實數(shù)的初步認(rèn)識（知識梳理+27個高頻易錯考點）

考點分類目錄指引

考點講練1：求一個數(shù)的算術(shù)平方根.........................................................3

考點講練2：利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題...................................................4

考點講練3：估計算術(shù)平方根的取值范圍.....................................................5

考點講練4：與算術(shù)平方根有關(guān)妁規(guī)律探索題.................................................5

考點講練5：算術(shù)平方根的實際應(yīng)用.........................................................7

考點講練6：平方根概念理解...............................................................8

考點講練7：求一個數(shù)的平方根.............................................................9

考點講練8：求代數(shù)式的平方根............................................................10

考點講練9：已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)................................................11

考點講練10：利用平方根解方程...........................................................12

考點講練11：立方根概念理解.............................................................13

考點講練12：求一個數(shù)的立方根...........................................................13

考點講練13：已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)...............................................15

考點講練14：立方根的實際應(yīng)用...........................................................16

考點講練15：算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用...............................................17

考點講練16：無理數(shù)......................................................................19

考點講練17：無理數(shù)的大小估算...........................................................19

考點講練18：無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計算...................................................20

考點講練19：實數(shù)概念理解...............................................................21

考點講練20：實數(shù)的分類.................................................................21

考點講練21：實數(shù)的性質(zhì).................................................................22

考點講練22：實數(shù)與數(shù)軸.................................................................23

考點講練23：實數(shù)的大小比較.............................................................24

考點講練24：程序設(shè)計與實數(shù)運算.........................................................25

考點講練25：求一個數(shù)的近似數(shù)...........................................................26

考點講練26：求近似數(shù)的精確度...........................................................26

考點講練27：近似數(shù)推斷取值范圍.........................................................27

口外知識梳理技巧點撥

知識點重點歸納常見易錯點

1.概念：如果一個正數(shù)出的平方等于Q,即概念中特別強調(diào)c為正數(shù)

/=Q,那么這個正數(shù)Z叫做。的算術(shù)平方根。

算術(shù)平方根2.表不方法：平方根的符號與除號很像，但不

同。

3.性質(zhì)：①規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0；②非負(fù)性0的算術(shù)平方根是0,是一個規(guī)定。

1.概念：如果/=Q（Q，20）,那么這個數(shù)E叫做a此處概念當(dāng)中沒有說2是正是負(fù)。

的平方根，也叫二次方根。注意與算術(shù)平方根的概念區(qū)別.

2.表示方法：士y/a

平方根

3.性質(zhì)：①一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方正數(shù)的平方根有兩個：互為相反

根互為相反數(shù);②0的平方根是0;③負(fù)數(shù)沒有平數(shù)。

方根。

1.概念：求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方。注意理解平方根是數(shù)，是開平方

開平方2.關(guān)系：開平方與平方互為逆運算。運算的結(jié)果；而開平方是一種運

算。

1.概念：一般的如果/=。，那么這個數(shù)c叫做a從立方根的記號可以看出，一個

的立方根，也叫三次方根。數(shù)的立方根只有一個，而且一個

立方根2.表不方法：y/~a數(shù)的立方根與這個數(shù)區(qū)身符號相

同。

3.性質(zhì)：①正數(shù)的立方根是正數(shù);②0的立方根

是0;③負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

1.概念：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方。開立方和立方根的區(qū)別：開立方

開立方

2.關(guān)系：開立方與立方互為逆運算。是一種運算，立方根是個數(shù)。

L概念：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。注意帶根號的數(shù)不一定都是無理

2.分類：實數(shù)分成有理數(shù)與無理數(shù)。數(shù):例如：/4,因為，4=2,屬

3.無理數(shù)的常見形式：于有理數(shù)范圍；帶7T的數(shù)也不一定

①根號型：如,通②萬型：化簡后仍帶有7T

實數(shù)是無理數(shù)，例如：（7T-1）0,因為

的數(shù)，如2不，5③構(gòu)造型：如（a一1）0=1是有理數(shù)

0.1010010001……

4.實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系。數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)

5.實數(shù)的大小比較方法：

方法1：將要比較的數(shù)畫在數(shù)軸上，借助數(shù)軸比

注意根據(jù)題目條件選擇合適的方

較

法

方法2：將要比較的數(shù)化成小數(shù)再比較；

方法3：平方（立方）后比較

6.有理數(shù)的運算性質(zhì)及運算律實數(shù)范圍內(nèi)適

要注意混合運算的運算順序。

用。

1.準(zhǔn)確值：與實際完全相同相同數(shù)據(jù)叫作準(zhǔn)確

值。

近似值2.能夠在一定程度上反被考察對象的大小與準(zhǔn)

確值非常接近，但又不完全相等的數(shù)據(jù)稱為近似

值。

3.精確度：一個近似值四舍五人到哪一位，就

說這個近似值精確到哪一位。

4.取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、進

一法

口用高頻易錯考點講練

考點講練1:求一個數(shù)的算術(shù)平方根

1.（2425八年級上-廣東深圳?期中）9的算術(shù)平方根是（）

A.-3B.3C.±3i）.81

【答案】B

【思路引導(dǎo)】本題考查算術(shù)平方根的概念，需明確算術(shù)平方根的定義.

