2025年大學(xué)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計(jì)學(xué)中的效率評(píng)價(jià)方法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.若一個(gè)估計(jì)量滿足其期望值等于被估計(jì)參數(shù)，則稱該估計(jì)量為_______估計(jì)量。2.在所有無偏估計(jì)量中，方差最小的估計(jì)量稱為_______估計(jì)量，簡(jiǎn)稱MVUE。3.衡量估計(jì)量方差與其理論最小值（由羅-克拉美不等式確定）接近程度的指標(biāo)是_______。4.若一個(gè)統(tǒng)計(jì)量包含了總體分布中所有關(guān)于參數(shù)的信息，且不再包含任何關(guān)于參數(shù)的其他信息，則稱該統(tǒng)計(jì)量為_______統(tǒng)計(jì)量。5.根據(jù)因子分解定理，一個(gè)統(tǒng)計(jì)量T是總體參數(shù)θ的充分統(tǒng)計(jì)量的充要條件是存在兩個(gè)函數(shù)g(T,θ)和h(T)，使得樣本聯(lián)合概率密度（或分布律）f(x;θ)可以分解為_______的形式。二、選擇題（每題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填寫在題后括號(hào)內(nèi)）1.下列哪個(gè)說法是正確的？(A)所有無偏估計(jì)量都是有效的。(B)有效的估計(jì)量一定是無偏估計(jì)量。(C)矩估計(jì)量一定是充分估計(jì)量。(D)一致性是衡量估計(jì)量精確度的標(biāo)準(zhǔn)。2.設(shè)總體X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，f(x;θ)=θe^{-θx}(x>0,θ>0)。則θ的無偏估計(jì)量θ?=(1/n)Σi=1^nXi的方差Var(θ?)是：(A)θ2(B)θ(C)1/θ(D)1/(nθ)3.對(duì)于正態(tài)分布N(μ,σ2)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值X?和樣本方差S2都是μ的估計(jì)量。下列說法正確的是：(A)X?和S2都是無偏估計(jì)量。(B)X?和S2都是最小方差無偏估計(jì)量。(C)X?是無偏估計(jì)量，S2不是。(D)X?不是無偏估計(jì)量，S2是。4.設(shè)T是總體參數(shù)θ的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量。若θ?_1和θ?_2都是θ的無偏估計(jì)量，且Var(θ?_1|T)<Var(θ?_2|T)，則稱θ?_1比θ?_2在給定T下的_______。(A)無偏性更好(B)一致性更好(C)效率更高(D)穩(wěn)定性更好5.對(duì)于總體分布N(μ,σ2)，樣本均值X?是總體均值μ的最小方差無偏估計(jì)量（MVUE）。這是基于以下哪個(gè)定理？(A)羅-克拉美不等式(B)因子分解定理(C)大數(shù)定律(D)中心極限定理三、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布B(1,p)，即P(X=x)=p^x(1-p)^(1-x),x=0,1,0<p<1。從總體中抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X_1,X_2,...,X_n，樣本大小為n。(1)求p的矩估計(jì)量。(2)求p的最大似然估計(jì)量。(3)求p的充分統(tǒng)計(jì)量。2.從均值為μ、方差為σ2的正態(tài)分布N(μ,σ2)中抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X_1,X_2,...,X_n，樣本大小為n。樣本均值X?=(1/n)Σi=1^nX_i。(1)證明樣本方差S2=[(Σi=1^n(X_i-X?)2)/(n-1)]是σ2的無偏估計(jì)量。(2)根據(jù)羅-克拉美不等式，求σ2的理論最小方差下界（即C-R不等式下界）。3.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布P(λ)，即P(X=x)=(e^-λ*λ^x)/x!,x=0,1,2,...,λ>0。從總體中抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X_1,X_2,...,X_n。