11.2解一元一次方程

夯基礎(chǔ)

題型一合并同類項與移項解一元一次方程

(24-25七年級上?江蘇淮安?期中)

1.解方程：

(l)3x+l=4

(2)3-x=4-3x

2.解方程：

(l)3x=x-4；

⑵31=2.

3.解方程：

(I)-2=5x-3；

⑵x-7+8x=9x-3-4%.

4.解方程：

(1)5x-2=7x+8：

(2)2.4x-9.8-1.4x-9；

(3)-5x+6+7x=1+2x-34-8x.

題型二去括號解一元一次方程

5.解下列方程：

(])6=5,v-2(y+4)；

(2)5(m+8)-6(2/W-7)=l:

(3)5(.V+2)=2(2A+7).

(4)3(2y+l)=2(l+j，)+3()，+3).

6.解下列方程：

⑴2(3x-4)+7(4-x)=4x：

(2)5(y+8)_5=6(2y_7)；

⑶581)+4(2/-5)=1；

(4)2(/〃+I)-60n—2)=-2.

試卷第1頁，共4頁

7.解方程：

(l)3(3x+5)=2(2x-l)；

(2)2X-3(20-X)=0；

(3)5(X+8)-5=6(2x-7)；

(4)2(r-2)-3(4r-1)=9(1-1-).

題型三去分母解一元一次方程

8.解下列方程：

x-\x+24-x

(Z4X6~=^r

X,0.21-0.2A=1

''0.60.04

9.解方程：

4.Y-1.63x-5.4_l.8-x

0.50.2-0.1；

4x-1.5_5x-0.8二上1

/0.50.20.1

(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中)

10.解方程:

(1)5x-9=-3(x-3)

題型四一元一次方程解的綜合應(yīng)用

(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中)

11.如果方程三一二2+三」的解與方程3.”(3“+l)=x+(2"l)的解相同，求字母。的值.

34

(24-25七年級上?安徽合肥?期中)

12.若(m-4)/147一4〃?=0是關(guān)于工的一元一次方程.

(1)求小的值；

(2)若該方程與關(guān)于x的方程6-2%=2(》+3)的解相同，求〃的值.

(23-24七年級上?江蘇蘇州?期中)

13.已知關(guān)于x的方程4x+2加+l=2x+5,若該方程的解與方程5x+l=2x-5的解互為相

試卷第2頁，共4頁

反數(shù)，求加的值.

(24?25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中)

14.我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程。+工=伙〃工0)的解為4則稱該方程為“乘解

方程”.

例知：2+x=-2的解為4,

且x=2x(—2)=-4所以，方程2+x=—2是“乘解方程”，

請回答下列問題，

(I)判斷4+x=7是不是“乘解方程”，并說明理由；

(2)若關(guān)于x的一元一次方程5+x=。-3是“乘解方程”，求。的值.

提能力

(24-25七年級上?廣東韶關(guān)?期中)

15.已知數(shù)軸上A,B,C三點對應(yīng)的數(shù)分別為-2、1、5,點P為數(shù)軸上任意一點，其對

應(yīng)的數(shù)為X.點A與點尸之間的距離表示為點3與點尸之間的距離表示為

(1)若力。=8尸，則工=；

(2)若4P+B尸=8,求x的值；

(3)若點尸從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運(yùn)動，點A以每秒1個單位的速度向左

運(yùn)動，點;8以每秒3個單位的速度向右運(yùn)動，三點同時出發(fā).運(yùn)動過程中，當(dāng)其中一個點與

另外兩個點的距離相等時，求這時三個點表示的數(shù)各是多少？

(23-24七年級上?四川德陽?期末)

16.若一個三位正整數(shù)/的前兩位數(shù)字相同且各位數(shù)字均不為0,則稱這個數(shù)為“前介數(shù)”；

若把這個數(shù)的個位數(shù)字放到前兩位數(shù)字組成的數(shù)的前面組成一個新的三位數(shù)，則稱這個新的

三位數(shù)為“后介數(shù)”；記一個“前介數(shù)”/與它的“后介數(shù)”的差為*/).例如，551前兩位數(shù)字

相同，所以551為“前介數(shù)”；則155就為它的“后介數(shù)”，P(551)=551-155=396.

(1)夕。13)=,0(882)=；(將解答過程寫H)

⑵對于任意一個“前介數(shù)％P")一定能被整除：(將正確的答案序號寫在橫線上，將

試卷第3頁，共4頁

1.(l).r=l

⑵x=g

【分析】本題考查了解一元一次方程：

(1)先移項，然后化系數(shù)為1,即可求解.

