河北省滄州市獻縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.直線x+G）'+9=°的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】由于直線x+JJ），+9=0的斜率為-理，故該直線的傾斜角為150。.

故選：D.

2.已知向量麗=（4-41）,n=（2,14-22,-3）,若慶_L（慶+”），則4的值是（）

A.-2B.OC.ID.2

【答案】D

【解析】因為向量所=（九一41）,萬=（2,1+24—3）,

所以歷+”=（4+2,1+%—2）,

因為玩_L（玩+萬）,所以沆?（師+萬）=0,

即/1（/1+2）-4（丸+1）—2=0,解得;1=2,故D正確.

故選：D.

3.若直線工+期一加一2=0與直線奴+），一々-1二0平行，則實數(shù)4的值為（）

A.OB.IC.-1D.±1

【答案】B

【解析】由題意得，1x1-ax〃=O,解得々=±1,當(dāng)。=一1時，兩直線均為x-y=0

（重合），經(jīng)檢驗。=1滿足題意.

故選：B.

4.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若4+4=20,Sx=68,則數(shù)列｛q｝的公差為

（）

A.3B.-6C.-3D.6

【答案】A

［解析】因為4+4=2tz5=20,所以〃$=10，

又又==4（4+%）=68，所以。4+。5=17,

O2

所以4=7,所以公差d=%一4=-7=3.

故選:A.

5.已知定點A(a,O),3（—a,0）（aw0）,動點P滿足攵幺/秒=%(-1</l<0),則

動點尸的軌跡是(）

A.橢圓的一部分B.雙曲線的一支

C.拋物線的一部分D.直線

【答案】A

>,2

【解析】設(shè)P(x,y),因為的.如二士y=2（xw±a）,

x+ax2-a~2

所以），2=/1——4。2,即=+^1^=1（冗工±〃）,

cr-Aa~

因為一1<4<0,則

所以動點〃的軌跡是橢圓的一部分.

故選：A.

々3

6.在數(shù)列｛%｝中,%+i=3——?則〃2025=（）

an

115

A.-B.-6D.——

37

【答案】C

【解析】因為q=g,，二3一』

所以生—637

-62

3

891

同理，=~一,a=一

5,4873

所以數(shù)列｛%｝是以6為周期的周期數(shù)列,

7

所以4025=4x337+3=%=5

故選：C.

7.已知尸為橢圓U?+,=l的上焦點，M是橢圓。上一點，N為圓石:。-3)2+)，2=]

上一點，則+目的最大值為（）

A.V10-1B.1+V10

C.3+V10D.5+VTO

【答案】D

【解析】圓E:（x—3『+y2=i的圓心為E（3,0）,半徑r=1，設(shè)橢圓。的卜.焦點為耳，

如圖，山橢圓的定義知阿尸|+|"用=%=4,所以耳=4一|“用，

所以|四|+|除區(qū)|阿+r+4-|M凰=5+|ME|-|M區(qū)5+|班

當(dāng)且僅當(dāng)《，M，E三點共線，且點M在線段石耳的延長線上時取等號，

因為￡（3,0）,￡（0,-1）,所以|班|=可，故（|MN|+|MFk「5+Jid,

故選：D.

22

8.已知雙曲線￡：[—與=1（。>0,/?>0）的右焦點為尸，點A,〃是雙曲線上關(guān)于

a2b2

原點對稱的兩點，點A在第一象限，且以A3為直徑的圓經(jīng)過點/，直線"'交雙曲線于

另一點C,且彳e=4而，則雙曲線￡的離心率為（）

AMR而c拒D后

■D?lx?------U?

