一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形填空題（難）1．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】2.【解析】【分析】將△CPA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CEB，連接EP，由全等三角形的性質(zhì)可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得出∠ECP=60°，進(jìn)而證明△ECP為等邊三角形，由等邊△ECP的性質(zhì)進(jìn)而證明D、P、E三點(diǎn)共線以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)度即可.【詳解】將△CPA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CEB，連接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等邊△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP為等邊三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三點(diǎn)共線，∴ED=3+7=10，∴BD==2.故答案為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三點(diǎn)共線的判定，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.2．如圖，在等腰三角形中，，為邊上中點(diǎn)，多點(diǎn)作，交于，交于，若，，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)D證明AD=BD，∠DBC=∠A=45，再利用證得∠ADE=∠BDF，由此證明△ADE≌△BDF，得到BC的長(zhǎng)度，即可求出三角形的面積.【詳解】∵，AB=BC,∴∠A=45，∵為邊上中點(diǎn)，∴AD=CD=BD，∠DBC=∠A=45，∠ADB=90，∵,∴∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=90，∴∠ADE=∠BDF,∴△ADE≌△BDF,∴BF==AE=3，∵CF=2，∴AB=BC=BF+CF=5，∴的面積為=,故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì).3．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，則圖中陰影部分的面積等于__________．【答案】【解析】【分析】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可證△DEG≌△CEF，可得DG=CF，則是S△BDE=S△AEC，由D是BC中點(diǎn)可得S△BED=2，即可求得陰影部分面積.【詳解】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，又∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=BE?DG，S△BED=AE?CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中點(diǎn)，∴S△BDE=S△EDC==2，∴S陰影=2+2=4，故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.4．如圖，點(diǎn)D、E、F、B在同一直線上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，則EF=__．【答案】6【解析】【分析】由于AB//CD、AE/CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，然后利用已知條件就可以證明△AEF≌△CFD，最后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件即可求解.【詳解】解：∵AB//CD、AE/CF，∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，而AE=CF，∴△AEF≌△CFD，∴DF=EB，∴DE=BF，∴EF=BD-2BF=6.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題時(shí)首先利用平行線的性質(zhì)構(gòu)造全等條件證明三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.5．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明提出這樣一個(gè)問(wèn)題：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如圖，則∠EAB的度數(shù)為_(kāi)________【答案】35°【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CE=EF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得AE是∠BAD的平分線，然后求出∠AEB，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F．∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分線，∴∠EAB=∠FAE．∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，角平分線的判定，熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)E是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA＝EB，△ABC外一點(diǎn)D滿(mǎn)足BD＝AC，且BE平分∠DBC，則∠D＝__________.【答案】30°【解析】試題解析：（1）連接CE，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，在△BCE與△ACE中，∴△BCE≌△ACE（SSS）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE與△BCE中，∴△BDE≌△BCE（SAS），∴∠BDE=∠BCE=30°．7．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出_____個(gè)．【答案】7【解析】只要滿(mǎn)足三邊對(duì)應(yīng)相等就能保證作出的三角形與原三角形全等，以腰為公共邊時(shí)有6個(gè)，以底為公共邊時(shí)有一個(gè)，答案可得．解：以AB為公共邊有三個(gè)，以CB為公共邊有三個(gè)，以AC為公共邊有一個(gè)，所以一共能作出7個(gè)．故答案為78．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B分別在x軸的正半軸、y軸的正半軸上移動(dòng),點(diǎn)M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射線MB，若∠1=∠2，則∠M的度數(shù)是_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得由角平分線的性質(zhì)可得根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得易得∠M的度數(shù)?！驹斀狻吭谥?，是的外角∴由三角形內(nèi)角和定理可得∵∴∵平分∴由三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∵∴又∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。9．如圖，AB＝BC且AB⊥BC，點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝22°，則∠D的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】23°【解析】解：過(guò)D作DE⊥PC于E．∵PA⊥PD，∴∠APB+∠DPE=90°．∵AB⊥BC，∴∠A+∠APB=90°，∴∠A=∠DPE=22°．在△ABP和△PED中，∵∠A=∠DPE，∠B=∠E=90°，PA＝PD，∴△ABP≌△PED，∴AB=PE，BP=DE．∵AB=BC，∴BC=PE，∴BP=CE．∵BP=DE，∴CE=DE，∴∠DCE=45°，∴∠PDC=∠DCE－∠DPC=45°－22°=23°．故答案為：23°．10．已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分線交BC于D，垂足為E，BD=4cm，則DC=_______【答案】2cm【解析】試題解析：解：連接AD，∵ED是AB的垂直平分線，∴BD=AD=4cm，∴∠BAD=∠B=30°，∵∠C=90°，∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴∠DAC=60°-30°=30°，在Rt△ACD中，∴DC=AD==×4=2cm．故答案為2cm．點(diǎn)睛：本題考查了線段垂直平分線，在直角三角形中30度角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力．二、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形選擇題（難）11．在ΔABC和ΔA'B'C'中，AB=A'A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】試題解析：當(dāng)∠C′為銳角時(shí)，如圖1所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，∴∠C=∠C′；當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，如圖3所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠C=∠A′C′D′，∴∠C+∠A′C′B′=180°．故選C.12．