2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——微分方程在天體力學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試述微分方程在描述天體運(yùn)動(dòng)中的作用，并說(shuō)明求解天體運(yùn)動(dòng)微分方程的主要方法及其適用范圍。二、設(shè)一質(zhì)量為$m$的質(zhì)點(diǎn)，僅受一個(gè)與距離平方成反比的中心力作用而運(yùn)動(dòng)，中心力方向指向原點(diǎn)。若質(zhì)點(diǎn)在距原點(diǎn)$r_0$處以速度$v_0$射出，求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程，并證明其總能量守恒。三、在牛頓萬(wàn)有引力作用下，一質(zhì)量為$m$的質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)量為$M$的固定中心體周?chē)\(yùn)動(dòng)。若初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于距離中心體$r_0$處，速度大小為$v_0$，且速度方向與徑向線(xiàn)成$\theta_0$角，求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程，并求其運(yùn)動(dòng)周期（設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍足夠小，可近似視為平面運(yùn)動(dòng)）。四、簡(jiǎn)述開(kāi)普勒問(wèn)題與二體問(wèn)題的區(qū)別與聯(lián)系。若已知一星系中兩顆星的質(zhì)量分別為$m_1$和$m_2$，它們之間的距離保持不變，求這兩顆星的運(yùn)動(dòng)方程。五、考慮一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力作用下的運(yùn)動(dòng)，其微分方程為$\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{k}{r^3}\mathbf{r}$，其中$k$為常數(shù)，$\mathbf{r}$為質(zhì)點(diǎn)位置向量。試用拉格朗日方法求解此微分方程，并給出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程。六、設(shè)有一質(zhì)量為$m$的行星，圍繞一個(gè)質(zhì)量為$M$的恒星運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻行星位于距離恒星$r_0$處，速度大小為$v_0$，且速度方向與徑向線(xiàn)垂直。若考慮恒星對(duì)行星的引力為$\mathbf{F}=-\frac{GMm}{r^3}\mathbf{r}$，其中$G$為引力常數(shù)，求行星運(yùn)動(dòng)的軌道方程，并計(jì)算其近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離（假設(shè)運(yùn)動(dòng)為橢圓軌道）。七、簡(jiǎn)要介紹微分方程組在多體問(wèn)題中的應(yīng)用，并以三體問(wèn)題為例，說(shuō)明其數(shù)學(xué)建模的復(fù)雜性和求解的困難性。八、數(shù)值計(jì)算在天體力學(xué)研究中具有重要意義。試簡(jiǎn)述歐拉法和龍格-庫(kù)塔法的基本思想，并比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)。假設(shè)已知一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力作用下的運(yùn)動(dòng)方程為$\ddot{x}=-\frac{k}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，$\ddot{y}=-\frac{ky}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，其中$k$為常數(shù)。若初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于$(x_0,y_0)=(1,0)$，速度為$(\dot{x}_0,\dot{y}_0)=(0,1)$，試用歐拉法計(jì)算該質(zhì)點(diǎn)在$t=0$到$t=1$之間的運(yùn)動(dòng)軌跡（取時(shí)間步長(zhǎng)$h=0.1$）。試卷答案一、微分方程描述了天體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，通過(guò)牛頓第二定律或拉格朗日方程可以建立天體運(yùn)動(dòng)的微分方程。主要求解方法包括：解析法（如分離變量法、積分因子法、待定系數(shù)法、拉格朗日方法、皮卡方法等）和數(shù)值計(jì)算方法（如歐拉法、龍格-庫(kù)塔法等）。解析法適用于一些簡(jiǎn)單的天體運(yùn)動(dòng)模型，如開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)；數(shù)值計(jì)算方法適用于復(fù)雜的、難以解析求解的天體運(yùn)動(dòng)模型，如攝動(dòng)理論、三體問(wèn)題等。二、由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為$\ddot{r}=-\frac{k}{r^3}$。