2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)模型在生態(tài)系統(tǒng)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知某單種生物種群的增長(zhǎng)符合邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型，其增長(zhǎng)方程為$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$，其中$N(t)$是時(shí)間$t$的種群數(shù)量，$r$是內(nèi)稟增長(zhǎng)率，$K$是環(huán)境容納量。1.求該種群數(shù)量$N$隨時(shí)間$t$的變化規(guī)律$N(t)$，假設(shè)初始種群數(shù)量為$N(0)=N_0$。2.分析當(dāng)$N\rightarrow0$和$N\rightarrowK$時(shí)，種群數(shù)量$N(t)$的變化趨勢(shì)。3.若測(cè)得該種群在無(wú)環(huán)境壓力的情況下（$K\rightarrow\infty$，即資源無(wú)限）增長(zhǎng)符合指數(shù)模型$\frac{dN}{dt}=rN$，解釋為何在有限環(huán)境下邏輯斯蒂模型能更好地描述實(shí)際增長(zhǎng)。二、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的捕食者-被捕食者系統(tǒng)，其相互作用由以下微分方程組描述：$$\begin{cases}\frac{dX}{dt}=X(a-bY)\\\frac{dY}{dt}=-Y(c+dX)\end{cases}$$其中$X(t)$和$Y(t)$分別代表被捕食者（如兔子）和捕食者（如狐貍）的種群數(shù)量，$a,b,c,d$是正的常數(shù)。1.求此方程組的所有平衡點(diǎn)（即$\frac{dX}{dt}=0$且$\frac{dY}{dt}=0$的點(diǎn)）。2.分析這些平衡點(diǎn)的生態(tài)學(xué)意義（即它們代表種群的什么狀態(tài)）。3.為判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，對(duì)上述方程組進(jìn)行線性化處理，并求出在原點(diǎn)$(0,0)$處的特征方程。討論特征方程的根的情況與原點(diǎn)穩(wěn)定性的關(guān)系。（提示：只需寫出特征方程，無(wú)需求解）三、某研究團(tuán)隊(duì)對(duì)某一區(qū)域內(nèi)兩種競(jìng)爭(zhēng)性植物進(jìn)行了觀察。假設(shè)兩種植物的種群數(shù)量$X(t)$和$Y(t)$滿足以下微分方程：$$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5X-0.2Y)\\\frac{dY}{dt}=Y(1.5-X-0.5Y)$$其中$X(t)$和$Y(t)$分別代表兩種植物的密度。1.求此方程組的所有平衡點(diǎn)。2.分析每個(gè)平衡點(diǎn)是否代表一個(gè)穩(wěn)定的共存狀態(tài)，并解釋其生態(tài)學(xué)含義。3.如果$X(0)>0$且$Y(0)>0$，根據(jù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，大致描述哪種植物更有可能在長(zhǎng)期內(nèi)占據(jù)優(yōu)勢(shì)？四、設(shè)一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的能量流動(dòng)可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的食物鏈模型來(lái)描述：植物（生產(chǎn)者）->兔子（初級(jí)消費(fèi)者）->狐貍（次級(jí)消費(fèi)者）。假設(shè)能量傳遞效率（TrophicTransferEfficiency,TTE）為10%（即初級(jí)消費(fèi)者獲得初級(jí)生產(chǎn)者10%的能量，次級(jí)消費(fèi)者獲得初級(jí)消費(fèi)者10%的能量）。1.如果植物的總初級(jí)生產(chǎn)力（凈初級(jí)生產(chǎn)量）為$10000\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$，求兔子和狐貍的潛在最大生物量（假設(shè)它們都處于能量流動(dòng)的末端，即忽略更高營(yíng)養(yǎng)級(jí)）。2.解釋為何實(shí)際生態(tài)系統(tǒng)中頂級(jí)消費(fèi)者的數(shù)量通常遠(yuǎn)少于初級(jí)消費(fèi)者，即使能量傳遞效率不為零。3.假設(shè)通過(guò)實(shí)際觀測(cè)得到狐貍的密度為100只/平方公里，而兔子的密度為2000只/平方公里。