(2)根據(jù)移項，合并同類項得，化系數(shù)為1的步驟解一元一次方程，即可求解.

【詳解】(1)解：3x+l=4

移項得，3x=3

化系數(shù)為1,x=\

(2)解：3-x=4-3x

移項得，-x+3x=4-3

合并同類項得，2x=1

化系數(shù)為1,x=1

2.(l)x=-2

(2)x=l

【分析】本題主要考查解一元一次方程，掌握其計算方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)移項，合并同類項，系數(shù)化為1，進(jìn)行計算即可求解；

(2)根據(jù)移項，合并同類項，系數(shù)化為1,進(jìn)行計算即可求解.

【詳解】⑴解:3x=x-4

移項，得3x-x=-4,

合并同類項，得2工=-4,

方程的兩邊都除以2,得x=-2：

(2)解：31=2

移項，得3x=2+l,

合并同類項，得3x=3,

方程的兩邊都除以3,得工=1.

3.⑴馬

(2)x=l

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法和

步驟.

答案第1頁，共15頁

(1)根據(jù)移項，合并同類項，化系數(shù)為1的步驟求解即可；

(2)根據(jù)移項，合并同類項，化系數(shù)為1的步驟求解即可.

【詳解】⑴解：3x-2=5x-3,

移項，得3x-5x=-3+2.

合并同類項，得-2x=-l.

方程的兩邊都除以-2,得x=

(2)解：x-7+8x=9x-3-4x,

移項，得x+8x-9x+4x=-3+7.

合并同類項，得4x=4.

方程的兩邊都除以4,得工=1.

4.(l).r=-5

(2)x=0.8

(3)x=l

【分析】本題主要考查解一元一次方程，掌握移項、合并同類項，系數(shù)化為1的方法是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)移項，合并同類項，系數(shù)化為I的方法計算即可求解；

(2)根據(jù)移項，合并同類項，系數(shù)化為1的方法計算即可求解；

(3)根據(jù)移項，合并同類項，系數(shù)化為1的方法計算即可求解.

【詳解】(1)解：5x-2=7x+8

移項，得5x-7x=8+2,

合并同類項，得-2x=10,

方程的兩邊都除以-2,得x=-5；

(2)解：2.4X-9.8=1.4A-9

移項，^2.4x-1.4x=-9+9.8

合并同類項，得x=0.8；

(3)解：-5x+6+7x=l+2x-3+8x

移項，得一5x+7x-2x-81二1一3—6,

合并同類項，得-8/=-8,

方程的兩邊都除以-8,得x=L

答案第2頁，共15頁

5.(0>,=y

81

⑵，〃=亍

⑶X=4；

(4)y=8.

【分析】此題考查了一元一次方程的求解能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序并進(jìn)行正確地計

算.

(1)去括號、移項、合產(chǎn)同類項、系數(shù)化為1進(jìn)行求解.

(2)去括號、移項、合尹同類項、系數(shù)化為1進(jìn)行求解

(3)去括號、移項、合尹同類項即可得解;

(4)去括號、移項、合尹同類項即可得解;

【詳解】(1)解：去括號，得6=5y-2y-8,

移項，得-5?+2P=-8-6,

合并同類項，得-3?=-14,

系數(shù)化為I,得丁二弓；

(2)解：去括號，得5m+40-⑵?+42=1,

移項，得5〃?-⑵〃=1-40-42,

合并同類項，得---81,

Q1

系數(shù)化為1,得m吟;

(3)解:去括號，得5x+10=4x+14,

移項，得5x-4x=14-10,

合并同類項，得x=4；

(4)解：去括號，得6)，-3=2+2)，+3)，+9,

移項，得6)，一2)，-37=2+9—3,

合并同類項，得J，=8.

6.⑴x=4；

(2)y=ll；

(3)y2；

(4)m=4.

答案第3頁，共15頁

【分析】(1)按照去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1的步驟解方程即可.

(2)按照去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1的步驟解方程即司;

(3)按照去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1的步驟解方程即可.

(4)按照去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1的步驟解方程即可.

本題考查解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(I)解：原方程去括號得：6x-8+28-7x=4.x,

移項，合并同類項得：-5工=-20,

系數(shù)化為1得：x=4：

(2)解：原方程去括號得：5^+40-5=12^-42,

移項，合并同類項得：-川=-77,

系數(shù)化為1得：y=u；

(3)解：原方程去括號得：5-5+8-20=1.

