2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——概率統(tǒng)計在科學(xué)研究中的重要性考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.某隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A)=0.7，則事件A的補(bǔ)事件ā發(fā)生的概率是多少？2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n=10,p=0.2的二項分布，則P(X=2)等于多少？3.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=5，方差Var(X)=4，則隨機(jī)變量Y=3X-2的期望E(Y)和方差Var(Y)分別為多少？4.從總體中抽取一個容量為n的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值為x?。當(dāng)總體服從正態(tài)分布時，x?的分布是什么？當(dāng)總體分布未知但樣本量n很大時，根據(jù)中心極限定理，x?近似服從什么分布？5.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。從總體中抽取樣本，要檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?，應(yīng)使用哪種假設(shè)檢驗方法？6.在一項假設(shè)檢驗中，若拒絕了實際上正確的原假設(shè)H?，犯了哪種錯誤？7.設(shè)總體X的均值μ未知，要構(gòu)建μ的95%置信區(qū)間，應(yīng)使用哪種分布？8.在解釋假設(shè)檢驗結(jié)果時，p值表示什么？9.設(shè)X?,X?,...,X?是來自總體N(μ,σ2)的樣本，則統(tǒng)計量(X?-μ)/(σ/√n)服從什么分布？10.設(shè)X?,X?,...,X?是來自總體N(μ,σ2)的樣本（σ2未知），則統(tǒng)計量√n*(X?-μ)/S服從什么分布？二、計算題11.甲乙兩人獨立地進(jìn)行投籃測試，甲命中的概率為0.7，乙命中的概率為0.8。求（1）兩人都命中的概率；（2）至少有一人命中的概率。12.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={c*x2,0<x<2;0,其他}。求（1）常數(shù)c的值；（2）P(1<X<1.5)。13.從一個裝有3個紅球和2個白球的袋中，有放回地隨機(jī)抽取3次，每次抽取一個球。求抽到紅球次數(shù)X的分布列，并計算E(X)。14.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(10,4)，現(xiàn)從中抽取一個容量為16的簡單隨機(jī)樣本。求樣本均值X?超過11的概率。（提示：可利用Z分布）三、應(yīng)用題15.某研究人員想比較兩種不同藥物A和B治療某種疾病的療效。他隨機(jī)選取了60名患者，將他們隨機(jī)分成兩組，每組30人，分別服用藥物A和B。經(jīng)過一段時間治療后，記錄下兩組患者的康復(fù)率。藥物A組有18人康復(fù)，藥物B組有22人康復(fù)。假設(shè)兩組患者的康復(fù)率分別記為p?和p?，且p?和p?均服從二項分布。請設(shè)計一個統(tǒng)計檢驗，判斷藥物A的康復(fù)率是否顯著低于藥物B的康復(fù)率（α=0.05）。請寫出檢驗的基本步驟，包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量及其分布、確定拒絕域、做出結(jié)論。無需計算具體數(shù)值，但需說明使用的方法和原理。16.研究人員測量了10名吸煙者吸食一支煙后血液中的一氧化碳含量（mg/dL），得到數(shù)據(jù)如下：12,14,13,15,11,16,14,13,12,15。假設(shè)一氧化碳含量近似服從正態(tài)分布。請計算這10名吸煙者吸食一支煙后血液中一氧化碳含量的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。然后，構(gòu)建該吸煙群體吸食一支煙后血液中一氧化碳含量均值μ的95%置信區(qū)間。（提示：需先計算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，然后選擇合適的分布構(gòu)建置信區(qū)間）試卷答案1.0.3解析：P(ā)=1-P(A)=1-0.7=0.32.C(10,2)*(0.2)2*(0.8)?≈0.301解析：根據(jù)二項分布概率公式P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，代入n=10,p=0.2,k=2計算。3.E(Y)=11,Var(Y)=36解析：E(aX+b)=aE(X)+b,Var(aX+b)=a2Var(X)。代入E(X)=5,Var(X)=4,a=3,b=-2計算。4.當(dāng)總體正態(tài)時，x?~N(μ,σ2/n)；當(dāng)n很大時，x?~N(μ,σ2/n)（近似）解析：依據(jù)抽樣分布定理和中心極限定理。5.t檢驗（單樣本均值檢驗，σ2未知）解析：假設(shè)檢驗中，當(dāng)總體方差未知且樣本量不大時，通常使用t檢驗。6.第一類錯誤（或棄真錯誤）解析：拒絕了實際上為真的原假設(shè)H?，即錯誤地拒絕了H?。7.t分布解析：當(dāng)總體正態(tài)但方差未知時，用于構(gòu)建總體均值的置信區(qū)間。8.在顯著性水平α下，觀察到當(dāng)前或更極端結(jié)果的概率解析：p值是假設(shè)檢驗中衡量證據(jù)強(qiáng)度的一個度量。9.Z分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）解析：根據(jù)Z分?jǐn)?shù)定義，當(dāng)總體正態(tài)、方差已知且樣本量足夠大時，樣本均值標(biāo)準(zhǔn)化后服從Z分布。10.t分布（n-1自由度）解析：根據(jù)t分?jǐn)?shù)定義，當(dāng)總體正態(tài)、方差未知時，樣本均值與總體均值之差除以樣本標(biāo)準(zhǔn)誤后服從t分布。40分11.(1)0.56;(2)0.94解析：(1)P(甲且乙)=P(甲)*P(乙)=0.7*0.8=0.56；(2)P(至少一人命中)=1-P(都不命中)=1-(1-0.7)*(1-0.8)=0.9412.(1)c=3/4;(2)7/16解析：(1)由f(x)在定義域上的積分為1，∫[0,2]c*x2dx=1，解得c；(2)P(1<X<1.5)=∫[1,1.5]c*x2dx，代入c值計算。13.P(X=k)=C(3,k)*(1/2)?*(1/2)3??,k=0,1,2,3;E(X)=1.5解析：因為有放回抽取，每次抽取紅球概率為1/2，X~B(3,1/2)。分布列為P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8,P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8。E(X)=n*p=3*(1/2)=1.5。14.P(X?>11)≈P(Z>2)解析：X?~N(μ=10,σ?2=σ2/16=4/16=1/4)，即X?~N(10,1/4)。標(biāo)準(zhǔn)化計算P((X?-10)/√(1/4)>(11-10)/√(1/4))=P(Z>2)。90分15.提出假設(shè)H?:p?=p?vsH?:p?<p?；計算樣本比例p??=18/30,p??=22/30；合并比例p?=(18+22)/(30+30)=40/60=2/3；檢驗統(tǒng)計量Z=(p??-p??)/sqrt[p?(1-p?)(1/n?+1/n?)]；在α=0.05下，查Z分布表得臨界值，或比較p值與α；若Z<臨界值或p值>α，則不拒絕H?；若Z≥臨界值或p值≤α，則拒絕H?。選擇Z檢驗是因為樣本來自兩個獨立的總體比例，樣本量較大。16.樣本均值x?=(12+14+...+15)/10=140/10=14；樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=sqrt[sum(xi-x?)2/(n-1)]≈sqrt[(12-14)2+...+(15-14)2/(10-1)]≈sqrt[(-