2323

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)雙曲線E的左焦點為尸，恒耳=根，連接4/‘，CP,BF,

r

Rij|FC|=3m,\AF\=2a+mf\CF]=2a+3mf\FF]=2cf

依題意，BF上AC,由雙曲線的對稱性知四邊形￡4/5為矩形,

在RtzMF'C中，由|4尸（+|ACf=|CF「，得（2々+加）2+（4⑼？=（2a+3M二,

化簡得"?=。，^\AF\=a,\AFr\=3a,

在RtAA/戶中，由+|4斤=忻戶『,

得（3〃）2+/=（2C）2,化簡得二=3,所以雙曲線E的離心率6=幽.

a222

(用㈤=60。，(/乃=60。，(n,p)=60°,

?BD=(麗+八+")?(比一萬)=/方2—萬2+用??一力?廣，

=32-22+3X4XCOS60C-2X4XCOS60°=7^0，故D錯誤.

故選：BC.

10.已知數(shù)列｛4｝,也｝滿足4=1,”向二喜7a=2,%=2b"_l,則下列說

法正確的是（）

A.」-為等差數(shù)列

B.｛2-1｝為等比數(shù)列

C.他｝的前〃項和為2"+〃-1

D.｛%?（〃-1）｝的最小侑為1

【答案】ABC

a”11

【解析】對于選項A,由于。向=丁七，所以——=一+3o,

3%+1%

11_I,1

即--------=3,且一二1,所以《一卜是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，故A正確;

aaaa

n+in\n

對于選項B,由%=2b,-1得%-1=2(〃-1),

b-1

又4—1=2-1=1=0,所以-^^=2，

。，一1

所以｛年一1｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；

對于選項C,由B知，勿-1=121=2'1,故勿=2'7+1,

得到作〃｝的前〃項和<=（2°+2i+…+2"-）+〃=2"+〃-1,故C正確;

對于選項D,由A知，—=1+3（A?-1）=3H-2,故％=—!—,

43〃-2

2〃

沿(h八2"?一3〃+1—2(3〃-2)

設(shè)…他T)=E令丁下「一市丁八

3n-2

解得〃>■!，故當(dāng)2時，c/l+l>cn,

3x1-23x2-22

所以｛《「（，-1）｝的最小值為g故D錯誤.

故選：ABC.

11.已知拋物線），=4』的焦點為尸，A,3是拋物線上兩動點，。為坐標原點，則下列

說法正確的有（）

A.拋物線的準線方程為了二-1

B.若|AE|+忸目=6,則線段A3的中點到X軸的距離為號

C.若直線A8經(jīng)過點尸，過A,8分別作拋物線的切線交于點尸，則

D.若直線AB與）'軸正半軸交于點M,在）'軸負半軸上存在點N,滿足|。徵=|。叫，

則ZANM=/BNM

【答案】BCD

【解析】對于A,拋物線的標準方程為丁號,

其準線方程為焦點故A錯誤;

16\loy

對于B,設(shè)A,8在準線上的投影分別為4,B[,4（卬y。,8a“2），

根據(jù)拋物線定義，*|AF|+|BF|=6,可得|例|+忸/=6,即乂+奈+必+七=6,

4747

所以乂+必二工，所以線段A3的中點到4軸的距離為”，故B正確;

816

對于C,設(shè)直線AB:y=fcr+-!-,與拋物線），=4/聯(lián)立，得4/一去；一_!_=0,

1616

1、,

所以司戈2=---，由于）=4r，所以弘=4年，

64

2

設(shè)拋物線y=4x在力(與,4*)處的切線AP的方程為)-4x；=kAP(x-x}),

22

代入y=4x,得4x-kAPx+kAPxx-4xf=0,

2

由△=0得出;2一163尸百+64x(=0,即怎0=8*,同理可得kBP=8X2,

(1、

所以3戶?須戶=8%-8占=64M%2=64X---=-l,所以故C正確;

I64；

對于D,設(shè)M(0,m)(m>0),則N(0,TW),直線=

k〃?

與拋物線y=4工2聯(lián)立，得4X2—米一m=0，所以玉+工2=］，玉/=一］

,.X+m%+"Z_WX+不丁2+6(百+工2)

&N+%=-----

4中2

乂X)'2+Wy=xy{kx2+帽)+毛(如+m^=2kxlx2+〃?(％+/)

_,(tn］kmk'

=2k------+〃？?一=------

I4j44

mkk

-----------\-m'—

所以心N+&N=-4-----=0,所以乙\NM=/BNM,故D正確.

