實(shí)數(shù)?單元測試（提升卷）

建議用時：120分鐘,滿分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中屬于無理數(shù)的是（）

22

A.3B.—C.y/5D.0.3

【考點(diǎn)】無理數(shù)：算術(shù)平方根

【分析】無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

22

【解析】解?：3是整數(shù)，亍是分?jǐn)?shù)，0.3是無限循環(huán)小數(shù)，它們不是無理數(shù)，

病是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考杳無理數(shù).熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

2.估計(jì)舊的值在哪兩個整數(shù)之間（）

A.2和3B.3和4C.4和5D.5和6

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)VT7的大小即可.

【解析】解：:力石vg<宿，即4Vg<5,

???47的值在4和5之間，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考兗估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的關(guān)鍵.

3.關(guān)于同的敘述錯誤的是（）

A.面積為13的正方形的邊長是

B.在數(shù)軸上可以找到表示的點(diǎn)

c.g的相反數(shù)是一屆

D.g的小數(shù)部分是VH-4

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大??；實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】4根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可；

B.根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示任意實(shí)數(shù)，進(jìn)行判斷即可；

C.根據(jù)化為相反數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可：

D.先估算的大小，求出其整數(shù)部分和小數(shù)部分，進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：力.???面積為13的正方形的邊長是vn,???此選項(xiàng)的敘述正確，故此選項(xiàng)不符合題意;

B.???在數(shù)軸上可以找到表示m的點(diǎn)，，此選項(xiàng)的敘述正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

c.???舊的相反數(shù)是一屆，???此選項(xiàng)的敘述正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.???3vVT^V4,??.g的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是VH-3,??.此選項(xiàng)的敘述錯誤，故此選項(xiàng)符合題

意；

故選：

【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)的估算和實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根的定義、化為相

反數(shù)的定義和如何估算無理數(shù)的大小.

4.如圖，正方形X8CO的面積為3,頂點(diǎn)4在數(shù)軸上，且點(diǎn)力表示的數(shù)為2,數(shù)軸上有一點(diǎn)￡在點(diǎn)力的左

側(cè)，若AD=AE,則點(diǎn)后表示的數(shù)為（）

【分析】先根據(jù)正方形的面積公式求出力。，從而求出/E,最后再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)E

表示的數(shù)即可.

【解析】解：???正方形［8。的面積為3,

.\AD=

*：AD=AE,

：.AE=V3,

???點(diǎn)/坐標(biāo)為2,

???點(diǎn)七表示的數(shù)為：2-V3,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式.

5.實(shí)數(shù)”，人在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

ab

-4-3-2-101234

A.\a\>3B.b-a>0C.ab>0D.b+a<0

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸：絕對值

【分析】觀察數(shù)軸可知：?3V〃<-2,3<b<4,然后根據(jù)有理數(shù)的加減乘除法則對各個選項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)

行判斷即可.

【解析】解：觀察數(shù)軸可知：-3VaV-2,3V6V4,

|a|<3,b-a>0,ab<0,b+a<Otb+a>0,

???力、C、。選項(xiàng)錯誤，8選項(xiàng)正確，

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是數(shù)量掌握有理數(shù)的加減乘除法則.

6.已知，〃=8x（我一鳥，則實(shí)數(shù)加的范圍是（）

A.0<?H<1B.1</?<2C.2<w<3D.3<w<4

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【分析】計(jì)算，〃=Kx（四一當(dāng)=述一1,估算出通的范圍求解即可.

［解析］解：用=x（V2—4）=V3xV2—V3x哼=v6—1,

V4<6<9,

.\2<V6<3,

1<V6-1<2,

即1V〃7V2,

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考杳了無理數(shù)的估算，掌握常見無理數(shù)的近似值是解題的關(guān)鍵.

7.若一102.01=10.1,則一右0201=（）

A.0.101B.1.01C.101D.1010

【考點(diǎn)】算術(shù)平方根

1

【分析】將1.0201變形為102.01x面的形式，再利用算術(shù)平方根的意義解答即可.

【解析】解：V1.0201=102.01=xV102.01=1.01.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)力表示的數(shù)為2,點(diǎn)4表示的數(shù)為3,以/也為邊在數(shù)軸上方作一個正方形4?。。，以4

為圓心，4。為半徑作圓與數(shù)軸交于E,尸兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè)），若點(diǎn)E,廠表示的數(shù)分別是a,b,

則Q—應(yīng)7）的侑是（）

【分析】根據(jù)一VS=口結(jié)合已知條件可得疹*=廠因F，則x-4=-（2什1）,解方程求出x

的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案.

