廣西南寧市第八中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知平面向量1=（4,-1）與石=（2,力共線，則曠=（）

2.已知復(fù)數(shù)2=如，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

3.高二年級進(jìn)行消防知識競賽，統(tǒng)計所有參賽同學(xué)的成績，成績都在［50,100］內(nèi)，估計所

有參賽同學(xué)成績的第75百分位數(shù)為（）

嬸網(wǎng)也距

0.7a

06a

OM

0.2a

506070W)90100成績分

C-85

4.如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個直徑為4的圓，使之恰好鬧成一個圓錐,

則圓錐的高為（）

試卷第II頁，共33頁

A,2x/3B.而C.屈D.2而

5.已知萬=（_],（）,]）為直線力〃的一個方向向量，點(diǎn)40,2,-1），P（2,-l,2）,則點(diǎn)尸到直線

48的距離為（）.

A-4B.歷C.3后D.加

6.若直線心（"2）x+y+l=0與直線4：2..（。+1）k2=0互相平行，則實(shí)數(shù)”的值為

（）

A.0B.1C.0或1D.0或-1

7.已知育線x-叩”?-1=0恒過點(diǎn)P,則過點(diǎn)尸并與直線x-2y+4=0垂直的百線方程為

（）

A.2x+y-3=0B.2x+y+1=0

C.x—2y+\=0D.2x—y+3=0

亂已知‘一力+3=。，則（八-2『十/的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

9.已知直線小_歹+亞=o,則（）

A.’的傾斜角為三

B./在y軸上的截距為公

C.原點(diǎn)到/的距離為1

試卷第21頁，共33頁

D./與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2

10.一個盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品，大小質(zhì)地完全相同，若從

中隨機(jī)取出3支，則與事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的事件有()

A.取出的3支筆中，至少2支一等品B.取出的3支筆中，至多1支二等品

C.取出的3支筆中，既有一等品也有二等品D.取出的3支筆中，沒有二等品

11.已知向量［豆=(2,-1,~4”配=(4,2,0)，/=(T,2,-1”則下列說法正確的是

().

A.網(wǎng)=20B,而，"

C.萬是平面力3。的一個法向量D.萬上萬

三、填空題

12.過點(diǎn)尸(_2,1)且傾斜角為90。的直線方程為-

13.已知復(fù)數(shù)z=2+力i，且z.(l+2i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)力=.

14.小王逛書店，他買甲書和買乙書相互獨(dú)立，若小王買甲書不買乙書的概率為，，甲和

6

乙兩本書都買的概率為則小王買乙書的概率為.

四、解答題

15.已知V45c的三個頂點(diǎn)是力(4,0)，8(2,4)，C(0,3)-

試卷第31頁，共33頁

(3)若V"8c為銳角三角形，求華￡的范圍.

b

試卷第51頁，共33頁

【廣西南寧市第八中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期J甲學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

一題號12345678910

答案CI)CDBAA1)ABCABD

題號11

答案BCD

1.c

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】由，=(4T)與B=(2，用共線，則"=TX2,解得好一；

故選：C.

2.D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z，利用共規(guī)復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的概念判斷可得出合

適的選項(xiàng).

【詳解】?.?z=^=^^^=U=，+2i，則Z

1-i(l-i)(l+i)22222

故z的虛部為-3.

2

故選：D.

3.C

【分析】先由長方形的面積和為1求出再由第75百分位數(shù)的定義求解；

【詳解】因?yàn)?/10=1，所以a=0”

參賽成績位于［50,80)內(nèi)的頻率為10x(0.01+0.015+0,035)=0.6，

第75百分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，

設(shè)為80+y，則0.03歹=0.15，

解得),=5,即第75百分位數(shù)為85,

答案第11頁，共22頁

故選：C.

4.D

【分析】由扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長得與A"*/,求得""8’進(jìn)而由

h=病二7可求得圓錐的高.

【詳解】由圖知，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，圓錐底面圓的半徑為

設(shè)扇形半徑為則有四R=2w,解得*=8,因此圓錐的母線長為"=8,

2

所以圓錐的高〃==

故選：D

5.B

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的共離的向量求法計算可得結(jié)果.

【詳解】?=（-1，3,-3）,故網(wǎng)=加，

-PA,萬—2>/38

所以8""麗"而雙"一而，

設(shè)直線4與直線力8所成角為。，

則cosO^cos力，方卜嚕，可得sin。=

因此點(diǎn)P（2,7,2）到直線AB的距離為陽忖皿=Mx嚕=如?

故選：B.

6.A

答案第21頁，共22頁

【分析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€乙：(a-2)x+)，+l=0與直線/”2X-(。+1萬-2=0互相平行，

所以有("2)[-(〃+l)]=lx2且伍-2)(-2)Hlx2,

解得a=0，

故選：A

7.A

【分析】根據(jù)恒過定點(diǎn)化簡直線方程求出P(l,l)，再根據(jù)垂直關(guān)系求出所求直線的斜率，列

點(diǎn)斜式方程化簡即可.