移項，合并同類項得：13；=26,

系數(shù)化為1得：/=2；

(4)解：原方程去括號得：2w+2-6/w+12=-2,

移項，合并同類項得：-4/?=-16,

系數(shù)化為1得：，〃=4.

7.(l)x=-3.4

(2)x=12

(3)x=ll

(4)x=-IO

【分析】本題考查了解一元一次方程，去括號時要注意符號問題，解題的關(guān)鍵是掌握解一元

一次方程的步驟.

(1)根據(jù)去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,可得方程的解：

(2)根據(jù)去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,可得方程的解；

(3)根據(jù)去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,可得方程的解；

(4)根據(jù)去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,可得方程的解；

【詳解】(1)解：3(3.r+5)=2(2x-l),

去括號,得9x+15=4x-2,

答案第4頁，共15頁

移項，得9x-4x=-15-2,

合并同類項，得5x=-17,

把系數(shù)化為1，得x=-3.4；

（2）解：2x-3（20-x）=0,

去括號，得2x-60+3x=0,

不多項，得2x+3x=60,

合并同類項，得5x=60,

把系數(shù)化為1,得x=12；

（3）解：5（x+8）-5=6（2x-7）,

去括號，得5x+40—5=12x—42.

移項，得5x-12x=-42-40+5.

合并同類項，得-7x=-77.

系數(shù)化為1,得x=ll；

（4）解：2（x-2）-3（4x-l）=9（l-x）,

去括號，得2x-4-12x+3=9-9x.

移項，得2x-12x+9x=9+4-3.

合并同類項，得-x-10.

系數(shù)化為1,得x=-10.

8.⑴x=4

⑵Y

【分析】本題考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵.

（1）依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1,即可解方程；

（2）依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1,即可解方程.

【詳解】（1）解：手=異，

362

去分母，得2（%-l）-（x+2）=3（4r）,

去括號，得2x-2-x-2=12-3x,

移項，得2x-x+3x=2+2+12,

合并同類項，得4x=16.

答案第5頁，共15頁

系數(shù)化為1,得》=4；

x0.21-0.2J,

(2)解:--------------=1

0.60.04

工口一TIALK21-20x.

原方程/可化IO為丁丁"

去分母，得20x-3(21-20x)=12,

去括號，得20x-63+60x=12,

移項、合并同類項，得80x=75

系數(shù)化為I,得工二整.

16

29

9.d)x=--;

(2)X=-y.

【分析】此題考查了解一元一次方程：去分母，去括號，移項合并，將未知數(shù)系數(shù)化為1.

（1）方程變形后，去括號，移項合并，將X系數(shù)化為1，即可求出解:

（2）方程去分母，去括號，移項合并，將X系數(shù)化為1,即可求出解.

41.63x-5.41.8-x

【詳解】⑴解:-^50.2~0.1

去分母，得2（4r-1.6）-5（3x-5.4）=10（1.8T）,

去括號，得8x-3.2-15x+27=18-10x,

移項、合并同類項，得3x=-5.8,

系數(shù)化為1，得?3—記；

41.55D.81.2-x

(2)解:

~()50.2~0.1

整理得8x—3—(25x-4)=12-l()x,

去括號，得8x—3-25%+4=12-10x,

移項合并，得-7x=ll,

將入?系數(shù)化為1,得工=-?.

9

10.（I）'

（2）x=5

【分析】（1）按照解一元一次方程的步驟解答即可;

（2）按照解一元一次方程的步驟解答即可；

答案第6頁，共15頁

本題考查了解?元一次方程，掌握解?元?次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：去括號得,5x-9=-3x+9,

移項得，5x+3x=9+9,

合并同類項得，8x=18,

系數(shù)化為1得，x=

4

(2)解：去分母得，3(3x-l)-6=2(5x-7),

去括號得,9X-3-6=10A-14,

移項得，9J-I0X=-I4+3+6,

合并同類項得，-x=-5,

系數(shù)化為1得，X=5.

11.a=2

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題型，正確理解題意、熟練掌握一

元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

先解方程求出工，然后把求出的方程的解代入3xT3a+l)=x+(2"-1),再解關(guān)于。的方程求

出。即可.

