2025年大學《數(shù)理基礎(chǔ)科學》專業(yè)題庫——拓撲學基本原理討論考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設X={a,b,c}，T1={?,{a},X}，T2={?,{a},{b,c}}。判斷T1和T2是否為X的拓撲。二、設拓撲空間(X,T)中，A,B為X的子集。證明：若A和B都是閉集，則A∩B也是閉集。三、設f:(X,T1)→(Y,T2)是拓撲空間之間的映射。證明：f是連續(xù)映射的充要條件是對于Y的任意開集V，其原像f?1(V)是X的開集。四、設(X,T)是拓撲空間，A?X。證明：A的閉包ā是包含A的閉集，且是唯一的。五、設(X,T)是拓撲空間。證明：X是連通的當且僅當X不能被分解為兩個非空、不相交的開集的并集。六、設S=(0,1)?R，考慮R中由標準topology誘導的子空間拓撲。證明S是緊致空間。七、設(X,T1)和(X,T2)是同一集合X上的兩個拓撲，且T1?T2。證明：T1誘導的拓撲性質(zhì)（如開集、閉集、連續(xù)函數(shù)等）都不會比T2誘導的更“強”。八、設f:?→?定義為f(x)=x2?？紤]?上的標準拓撲。證明f不是拓撲映射。九、設X=[0,1]?R，考慮R中的標準拓撲。證明X是緊致空間，但X×X不是緊致空間（在積拓撲下）。十、設(X,T)是拓撲空間，A?X。證明：A是緊致的當且僅當對于X的任意開覆蓋{Uα}，A×{Uα}是X×Uα的緊致子集。試卷答案一、T1不是X的拓撲。因為根據(jù)拓撲定義，X本身必須屬于拓撲T1，但此處X?T1。T2是X的拓撲。因為滿足拓撲公理：?∈T2,X∈T2；任意T2中元素的并集仍在T2中（{a}∪{b,c}=X）；任意T2中元素的交集仍在T2中（{a}∩{a}={a},{a}∩{b,c}={a},?∩{a}=?）；空集的交集是空集，也在T2中。二、證明：設A和B是閉集，即A=X\A'和B=X\B'，其中A'和B'是開集。則A∩B=(X\A')∩(X\B')=X\(A'∪B')。因為A'和B'是開集，它們的并集A'∪B'也是開集。由反證法可知，其補集X\(A'∪B')是閉集。因此，A∩B是閉集。三、證明（必要性）：假設f是連續(xù)映射。設V是Y中的開集。需要證明f?1(V)是X中的開集。任取x∈f?1(V)。則f(x)∈V。因為V是開集，存在U?Y使得x∈U且U?V。因為f是連續(xù)的，f?1(U)是X中的開集。又因為x∈f?1(U)且f?1(U)?f?1(V)。所以f?1(V)是X中的開集。證明（充分性）：假設對于Y的任意開集V，其原像f?1(V)是X中的開集。需要證明f是連續(xù)映射。設U是Y中的開集。則f?1(U)是X中的開集。根據(jù)連續(xù)性的定義，f是連續(xù)映射。四、證明：首先，ā是閉集。因為ā=X\(X\A)，其中X\A是A的補集，若A是閉集，則其補集是開集，因此ā是閉集。其次，ā包含A。任取x∈A。則x∈X且x?ā'（ā的補集）。所以x∈ā。因此A?ā。最后，唯一性。設B也是包含A的閉集。則A?B且B是閉集。所以ā=X\A'?X\B'=B。因此ā是唯一的。五、證明（必要性）：假設X是連通的。假設存在非空、不相交的開集U,V滿足X=U∪V。則U=X\V。因為V是開集，X\V是閉集。因為U和V非空且不相交，且U∪V=X，所以U是X的一個閉子集，且U≠?,U≠X。這與X只能分解為兩個不相交的非空開集的并集相矛盾。因此，X不能被如此分解。證明（充分性）：假設X不能被分解為兩個非空、不相交的開集的并集。假設X不是連通的。則存在非空、不相交的開集U,V滿足X=U∪V。這與假設矛盾。因此，X是連通的。六、證明：考慮S在R中標準拓撲下的任意開覆蓋{Uα}。需要證明存在有限子覆蓋。因為S=(0,1)，對于任意x∈S，存在ε>0使得(x-ε,x+ε)?(0,1)。因為{Uα}是開覆蓋，存在某個Uα?使得x∈Uα?。因為Uα?是開集，存在δ>0使得(x-δ,x+δ)?Uα?。取δ=min(ε,δ)。則(x-δ,x+δ)?Uα??(0,1)∩Uα?。因此，每個點x∈S都被某個Uα?（形式為(x-δ,x+δ)）所覆蓋?，F(xiàn)在應用緊致性定理（Heine-Borel）：S是R中的有界閉集。因此S是緊致的。所以存在有限個點x?,x?,...,x?∈S，使得S?(x?-δ,x?+δ)∪(x?-δ,x?+δ)∪...∪(x?-δ,x?