結(jié)合能量流動(dòng)模型，討論這一密度格局可能存在的生態(tài)學(xué)原因。五、某生態(tài)學(xué)家為了研究某種昆蟲種群的增長(zhǎng)規(guī)律，在不同時(shí)間點(diǎn)對(duì)其種群數(shù)量進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（種群數(shù)量$N$，時(shí)間$t$單位：周）：|周數(shù)($t$)|種群數(shù)量($N$)||:---------|:-------------||0|20||1|42||2|73||3|119||4|185|該生態(tài)學(xué)家猜測(cè)該昆蟲種群的增長(zhǎng)符合邏輯斯蒂模型$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$。1.試用最小二乘法（或其他合適的方法）擬合這些數(shù)據(jù)，估計(jì)模型參數(shù)$r$和$K$的值。（無(wú)需展示詳細(xì)計(jì)算過(guò)程，只需給出計(jì)算方法或直接給出估計(jì)結(jié)果）2.基于你估計(jì)的參數(shù)值，描述該昆蟲種群的潛在增長(zhǎng)趨勢(shì)。3.解釋在生態(tài)學(xué)研究中使用邏輯斯蒂模型擬合數(shù)據(jù)時(shí)可能存在的局限性。試卷答案一、1.$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)\implies\frac{1}{N(1-\frac{N}{K})}dN=rdt\implies\int\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}dN=\intrdt\implies\lnN-\ln(K-N)=rt+C\implies\ln\frac{N}{K-N}=rt+C$.令$N(0)=N_0$，則$\ln\frac{N_0}{K-N_0}=C$。故$\ln\frac{N}{K-N}=rt+\ln\frac{N_0}{K-N_0}\implies\frac{N}{K-N}=\frac{N_0}{K-N_0}e^{rt}\impliesN=\frac{KN_0e^{rt}}{K+(N_0-K)e^{rt}}$.2.當(dāng)$N\rightarrow0$時(shí)，$N(t)\rightarrow0$。當(dāng)$N\rightarrowK$時(shí)，$(N_0-K)e^{rt}\rightarrow-\infty$，分母趨向于$-\infty$，故$N(t)\rightarrowK$。3.指數(shù)模型$\frac{dN}{dt}=rN$假設(shè)資源無(wú)限，環(huán)境容納量$K\rightarrow\infty$。邏輯斯蒂模型考慮了環(huán)境限制，即存在最大承載量$K$。當(dāng)種群數(shù)量較小時(shí)，資源相對(duì)豐富，接近指數(shù)增長(zhǎng)；當(dāng)種群數(shù)量接近$K$時(shí)，資源競(jìng)爭(zhēng)加劇，增長(zhǎng)率下降，最終趨于穩(wěn)定在$K$附近。因此，邏輯斯蒂模型能更好地反映有限環(huán)境下的實(shí)際增長(zhǎng)現(xiàn)象。二、1.令$\frac{dX}{dt}=0$和$\frac{dY}{dt}=0$。從第一式$X(a-bY)=0$，得$X=0$或$Y=\frac{a}$。從第二式$-Y(c+dX)=0$，得$Y=0$或$X=-\frac{c}ymyoccs$。平衡點(diǎn)為$(0,0)$,$(0,\frac{a})$,$(-\frac{c}ogqoyyo,0)$,$(-\frac{c}qcucwyy,\frac{a})$。2.$(0,0)$：代表兩個(gè)種群數(shù)量都為零的狀態(tài)，即系統(tǒng)空狀態(tài)。$(0,\frac{a})$：代表捕食者存在，但被捕食者數(shù)量為零的狀態(tài)。此時(shí)$\frac{dY}{dt}=0$，但$\frac{dX}{dt}=-b\frac{a}Y=-aY<0$（$Y>0$），所以被捕食者會(huì)從零開(kāi)始增長(zhǎng)。$(-\frac{c}ssqqogo,0)$：代表被捕食者存在，但捕食者數(shù)量為零的狀態(tài)。此時(shí)$\frac{dX}{dt}=0$，但$\frac{dY}{dt}=-cX=-c(-\frac{c}gmqyckq)>0$（$X>0$），所以捕食者會(huì)從零開(kāi)始增長(zhǎng)。$(-\frac{c}cyomccc,\frac{a})$：代表兩個(gè)種群都處于其各自零平衡點(diǎn)狀態(tài)。分析其中一個(gè)（如捕食者），$\frac{dY}{dt}=-cX=-c(-\frac{c}uucaayi)>0$（$X>0$），所以捕食者會(huì)從零開(kāi)始增長(zhǎng)。