【解析】解：VVFr4+V2xTT=0,

?**Vx-4=—（2x+1）?

Ax-4=-（2r+l）,

解得x=l,

/.X2+X+2=4,

AX2+X+2的算術(shù)平方根為2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

3

11.寫出一個比弓大的無理數(shù)VI（答案不唯一）.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較；無理數(shù)

【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念和實(shí)數(shù)的大小比較方法即可求解.

【解析】解：根據(jù)題意可以是、巧，

故答案為：V3（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較和無理數(shù)的概念，能熟記實(shí)數(shù)的大小比較方法和無理數(shù)的概念是解

題的關(guān)鍵.

12.如圖，正方形。18c和正方形OQEF的面積分別是7和9,以原點(diǎn)。為圓心，OA,為半徑畫弧，

與數(shù)軸交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)在數(shù)地上對應(yīng)的數(shù)字分別為。、力，則力-”=_上-77_.

E

—2—1012ab

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】已知正方形。力4c和正方形/的面積分別是7和9,可得。力、OD的長，即如6的值,

可求得6-。的值.

【解析】解：???正方形O48C和正方形。。切的面積分別是7和9,

：?0A=近,00=3,

:?b-a=3-四,

故答案為：3一夕.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)地，關(guān)鍵是正確計(jì)算.

13.如圖，點(diǎn)力是硬幣圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)4與數(shù)2所對應(yīng)的點(diǎn)重合.假設(shè)硬幣的直徑為1個單位長度，若將

硬幣按如圖所示的方向滾動（無滑動）一圈，點(diǎn)力恰好與數(shù)軸上點(diǎn)4重合,則點(diǎn)⑷對應(yīng)的實(shí)數(shù)是一H±2_.

【分析】根據(jù)題意得到硬幣的周長，再結(jié)合數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解，即可解題.

【解析】解：???硬幣的直徑為1個單位長度，點(diǎn)4為2,

???硬幣的周長=nXl=m點(diǎn)/對應(yīng)的實(shí)數(shù)是?n+2,

故答案為：-IT+2.

【點(diǎn)評】本題考杳了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，求出硬幣的周長是解題的關(guān)鍵.

14.若|a|=遍，則一各小―2的相反數(shù)是2.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)

【分析】根據(jù)所給條件，求出『的值，代入所求式子即可求解.

【解析】解：?；同=V6>

a2=6>

—2=-76—2=—2,

-2的相反數(shù)是2.

故本題的答案是2.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)相反數(shù)的意義，實(shí)數(shù)相反數(shù)的意義與有理數(shù)相反數(shù)的意義相同，在一個數(shù)前面

放上“-就是該數(shù)的相反數(shù).本題的關(guān)鍵是求出代數(shù)式的值.

jL第一次

15.任何實(shí)數(shù)a,可用⑷表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4,[6]=1,現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作：72->

（_第二次「第三次「

[V72]=8->[V8]=2t[V2]=l,這樣對72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?.類似地，對81只需進(jìn)行3

次操作后變?yōu)?，那么只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255.

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【分析】根據(jù)⑷表示不超過〃的最大整數(shù)，對81只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?,由此分別對82,182,

255,282進(jìn)行操作，可得到只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的整數(shù)

【解析】解：[質(zhì)]=9,[眄]=3,[遍]=1.[短]=9,[㈣=3,[百]=1；[屁]=13,[房]=3

,[V3]=l；[V255]=15,[V15]=3,[\/3]=1；[V282]=16,[V16]=4,[V4]=2,[\^2]=1：

???只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)，算術(shù)平方根是16時就需要四次操作，取整數(shù)，

，最大的數(shù)是255.

故答案為:255.

【點(diǎn)評】本題考杳取整函數(shù)及估算無理數(shù)的大小，正確理解取整含義是求解本題的關(guān)鍵.

16.已知，a,〃是正整數(shù).

（1）若J1是整數(shù)，則滿足條件的。的值為：

（2）若J1+4是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)對（。，b）為（3,7）或（12,28）.

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【分析】（1）依據(jù)J1是整數(shù)，可得?=1，即可得出滿足條件的a的值為3：

（2）依據(jù)若J|+4是整數(shù),分兩種情況即可得出滿足條件的有序數(shù)對（a,b）為（3,7）或（12,

28）.

