2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——拓?fù)鋵W(xué)的基本概念及其在幾何學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.下列集合中，不是拓?fù)淇臻g的是（）。(A)集合X，配以拓?fù)銽，其中T包含X和空集，且對(duì)任意有限個(gè)T中的集合的并集仍屬于T。(B)集合X，配以拓?fù)銽，其中T包含X和空集，且對(duì)任意T中的集合的并集仍屬于T，但任意交集不一定屬于T。(C)集合X，配以拓?fù)銽，其中T包含所有包含X中有限個(gè)點(diǎn)的開集的補(bǔ)集。(D)集合X，配以拓?fù)銽，其中T包含所有X的非空真子集。2.設(shè)X和Y是拓?fù)淇臻g，f:X->Y是一個(gè)映射。下列命題中，正確的是（）。(A)如果f是連續(xù)的，那么f的逆映射f^(-1)也是連續(xù)的。(B)如果f是連續(xù)的，那么f的像f(A)對(duì)任意A屬于X的閉集也是閉集。(C)如果f是連續(xù)的，那么f將X的連通子集映射為Y的連通子集。(D)如果f是連續(xù)的，那么f將X的緊致子集映射為Y的緊致子集。3.下列拓?fù)淇臻g中，是緊致空間的是（）。(A)實(shí)數(shù)集R，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)洹?B)自然數(shù)集N，配以離散拓?fù)洹?C)有理數(shù)集Q，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)洹?D)閉區(qū)間[0,1]，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)洹?.下列拓?fù)淇臻g中，是連通空間的是（）。(A)實(shí)數(shù)集R，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)洌サ酎c(diǎn)0。(B)集合{a,b,c}，配以離散拓?fù)洹?C)集合{a,b}，配以平凡拓?fù)洹?D)圓周S^1，配以標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)洹?.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A是X的子集。下列命題中，正確的是（）。(A)如果A是開集，那么A的補(bǔ)集是閉集。(B)如果A是閉集，那么A的補(bǔ)集是開集。(C)如果A不是開集，那么A不是閉集。(D)如果A不是閉集，那么A不是開集。二、填空題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在橫線上）1.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A是X的子集。如果對(duì)任意x屬于A，存在A中的一個(gè)開集U包含x，那么稱A是X的______。2.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，Y是拓?fù)淇臻g，f:X->Y是一個(gè)連續(xù)映射。如果對(duì)任意Y的閉集C，f^(C)是X的閉集，那么稱f是______。3.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，如果X不能被分解為兩個(gè)非空且不相交的開集的并集，那么稱X是______。4.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，如果對(duì)任意X的子集A，如果A的任意有限子集都是X的閉集，那么A本身也是X的閉集，那么稱X是______。5.同倫等價(jià)的兩個(gè)流形被稱為______。三、判斷題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將“正確”或“錯(cuò)誤”填在括號(hào)內(nèi)）1.兩個(gè)拓?fù)淇臻g同胚，則它們的拓?fù)湫再|(zhì)完全相同。（）2.連續(xù)映射的像一定是閉集。（）3.緊致空間的任何子集都是緊致空間。（）4.連通空間不能被分解為兩個(gè)非空且不相交的開集的并集。（）5.同調(diào)群是拓?fù)淇臻g的一個(gè)不變量。（）四、計(jì)算題（每小題10分，共20分）1.設(shè)X={a,b,c}，T={{a},{a,b},{a,c}}。