根據(jù)算術(shù)平方根的定義，即可解答.

【規(guī)范解答】解：9的算術(shù)平方根是3.

故選B.

2.（22-23八年級上?福建廈門?開學(xué)考試）數(shù)學(xué)解密：若第一個式子是百="+?,第二個式子是

V25=V9+V4,第三個式子是鬧=后+71i,第四個式子是＞/^麗=而+鬧…，觀察以上規(guī)律并猜

想第六個式子是.

【答案】V4225=V1089+x/1024

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了算術(shù)平方根，分析題意，找出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

/.m-4=0,n—9=0,即m=4,n=9,

二的平方根是±4=±Jl=±f.

故答案為:±g.

考點講練3：估計算術(shù)平方根的取值范圍

5.（23-24九年級上?重慶九龍坡?期末）估計（質(zhì)+回）+花的值應(yīng)該在（）

A.6和7之間B.7和8之間C.8和9之間D.5和6之間

【答案】A

【思路引導(dǎo)】本題考查二次根式的運算及無理數(shù)的估算，將原式計算后進行估算即可，將原式進行正確的

計算是解題的關(guān)鍵.

【規(guī)范解答】（鬧+\麗）+通

=\^16+V8

=4+V8,

V4<8<9,

/.2<V8<3,

/.6<4+V8<7,

???原式的值在6和7之間，

故選：A.

6.（24-25八年級上?四川成都?階段練習(xí)）若一個邊長為a正方形的面積為30,則a的取值范圍是

（）

A.3<a<4B.4<a<5C.5<a<6D.6<a<7

【答案】C

【思路引導(dǎo)】此題主要考查了估計無理數(shù)以及算術(shù)平方根等知識，得出歷的大致范圍是解題關(guān)鍵，首先利

用<^<同<廊，進而得出答案.

【規(guī)范解答】???一個邊長為a的正方形的面積為30,

a—V30,

???V25<V30<V36，

5<a<6,

故選:C.

考點講練4：與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題

7.（24-25八年級上-遼寧錦州?期中）按要求填空:

（1）填表并觀察規(guī)律：

a0.00040.044400

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

已知：x/5^8=2.408,則聞U=_____；

已知：V0.0068=0.0825,Vx=8.25,則*=______；

⑶從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明，

【答案】（1）見解析

⑵24.08,68

（3）求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點向左（或右）每移動2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點

向左（或右）移動1位

【思路引導(dǎo)】本題考杳了與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律問題，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）先求出每個數(shù)的算術(shù)平方根，再填表即可：

（2）根據(jù)（1）可得規(guī)律：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點向左（或右）每移動2位，則

它的算術(shù)平方根的小數(shù)點向左（或右）移動1位，由此即可得；

（3）根據(jù)（1）解題過程找出規(guī)徂即可.

【規(guī)范解答】（1）解：V0.022=0.0004,0.22=0.04,22=4,202=400,

V0.0004=0.02,VO.04=0.2,V4=2,V400=20,

填表如下：

a0.00040.044400

0.020.2220

（2）解：由（1）可知，求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點向左（或右）每移動2位，則它

的算術(shù)平方根的小數(shù)點向左（或右）移動1位，

7x^8=2.408,

???被開方數(shù)5.8的小數(shù)點向右移動2位得到580,則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動1位，即旃

=Z4.08；

VVo.0068=0.0825,Vx=8.25,

???將被開方數(shù)0.0068的小數(shù)點向右移動4位即可得到x,

.,.X=68：

故答案為：24.08,68.

（3）解：從以上問題的解決過程中，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點向左

（或右）每移動2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點向左（或右）移動1位.

8.（23-24七年級上?湖北?期中）已知倔而40.1732,則7^而4.

【答案】17.32

【思路引導(dǎo)】本題主要考查算術(shù)平方根，解決本題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的運算.運用算術(shù)平方根解題

即可.

【規(guī)范解答】解：???VS而々0.1732,V300=VM3xV10000?

r.V0.03=100V0,03?17.32.

故答案為：17.32.