【解析】解：⑴若J1是整數(shù)，則;二1，

???滿足條件的。的值為3,

故答案為：3；

（2）若J|+是整數(shù)，則

①當(dāng)。=3,6=7時，J|+J|=V1+V1=2；

②設(shè)〃=3X〃2,則4=：,

.[L=—

,?辰nf

.7=（n-lf

7n2

：,h=（n-1）2,

??7是正整數(shù)，

，（/?-I）2=1,即〃=2,

.?.當(dāng)a=12,*=28Bt,J|+后層+居=聆+聆=1,

滿足條件的有序數(shù)對（。，b）為：（3,7）或（12,28）,

故答案為：（3,7）或（12,28）.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的運(yùn)算，估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，分情況討論是解決

第（2）問的難點(diǎn).

三、解答題（共8小題，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分）

17.把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：-0.82,-3o1,3.14,-2,65%,-2023,1.101（）010001…（每兩個1

3兀

之間依次多1個0）,-3.15,一不

3

正分?jǐn)?shù)集合：（3.14,65%…4

1

負(fù)有理數(shù)集合：Z?0,82，-30、?2,?2023,-3.15…2

71

無理數(shù)集合：1一幣1.1010010001.......（每兩個1之間依次多1個0）…，.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)

【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義進(jìn)行分類即可.

3

【解析】解：正分?jǐn)?shù)集合：{3.14,65%…},

3

故答案為：3.14,65%；

1

負(fù)有理數(shù)集合：{-0.82,-30-,-2,-2023,-3.15-},

乙

1

故答案為：-0.82,-30^,-2,-2023,-3.15；

TC

無理數(shù)集合：{一01.1010010001……（每兩個1之間依次多1個0）…},

n

故答案為；一不1.1010010001……（每兩個1之間依次多1個0）.

【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)握有理數(shù)的定義和無理數(shù)定義.

18.在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把這些數(shù)按從小到大順序進(jìn)行排列，用連接：

-（-2）,-|-3.5|,0,4，（-2）2,V^27

1111111111A

-4-3-2-1012345

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較：實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】先在數(shù)軸上標(biāo)出個數(shù)，然后按從小到大順序進(jìn)行排列求解.

【解析】解：在數(shù)軸上表示為：

+3.5洞o/J-(-2)(-2)2

-4*4-2-13i235"

按從小到大順序進(jìn)行排列為:-|-3.5|<V^27<0<聆V-(-2)<(-2)2.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，在數(shù)軸上表示出各個數(shù)字是解答本題的關(guān)鍵.

19.已知正數(shù)X的兩個不同的平方根是2〃-7和。+4,6-12的立方根是-2.

(I)求正數(shù)x的值；

(2)求。十分的算術(shù)平方根.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)

【分析1(1)正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根，可得2。?7+。+4=0,可求得。的值，進(jìn)而求出x的值；

(2)由〃-12的立方根為-2川求得力的值，根據(jù)a的值，得〃+/)的值，進(jìn)而得的算術(shù)平方根.

【解析】解：(I)由題意得，2a-7+a+4=0,

解得a=l,

；.2a-7=2X1-7=-5,

???x=(-5)2=25；

(2)由題意得，b-12=-8,

解得b=4,

a+b=5t

：3b的算術(shù)平方根為傷.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平方艱，算術(shù)平方根，立方根，注意：正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根，我們

把大于零的根稱為算術(shù)平方根，本題考查了對正數(shù)平方根的關(guān)系和算術(shù)平方根的理解，難度不大.

20.小李同學(xué)探索限的近似值的過程如下：

???面積為86的正方形的邊長是、須，且9<V^V10,

???設(shè)V§^=9+x,其中OVxVI,畫出示意圖，如圖所示.

根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積S正方形=81+2x9x+x2,

又正方形=86，A81+2X9x+?=86.

當(dāng)Fvi時，可忽略”，得81+18x=86,解得x%0.28,，限之9.28.

(1)填空：VT的的整數(shù)部分的值為12；

（2）仿照上述方法，探究VT葩的近似值（結(jié)果精確到0.01）.

（答題要求：畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【分析】（1）先估算VT而的大小，從而求出其整數(shù)部分；

（2）設(shè)。149=12+X,0<x<1,畫出邊長為12+x的正方形，然后結(jié)合圖形，根據(jù)面積公式，列出關(guān)

于x的方程，解方程求出x,從而求出答案即可.