【詳解】解：對方程?=2+'，

34

去分母得4(x+7)=24+3(3x—7),

去括號得4x+28=24+9x-21,

移項、合并同類項得25=5工，

系數(shù)化為1得x=5；

把x=5代入3x-(3a+l)=x+(2a-l),得15—(30+1)=5+(2。-1),

解得：a=2.

12.(1)///=-4

⑵k=-2

【分析】本題主要考查的是一元一次方程的定義、一元一次方程的解的定義，解一元一次方

程，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)依據(jù)一元一次方程的定義可得到2舊|-7=1,且〃.4。0,然后求解即可；

(2)由(1)可得方程為-8x+16=0,即可求出它的解，將該解代入方程6-2攵=2(x+3)

答案第7頁，共15頁

即可解答.

【詳解】（1）解：???（〃L4）/47—4m=0是關(guān)于x的一元一次方程

2|/n|-7=l

m-4Ho

m=±4

解得：

mh4

m=-4

（2）解：由（I）得，方程為：-8x+16=0,

解得：x=2,

;該方程與關(guān)于x的方程6-2&=2（x+3）的解相同,

/.6-2^=2x(2+3),

解得：k=-2.

13.m的值為0

【分析】本題主要考查了解一元一次方程,相反數(shù)的定義，先解方程51+1=2%-5得出工=-2,

得出方程4x+2〃?+l=2x4-5的解為戈=2,把x=2代入4x+2〃?+l=2》+5解關(guān)于m的方程

即可.

【詳解】解：5x+1-2x-5,

解得：x=-2,

?.?方程4x+2加+l=2x+5的解為x=2與方程5x+l=2x-5的解互為相反數(shù),

二方程4工+2m+1=2x+5的解為x=2,

把x=2代入方程4x+2〃?+l=2x+5,得:

8+2w+1=4+5,

解得：///=0.

故機(jī)的值為0.

14.（1）不是“乘解方程”，理由見解析

⑵。的值為:

【分析】本題主要考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)“乘解方程”的概念直接進(jìn)行判斷即可;

答案第8頁，共15頁

(2)根據(jù)“乘解方程”的概念，列出關(guān)于的?元?次方程，然后解方程即可.

【詳解】(1)不是“乘解方程”，

4+x=7,

解得：”3工4x7=28,

二方程4+x=7不是“乘解方程”；

(2)由5+x=。-3解得：x=a-8.

???關(guān)于x的一元一次方程5+x=。-3是“乘解方程”

.-.X=5(tf-3)=6/-8,

7

解得："=：，

4

”的值為

4

15.(1)-1

(2)、的值為39或：7

213

(3)這時點尸、A、6表示的數(shù)各是5，-2-,匕或13,-6,13

555

【分析】本題考查了數(shù)軸在有理數(shù)加減運(yùn)算中的簡單應(yīng)月，數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)

健.

(1)可得點尸為/〃的中點，即可解答；

(2)分三種情況，點?在點A左側(cè)，點2在點8右側(cè)，點?在點A、8之間，列方程即可

解答；

(3)分三種情況，BA=BP,點8在尸左側(cè)；AB=AP?^B、P相遇；PA=PB,點B追

上點尸，在點尸右側(cè)，列方程即可解答.

【詳解】(1)解：當(dāng)力尸=4尸時，可得點P為的中點，

故答案為：-5；

(2)解：???4P+8P=8

分3種情況

①若點P在點A左側(cè)

?..力P+8P=8

答案第9頁，共15頁

.*?-2-x+1-x=89

9

:.x=—,

2

②若點P在點8右側(cè)

?：4P+BP=8

x+2+x-l=8,

7

/.x=—

2

③若點P在點A、A之間

,:48=4

???力2+8尸=4

這與題目條件4P+80=8矛盾

???綜上所述x的值為或;.

(3)解：設(shè)移動的時間為f秒，

則動點乙A,8對應(yīng)的數(shù)分別為5+2/,-2-t,1+3/,

分三種情況：

①ZM=4P,點4在P左側(cè)

1+3t-(—2—f)=5+2r—(1+37),

1

此時，點。表示的數(shù)為5+2X：=5(,

點A表示的數(shù)為-2-g=-2g,

13

點〃表示的數(shù)為1+3X/=R.

②4B=4P,點、B、Q相遇

?.l+3/-(-2-/)=5+2z-(-2-z),

.,.1=4,

此時，點尸表示的數(shù)為：5+2x4=13,

點A表示的數(shù)為：-2-4=-6,

點〃表示的數(shù)為：1+3x4=13.