〃：

~4

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若1,〃—4,4+2成等比數(shù)列，則。=.

【答案】2或7

【解析】由于1,a-4,。+2成等比數(shù)列，故(a—4)2=lx(〃+2),解得。=2或。=7.

13.已知空間四點0(0,0,0),A(血,2,2),網(wǎng)一石,0,0),C((),(),>/i0),則向量麗

在向量配上的投影向量的坐標為.

【答案】(60,2)

【解析】由題意得0(0,0,0),A(&,2,2,8(一底0,0),C(0,0,710),

則方:(022),5C=(V5,0,V10),|BC|=V15,

設(shè)兩向量所成的角為仇

則向炭方在向最肥上的投影向最為

BC_|力）反BC_OABC?前

Leos。

畫T1]闔.|明.同一國2

嗎黑醇(6。畫=("閭?

14.若關(guān)于x的方程+〃-1=0有兩個不相等的實根，則實數(shù)，〃的取值范

圍為.

【答案】卜拒一1,一2]

【解析】由X+A/4X-X2-3+m-\=0f可得x+m=\-\j4x-x2-3，

由＞'=1-y/4x-x2-3，得(X—2)2+(y—if=l(y＜1)?

因為關(guān)于x的方程x+“7二^+/〃_l=0有兩個不相等的實根

所以直線＞=x+m與曲線(大一2『+()，-1)2=1()，＜1)有2個公共點，

如圖，當(dāng)直線丁=工+相經(jīng)過點(3,1)時，m=1-3=—2,恰好有兩個交點；

2

3x

-1P//

當(dāng)機＞—2時，最多有一個交點，舍去；

當(dāng)直線丁=工+機與曲線(工一2)2+(丁-1)2=1()，＜1)相切時，

|2-1+/w|

得到不k，解得〃2=血一1(舍)，或〃1=-6-1，

由圖可知，當(dāng)直線x+m與曲線(x—2『+(y—l『二l(yWl)有2個公共點時，

實數(shù)”的取值范圍為卜3-1,-2]

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓G：(x+2『+(y—2『=4,點。為圓G上一動點，點。(。,一2),線段P2的

中點為丁，點了的軌跡為曲線

(1)求曲線G的方程；

(2)求曲線G與G的公共弦長.

解：(1)設(shè)pao，y。)，T(x,y)，因為丁為線段P。的中點,

X-。，

XQ=2x,

0(0,-2),所以，

jo=2y+2,

又因為點〃在圓G上，所以(%+2)2+(%—2)2=4,

所以(2x+2)2+(2)，+2-2丫=4,化簡得(x+l『+./=1,

所以曲線的方程為(x+l『+y2=l.

(2)0C.:(x+2)2+(y-2)2=40,圓C：(x+11+)，2=1②，

①一②得2x-4y+4=0,即公共弦所在的直線方程為x-2y+2=O,

而圓G的半徑為2,所以曲線G與G的公共弦長為2122—(逑］=逑.

5

VIJ5

16.如圖，在三棱錐夕一人"C中，平面平面46C,且4笈=24c=4,

兀

PA=PB=6NBAC=—.

2

(1)求點A到平面P8C的距離；

(2)求平面P3c與平面PAC夾角的余弦值.

解：(1)取A4的中點。.連接P。，因為24=依，所以P0_LA3,

由于平面943_1_平面ABC，平面PABc平面A5C=A3,POu平面

7T

所以PO_L平面ABC,又N84C=—,所以AC_LAB,

以。為坐標原點，以平行于AC的直線為)'軸，以03,。。所在直線分別為x軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為A3=4，PA=PB=6所以PO=1,

故A(-2,0,0),8(2,0,0),。(-2,2,0),P(0,0,l),

所以而=(一2,0,—1),K=(T,2,O),麗=(2,0,—1),

/??-BC=0

設(shè)平面P3C的法向量為慶=(N，y,zJ,則，

加?方=0

2y=0zx

'n，令％=1,得玩=(1,2,2),

2x1-zt=0

IPA-/nl1-2-214

所以點A到平面PBC的距離為一?

