2013高三數(shù)學(xué)二輪專題一第4講不等式及線性規(guī)劃一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它不僅是解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)工具，也是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)考查內(nèi)容。在高三二輪復(fù)習(xí)階段，對(duì)不等式及線性規(guī)劃的深入理解和熟練掌握，對(duì)于提高數(shù)學(xué)解題能力具有重要意義。1.不等式的基本性質(zhì)傳遞性：若a>b，b>c，則a>c可加性：若a>b，則a+c>b+c可乘性：若a>b，c>0，則ac>bc；若a>b，c<0，則ac<bc乘方性質(zhì)：若a>b>0，n為正整數(shù)，則a?>b?2.常見(jiàn)不等式類型常見(jiàn)的不等式類型包括：一元一次不等式：ax+b>0（a≠0）一元二次不等式：ax2+bx+c>0（a≠0）分式不等式：(f(x))/(g(x))>0絕對(duì)值不等式：|f(x)|<a或|f(x)|>a指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式3.線性規(guī)劃的基本概念線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，在數(shù)學(xué)建模中有著廣泛應(yīng)用。線性規(guī)劃問(wèn)題的一般形式為：目標(biāo)函數(shù)：z=ax+（求最大值或最小值）約束條件：a?x+b?y≤c?a?x+b?y≤c?x≥0，y≥0線性規(guī)劃的可行解、可行域、最優(yōu)解等概念是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)。4.不等式的解法技巧（1）一元二次不等式的解法對(duì)于一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0），其解法步驟如下：求出對(duì)應(yīng)方程ax2+bx+c=0的根x?、x?（當(dāng)判別式Δ≥0時(shí)）；根據(jù)二次函數(shù)圖像的開口方向和根的位置確定解集：當(dāng)a>0時(shí)，若Δ>0，解集為{x|x<x?或x>x?}；若Δ=0，解集為{x|x≠b/(2a)}；若Δ<0，解集為R。當(dāng)a<0時(shí)，若Δ>0，解集為{x|x?<x<x?}；若Δ=0，解集為?；若Δ<0，解集為?。（2）分式不等式的解法分式不等式(f(x))/(g(x))>0的解法通常采用數(shù)軸穿根法：確定分子f(x)=0和分母g(x)=0的根；在數(shù)軸上標(biāo)出所有根，從右上方開始畫曲線，依次穿過(guò)各根；根據(jù)不等式符號(hào)確定解集。（3）絕對(duì)值不等式的解法絕對(duì)值不等式|f(x)|<a的解集為{x|a<f(x)<a}；絕對(duì)值不等式|f(x)|>a的解集為{x|f(x)<a或f(x)>a}。對(duì)于含有多個(gè)絕對(duì)值的不等式，通常采用零點(diǎn)分段法進(jìn)行求解。二、線性規(guī)劃的圖解法1.可行域的確定可行域是滿足所有約束條件的點(diǎn)(x,y)的集合。確定可行域的步驟如下：將每個(gè)不等式約束轉(zhuǎn)化為等式，畫出對(duì)應(yīng)的直線；確定每個(gè)不等式表示的區(qū)域（直線的上方或下方）；取所有不等式表示的區(qū)域的交集，得到可行域。2.目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解通常在可行域的頂點(diǎn)處取得。求解步驟如下：畫出可行域并確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；將各頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；比較各函數(shù)值的大小，確定最優(yōu)解和最優(yōu)值。3.特殊情況分析（1）無(wú)可行解的情況當(dāng)約束條件相互矛盾時(shí)，可行域?yàn)榭占藭r(shí)線性規(guī)劃問(wèn)題無(wú)可行解。（2）無(wú)界解的情況當(dāng)可行域無(wú)界且目標(biāo)函數(shù)可以無(wú)限增大或無(wú)限減小時(shí)，線性規(guī)劃問(wèn)題無(wú)最優(yōu)解。（3）無(wú)窮多最優(yōu)解的情況當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的等值線與可行域的某條邊平行時(shí)，線性規(guī)劃問(wèn)題可能有無(wú)窮多最優(yōu)解。三、典型例題分析1.不等式綜合應(yīng)用例1：已知函數(shù)f(x)=x22x+3，求滿足f(x)≤5的x的取值范圍。解：由題意得x22x+3≤5，即x22x2≤0。解方程x22x2=0，得x=1±√3。由于二次函數(shù)開口向上，所以不等式的解集為[1√3,1+√3]。例2：解不等式|x2|+|x+1|<5。解：采用零點(diǎn)分段法。當(dāng)x<1時(shí)，原不等式化為(x2)(x+1)<5，即2x+1<5，解得x>2。當(dāng)1≤x<2時(shí)，原不等式化為(x2)+(x+1)<5，即3<5，恒成立。當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式化為(x2)+(x+1)<5，即2x1<5，解得x<3。綜上，原不等式的解集為(2,3)。2.線性規(guī)劃應(yīng)用例3：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品需經(jīng)過(guò)A、B兩道工序。已知每件甲產(chǎn)品在A、B工序上分別需要2小時(shí)和1小時(shí)，每件乙產(chǎn)品在A、B工序上分別需要1小時(shí)和3小時(shí)。A工序每天最多工作10小時(shí)，B工序每天最多工作15小時(shí)。每件甲產(chǎn)品利潤(rùn)為3萬(wàn)元，每件乙產(chǎn)品利潤(rùn)為4萬(wàn)元。問(wèn)：該工廠每天應(yīng)生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件，才能獲得最大利潤(rùn)？解：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，則約束條件為：2x+y≤10x+3y≤15x≥0，y≥0目標(biāo)函數(shù)為：z=3x+4y作出可行域，其頂點(diǎn)為(0,0)、(5,0)、(3,4)、(0,5)。將各頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)：z(0,0)=0z(5,0)=15z(3,4)=25z(0,5)=20因此，當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品3件，乙產(chǎn)品4件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)25萬(wàn)元。1.不等式解題策略轉(zhuǎn)化思想：將復(fù)雜不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式類型，如分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式。分類討論：對(duì)含有參數(shù)的不等式，要根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行分類討論。數(shù)形結(jié)合：利用函數(shù)圖像輔助分析不等式的解集，特別是對(duì)一元二次不等式和絕對(duì)值不等式。等價(jià)變形：在不等式變形過(guò)程中，要保持等價(jià)性，避免增根或失根。2.線性規(guī)劃解題技巧準(zhǔn)確作圖：正確畫出可行域是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)，要注意直線的斜率和截距。頂點(diǎn)分析：最優(yōu)解通常在可行域的頂點(diǎn)處取得，要準(zhǔn)確計(jì)算各頂點(diǎn)坐標(biāo)。目標(biāo)函數(shù)分析：理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過(guò)平移目標(biāo)函數(shù)等值線確定最優(yōu)解。實(shí)際意義：在應(yīng)用問(wèn)題中，要注意變量的實(shí)際意義，如取整數(shù)約束等。五、高考命題趨勢(shì)與備考建議1.命題趨勢(shì)分析注重基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合考查。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等。突出實(shí)際應(yīng)用能力，線性規(guī)劃問(wèn)題多以實(shí)際應(yīng)用題形式出現(xiàn)。難度適中，但綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活的解題能力。2.備考建議夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和各類不等式的解法，理解線性規(guī)劃的