【詳解】由工一加卜+小一1=0,Wx-1=w(y-l)?

直線x-my+〃?-1=0恒過點(diǎn)尸(1,1).

因?yàn)閤-2y+4=0的斜率為1

所以所求直線的斜率為-2，其方程為卜-1=-2(》-1),即2x+y-3=()，

故選：A.

8.D

【分析】(工-2『+/可以看作是點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(2,0)的距離的平方；已知x-2y+3=0,那

么點(diǎn)(XJ)在直線、-2>'+3=°上，所以求的最小值，就是求點(diǎn)(2，°)到直線

x-2j，+3=()的距離的平方.

【詳解】因?yàn)?X-2)2+)，2=Q(X-2)

答案第31頁，共22頁

所以問題可轉(zhuǎn)化為求直線x-2y+3=0上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(2,0)的距離的最小值，

故求點(diǎn)(2，°)到直線、一2尸3=0的距離即可，因?yàn)榫嚯x”[2”23|_后

V1+4

所以(X-2)2+『=Q(x-2)2+y[=(6)2=5.

故選：D.

9.ABC

【分析】選項(xiàng)A,利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系求解：選項(xiàng)B,利用直線的截距求解即;

選項(xiàng)C,利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；選項(xiàng)D,利用直線與坐標(biāo)軸的圍成面積求解即可.

【詳解】選項(xiàng)A：直線的頸斜角為二,斜率I,則Iana。由。.°，兀)得a=二，故

4

選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：令工=0,則了=正,則/在歹軸上的截距為近，故選項(xiàng)B正確：

選項(xiàng)C：原點(diǎn)到的距離為"二,故選項(xiàng)C正確;

選項(xiàng)D：’與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面枳為Ix&x收=1,故選項(xiàng)D錯誤.

2

故選：ABC.

10.ABD

【分析】根據(jù)互斥事件的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解

【詳解】對于A,事件”取出的3支筆中，至少2支一等品”包括2支一等品和1支二等品，

3支一等品兩種結(jié)果，與事件“取出1支-等品和2支二等品”不能同時發(fā)生，它們是互斥

事件，故A正確；

對于B,事件”取出的3支筆中，至多1支二等品”包括2支一等品和1支二等品，3支一

答案第41頁，共22頁

等品兩種結(jié)果，與事件”取出］支一等品和2支二等品”不能同時發(fā)生，它們是互斥事件，

故B正確：

對于C,事件“取出的3支筆中，既有一?等品也有二等品”包括1支一等品和2支二等品，

2支一等品和1支二等品兩種結(jié)果，與事件”取出1支一等品和2支二等品”可能同時發(fā)生，

它們不是互斥事件，故C不正確；

對于D,事件”取出的3支筆中，沒有二等品”指3支一等品，與事件“取出1支一等品和

2支二等品”不能同時發(fā)生，它們是互斥事件，故D正確；

故選：ABD

11.BCD

【分析】先求出而，再結(jié)合模的坐標(biāo)表示求解判斷A：先求出前，再根據(jù)空間向量數(shù)量

積的坐標(biāo)表示判斷B：根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷D；結(jié)合施,"，而j,亦即

可判斷C.

【詳解】對于A,因?yàn)榍?"-萬=(-3,3,3),所以網(wǎng)="3『+32+32=3性選項(xiàng)A

錯誤；

對于B,因?yàn)殂?刀—方=(2,3,4)，所以比./=-2+6-4=0，

則配選項(xiàng)已正確；

對于D,因?yàn)榉?_2-2+4=0，所以下_!_?，選項(xiàng)D正確?

對于C,因?yàn)樵赺L萬，而J.萬，BCC/1B=B，且8cM8u平面48C，

所以亦是平面力4C的一個法向量，選項(xiàng)C正確.

答案第51頁，共22頁

故選：BCD.

/

⑵x=-2x+2=0

【分析】根據(jù)直線的傾斜侑及其所過點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程.

【詳解】由于過P的直線傾斜角為90。，即直線垂直于％軸，所以其直線方程為

x=-2.

故答案為：x=-2,

13.1

【分析】由已知計算得z.(l+2i)=(2-26)+(4+6)i,結(jié)合已知可得［2-26=0,求解即可.

4+力區(qū)0

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=2+bi，所以z.(l+2i)=(2+/)i)(l+2i)=(2-2b)+(4+b)i，

又"+2i)為純虛數(shù)，所以12-26=0,解得b」

4+30

故答案為：「

14.2/0.75

4

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式列出方程組即可.

【詳解】設(shè)購買甲書的概率為購買乙書的概率為歹，

23

則由題意可得解得

1

故答案為不

答案第61頁，共22頁

15.⑴x+3y-9=0

【分析】（1）先求得＜8的中點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式求解：

（2）根據(jù)直線4C與直線8。垂直，求得直線8。的方程，然后聯(lián)立方程組求解.

【詳解】（1）"'中點(diǎn)為（工2）,由直線兩點(diǎn)式方程T=

2-33-0

故邊AB上的中線所在直線的一般式方程為x+3y-9=0.