采用極坐標(biāo)系，設(shè)$\mathbf{r}=r\mathbf{e}_r$，則$\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2=-\frac{k}{r^3}$，角動(dòng)量守恒$L=r^2\dot{\varphi}$。將角動(dòng)量守恒代入徑向方程，得$\ddot{r}+\frac{L^2}{r^3}=-\frac{k}{r^3}$。令$u=\frac{1}{r}$，則$\dot{r}=-\frac{\dot{u}}{u^2}$，$\ddot{r}=-\frac{\ddot{u}}{u^2}+\frac{2\dot{u}^2}{u^3}$。代入徑向方程并簡(jiǎn)化，得$u\ddot{u}+\dot{u}^2=-\frac{k}{Lu^2}$。積分得到$u\dot{u}=-\frac{k}{L}u+C_1$，其中$C_1=\frac{v_0^2}{L}$。再用初始條件$t=0$時(shí)$r=r_0,\dot{r}=\dot{r}_0$定出$C_1$，得$\dot{u}=\frac{C_1-\frac{k}{L}u}{u}$。分離變量并積分，得$\int\frac{du}{C_1-\frac{k}{L}u}=\int\frac{du}{u}$，解得$u=\frac{C_1}{\frac{k}{L}+(u_0-\frac{C_1}{\frac{k}{L}})e^{-\frac{k}{L}t}}$，其中$u_0=\frac{1}{r_0}$。代回$u=\frac{1}{r}$，得到軌道方程$r=\frac{1}{\frac{C_1}{\frac{k}{L}+(u_0-\frac{C_1}{\frac{k}{L}})e^{-\frac{k}{L}t}}}$。總能量$E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)+V(r)=\frac{1}{2}m\dot{r}^2-\frac{k}{r}$。將$\dot{r}=-\frac{\dot{u}}{u^2}$和角動(dòng)量守恒代入，得$E=\frac{1}{2}m(-\frac{C_1-\frac{k}{L}u}{u^2})^2-\frac{k}{u}=\frac{1}{2}m(\frac{k}{L})^2+\frac{kC_1}{L}-\frac{mk^2}{2L^2}$。由初始條件$t=0$時(shí)$r=r_0,\dot{r}=\dot{r}_0$定出$C_1$，最終可確定總能量為常數(shù)。三、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為$\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{GMm}{r^3}\mathbf{r}$。采用極坐標(biāo)系，設(shè)$\mathbf{r}=r\mathbf{e}_r$，則$\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2=-\frac{GMm}{r^3}$，角動(dòng)量守恒$L=mr^2\dot{\varphi}$。將角動(dòng)量守恒代入徑向方程，得$\ddot{r}+\frac{L^2}{mr^3}=-\frac{GMm}{r^3}$。令$u=\frac{1}{r}$，則$\ddot{r}=-\frac{\ddot{u}}{u^2}+\frac{2\dot{u}^2}{u^3}$。代入徑向方程并簡(jiǎn)化，得$u\ddot{u}+\dot{u}^2=-\frac{GM}{mLu^2}$。積分得到$u\dot{u}=-\frac{GM}{mL}u+C_1$。由初始條件$t=0$時(shí)$r=r_0,\dot{r}=\dot{r}_0$定出$C_1$，得$\dot{u}=\frac{C_1-\frac{GM}{mL}u}{u}$。分離變量并積分，得$\int\frac{du}{C_1-\frac{GM}{mL}u}=\int\frac{du}{u}$，解得$u=\frac{C_1}{\frac{GM}{mL}+(u_0-\frac{C_1}{\frac{GM}{mL}})e^{-\frac{GM}{mL}t}}$，其中$u_0=\frac{1}{r_0}$。代回$u=\frac{1}{r}$，得到軌道方程$r=\frac{1}{\frac{C_1}{\frac{GM}{mL}+(u_0-\frac{C_1}{\frac{GM}{mL}})e^{-\frac{GM}{mL}t}}}$。運(yùn)動(dòng)周期$T$可由$\frac{2\pi}{L}=\frac{2\pimL}{GM}$得出，$T=\frac{2\pir_0^2}{v_0h}$，其中$h$為比動(dòng)量。四、開(kāi)普勒問(wèn)題是研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在中心體引力作用下的運(yùn)動(dòng)，不考慮其他天體的影響；二體問(wèn)題是研究?jī)蓚€(gè)相互吸引的天體之間的運(yùn)動(dòng)。二體問(wèn)題是開(kāi)普勒問(wèn)題的推廣，開(kāi)普勒問(wèn)題是二體問(wèn)題在中心體質(zhì)量遠(yuǎn)大于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量時(shí)的特殊情況。二體問(wèn)題可以通過(guò)將其中一個(gè)天體的質(zhì)量視為無(wú)限大，并將另一個(gè)天體置于該天體的引力場(chǎng)中來(lái)簡(jiǎn)化為開(kāi)普勒問(wèn)題。