考點講練5:算術(shù)平方根的實際應(yīng)用

9.（24-25八年級上?河北石家莊-期中）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,把兩個邊長為1的小正方形分別沿對

角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就可以得到一個大正方形，所得到的大正方形的面積為

【知識遷移】（2）愛鉆研的小思同學(xué)受到啟發(fā)，嘗試用兩個同樣大小的長方形拼出一個正方形.如圖2,將

兩個長和寬分別為3和2的長方形沿對角線剪開，將所得到的4個直角三角形拼出了一個中間有一個鏤空

小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的邊長為________；大正方形ABCD的面積為________；邊長

為________?

【拓展延伸】（3）小明想用一塊面積為900cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為740cm2的長

方形紙片，使它的長與寬之比為5：4.請通過計算說明是否可行.

【答案】（1）2,V2；（2）1,13,V13；（3）不可行，理由見詳解

【思路引導(dǎo)】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和長方形的面積計算方法以及算術(shù)

平方根.

（1）根據(jù)大正方形的面積=2個小正方形的面積和，即可得解：

（2）根據(jù)大正方形的面枳=4個直角三角形的面枳+小正方形的面積即可解答；

（3）設(shè)截出的長方形紙片的長為5xcm,寬為4xcm,根據(jù)題意列出方程，計算即可解答.

【規(guī)范解答】解?：（1）由題意得：所得到的大正方形面積為1+1=2,邊長為我：

（2）由題意得：所得到的小正方形EFGH的邊長為：3-2=1；大正方形ABCD的面積為：4x1x3x2+l2

=13；邊長為，百；

（3）不可行，理由如下：

設(shè)截出的長方形紙片的長為5xcm,寬為4xcm,

則Sx-4x=740,

Ax=V37（負(fù)值舍去），

，截出的長方形紙片的長為5歷cm=V925cm>30cm,

???小能用一塊血積為900cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊血積為740cm2的長方形紙片，使它的長

與寬之比為5:4.

10.（23-24七年級下-陜西安康-期中）如圖，這個正方體的體積是：27cm3且相對面上的算式相同，則

這個正方體的展開圖中算式結(jié)果是奇數(shù)的面的面積之和是co?.

/1+V49/

【答案】36

【思路引導(dǎo)】本題考查了立方根的應(yīng)用、算術(shù)平方根的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運算，求出正方體的邊長為3

cm,計算出1+屈=8,V25-V16=1,7121=11,得到這個正方體的展開圖中算式結(jié)果是奇數(shù)的面

共有4個，由此即可得解.

【規(guī)范解答】解：???這個正方體的體積是27cm3,

???這個正方體的邊長為面=3cm,

v1+V49=1+7=8,V25-V16=5-4=1,7121=11,

這個正方體的展開圖中算式結(jié)果是奇數(shù)的面共有4個，

這個正方體的展開圖中算式結(jié)果是奇數(shù)的面的面積之和是4x3x3=36cm2,

故答案為：36.

考點講練6：平方根概念理解

11.（21-22七年級下?北京?期中）已知某正數(shù)的兩個平方根分別是a+4和2a—16,則a的值是.

【答案】4

【思路引導(dǎo)】本題考查了平方根的定義，注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0：

負(fù)數(shù)沒有平方根.根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)，依此列式計算即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得，a+4+2a-16=0,

解得：a=4,

故答案為:4.

12.（23-24七年級下?全國?單元測試）有下列說法：①后的平方根是±4；

②-e表示6的算術(shù)平方根的相反數(shù)：

③一64的立方根是一4；④一3是（一3產(chǎn)的平方根.

其中,正確的說法有（）

A.1個B.2個C.3個【）.4個

【答案】C

【思路引導(dǎo)】本題考查了平方根、立方根的相關(guān)概念，掌握相關(guān)結(jié)論即可.

【規(guī)范解答】解：0>/16=4,4的平方根是±2,故①錯誤；

②-6表示6的算術(shù)平方根的相反數(shù)，故②正確；

③-64的立方根是一4,故③正確；

④（_3產(chǎn)=9,一3是9的平方根，故④正確；

故選:C

考點講練7：求一個數(shù)的平方根

13.（24-25八年級上?廣東揭陽?階段練習(xí)）一捺的立方根是,質(zhì)的平方根是,

2-遍的絕對值是.

【答案】±3V5-2/-2+VS

【思路引導(dǎo)】此題主要考查了平方根，算術(shù)平方根和立方根和絕對值.直接利用立方根以及算術(shù)平方根和

平方根、絕對值的性質(zhì)分別分析得出答案.

【規(guī)范解答】解：???（-93二一5，

:.—尚的立方根是—I；

忖=9的平方根是±3；

V4<5

A2<V5

2—V5V0

，|2-何=V5-2,

???2—后的絕對值是后一2.

故答案為：一g，±3,\/S—2.

14.(24-25八年級上?全國?階段練習(xí))已知a+b=5,ab=-6,求：

(I)a2+b2的值:

(2)a—b的值.

【答案】(1)37

(2)±7

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了已知式子的值，求代數(shù)式的值，平方根以及完全平方公式的應(yīng)用.