該點(diǎn)通常不是穩(wěn)定的。3.線性化：將$X(t),Y(t)$在平衡點(diǎn)$(X_0,Y_0)$附近進(jìn)行泰勒展開(kāi)，只保留一階項(xiàng)，得到線性化方程組：$\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialX}&\frac{\partialf}{\partialY}\\\frac{\partialg}{\partialX}&\frac{\partialg}{\partialY}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\DeltaX\\\DeltaY\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$，其中$f(X,Y)=X(a-bY)$,$g(X,Y)=-Y(c+dX)$。在原點(diǎn)$(0,0)$處，$\frac{\partialf}{\partialX}=a$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-b\cdot0=0$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-d\cdot0=0$,$\frac{\partialg}{\partialY}=-c$。線性化方程組為$\begin{pmatrix}a&0\\0&-c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\DeltaX\\\DeltaY\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$。特征方程為$\text{det}\begin{pmatrix}a-\lambda&0\\0&-c-\lambda\end{pmatrix}=0\implies(a-\lambda)(-c-\lambda)=0$。特征值為$\lambda_1=a$,$\lambda_2=-c$。由于$a>0$,$c>0$，特征值一正一負(fù)，故原點(diǎn)$(0,0)$不穩(wěn)定。三、1.令$\frac{dX}{dt}=0$和$\frac{dY}{dt}=0$。從第一式$X(1-0.5X-0.2Y)=0$，得$X=0$或$1-0.5X-0.2Y=0$。從第二式$Y(1.5-X-0.5Y)=0$，得$Y=0$或$1.5-X-0.5Y=0$。解得平衡點(diǎn)：$(0,0)$,$(0,3)$,$(1.5,0)$,$(1,1)$。2.$(0,0)$：兩個(gè)種群都為零，空狀態(tài)。$(0,3)$：$X=0$，$\frac{dY}{dt}=Y(1.5-0-0.5\cdot3)=Y(0)=0$。但$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5\cdot0-0.2\cdot3)=X(1-0.6)=0.4X>0$（$X>0$），所以$X$會(huì)增長(zhǎng)。該點(diǎn)不穩(wěn)定。$(1.5,0)$：$Y=0$，$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5\cdot1.5-0.2\cdot0)=X(1-0.75)=0.25X>0$（$X>0$），所以$X$會(huì)增長(zhǎng)。該點(diǎn)不穩(wěn)定。$(1,1)$：代入檢查，$\frac{dX}{dt}=1(1-0.5\cdot1-0.2\cdot1)=1(1-0.5-0.2)=0.3>0$，$\frac{dY}{dt}=1(1.5-1-0.5\cdot1)=1(1.5-1-0.5)=0$。所以$(1,1)$不是平衡點(diǎn)。（修正：需重新檢查$(1,1)$）重新檢查$(1,1)$：$\frac{dX}{dt}=1(1-0.5\cdot1-0.2\cdot1)=1-0.5-0.2=0.3\neq0$。$\frac{dY}{dt}=1(1.5-1-0.5\cdot1)=1.5-1-0.5=0$。確實(shí)$\frac{dY}{dt}=0$但$\frac{dX}{dt}\neq0$。所以$(1,1)$不是平衡點(diǎn)。（再次修正：需重新求解平衡點(diǎn)）重新求解平衡點(diǎn)：$1-0.5X-0.2Y=0\impliesY=\frac{1-0.5X}{0.2}=5-2.5X$。$1.5-X-0.5Y=0\impliesY=\frac{1.5-X}{0.5}=3-2X$。聯(lián)立$5-2.5X=3-2X\implies2=0.5X\impliesX=4$。代入$Y=3-2X=3-2\cdot4=3-8=-5$。此解無(wú)生態(tài)意義（種群數(shù)量為負(fù)）。聯(lián)立$5-2.5X=3-2X\implies2=0.5X\impliesX=4$。代入$Y=5-2.5X=5-2.5\cdot4=5-10=-5$。此解無(wú)生態(tài)意義。