兩顆星的運(yùn)動(dòng)方程可以通過(guò)解二體問(wèn)題的微分方程得到，即$\ddot{\mathbf{r}}_1=-\frac{G(m_1+m_2)\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}$，$\ddot{\mathbf{r}}_2=-\frac{G(m_1+m_2)\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}$，其中$\mathbf{r}_1$和$\mathbf{r}_2$分別為兩顆星的位置向量。五、拉格朗日方法是解決有心力運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一種有效方法。采用極坐標(biāo)系，設(shè)$\mathbf{r}=r\mathbf{e}_r$，有心力$\mathbf{F}=-\frac{k}{r^3}\mathbf{r}$。動(dòng)量矩$\mathbf{L}=\mathbf{r}\timesm\dot{\mathbf{r}}=mr^2\dot{\varphi}\mathbf{e}_z$。有效勢(shì)能$U_{eff}=V+\frac{L^2}{2mr^2}=-\frac{k}{r}+\frac{L^2}{2mr^2}$。拉格朗日方程為$\fracbnbjxhn{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_i})-\frac{\partialL}{\partialq_i}=Q_i$，其中$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)-U_{eff}$，$Q_r=F_r=0$，$Q_\varphi=F_\varphi=0$。拉格朗日方程簡(jiǎn)化為$\fracpbldtpz{dt}(\frac{mr^2\dot{\varphi}}{r})-\frac{mr^2\dot{\varphi}^2}{r}=0$和$mr\ddot{r}-mr\dot{\varphi}^2=-\frac{k}{r^2}$。第一個(gè)方程為角動(dòng)量守恒$L=mr^2\dot{\varphi}$。第二個(gè)方程為徑向方程$\ddot{r}+\frac{L^2}{mr^3}=-\frac{k}{r^3}$。令$u=\frac{1}{r}$，則$\ddot{r}=-\frac{\ddot{u}}{u^2}+\frac{2\dot{u}^2}{u^3}$。代入徑向方程并簡(jiǎn)化，得$u\ddot{u}+\dot{u}^2=-\frac{k}{L^2}u$。積分得到$u\dot{u}=-\frac{k}{L^2}u+C_1$。再用初始條件定出$C_1$，分離變量并積分，最終可得軌道方程$r=\frac{1}{\frac{k}{L^2}+(u_0-\frac{k}{L^2})e^{-\frac{k}{L^2}t}}$。六、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為$\ddot{x}=-\frac{GMm}{(x^2+y^2)^{3/2}}x$，$\ddot{y}=-\frac{GMm}{(x^2+y^2)^{3/2}}y$。初始條件$t=0$時(shí)$x=x_0,y=0,\dot{x}=0,\dot{y}=v_0$?？偰芰?E=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+V(x,y)=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2}}$。由初始條件得$E=\frac{1}{2}m(v_0^2)-\frac{GMm}{x_0}$。角動(dòng)量$L=m(x\dot{y}-y\dot{x})=m(x_0\cdotv_0)$。采用橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)形式$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}$，其中$p=\frac{h^2}{\mu}$，$\mu=GM$，$e$為偏心率。軌道方程為$y=x\tan\theta=x\frac{\sqrt{r^2-p^2}}{p-r}$。將$r=\sqrt{x^2+y^2}$代入，得到$y=x\frac{\sqrt{x^2+y^2-p^2}}{p-\sqrt{x^2+y^2}}$。由能量守恒和角動(dòng)量守恒，可以解出近日點(diǎn)距離$r_p$和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離$r_a$。七、微分方程組可以用來(lái)描述多體問(wèn)題，例如三體問(wèn)題。三體問(wèn)題的微分方程組由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程組成，每個(gè)方程都包含其他兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力項(xiàng)。三體問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模比較復(fù)雜，因?yàn)樾枰紤]三個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互引力作用，而且方程組是非線(xiàn)性的。三體問(wèn)題的求解非常困難，因?yàn)椴淮嬖谕ㄓ玫慕馕鼋?。目前，人們主要采用?shù)值計(jì)算方法來(lái)求解三體問(wèn)題，例如歐拉法、龍格-庫(kù)塔法等。三體問(wèn)題的研究在天體力學(xué)中具有重要意義，因?yàn)樵S多天體系統(tǒng)都是由多個(gè)天體組成的，例如太陽(yáng)系、星團(tuán)等。八、歐拉法是一種簡(jiǎn)單的數(shù)值積分方法，其基本思想是將微分方程$\dot{y}=f(t,y)$在小區(qū)間$[t_n,t_{n+1}]$上進(jìn)行近似，即