\fh\Vl+4+43

(2)由(1)知⑸=(一2,0,—1),AC=(O,2,O),

n-AC=0

設(shè)平面PAC的法向量為斤=(%,y2，zj，則，

萬?序=0

2)、—0/、

j,令々"得為=。,。,-2),

由(1)可知，平面P8C的一個法向量為沅=(1,2,2),

14

設(shè)平面PAC與平面PAC夾角為0,則cos0二I-!

網(wǎng)■同71+4+4x71+4

故平面PBC與平面PAC夾角的余弦值為

17.已知雙曲線。：￡一￡=1(。>0,b>0)的左、右焦點分別為上(-c,0),

a2b2

6(c,o),漸近線方程為y=±Gx,點K到漸近線的距離為6?

(1)求雙曲線C的方程:

(2)已知直線/經(jīng)過點4,且與雙曲線C相交于A3兩點，若△"A8的面積為3,求直

線/的方程.

解.：(1)由題意可得，-=A/3,

點6到漸近線的距離]=回=百，且a2+/=c.2,

2

解得a=l,/?=>/3?c=2>

所以雙曲線C的方程為9-f=1

3

(2)由題意可知，直線/的斜率不為0,

如圖，設(shè)直線/的方程為％=陽+2,4(月,yj,8(外，先)，

x=my+2,

2

聯(lián)立《,y_消去x,得（3/-1卜2+]2"少+9=0,

X丁1'

12m

yi+y=-..

3mz—1^0,A..ZM2-1tmi251m2-I

由△=1447*-36（3/解得“鼠人

9

3m-1

、23636（/n2+l）

所以（y-%『=（y+%-4%%=⑵〃

3療-1(3川—廣

所以SAB的面積s=s,呻「S.F2=5內(nèi)用?E_y2|，

6\/m2+112ylm2+1

=—x4x

23m2-\\~|3^?2-1|'

12j〃P+i

由△片A3的面積為3,得=3,整理得9，/一22〃?2一15=0,

3〃/一1

解得nr=3，所以m—±,

月〒以直線/的方程為尤+8丁一2=0或“一6y-2=0.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，對任意正整數(shù)〃，滿足2'=(〃+2)(q-1).

(1)令a=&,求4;

〃+1

(2)求數(shù)列《云的前"項和7；.

解：(1)由題意得2s,=(72+2)3-1),2sl=(〃+3)(%-1),

兩式相減得,2a?+1=(n+3)a/H,I-(n+2)aM-l,即(〃+1應(yīng)川=(〃+2)勺+1.

4用_q1

此時,即1_4“，11

〃+2n+\(〃+1)(〃+2)〃+2〃+1/1+1〃+2

所以%=2+充-為

11,11

所以2=/?.+--------1---------1-----1------------=/?.H------------

'2334n72+112n+\

31

又〃=1時，〃]=3(q-1),解得q=3,故所以而

(2)由(1)可得，b=-^-=2一——所以見=2/74-1,

n+\〃+1

人an2n+\ET357In+1

令1二刀=一^，則1=3+于'+禾〒①，

a=3+4+???+2/7+1

2222-22n+,

①一②得《［=31112//+1

—+—+—

2(2222〃-12〃+i

3(12〃+152〃+52〃+5

=-+H1,所以(=5

2〃-i2"+i2T

19.已知橢圓「:=+y1(a>b>0)的右焦點為尸，過點尸作與X軸垂直的直線交橢

圓「于A,8兩點，|4可=3,且橢圓「經(jīng)過點E

(1)求橢圓「的方程;

(2)若C。分別是橢圓「的左、右頂點，過點尸且斜率不為0的直線交橢圓「于M,

N兩點，直線CM與直線ON交于點尸.記CM,PF,ON的斜率分別為尤，Q

匕+2人

勺，證明：i為定值.

(1)解：因為過點尸作與X軸垂直的直線交橢圓「于A,B兩點,

所以設(shè)A(c,y)(y>。)，B(C,一)，