如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()①AD平分∠BAC；②作圖依據(jù)是S.A．S；③∠ADC=60°；④點(diǎn)D在AB的垂直平分線上A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的∠平分線；②根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定出AD的依據(jù)；③利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)求∠ADC的度數(shù)；④利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)在AB的中垂線上.解：如圖所示，①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的∠平分線；故①正確；②根據(jù)作圖的過(guò)程可知，作出AD的依據(jù)是SSS；故②錯(cuò)誤；③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正確；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點(diǎn)D在AB的中垂線上.故④正確；故選C.“點(diǎn)睛”此題主要考查的是作圖-基本作圖，涉及到角平分線的作法以及垂直平分線的性質(zhì)，熟練根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ADC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.13．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC邊上的中線AD=4，則△ABC的面積為（）A．30 B．48 C．20 D．24【答案】D【解析】延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以DC=BD,在△ADC和△EDB中,,所以△ADC≌△EDB,所以BE=AC=10,∠CAD＝∠E,又因?yàn)锳E=2AD=8,AB=6,所以,所以∠CAD＝∠E=90°,則,所以故選D.14．如圖，點(diǎn)、分別是邊長(zhǎng)為的等邊邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為，下面四個(gè)結(jié)論：①②≌③的度數(shù)不變，始終等于④當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，為直角三角形，正確的有（）個(gè)．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵點(diǎn)、速度相同，∴．在和中，，∴≌，故②正確．則．即．∴．則，故③正確．∵不一定等于．∴．∴．故①錯(cuò)誤．設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2；②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；∴當(dāng)?shù)?秒或第4秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．∴④正確.故選C.點(diǎn)睛：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．15．如圖，已知五邊形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，則五邊形ABCDE的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】可延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，利用SAS可證明△ABC≌△AEF，連AC，AD，AF，再利用SSS證明△ACD≌△AFD，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)△ADF的面積，進(jìn)而求解即可．【詳解】延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，在△ABC與△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF，在△ACD與△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴五邊形ABCDE的面積是：S=2S△ADF=2×?DF?AE=2××2×2=4．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，正確作出輔助線，利用全等三角形把五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)△ADF的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如圖，那么下列各條件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°【答案】B【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°A選項(xiàng)：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定條件HL，∴A選項(xiàng)能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；B選項(xiàng)：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合符合直角三角形全等的判定條件，∴B選項(xiàng)不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C選項(xiàng)符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定條件SAS；∴C選項(xiàng)能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D選項(xiàng)符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定條件ASA，∴D選項(xiàng)能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；故選：B．點(diǎn)睛：此題主要考查學(xué)生對(duì)直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此題不僅僅是掌握直角三角形全等的判定，還要熟練掌握其它判定三角形全等的方法，才能盡快選出此題的正確答案．17．如圖，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，連結(jié)AO，則圖中共有全等三角形的對(duì)數(shù)為（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件，利用AAS可知△ADB≌△AEC，然后再利用HL、ASA即可判斷△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOC≌△AOB.【詳解】∵AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A為公共角，∴△ADB≌△AEC，（AAS）∴AE=AD，∠B=∠C∴BE=CD，∵AE=AD，OA=OA，∠ADB=∠AEC=90°，∴△AOE≌△AOD（HL），∴∠OAC=∠OAB，∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，∴△AOC≌△AOB.（ASA）∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，∴△BOE≌△COD（ASA）．綜上：共有4對(duì)全等三角形，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．做題時(shí)要從已知條件開(kāi)始結(jié)合全等的判定方法逐一驗(yàn)證，由易到難，不重不漏．18．在△ABC與△DEF中，下列各組條件，不能判定這兩個(gè)三角形全等的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠DD．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【答案】B【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS證明△ABC與△DEF全等；B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，對(duì)應(yīng)邊不對(duì)應(yīng)，不能證明△ABC與△DEF全等；C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA證明△ABC與△DEF全等；D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS證明△ABC與△DEF全等；故選：D．點(diǎn)睛：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．19．下列四組條件中，能夠判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D【答案】D【解析】根據(jù)三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，逐一判斷：A、AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不符合“SAS”定理，不能判斷全等；B、AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠D，不符合“ASA”定理，不能判斷全等；C、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，“AAA”不能判定全等；不符合“SAS”定理，不對(duì)應(yīng)，不能判斷全等；D、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，可利用“SAS”判斷全等；故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．