝12×0.94≈11.3（米），DH＝CDsinα＝12×0.34≈4.1（米），∴MG＝DH＝4.1米，在Rt△ACG中，AG＝CGtan∠ACG＝CGtan55°＝1.43CG，∴CG=AG∴GH=MD=CG+CH=x?2在Rt△AMD中，AM=DMtan∠ADM=DMtan25°=0.47(x?2∴x=0.47(x?2解得x≈16.0，答：教學(xué)樓AB的高度為16.0米．14．解：（1）∵M(jìn)N∥AE，∴∠A＝α＝51°16′．∵AD＝1m，故CD＝tan51°16′×AD≈1.25（m）．即CD的長為1.25m；（2）①∵sinβ=3∴設(shè)BN＝3k，BC＝5k，由勾股定理可得CN＝4k，故tanβ=BN故答案為：34②由題可知四邊形DCNE為矩形，則CN＝DE＝1.2m，EN＝DC＝1.25m，故BN＝tanβ×CN=34×1.2=故BE＝EN+BN＝1.25+0.9＝2.15（m），即B，E之間的距離為2.15m．15．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝20°，tanA=BC∴AB=BC故眼睛與屏幕的距離約為67cm；（2）如圖，延長FE交DG于點(diǎn)M，則MG＝FH，∠DME＝90°，∴調(diào)整前，DM＝DG﹣MG＝DG﹣FH＝100﹣72＝28（cm），在Rt△DME中，sin∠DEM=DM∴∠DEM≈69°，∴∠DEF≈180°﹣69°＝111°，即β≈111°，故此時(shí)不是正確坐姿．當(dāng)∠DEF＝100°時(shí)，∠DEM＝80°，在Rt△DEM中，DE＝30cm，sin∠DEM=DM∴調(diào)整后，DM＝DEsin∠DEM＝30sin80°≈30×0.98≈29（cm），29﹣28＝1（cm）．故桌面應(yīng)下調(diào)1c