檢查原方程：$\frac{dX}{dt}=X(1-0.5X-0.2Y)$$\frac{dY}{dt}=Y(1.5-X-0.5Y)$平衡點(diǎn)需滿足$X(1-0.5X-0.2Y)=0$且$Y(1.5-X-0.5Y)=0$?？赡艿慕饧?X=0$且$Y(1.5-X-0.5Y)=0\impliesY=0$或$Y=3$。得到$(0,0),(0,3)$?；?Y=0$且$X(1-0.5X-0.2Y)=0\impliesX=0$或$X=1.5$。得到$(0,0),(1.5,0)$?；?1-0.5X-0.2Y=0$且$1.5-X-0.5Y=0$。解聯(lián)立方程：$1-0.5X-0.2Y=0\impliesY=5-2.5X$。代入$1.5-X-0.5Y=0\implies1.5-X-0.5(5-2.5X)=0\implies1.5-X-2.5+1.25X=0\implies0.5X-1=0\impliesX=2$。代入$Y=5-2.5X=5-2.5\cdot2=5-5=0$。得到$(2,0)$。再次檢查$(2,0)$：$\frac{dX}{dt}=2(1-0.5\cdot2-0.2\cdot0)=2(1-1)=0$。$\frac{dY}{dt}=0(1.5-2-0.5\cdot0)=0$。$(2,0)$是平衡點(diǎn)。最終平衡點(diǎn)：$(0,0)$,$(0,3)$,$(1.5,0)$,$(2,0)$。2.分析平衡點(diǎn)穩(wěn)定性：$(0,0)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=1$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-0.2$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-0$,$\frac{\partialg}{\partialY}=-0.5$。矩陣$J=\begin{pmatrix}1&-0.2\\-0&-0.5\end{pmatrix}$。特征值$\lambda_1=1$,$\lambda_2=-0.5$。一正一負(fù)，不穩(wěn)定。$(0,3)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=0$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-1$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-2$,$\frac{\partialg}{\partialY}=-0.5$。$J=\begin{pmatrix}0&-1\\-2&-0.5\end{pmatrix}$。特征方程$\text{det}(J-\lambdaI)=\lambda^2-0.5\lambda+2=0$。判別式$\Delta=(-0.5)^2-8<0$。特征值為兩個(gè)正實(shí)部復(fù)數(shù)。不穩(wěn)定。$(1.5,0)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=0.5$,$\frac{\partialf}{\partialY}=0$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-1$,$\frac{\partialg}{\partialY}=0$。$J=\begin{pmatrix}0.5&0\\-1&0\end{pmatrix}$。特征值$\lambda_1=0.5$,$\lambda_2=0$。正實(shí)部特征值，不穩(wěn)定。$(2,0)$：$\frac{\partialf}{\partialX}=0$,$\frac{\partialf}{\partialY}=-0.4$,$\frac{\partialg}{\partialX}=-2$,$\frac{\partialg}{\partialY}=0$。$J=\begin{pmatrix}0&-0.4\\-2&0\end{pmatrix}$。特征方程$\lambda^2+0.8\lambda=0\implies\lambda(\lambda+0.8)=0$。特征值$\lambda_1=0$,$\lambda_2=-0.8$。一個(gè)零特征值，不穩(wěn)定。結(jié)論：所有的平衡點(diǎn)$(0,0)$,$(0,3)$,$(1.5,0)$,$(2,0)$都是不穩(wěn)定的。生態(tài)學(xué)意義：這個(gè)競(jìng)爭(zhēng)模型暗示，當(dāng)兩種植物競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，如果沒(méi)有外部干擾，它們中的一個(gè)最終會(huì)完全取代另一個(gè)，或者說(shuō)會(huì)趨向于一個(gè)一維的競(jìng)爭(zhēng)排斥線。沒(méi)有穩(wěn)定共存的內(nèi)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)。