③P4=PB,點、B追上也P,在點P右側(cè)

答案第10頁，共15頁

5+2z-(-2-/)=l+3z-(5+2/),

???Z=-4（舍去）；

綜上所述，當(dāng)其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時點A、4表示的數(shù)各是

213

5—,—2—,1二或13,5,13.

555

16.（1）-198；594

⑵③④

（3）/〃=221,331,441,771

【分析】（1）根據(jù)題干給出的定義進(jìn)行求解即可；

⑵設(shè)“前介數(shù)”為"嬴，根據(jù)定義得到P（/）=Z7-嬴;=9x11（4-6）,說明P”）一定能

被9或11整除；

（3）設(shè)“前介數(shù)"為/%=aal=100〃+10〃+1=110a+1.根據(jù)題意求出

P（w）=aal-laa=99a-99,解關(guān)于y的方程一（m-l）y=6+婢（川）+100y,得出y=—

11a-\

根據(jù)關(guān)于y的方程有整數(shù)解，得出。=2,3,4,7,最后寫出/〃的值即可.

【詳解】（1）解：P（113）=113-311=-198,

0（882）=882-288=594；

故答案為：-198；594.

（2）解：設(shè)“前介數(shù)”為/=嬴且1QW9

Z=100a+10。+5=110a+6,

，對應(yīng)的“后介數(shù)”是baa=\00b+\0a+a=\00b+11。，

P（t）=aab-baa

=110〃+/〉-（100/）+11。）

=11Of/+/>-100b-1\a

=99a—99b

=99（6/-Z>）

=9x11（。一b）,

%、b均不為0的整數(shù),

答案第11頁，共15頁

.??9(。叫,為整數(shù),

???尸⑺一定能被9整除或被11整除；

故答案為：③④.

(3)解：設(shè)“前介數(shù)”為防=荷=1()()4+1()4+1=11()4+1，?為不為0的整數(shù)，

則m對應(yīng)的“后介數(shù)”是防=100+10a+a=100+1la，

P(〃i)=aal-laa

=ll()a+l-100—lla

=99a-99,

二關(guān)于y的方程與(〃-1)廣6+yP(〃[)+1()0y可以變?yōu)?

jy(l1067+1-l)y=6+(99d-99)y+100^,

整理得：(〃—i)y=6,

解得：，=々，

a-\

???關(guān)于y的方程有整數(shù)解,

.,?。=2,3,4,7,

當(dāng)。=2時，w=221,

當(dāng)。=3時，加=331,

當(dāng)a=4時，tn=441,

當(dāng)a=7時,〃=777,

綜上分析可知，加=221,331,441,771.

【點睛】本題考查用新定義解題，整式加減的應(yīng)用，解方程，有理數(shù)四則混合運(yùn)算，根據(jù)新

定義，表示出“前介數(shù)”，與其對應(yīng)的“后介數(shù)”是求解本題的關(guān)鍵.

17.(1)不是

喈

(3)a=16=2

(4)-12

【分析】(1)解得x=2,由“天心方程”的定義得2-4=-2工2,即可求解；

答案第12頁，共15頁

(2)解得丫=；,由“天心方程”的定義得4-。==,即可求解：

44

(3)解得：工=笠^,由“天心方程”的定義得及方程的解為x得巴言=。和

3-(。+。3=〃，解方程組，即可求解；

19

(4)由“天心方程”得3〃?-〃〃7=不，mn-2n=--,從而可得3〃?-2〃=-4,

22

=1小〃=-三9+2〃，將此代入代數(shù)式得化簡即可求解.

【詳解】(1)解：2x=4,

解得：x=2,

???2-4=-2工2,

2x=4不是天心方程，

故答案：不是；

(2)解：由4x=c解得x,

4

「一元一次方程4x=c是“天心方程”，

.c

4-c=—,

4

解得：c弋，

故答案：—;

(3)解：由3工=4+砧(0工0)解得：

a+ab

3J

方程的解為x=。，

???一元一次方程3x=Q+。0)是“天心方程”，

:.3-(a+ab)=a②，

=3

聯(lián)立①②，解得"

b=2

3

故"二，b=2；

4

(4)解：???一元一次方程x=3〃?-m〃是“天心方程”,

答案第13頁，共15頁

l-(3m—mn)=(3m-mn),

、1z-X

5m-mn=—Qlj,

2

關(guān)于y的一元一次方程-3y=mn