（2）由題意知，左=上口=—3,則垂線'。的斜率女=-_L=±,

任4-04”kAC3

故直線的方程為尸二（x-4）,即3X+”T2=0,

4

直線8。的方程為…=-2）,即4、-3），+4=0,

聯(lián)立和50方程,3x+4jI2=。，解得垂足”4已］.

41-3)，+4=0155；

16.(1%=(2,2,0)或1=(-2,-2,0卜

（2）1

【分析】（1）根據(jù)條件可知，1二力而，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，結(jié)合模的公式，即可求解;

（2）根據(jù)三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用模長公式求邊長以及夾角，最后代入三角形面積公式，

即可求解.

【詳解】（1）由已知得荏=（0,2,1）=（1,1,0）?

因?yàn)?〃萬，所以可設(shè)0=2荏，

答案第71頁，共22頁

所以同=14|次|="卜＞/1+1+0=夜林|=2啦,解得“二口,

所以g=2AB=(2,2,0)或工=-2AB=(-2,-2,0)*

(2)由題可得場=0,0,_2)，C5=(2,l,-2)?

所以|3|=42+0+(-2)2=后,同=衣+1+(-2)2=3,

26

所以必/R回FD⑻\_二CA^C^B二_爾6二

可

又停，處［0,讓所以如河,聞=J1一混停,西=今

所以“叱的面積s」網(wǎng).同sin@,聞」x指x3x立="

2252

17.（1）p（x=o）=L,p（y=i）=H.（2）H

42448

【解析】直接利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式計算所求事件的概率值.

【詳解】解：（1）由題意可知尸（X=0）=（l_￡jx（lT）x（l—j=；,

P(X=l)=gx(l

（2）設(shè)丫表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，

則所求事件的概率為

p（r+z=i）=p（y=o,z=i）+p（y=i,z=o）=p（y=o）p（z=i）+p（r=i）p（z=o）

iiiiiiii

=-XX-=f

42424448

答案第81頁，共22頁

所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為U.

48

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，考杳計算能力，屬于中檔題.

18.⑴竭

⑵騫

【分析】（1）連接SM,作4C的中點(diǎn)M連接SN,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得SN

是三棱錐S_/8C的高，再應(yīng)用棱錐的體積公式求三棱錐M-BCS的體積；

（2）連接根據(jù)已知構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)注出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求相關(guān)平面的

法向量，再應(yīng)用向量法求夾角余弦值，進(jìn)而得到其正弦值.

【詳解】（1）如圖，連接SW,MC,作力C的中點(diǎn)M連接隴，

△S4C是邊長為4行的等邊三角形，N是力。的中點(diǎn)，所以SN=6，SN工AC，

平面S/1C1平面力C8,平面平面力C8=/C，SA，u平面S1C，

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知SN_L平面力4a所以SN是三棱錐s_48c的高，

由題意知：匕?仃=-^c=-x-x-x4x4^x6=8^?

2232

故三棱錐M-BCS的體積為86?

（2）連接在△力。中，4CJL8C，MN//BC所以力

答案第91頁，共22頁

結(jié)合（1）易知SMMN,彳。兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系N-kz，如圖,

???426,0,0),8卜26,4,0),S(0,0,6),C(-2>^,0,0),

...格12石,4,-6),SC=(-273,0,-6),5^=(2>/3,0,-6),

設(shè)心（不必當(dāng)），膜⑸%z?）分別是面4s反面CSB的法向量,

勺=(6,3,1)

%?SB--2\/3xl+4必-6Z]=0Z=1

7

則，則1

〃lSA-2x/3xt-6z)=0

n-SB=-2\/3X+4y2-6z=0zi==(-73,0,1)

222則‘'7

n.?SC--2\f3x2-6z,=0

所以〃一人=-2,同=而，同=2,

???成與第所成的角的余弦值為cos。=二==—姮.正弦值為=與區(qū)-

2V131313

故二面角/一SB-C的正弦值為嚕.

19.⑴/!=］；

⑵5

⑶（亭+；,0+2）.

【分析】（1）利用正弦定理及輔助角公式求解.

（2）由余弦定理得4=（b+c）2-3bc，結(jié)合V/AC的周長，求得慶=4,再求出三角形的面

答案第101頁，共22頁

積.

（3）由正弦定理得空上:sin-+sinC,結(jié)合銳角三角形的條件及三角函數(shù)性質(zhì)求出范圍.

bsinB

【詳解】（I）在V/IAC中，由H2-cos⑷=Wnsin3及正弦定理，得

b(2-cosA)=也bsinA'

^3W2=V3sin^+cosJ=2sin(J+—)?口flsin(4+，)=l,

66

k0加4<兀兀7%

而，即nil一<4+一<—'于是'+合,

666

所以

(2)由余弦定理/=b'+c2-2bccosA，得4=/>:+c2-he=(b+c)2-3bc，

由V”。周長為6,得〃+c=4,解得慶.=4,

所以V4'。的面積L^csin力。為4s