(1)求參數(shù)λ的最大似然估計(jì)量。(2)求樣本均值X?的方差，并說明X?是否是λ的有效估計(jì)量（需要先求出λ的C-R下界）。四、簡(jiǎn)答題（每題10分，共20分）1.簡(jiǎn)述無偏估計(jì)量和有效估計(jì)量的區(qū)別與聯(lián)系。2.解釋什么是充分統(tǒng)計(jì)量，并說明為什么充分性在統(tǒng)計(jì)推斷中具有重要意義（至少從效率評(píng)價(jià)的角度說明）。五、證明題（15分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=(θ/x)*e^(-θ/x),x>θ,θ>0。從總體中抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X_1,X_2,...,X_n。證明：統(tǒng)計(jì)量T=(-2/n)*Σi=1^nln(X_i/θ)是參數(shù)θ的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量。---試卷答案一、填空題1.無偏2.最小方差無偏(或MVUE)3.效率4.充分5.g(T,θ)/h(T)二、選擇題1.B2.D3.C4.C5.A三、計(jì)算題1.(1)矩估計(jì)量：p?_M=(1/n)*Σi=1^nX_i(即樣本均值X?)(解析思路：E[X]=p，令E[X]=樣本矩(1/n)Σi=1^nX_i，解得p?_M)(2)最大似然估計(jì)量：p?_MLE=(1/n)*Σi=1^nX_i(即樣本均值X?)(解析思路：寫出似然函數(shù)L(p;X_1,...,X_n)=Πp^X_i(1-p)^(1-X_i)，取對(duì)數(shù)得lnL，對(duì)p求導(dǎo)數(shù)，令其為0，解得p?_MLE)(3)充分統(tǒng)計(jì)量：T=(1/n)*Σi=1^nX_i(即樣本均值X?)(解析思路：寫出樣本聯(lián)合概率分布f(x_1,...,x_n;p)=Πp^x_i(1-p)^(1-x_i)，嘗試用因子分解定理形式g(T,p)*h(x_1,...,x_n)分解，發(fā)現(xiàn)T=ΣX_i/n可作為g(T,p)，h(x_1,...,x_n)為(1/n)^n*(1-p)^(n-T)*p^T，滿足因子分解定理，故X?是充分統(tǒng)計(jì)量)2.(1)證明：E[S2]=E[(Σ(X_i-X?)2)/(n-1)]=E[Σ(X_i-E[X_i])2/(n-1)]=E[Σ(X_i-μ)2/(n-1)](因X_i~N(μ,σ2))=(1/(n-1))*[n*Var(X_i)]=(1/(n-1))*[n*σ2]=σ2(解析思路：利用樣本方差的定義和期望性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)分布樣本均值的性質(zhì)E[X_i]=μ,Var(X_i)=σ2)(2)C-R下界：σ_min2=E[(θ?-θ)2]≥(1/Cov(θ?,θ)2)=(1/E[θ?2]-θ2)2對(duì)于正態(tài)分布，θ?=X?~N(μ,σ2/n)，E[X?2]=Var(X?)+(E[X?])2=σ2/n+μ2Cov(X?,μ)=E[X?-μ](X?-μ)=E[(X?-μ)2]=Var(X?)=σ2/nE[θ?-θ]2=E[X?-μ]2=Var(X?)=σ2/nC-R下界為σ_min2=(σ2/n)/(σ2/n)2=n/σ2(解析思路：利用C-R不等式σ2≥E[(θ?-θ)2]≥1/Cov(θ?,θ)2，計(jì)算正態(tài)分布下X?的方差Var(X?)和協(xié)方差Cov(X?,μ)，代入求解)3.(1)最大似然估計(jì)量：λ?_MLE=(1/n)*Σi=1^nX_i(即樣本均值X?)(解析思路：寫出似然函數(shù)L(λ;X_1,...,X_n)=Π(e^(-λ)*λ^X_i)/X_i!=e^(-nλ)*(λ^ΣX_i)/ΠX_i!取對(duì)數(shù)lnL=-nλ+ΣX_i*lnλ-ln(ΠX_i!)，對(duì)λ求導(dǎo)數(shù)dlnL/dλ=-n+(ΣX_i)/λ，令其為0，解得λ?_MLE=ΣX_i/n=X?)(2)Var(X?)=Var((1/n)ΣX_i)=(1/n2)*n*Var(X_i)=(1/n)*Var(X_i)因X_i~P(λ)，Var(X_i)=λ，故Var(X?)=λ/nC-R下界：σ2≥E[(θ?-θ)2]≥1/Cov(θ?,θ)2對(duì)于泊松分布，θ?=X?~N(λ,λ/n)，E[X?2]=Var(X?)+(E[X?])2=λ/n+λ2Cov(X?,λ)=E[X?-λ](X?-λ)=E[(X?-λ)2]=Var(X?)