(1)將a?+b2變形為(a+b)2—2ab,將a+b=5,ab=—6,代入求解即可.

(2)先求出(a—b)2=(a+b)2-4ab,再求(a—b>的平方根即可.

【規(guī)范解答】(1)解：???a+b=5,ab=-6,

(a+b)2=25,

:.a2+b2=(a+b)2—2ab=25—2x(—6)=37

(2)解：*/a+b=5,ab=—6,

(a+b)2=25,

/.(a—b)2=(a+b)2—4ab=25—4x(-6)=49,

/.a-b=±7.

考點講練8：求代數(shù)式的平方根

15.(22-23七年級下?福建莆田?期中)已知2a—1的算術(shù)平方根是3,3a+b—1的平方根是±4,。是g

的整數(shù)部分，求3a+2b—c的平方根.

【答案】±4

【思路引導(dǎo)】先依據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義列出關(guān)于a、b的方程組求得a、b的值，然后估兌出后的大

小，可求得c的值，接下來，求得a+2b-c的值，最后求它的平方根即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得：

a=5,b=2.

?.?9v13<16,

:.3<V13<4.

c=3.

:.3a4-2b—c=16.

.?.a+2b-c的平方根是±4.

【考點剖析】本題主要考查的是算術(shù)平方根、平方根的定義、估算算術(shù)平方根的整數(shù)部分，熟練掌握相關(guān)

定義和方法是解題的關(guān)鍵.

16.已知2a—1的算術(shù)平方根是3,b—l的平方根是±4,c是VT5的整數(shù)部分，求a+2b—c的平方根.

【答案】±6

【思路引導(dǎo)】根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的定義分別求出a、b、c的值；進而得出a+2b—c的值，求出它的平

方根即可：

【規(guī)范解答】解：???2a-l的算術(shù)平方根是3：b-l的平方根是±4,

.\2a-l=9,b-1=16,

/.a=5,b=17.

???c是g的整數(shù)部分，3<V13<4,

.*.c=3.

/.a+2b—c-5+17x2—3—36.

???36的平方根是±6.

???a+2b-c的平方根為±6.

【考點剖析】本題考查了考查了平方根與算術(shù)平方根；熟練掌握平方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

考點講練9:已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

17.（24-25八年級上?江蘇南京?期中）若一個正數(shù)的平方根是2a—3和4—a,則這個正數(shù)是.

【答案】25

【思路引導(dǎo)】本題考查了平方根的知識點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)列出方程

求解.

根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，并且它們互為相反數(shù)得出2a—3+4—a=0,即可求出a的值，從而求出這個

正數(shù).

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得，2a-3+4-a=0,

解得a=-1,

...4-a=4-(-l)=4+l=5,

???這個正數(shù)是52=25,

故答案為：25.

18.(23-24八年級上?福建泉州?期末)一個正數(shù)x的兩個平方根分別是一a+2與2a—1.

⑴求a和正數(shù)x的值.

(2)求x+a的立方根.

【答案】(l)a=-1,x=9

(2)2

【思路引導(dǎo)】本題考查了平方根和立方根的定義.

(1)根據(jù)平方根的定義可得一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，則有a—2+2a—1=0,解方程得a=l,

即一個正數(shù)的兩個平方根分別為-1和1,利用平方根的定義即可求解；

(2)根據(jù)立方根的定義解答即可.

【規(guī)范解答】(1)解：???一個正數(shù)的兩個平方根分別為一a+2和2a-1,

—a+24-2a—1=0,

???a——1,

二這個正數(shù)為(1+2)2=9.

x=9；

(2)解：???a=-1,x=9,

x+a=9—1=8,

???'+2的立方根為強=2.

考點講練10:利用平方根解方程

19.(21-22九年級上?廣西河池?期中)解方程：(X—2產(chǎn)=9

【答案】x=5或x=—1

【思路引導(dǎo)】本題考查了利用平方根的定義解方程，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平方根的定義得到X-2=±3,再解一元一次方程即可.

【規(guī)范解答】解：(X-2)2=9

x—2=+3,

解得：x=5或x=—1.

20.(24-25八年級上?江蘇宿遷?期末)解方程：

⑴2(x+l)2=18；

(2)(X-2)3-3=5.

【答案】(1八=2或*=-4

(2)x=4

【思路引導(dǎo)】本題考查了根據(jù)立方根和平方根解方程，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平方根的定義解方程即可；

(2)根據(jù)立方根的定義解方程即可.

【規(guī)范解答】(1)解.：2(x+l)2=18,

???(X+1)2=9,

x+1=3或x4-1=-3,

解得：x=2或x=—4；

(2)解:(x-2)3-3=5,

.\(x-2)3=8,

Ax-2=2,

解得：x=4.