+δ)。對應的有限個Uα??(i=1..n)就構(gòu)成了{Uα}的一個有限子覆蓋。因此S是緊致的。七、證明：設P是(X,T1)誘導的拓撲性質(zhì)。需要證明P在T1和T2下都成立。因為T1?T2，所以T1下的任意開集（滿足P）也是T2下的開集。因此，P在T2下也成立。八、證明：考慮?中的標準拓撲。設V=(-1,1)是?中的開集。其原像是f?1(V)={x∈?|x2∈(-1,1)}=?。因為實數(shù)的平方非負，不可能在(-1,1)范圍內(nèi)。所以f?1(V)不是?中的開集。因此f不是拓撲映射。九、證明S是緊致的：S=[0,1]是?中的有界閉集。根據(jù)Heine-Borel定理，S是緊致空間。證明S×S不是緊致的：考慮S×S在?2中的標準拓撲下的開覆蓋{U_n}，其中U_n=[0,1]×[0,1/n]。顯然，對于任意(x,y)∈S×S，存在某個n使得y<1/n，此時(x,y)∈U_n。因此{U_n}是S×S的開覆蓋。假設存在有限子覆蓋{U_{n?},U_{n?},...,U_{n?}}。設N=max{n?,n?,...,n?}。則對于任意(x,y)∈S×S，若y>1/N，則(x,y)?U_{n?}(對于所有i)。因此存在點(x,y)∈S×S不在有限子覆蓋下。這與有限子覆蓋的存在性矛盾。因此S×S不是緊致的。十、證明：首先證明必要性。設{Uα}是X的開覆蓋。需要證明A×{Uα}是X×Uα的緊致子集。因為A是緊致的，所以{Uα|α}的有限子集{U_{α?},U_{α?},...,U_{α?}}也是A的開覆蓋。即A?U_{α?}∪U_{α?}∪...∪U_{α?}。則A×(U_{α?}∪U_{α?}∪...∪U_{α?})=(A×U_{α?})∪(A×U_{α?})∪...∪(A×U_{α?})。因為A×U_{α?}?A×Uα?，且A×Uα?是X×Uα的緊致子集（因為X和Uα都是緊致的，積緊致性定理），所以A×U_{α?}是X×Uα的緊致子集。有限個緊致集的并集是緊致的。因此(A×U_{α?})∪(A×U_{α?})∪...∪(A×U_{α?})是X×Uα的緊致子集。因為A?(A×U_{α?})∪...∪(A×U_{α?})，所以A×{Uα}?X×Uα的緊致子集。由于{Uα}是任意開覆蓋，所以A×{Uα}對任意開覆蓋{Uα}都是X×Uα的緊致子集。然后證明充分性。設{Uα}是X的開覆蓋。需要證明A是緊致的。因為X是拓撲空間，所以{Uα}是X的開覆蓋。則X×{Uα}是X×X的開覆蓋（因為{Uα}是X的開覆蓋，所以{Uα}×X是X×X的開覆蓋，且X×{Uα}包含{Uα}×X）。根據(jù)假設，A×{Uα}是X×X的緊致子集。因為A×{Uα}?X×{Uα}，緊致集的子集是緊致的。所以A×{Uα}是緊致的。因為A×{Uα}是緊致的，所以對于A×{Uα}的任意開覆蓋{Vβ}，存在有限子覆蓋{V_{β?},V_{β?},...,V_{β?}}。則A×({U_{α?}∪...∪U_{α?})×({V_{β?}∪...∪V_{β?}}))=(A×({U_{α?}∪...∪U_{α?})×V_{β?}))∪...∪(A×({U_{α?}∪...∪U_{α?})×V_{β?})).因為A×({U_{α?}∪...∪U_{α?})×V_{β?})=(A×({U_{α?}∪...∪U_{α?})×V_{β?}))=(A×({U_{α?}∪...∪U_{α?}})×V_{β?})=(A×{U_{α?}×V_{β?}})∪...∪(A×{U_{α?}×V_{β?}}).因為A×{U_{α?}×V_{β?}}?A×{Uα?}×{Vβ?}。所以A×({Uα?}∪...∪{Uα?})×({Vβ?}∪...∪{Vβ?})是A×{Uα}的緊致子集的有限子集。因此，存在有限子集{V_{β?},...,V_{β?}}使得A×({Uα?}∪...∪{Uα?})×({Vβ?}∪...∪{Vβ?})是A×{Uα}的緊致子集。即A?({Uα?}∪...∪{Uα?})×({Vβ?}∪...∪{Vβ?})。因為{Uα}是X的開覆蓋，所以{Uα?,...,Uα?}是X的開覆蓋。因為A?({Uα?}∪...∪{Uα?})×({Vβ?}∪...∪{Vβ?})，且({Vβ?}∪...∪{Vβ?})是X的開集，所以A?({Uα?}∪...∪{Uα?})×V，其中V=({Vβ?}∪...∪{Vβ?})。則A?({Uα?}∪...∪{Uα?})×V。因為A?({Uα