=λ/nE[θ?-λ]2=E[X?-λ]2=Var(X?)=λ/nC-R下界為σ_min2=(λ/n)/(λ/n)2=n/λ因Var(X?)=λ/n=n/λ，故X?的方差等于其C-R下界，X?=X?是λ的有效估計(jì)量。(解析思路：計(jì)算泊松分布下X?的方差Var(X?)。利用C-R不等式計(jì)算λ的理論最小方差下界。比較Var(X?)與C-R下界，若相等則X?是有效估計(jì)量。)四、簡(jiǎn)答題1.區(qū)別：無偏估計(jì)量要求其期望值等于被估參數(shù)，側(cè)重于估計(jì)值的集中位置；有效估計(jì)量要求在所有無偏估計(jì)量中具有最小的方差，側(cè)重于估計(jì)值的精確度（方差小表示波動(dòng)小，更集中）。聯(lián)系：有效估計(jì)量首先必須是無偏估計(jì)量，否則無法進(jìn)行比較。效率評(píng)價(jià)是在無偏估計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)其精確性進(jìn)行更高層次的衡量。一個(gè)估計(jì)量若想成為MVUE，必須同時(shí)滿足無偏性和有效性（最小方差）。2.充分統(tǒng)計(jì)量是指包含了樣本中所有關(guān)于參數(shù)θ的信息，且不再包含任何關(guān)于θ的其他信息的統(tǒng)計(jì)量T=T(X_1,...,X_n)。其重要性在于：(1)簡(jiǎn)化問題：利用充分統(tǒng)計(jì)量T可以代替原始樣本(X_1,...,X_n)，大大降低樣本的維度，使后續(xù)分析更簡(jiǎn)潔。(2)有效性：由因子分解定理可知，基于充分統(tǒng)計(jì)量得到的估計(jì)量通常具有更好的效率。例如，在單參數(shù)指數(shù)族分布中，基于充分統(tǒng)計(jì)量的無偏估計(jì)量往往是MVUE。(3)理論基礎(chǔ)：充分性是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)推斷理論（如UMVUE的構(gòu)造）的重要基石。(解析思路：首先定義充分統(tǒng)計(jì)量。然后從簡(jiǎn)化分析、提高效率（特別是與MVUE的聯(lián)系）、提供理論基礎(chǔ)等角度闡述其意義。)3.證明：寫出樣本聯(lián)合概率密度f(x_1,...,x_n;θ)=Π(θ/x_i)*e^(-θ/x_i)(x_i>θ,θ>0)=θ^n*Π(1/x_i)*e^(-θ*Σ(1/x_i))=θ^n*(Πx_i)^(-1)*e^(-θ*(-2/n)*Σ(1/x_i))=θ^n*(Πx_i)^(-1)*e^(2θ/n*Σ(1/x_i))嘗試因子分解形式g(T,θ)*h(x_1,...,x_n)，其中T=(-2/n)*Σ(1/x_i)，h(x_1,...,x_n)與θ無關(guān)。g(T,θ)=θ^n*e^(2θT)=θ^n*e^(2θ*(-2/n)*Σ(1/x_i))=θ^n*e^(-4θ/n*Σ(1/x_i))h(x_1,...,x_n)=(Πx_i)^(-1)發(fā)現(xiàn)樣本聯(lián)合概率密度可以分解為g(T,θ)=θ^n*e^(-4θT)和h(x_1,...,x_n)=(Πx_i)^(-1)的形式，其中T=(-2/n)*Σ(1/x_i)僅依賴于樣本，不依賴于參數(shù)θ。根據(jù)因子分解定理，統(tǒng)計(jì)量T=(-2/n)*Σ(1/x_i)是參數(shù)θ的充分統(tǒng)計(jì)量。(解析思路：寫出樣本聯(lián)合密度函數(shù)。嘗試用因子分解定理的形式進(jìn)行分解，將樣本相關(guān)的部分提取出來作為h(x_1,...,x_n)，剩余部分作為g(T,θ)包含T和θ。驗(yàn)證分解是否成功，若成功則T是充分統(tǒng)計(jì)量。)五、證明題證明：寫出樣本聯(lián)合概率密度f(x_1,...,x_n;θ)=Π(θ/x_i)*e^(-θ/x_i)(x_i>θ,θ>0)=θ^n*Π(1/x_i)*e^(-θ*Σ(1/x_i))=θ^n*(Πx_i)^(-1)*e^(-θ*(-2/n)*Σ(1/x_i))=θ^n*(Πx_i)^(-1)*e^(2θ/n*Σ(1/x_i))令T=(-2/n)*Σ(1/x_i)，則Σ(1/x_i)=-n/T，代入上式：f(x_1,...,x_n;θ)=θ^n*(Πx_i)^(-1)*e^(2θ*(-n/T))=θ^n*(Πx_i)^(-1)*e^(-2nθ/T)令g(T,θ)=θ^n*e^(-2nθ/T)，h(x_1,...,x_n)=(Πx_i)^(-1)可以驗(yàn)證f(x_1,...,x_n;θ)=g(T,θ)*h(x_1,...,x