【解析】解：（1）V144<149069,

.\12<Vi49<13,

???W麗的整數(shù)部分是12,

故答案為：12；

（2）V12<V149<13,

???設(shè)VI為=12+x,OVxVl,如圖所示：

AX2+2X⑵+144=149,

?+24.￥=5,

:OVxVl,忽略/得:24x=5,

解得：xF）.2L

AV149?12+x?12+0.21工12.21.

【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關(guān)健是熟練掌握如何估算無理數(shù).

21.（1）已知“9。+力+\/力+1=0,求依+爐0°的值.

（2）已知2a+l的算術(shù)平方根是5,10+38的平方根是±4,c是g的整數(shù)部分，求a-5什c的平方根.

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小；平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根，可得冬利用代入消元法解方程組，求出。，b

的值，即可求出也+川。。的值；

（2）由題意，可得2。+1=25,10+38=16,進(jìn)而求出a,6的值，估算舊的范圍，求出c的值，把小

b,。的值分別代入。-5力十c求出值，最后求平方根即可.

【解析】解.：（1）VV9a+fe+VFTT=0,

.[9a+b=0

?*U+1=0'

解得：[”1

U=-l

rr14

???g+50。=1+（,1）200=+1=

\93s

（2）?；24+1的算術(shù)平方根是5,10+36的平方根是±4,

.??2。+1=25,10+33=16,

解得：a=12,b=2.

VV16<VT9<V25,

/.4<\<19<5,

???內(nèi)的值在4和5之間，

.*.c=4,

：?a-5b+c=12-5X2+4=12-10+4=6,

???6的平方根為土行，即a-%+c的平方根為土述.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，平方根，非負(fù)數(shù)性質(zhì)：算術(shù)平方根，掌握估算無理數(shù)大小的方

法，平方根定義，算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.閱讀與思考，請先完成第（1〉小題的填空，再仿照完成第（2〉小題的解答過程.

（1）如圖I是2個面積為1的小正方形，對所給圖形進(jìn)行分割，拼成如圖2面積為2的大正方形，求大

正方形的邊長.

解：設(shè)大正方形的邊長為。（a>0）,由于拼成的大正方形的面積為2,則『=2,由邊長的實(shí)際意義，

得a=_42_；

答：該大正方形的邊長是_及_；

（2）如圖3是由5個面積為1的小正方形拼成的圖形，按圖中方式裁剪，可以拼成一個如圖4的大正方

形，求大正方形的邊長.

圖1圖2圖3圖4

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小；平方根

【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解答即司.：

（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解答即可.

【解析】解：（1）設(shè)大正方形的邊長為。（。>0），由于拼成的大正方形的面積為2,則『=2,由邊長

的實(shí)際意義.得〃=&.答：該大正方形的邊長是我.

故答案為：V2,V2：

（2）圖3中的5個面積為1的小正方形通過裁剪、拼成圖4的大正方形，則圖4正方形的面積為5,

設(shè)大正方形的邊長為力（〃>0）,由于拼成的大正方形的面積為5,則川=5,由邊長的實(shí)際意義，得力=

瓜即圖4中大正方形的邊長是通.

【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的關(guān)鍵.

23.【閱讀理解】

如何判斷無理數(shù)的大小范圍呢？我們可這樣做：

因?yàn)椋?5<30<36,

所以：V25<V30<V36，

即：5<V30<6,

因此：同是介于5到6的一人數(shù).

由此我們也可以得到這樣的結(jié)論：回的整數(shù)部分是5,小數(shù)部分是同一5.

【問題解決】

（1）下列無理數(shù)中，大小在3與4之間的是」.

A而

B.2a

C.V13

D.V17

(2)VTT的整數(shù)部分是一3，小數(shù)部分是—.

(3)氏一2的整數(shù)部分為“，小數(shù)部分為4則6-1=_怎-6一.

【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【分析】(1)分別估算出各選項(xiàng)中無理數(shù)大小，即可得出答案；

(2)根據(jù)9V11V16得到3V7HV4,即可求解;

(3)根據(jù)4VX/HV5,得到2<怎一2V3,即可求出“、力值，再代入計(jì)算即可.

【解析】解?：(1)根據(jù)無理數(shù)估算方法逐項(xiàng)分析判斷如下：

.4、V4<7<9,

.\2<V7<3,

???V7是介于2到3的一個數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意：

B、V4<8<9,

A\/4<V8<V3.即2V2&V3.

???2代是介于2到3的一個數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題