這與某些競(jìng)爭(zhēng)模型（如Amida模型）的結(jié)論一致。3.根據(jù)Gause定律（競(jìng)爭(zhēng)排斥原理），在沒(méi)有環(huán)境容納量限制或存在環(huán)境容納量但只有一個(gè)物種能完全適應(yīng)的情況下，兩個(gè)生態(tài)位完全相同的物種不能長(zhǎng)期穩(wěn)定共存。本模型（即使考慮了環(huán)境容納量$K$，只要$K$有限，且兩個(gè)物種的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)不同）暗示了競(jìng)爭(zhēng)的強(qiáng)烈性，使得一個(gè)物種會(huì)最終排擠掉另一個(gè)。長(zhǎng)期來(lái)看，取決于初始條件，最終會(huì)趨向于$(0,3)$或$(2,0)$這樣的狀態(tài)（其中一個(gè)物種存在，另一個(gè)消失），或者如果模型允許，可能趨向于某個(gè)一維的競(jìng)爭(zhēng)邊界（例如，某種空間格局）。$(1,1)$不是平衡點(diǎn)，說(shuō)明在這一點(diǎn)上系統(tǒng)狀態(tài)是不穩(wěn)定的，兩個(gè)物種的密度都會(huì)發(fā)生變化。四、1.植物總初級(jí)生產(chǎn)力$P=10000\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$。初級(jí)消費(fèi)者（兔子）的潛在最大生物量約為$P\timesTTE=10000\times0.1=1000\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$。次級(jí)消費(fèi)者（狐貍）的潛在最大生物量約為兔子潛在最大生物量$\timesTTE=1000\times0.1=100\,\text{kJ}/\text{m}^2/\text{年}$。（注：這里的“潛在最大生物量”通常指基于能量輸入計(jì)算的理論最大量，實(shí)際生物量還會(huì)受生長(zhǎng)效率、季節(jié)性等多種因素影響）。2.能量傳遞效率通常較低（10%-20%），且在食物鏈中逐級(jí)傳遞，能量損失巨大。頂級(jí)消費(fèi)者所處的食物鏈環(huán)節(jié)最長(zhǎng)，需要消耗大量能量來(lái)維持自身生命活動(dòng)，可利用的能量相對(duì)較少。同時(shí)，頂級(jí)消費(fèi)者的數(shù)量受其捕食者的數(shù)量（次級(jí)消費(fèi)者）和獵物的數(shù)量（初級(jí)消費(fèi)者）等多種因素制約，生態(tài)位較窄，生存壓力較大。因此，即使能量傳遞效率不為零，頂級(jí)消費(fèi)者的數(shù)量也通常遠(yuǎn)少于初級(jí)消費(fèi)者。3.觀測(cè)到狐貍密度（次級(jí)消費(fèi)者）為100只/平方公里，兔子密度（初級(jí)消費(fèi)者）為2000只/平方公里，符合典型的金字塔結(jié)構(gòu)。原因：狐貍需要消耗大量的兔子才能維持生存，而兔子需要消耗大量的植物才能維持生存。能量沿食物鏈逐級(jí)遞減，導(dǎo)致能夠支持的高級(jí)消費(fèi)者數(shù)量遠(yuǎn)少于初級(jí)消費(fèi)者。2000只兔子的總生物量或能量需求，需要遠(yuǎn)大于100只狐貍的總生物量或能量需求。這種密度格局是能量流動(dòng)和生態(tài)位分化的自然結(jié)果。五、1.方法一：直接積分邏輯斯蒂方程兩邊。$\int\frac{1}{N(K-N)}dN=\intrdt$。令$u=\frac{N}{K}$，則$N=Ku$,$dN=Kdu$。$\int\frac{1}{ku(ku-ku+K)}Kdu=\intrdt\implies\frac{1}{K}\int\frac{1}{u(1-u)}du=\intrdt$。$\frac{1}{K}\left(\int\frac{1}{u}du+\int\frac{1}{1-u}du\right)=rt+C\implies\frac{1}{K}(\lnu-\ln(1-u))=rt+C$。$\ln\frac{u}{1-u}=K(rt+C)\implies\frac{u}{1-u}=e^{K(rt+C)}=Ae^{Krt}$（其中$A=e^{KC}$）。$\frac{N}{K}=\frac{Ae^{Krt}}{1+Ae^{Krt}}\impliesN(t)=\frac{KAe^{Krt}}{1+Ae^{Krt}}$。利用初始條件$N(0)=20$，得$20=\frac{KA}{1+A}\implies\frac{N}{20}=\frac{A}{1+A}$。利用$N(1)=42$，得$42=\frac{KAe^{Kr}}{1+Ae^{Kr}}$。將第一式變形為$A=\frac{N}{20(1-\frac{N}{20})}=\frac{N}{20-N}$。代入第二式：$42=\frac{K\frac{N}{20-N}e^{Kr}}{1+\frac{N}{20-N}