證明(T,X)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，并判斷集合是否是X在(T,X)中的開集。2.設(shè)f:R->R定義為f(x)=x^2。證明f是連續(xù)映射。五、證明題（每小題10分，共20分）1.證明：緊致空間X的任何連續(xù)映射f:X->R是緊致的。2.證明：如果拓?fù)淇臻gX是連通的，那么X的任何非空真子集都是連通的。試卷答案一、選擇題1.D2.D3.D4.D5.B二、填空題1.開集2.閉映射3.連通空間4.T1空間5.同胚三、判斷題1.正確2.錯(cuò)誤3.錯(cuò)誤4.正確5.正確四、計(jì)算題1.證明：(T,X)是一個(gè)拓?fù)淇臻g：需要驗(yàn)證T滿足拓?fù)涔恚?1)空集?和集合X本身都屬于T，?∈T，X∈T（因?yàn)閧T}是X的非空真子集，而{T}?T，但X包含{T}，且{T}是X的子集，所以X∈T）。（這里需要更正，T中不包含X，T={{a},{a,b},{a,c}}，所以X?T。重新考慮拓?fù)涠x：T包含X和空集，且對(duì)任意有限個(gè)T中的集合的并集仍屬于T。所以T={{a},{a,b},{a,c}}不是拓?fù)洌驗(yàn)閄={a,b,c}?T。假設(shè)題目意圖是T={{a},{a,b},{a,c},?}，則：需要驗(yàn)證T滿足拓?fù)涔恚?1)空集?和集合X本身都屬于T，?∈T，X∈T。這里X={a,b,c}，但X?T，題目有誤。假設(shè)X={a,b,c}，T={{a},{a,b},{a,c},?}。(2)對(duì)任意有限個(gè)T中的集合的并集仍屬于T。任意有限個(gè)T中的集合的并集只能是{a},{a,b},{a,c},?，這些都在T中。所以(T,{a,b,c})是一個(gè)拓?fù)淇臻g。判斷集合是否是X在(T,X)中的開集：?T，所以不是開集。修正：題目T={{a},{a,b},{a,c}}，X={a,b,c}，則(T,X)不是拓?fù)淇臻g，因?yàn)閄?T。如果題目意圖是T={{a},{a,b},{a,c},?}，則：判斷集合是否是X在(T,X)中的開集：∈T，所以是開集。最終假設(shè)題目為T={{a},{a,b},{a,c},?}。答案：是開集。2.證明f(x)=x^2是連續(xù)映射：方法一：使用定義。需要證明對(duì)任意開集U?R，f^(-1)(U)是R的開集。任取開集U?R，x屬于f^(-1)(U)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)屬于U，即x^2屬于U。因?yàn)閁是開集，所以存在ε>0，使得區(qū)間(-ε,ε)?U。對(duì)任意x屬于(-√ε,√ε)，有x^2屬于(-ε,ε)?U，所以x屬于f^(-1)(U)。對(duì)任意x屬于(-∞,-√ε]∪[√ε,∞)，有x^2屬于[ε,∞)∪(0,ε]，根據(jù)U的開集性質(zhì)，x^2不屬于U，所以x不屬于f^(-1)(U)。因此，f^(-1)(U)=(-√ε,√ε)，這是R的開集，所以f是連續(xù)的。方法二：使用緊致性。設(shè)K是R的緊致子集，因?yàn)镵是緊致的，所以K是有界且閉的。對(duì)任意x屬于K，f(K)是有界集（因?yàn)閒是連續(xù)映射，像集有界）。又因?yàn)閒(x)=x^2在[0,∞)上是連續(xù)的，且K?[0,∞)，所以f(K)是閉集。因此，f(K)是有界且閉的，即f(K)是緊致集。由于f是連續(xù)映射，所以f將緊致集K映射為緊致集f(K)。因此，f是連續(xù)的。五、證明題1.證明：緊致空間X的任何連續(xù)映射f:X->R是緊致的。證明f(X)是R的緊致子集。因?yàn)镽是度量空間，所以緊致子集在度量空間中是閉且有界的。方法一：使用覆蓋定理。設(shè){Uα}是f(X)的一個(gè)開覆蓋。因?yàn)閒是連續(xù)的，所以f^(-1){Uα}是X的一個(gè)開覆蓋。因?yàn)閄是緊致的，所以存在有限子覆蓋{f^(-1){Uα}}_i=1ⁿ。所以{Uα}_i=1ⁿ是f(X)的一個(gè)有限子覆蓋。因此，f(X)是緊致的。方法二：使用緊致性的等價(jià)定義。因?yàn)閄是緊致的，所以X是序列緊致的。任取f(X)中一個(gè)序列{y_n}。因?yàn)閒是連續(xù)的，所以{y_n}的像{f(x_n)}`是X中一個(gè)序列。因?yàn)閄是序列緊致的，所以存在x屬于X，使得x_n->x。因?yàn)閒是連續(xù)的，所以f(x_n)->f(x)。因此，{y_n}有極限點(diǎn)f(x)屬于f(X)。因此，f(X)是序列緊致的，從而是緊致的。2.證明