考點講練11:立方根概念理解

21.(2023七年級?全國?專題練習(xí))當(dāng)x取時，VTK有意義.

【答案】任意實數(shù)

【思路引導(dǎo)】本題考查了“.方根，理解3方根的定義是止確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)立方根的定義，可得出x的取值范圍.

【規(guī)范解答】解：???任何實數(shù)都有立方根，

???2-x可取任意實數(shù)，

???x可取任意實數(shù).

故答案為：任意實數(shù).

22.(2024八年級_L?全國-專題練習(xí))若反不耳與而V互為相反數(shù)，求x的值.

【答案】x=13

【規(guī)范解答】本題考查了立方根的性質(zhì)以及相反數(shù)的定義.由立方根的性質(zhì)及相反數(shù)的定義可得

3x+5+8-4x=0,據(jù)此即可求解；

解：???底?不與際不互為相反數(shù)，

，3x+5+8—4x=0,

解得x=13.

考點講練12：求一個數(shù)的立方根

23.（24-25八年級上?甘肅天水?期中）計算.其中第（2）題運用乘法公式計算.

（1）-23xJ（一4尸+|-2|xV27

S、982+98X4+4

⑵~1012-1-

【答案】（1）-26

⑵署

【思路引導(dǎo)】（1）首先計算有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根和立方根，絕對值，然后計算乘法，最后計算加法;

（2）分子利用完全平方公式化簡，分母利用平方差公式化簡，然后求解即可.

【規(guī)范解答】（1）-23x7（-4）2+|-2|XV27

=—8x44-2x3

=一26；

（982+98x4+4

982+2x98x2+22

=1012-12

（98+2）2

=（101-1）（101+1）

1002

=100x102

50

=51,

【考點剖析】此題考查了有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根和立方根，絕對值，完全平方公式，平方差公式，解

題的關(guān)鍵是掌握以上運算法則.

24.（24-25八年級上-江蘇無錫?期末）計算：

（1）V16-V27：

（2）712-（H-3.14）°-|1-V3|.

【答案】（1）1

⑵K

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義化簡，再合并即可：

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)累、絕對值的性質(zhì)化簡，再合并即可；

本題考查了實數(shù)的混合運算，二次根式的加減運算，掌握實數(shù)和二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵.

【規(guī)范解答】（1）解：原式=4-3

=1;

（2）解：原式=275—1一（75一1）

=2>/3—1—>/3+1

=瓜

考點講練13：已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)

25.（24-25八年級上?山西長治?期中）一個正數(shù)的兩個不同的平方根是3a—14和a+6,b+11的立方根

是-3,c是e的整數(shù)部分.

（1）求a-b+c的值.

⑵求4a-b+9c的平方根.

【答案】（1）42

⑵士8

【思路引導(dǎo)】本題考杳了平方根的定義，3方根的定義，無理獨的估算，代數(shù)式求俏，熟練掌樨平方根和

立方根相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平方根的定義，求得a=2；再根據(jù)立方根的定義，求得b=-38：然后利用無理數(shù)的估算，求

得c=2,代入求值即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）求出4a—b+9c的值，再根據(jù)平方根的定義進行計算，即可得到答案.

【規(guī)范解答】（1）解：???一個正數(shù)的兩個不同的平方根是3a—14和a+6,

3a—14+a+6=0,

a=2.

???b+11的立方根是一3,

b+11=（-3）3=-27,

b=-38,

???c是區(qū)的整數(shù)部分，2<V6<3,

?，?c2,

a-b+c=2-（-38）+2=42.

（2）解：由（1）,得a=2,b=—38,c=2,

4a—b4-9c=4x2—（—38）+9x2=8+38+18=64,

???4a-b+9c的平方根是±8.

26.（24-25八年級上?福建漳州?期中）已知某正數(shù)x的兩個平方根分別是a-4和2a—5,y的立方根是

一2,z是遍的整數(shù)部分，求x+y+8z的平方根.

【答案】±3

【思路引導(dǎo)】本題考查了平方根，立方根，無理數(shù)的整數(shù)部分，先得出a=3,貝口=1,結(jié)合y的立方根是

一2,z是我的整數(shù)部分，分別得出y=-8,z=2,然后求出x+y+8z=9,最后求出其的平方根，即可

作答.

【規(guī)范解答】解：???某正數(shù)x的兩個平方根分別是a-4和2a—5,

/.a—44-2a—5=0,

/.a=3,

則a—4=3—4=—1,

.?.x=（-1）2=1,

的立方根是一2,z是如的整數(shù)部分，H,V4<V8<V9,

??.y=（_2）3=-8,2<V8<3,

,\z=2.

.*.x+y+8z=l—84-8x2=9,

???9的平方根是±3.

考點講練14:立方根的實際應(yīng)用

27.（24-25八年級上?山西晉中?期中）某地氣象資料表明：當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間t（h）可以用公式12=焉

來估計，其中d（km）是雷雨區(qū)域的直徑.

⑴如果某場雷雨區(qū)域的直徑是10km,那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？（結(jié)果保留根號）

（2）如果這場雷雨持續(xù)了20min,那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少？（結(jié)果精確到0.1km；參考數(shù)據(jù)：

V100~4.64）

【答案】（1）這場雷雨大約能持續(xù)孚h

（2）這場雷雨區(qū)域的直徑大約是4.6km

【思路引導(dǎo)】本題主要考杳了算術(shù)平方根，立方根的應(yīng)用，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)t2=盛，其中d=10km是雷雨區(qū)域的直徑，開算術(shù)平方，可得答案；

（2）根據(jù)t2=蓋，其中t=；h,是雷雨持續(xù)時間，開立方，可得答案.

VUUO

【規(guī)范解答】（1）解：把d=10km代入t2=^,得t2=孺=部.

小=牌=梁h）

答：這場雷雨大約能持續(xù)當(dāng)h；

（2）解：20min=1h

把t=gh代入t2=嬴，得償）=嘉

，d=V100a4.64?4.6（km）.

答：這場雷雨區(qū)域的直徑大約是4.6km.

28.（23-24七年級下?河南商丘?階段練習(xí)）如圖，是一塊體積為343cm3的立方體鐵塊.

（2）現(xiàn)在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成兩個小立方體鐵塊，其中一個的體積為218cm3,求另一個小立

方體鐵塊的棱長.

【答案】（1）這個鐵塊的棱長為7cm

⑵另一個小立方體鐵塊的棱長為5cm

【思路引導(dǎo)】本題考查立方根的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)犍.

（1）根據(jù)正方體的體積公式和立方根的定義進行解答；

（2）根據(jù)題意列出式子再進行計算即可.

【規(guī)范解答】（1）根據(jù)題意，得

鐵塊的棱長為V5布=7（cm）,

答：這個鐵塊的棱長為7cm.

（2）設(shè)另一個小立方體鐵塊的棱長為acm,

Ma3=343-218=125.

V53=125,

/.a=5.

答：另一個小立方體鐵塊的棱長為5cm.

考點講練15:算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用

29.（24-25八年級上?四川成都?期中）已知2b—2的立方根是一2,4a+3b算術(shù)平方根是3.

(1)求a、b的值;

(2)求2a-b的平方根.

【答案】(l)a=(b=-3

⑵士2V3

【思路引導(dǎo)】本題考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根.

(1)根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義得出2b—2=(-2尸=-8,4a+3b=3?=9,求解即可：

(2)先求出2a—b的值，再求出平方根即可.

【規(guī)范解答】(1)解：???2b-2的立方根是-2,4a+3b算術(shù)平方根是3.

2b—2=(-2)3=—8,4a4-3b=32=9,

解得：a=b=-3；

9

(2)解：由(1)可得a=i，b=-3,

9

/.2a—b=2x--(-3)=9+3=12,

??.22—1)的平方根為±a^=±273.

30.(23-24七年級下?天津?期中)己知5a-1的算術(shù)平方根是2,b—9的立方根是2,c是V誦的整數(shù)部

分.

⑴求a+b+c的值；

(2)若x是g的小數(shù)部分，求x—履+28的平方根.

【答案】(1)21

⑵±5

【思路引導(dǎo)】本題考查了平方根，立方根概念，

(1)根據(jù)平方根，立方根的定義，估算求出的a,b,c的值，代入計算即可得出答案；

(2)先得出x的值，即可得出結(jié)果：

【規(guī)范解答】(1)???5a-l的算術(shù)平方根是2,

.\5a-l=4,解得：a=1

??飛一9的立方根是2

Ab-9=8,解得：b=17

???c是疝的整數(shù)部分，而3＜反＜4,

/.c=3,

a+b4-c=1+17+3=21：

（2）由（1）可知，g的整數(shù)部分是3,

是g的小數(shù)部分，

?**x—V12—3,

:.x—712+28=V12—3—V12+28=25,

???'一短+28的平方根是±5.

考點講練16:無理數(shù)

31.（24-25八年級上?甘肅天水?期中）在實數(shù)一90,3.16,回沖，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個I）.4個

【答案】A

【思路引導(dǎo)】本題考查無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，據(jù)此進行判斷即可.

【規(guī)范解答】解：一^是分?jǐn)?shù)，不是無理數(shù)；

。是整數(shù)，不是無理數(shù)；

3.場是無限循環(huán)小數(shù)，不是無理數(shù)；

眄=3是整數(shù)，不是無理數(shù)：

J是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)，

所以，無理數(shù)有1個，

故選：A.

32.（23-24八年級上?廣東梅州-期中）下列四個數(shù)中，屬于元理數(shù)的是（）

A.-5B.-3.14C.yD.V3

【答案】I）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)無理數(shù)的定義，判斷各選項是否為無限不循環(huán)小數(shù)或不能表示為整數(shù)之比.

【規(guī)范解答】解：由無理數(shù)的定義可得，四個數(shù)中只有仃是無理數(shù)，

故選:D.

考點講練17:無理數(shù)的大小估算

33.（24-25八年級上?北京?期末）比較大?。海?）再6：（2）V12-13

【答案】><

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了實數(shù)大小比較及無理數(shù)的估算，根據(jù)（、麗>=40>62=6,（V12）2=12<42

=16得到函>6,V12<4,據(jù)此可得答案.

【規(guī)范解答】解：V（A/40）2=40>62=6,

，聞>6,

V（\/12）2=12<42=16,

Ax^L2<4,

<3.

故答案為：>:V.

34.（2025?江蘇揚州?中考真題）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是（）

-1012345

A.V2B.V3C.V7D.V10

【答案】C

【思路引導(dǎo)】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，尢理數(shù)的估算，設(shè)點A表示的數(shù)為a,根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷出a

的范圍，夾逼法求出無理數(shù)的范圍進行判斷即可.

【規(guī)范解答】解?：設(shè)點A表示的數(shù)為a,由圖可知：2<a<3,

???Cv企V",即：1<N/2<2,故選項A不符合題意；

???<!〈百〈四，即：1<V3<2,故選項B不符合題意；

V\/4<V7<V9,即：2<V7<3,故選項C符合題意；

?:炳〈國〈氏,即：3<V10<4,故選項D不符合題意；

故選C.

考點講練18:無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計算

35.（24-25八年級上?廣東梅州?期中）已知a是后的整數(shù)部分，則（a—l>的值是.

【答案】1

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了無理數(shù)的估算，求代數(shù)式的值，根據(jù)題意得到2VeV3是解題的關(guān)鍵.先

估算出2〈遍v3,可得a=2,再代入，即可求解.

【規(guī)范解答】解：??,4<6V9,

??.2<V6<3,

??z是通的整數(shù)部分，

a=2,

.\(a-l)2=(2-l)2=1.

故答案為：1.

36.（24-25八年級上-四川宜賓?期中）設(shè)3+g的整數(shù)部分是a,3+小數(shù)部分是b,貝必一b=.

【答案】9-V13/-VT34-9

【思路引導(dǎo)】本題考查與無理數(shù)整數(shù)有關(guān)的計算，先利用夾逼法求出a,原數(shù)減去a得到b,再進行計算即可.

【規(guī)范解答】解：???西<舊〈網(wǎng)，

/.3<>/13<4,

；?6<34-V13<7,

?*.a=6,b=3+V13—6=V13—3,

a—b—6—713+3=9—V13：

故答案為：—V13.

考點講練19：實數(shù)概念理解

37.（21-22七年級下?新疆阿克蘇?期末）一V7的相反數(shù)是（）

A.V7B.一手C.±V7D.-y/7

【答案】A

【思路引導(dǎo)】直接利用相反數(shù)的定義，進而得出答案.

【規(guī)范解答】解：一位的相反數(shù)是V7.

故選:A.

【考點剖析】本題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

38.（2022七年級上-上海?專題練習(xí)）若有一個實數(shù)為3-V5,則它的相反數(shù)為（）

A.3+V5B.—y/s4-3C.\fs—3D.—3—V5

【答案】C

【思路引導(dǎo)】根據(jù)相反數(shù)的定義億簡即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：???一（3—向）=-3+的=0-3,

??.3—遍的相反數(shù)為后一3,

故選：C.

【考點剖析】本題考查了實數(shù)，相反數(shù)，掌握一個數(shù)a的相反數(shù)是一a是解題的關(guān)鍵.

考點講練20：實數(shù)的分類

39.（20-21八年級上?河南駐馬店-期末）在3.14159,4,1.1010010001-（每兩個1之間0的個數(shù)依次

加I）,4.21,IT,母中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【思路引導(dǎo)】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是

整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選

擇項.

【規(guī)范解答】解：3.14159是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；

4是整數(shù)，屬于有理數(shù)：

4.21是有限小數(shù)，屬于有理數(shù);

等是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；

無理數(shù)有1.1010010001…（每兩個1之間0的個數(shù)依次加1）,兀共2個.

故選：B.

【考點剖析】本題主要考查了尢理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的尢理數(shù)有：五，2元等；升方升小盡的

數(shù)；以及像0.1010010001…，等芍這樣規(guī)律的數(shù).

40.（21-22八年級上-廣東佛山-期末）下列實數(shù)是無理數(shù)的是（）

A.Vl9B.—11C.n2D.2022

【答案】C

【思路引導(dǎo)】根據(jù)無理數(shù)的定義逐個判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A.V9=3,是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故本選項不符合題意；

B.?是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故本選項不符合題意；

C.T是無理數(shù)，故本選項符合題意：

I）.2022是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故本選項不符合題意：

故選：C.

【考點剖析】本題考查了無理數(shù)的定義，能熟記無理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：無理數(shù)是無限不循

環(huán)小數(shù).

考點講練21：實數(shù)的性質(zhì)

41.（24-25七年級下?內(nèi)蒙古赤峰?期中）的相反數(shù)是;后的平方根是；面的算術(shù)平

方根是.

【答案】V3±23

【思路引導(dǎo)】本題考查了相反數(shù)的定義，算術(shù)平方根和平方根的定義，熟練掌握知以點是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)相反數(shù)的定義，算術(shù)平方根和平方根的定義，即可解答.

【規(guī)范解答】解：①一百的相反數(shù)是百；

②4,

???4的平方根是±2,

即屬的平方根是±2：

③：質(zhì)二9

???9的算術(shù)平方根是3,

即前的算術(shù)平方根3.

故答案為百，±2,3.

42.（21-22八年級下-廣東江門-階段練習(xí)）實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡|a|+J（b—a）2

的結(jié)果是（）

---------1-------------------1-------1-------->

b0a

A.2a—bB.—2a+bC.—bI）,b

【答案】A

【思路引導(dǎo)】先根據(jù)題意得到b—a<0,然后化簡絕對值和二次根式即可得到答案.

【規(guī)范解答】解：由題意得bvOva,

b-a<z0,

/.|a|+J（b-a）2=a+（a—b）=a+a-b=2a-b,

故選A.

【考點剖析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的性質(zhì)，二次根式的化簡，正確得到b-aV0是解題的關(guān)

鍵.

考點講練22:實數(shù)與數(shù)軸

43.（24-25八年級上?北京?期末）如圖，正方形ABCD的面積為3,頂點A在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為

2,數(shù)軸上有一點E在點A的左側(cè)，若AD=AE,則點E表示的數(shù)為（）

c

B

DC/

E2

A.V3B.2-V3C.-V3D.V3-2

【答案】B

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)正方形面積計算公式可得

AE=AD=V3,再根據(jù)數(shù)軸上兩點距離計算公式求解即可.

【規(guī)范解答】解：???正方形ABCD的面積為3,

.,.AD=V5,

AE=AD=V5?

???點A表示的數(shù)為2.

???點E表示的數(shù)為2—國，

故選:B.

44.（24-25八年級上?江蘇鹽城?期末）如圖，數(shù)軸上表示V5的點是（）

ABCD

11.1■1■A

-2-1012

A.點4B.點、3C.點CD.點〃

【答案】C

【思路引導(dǎo)】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算.先估算出仃的范圍，再找出符合條件的數(shù)軸上的點

即可.

【規(guī)范解答】解：???1V百＜2,

???數(shù)軸上表示舊的點是點C,

故選：C.

考點講練23:實數(shù)的大小比較

45.（23-24八年級上?遼寧沈陽?期末）已知，如圖所示，點A在數(shù)軸上，且0A=0B.回答下列問題：

（1）寫出數(shù)軸上點火表示的數(shù)a：

（2）比較a與-2.5的大小；（寫出簡要過程）

（3）設(shè)點N在數(shù)軸上，點N表示的數(shù)是n,且滿足avnv通，如果n是非零整數(shù)，直接寫出符合條件的*點有

幾個？

【答案】（l）a=-V5

（2）a>-2.5

（3）四個

【思路引導(dǎo)】本題主要考查勾股定理.，數(shù)軸上的點所對應(yīng)的實數(shù)，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握勾股

定理.

（1）先利用勾股定理求出0B的長度，再根據(jù)OA=OB即可得到0A的長度，從而得到力對應(yīng)的數(shù).

（2）根據(jù)無理數(shù)的大小比較方法比較即可；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果求解即可.

【規(guī)范解答】（1）VOB=^12+22=Vs,a<0

=—V5；

（2）V（V5）2=5,2.52=6.25,

；?、尺<2.5,

—y[S>—2.5,

（3）*.*2<V5<2.5,—2>—娓>—2.5,

???滿足一0Vn<0的非零整數(shù)有一2,—1,1,2共四個.

46.（20-21九年級上-四川樂山-期中）比較大小依一遙V7一通.（填或“<”）

【答案】>

【思路引導(dǎo)】先用（夕一后）減去（石一花），再進行整理，然后兩邊平方得出與0的大小關(guān)系，最后進行移

項，即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：:（近一連）一（遙一遙）=（夕+而）一2遍，

又，?（近+四>一（通+通>=2（735-736