20．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正確；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正確；③根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知③正確；④根據(jù)∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④錯(cuò)誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性質(zhì)可得∠AOE=120°，可知⑤正確；【詳解】①∵△ABC和△CDE為等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正確；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正確；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正確，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP錯(cuò)誤；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，題目難度較大．21．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，AB＞AD，下列結(jié)論中正確的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD與CB﹣CD的大小關(guān)系不確定【答案】A【解析】如圖，在AB上截取AE=AD，連接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共邊，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故選A．22．已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開(kāi)____秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【詳解】解：因?yàn)锳B=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根據(jù)SAS證得△ABP≌△DCE，由題意得：BP=2t=2，所以t=1，因?yàn)锳B=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根據(jù)SAS證得△BAP≌△DCE，由題意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，當(dāng)t的值為1或7秒時(shí)．△ABP和△DCE全等．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．23．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，則線段EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】在BE上截取BG＝DF，先證△ADF≌△ABG，再證△AEG≌△AEF即可解答．【詳解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF與△ABG中，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG與△AEF中，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四邊形AEPF，上述結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據(jù)全等三角形的可得AE=CF，再根據(jù)等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半．【詳解】∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，故①②正確；∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE，∴△EFP是等腰直角三角形，故③錯(cuò)誤；∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∴四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，從而得到△APE和△CPF全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破點(diǎn)．25．如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，PR=PS.下列結(jié)論：①點(diǎn)P在∠A的角平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】D【解析】∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分線上，故①正確；由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正確；∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正確；由③得，△PQC是等邊三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確，∵①②③④都正確，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)O，給出四個(gè)條件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四個(gè)條件中，選擇兩個(gè)可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．6種【答案】C【解析】【分析】①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：證△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：證△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：證△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．【詳解】解：有①②，①③，②④，③④，共4種，①②，理由是：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；①③，理由是：∵在△EBO和△DCO中，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，∵∠OBC=∠OCB（已證），∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；②④，理由是：∵在△EBO和△DCO中，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；③④，理由是：∵在△EBO和△DCO中，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故選C．27．在中，已知，，點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，如圖所示，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接交直線于點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)F作FD⊥AG，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,設(shè)BC=5x，利用AAS證出△FAD≌△AEB，從而用x表示出AD，BD，然后利用AAS證出△FDG≌△CBG，即可用x表示出BG,AG從而求出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FD⊥AG，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D∵設(shè)BC=5x，則CE=3x∴BE=BC＋CE=8x∵，，∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°由旋轉(zhuǎn)可知∠EAF=90°，AF=EA∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°∴∠FAD=∠E在△FAD和△AEB中∴△FAD≌△AEB∴AD=EB=8x，F(xiàn)D=AB∴BD=AD－AB=3x，F(xiàn)D=CB在△FDG和△CBG中∴△FDG≌△CBG∴DG=BG=BD=∴AG=AB＋BG=∴故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．28．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下五個(gè)結(jié)論：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），S四邊形AEPF=S△ABC，上述結(jié)論中始終正確有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，∴AP⊥BC，AP=PB，∠B=∠CAP=45°，∵∠APF+∠FPA=90°，∠APF+∠BPE=90°，∴∠APF=∠BPE，在△BPE和△APF中，∠B=∠CAP，BP=AP，∠BPE=∠APF，∴△PFA≌△PEB；故①正確；∵△ABC是等腰直角三角形點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴AP=BC，又∵EF不一定是△ABC的中位線，∴EF≠AP，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵△PFA≌△PEB，∴PE=PF，又∵∠EPF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故③正確；∵△PFA≌△PEB，∴S△PFA=S△PEB，∴S四邊形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE