2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=(k+1)/6,k=1,2,3。求E(X)和D(X)。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,X?是來自X的樣本。樣本均值記為ā=(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?。證明ā是μ的無偏估計量。3.設(shè)A為4階方陣，且|A|=2。求|3A|的值。二、1.求矩陣A=[[1,2,0],[2,1,0],[0,0,1]]的特征值和特征向量。2.用主成分分析方法對矩陣X=[[x??]]<0xE1><0xB5><0xA3>?×?（p≥3）進(jìn)行降維，請寫出前兩個主成分Z?和Z?的計算公式，并說明其含義。三、1.證明函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。2.設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足∫<0xE1><0xB5><0xA3>^xf(t)dt=x3-3x2+2。求f(2)的值。四、1.設(shè)二元函數(shù)z=z(x,y)由方程z2-xy+x2=1確定。求?z/?x和?2z/?x2在點(diǎn)(1,1)處的值。2.計算二重積分?<0xE1><0xB5><0xA3>^?<0xE1><0xB5><0xA3>^?xy2dxdy。五、1.寫出梯度下降法（GradientDescent）的基本思想，并說明其中涉及的關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念。2.簡述線性回歸模型y=wx+b中，參數(shù)w和b的數(shù)學(xué)含義以及常用的求解方法（如最小二乘法）的基本原理。六、假設(shè)某電商平臺用戶購買行為數(shù)據(jù)如下：已知用戶購買商品種類數(shù)X服從參數(shù)為λ=2的泊松分布，且購買商品種類數(shù)大于2的概率為7/16?，F(xiàn)隨機(jī)抽取一個用戶，記Y為該用戶購買商品的價格總額（單位：元）。假設(shè)Y|X=x服從均值為20x，方差為100x的正態(tài)分布。1.求該用戶購買商品種類數(shù)X的分布律。2.若該用戶購買了3種商品，求其購買商品價格總額Y的期望值和方差。3.結(jié)合X和Y的信息，說明如何運(yùn)用概率統(tǒng)計知識分析用戶的消費(fèi)特征。試卷答案一、1.E(X)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>k(k+1)/6=(1/6)(1*2+2*3+3*4)=3/2。E(X2)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>k2(k+1)/6=(1/6)(12*2+22*3+32*4)=5/2。D(X)=E(X2)-(E(X))2=5/2-(3/2)2=5/2-9/4=1/4。2.E(ā)=E((1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?)=(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>E(X?)=(1/n)*n*μ=μ。故ā是μ的無偏估計量。3.|3A|=3?|A|=81*2=162。二、1.|λI-A|=|λ[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]-[[1,2,0],[2,1,0],[0,0,1]]|=|[[λ-1,-2,0],[-2,λ-1,0],[0,0,λ-1]]|=(λ-1)3*|-2|=-2(λ-1)3。令-2(λ-1)3=0，得λ?=λ?=λ?=1（三重特征值）。將λ=1代入(λI-A)x=0，得[-1,-2,0],[-2,0,0],[0,0,0]的行簡化階梯形為[-1,-2,0],[0,0,0],[0,0,0]。取x?=1，得基礎(chǔ)解系v?=[[0,0,1]]^T。取x?=1,x?=0，得基礎(chǔ)解系v?=[[0,1,0]]^T。取x?=2,x?=-1，得基礎(chǔ)解系v?=[[-1,2,0]]^T。特征值為1（三重），對應(yīng)的特征向量為k?v?+k?v?+k?v?，k?,k?,k?不全為0。2.協(xié)方差矩陣Σ=(1/(n-1))X'X。特征值λ?,λ?,...,λ?為Σ的特征值。Z?=c?v?，Z?=c?v?，其中v?,v?為Σ對應(yīng)的單位正交特征向量，且λ?≥λ?≥...≥λ?>0。Z?和Z?分別為第一和第二個主成分。計算公式為Z?=c?*Σ(X'X)*v?，Z?=c?*Σ(X'X)*v?。其中c?,c?為標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)（通常為1/√λ?,1/√λ?），v?,v?為對應(yīng)的單位特征向量。三、1.f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1,x=1。f(-2)=9,f(-1)=-1,f(1)=-1,f(2)=3。比較f(-2)=9,f(-1)=-1,f(1)=-1,f(2)=3，最大值為9，最小值為-1。2.等式兩邊對x求導(dǎo)，f(x)=3x2-6x。f(2)=3*22-6*2=12-12=0。四、1.方程兩邊對x求導(dǎo)，2z*(dz/dx)-y-y*dx+2x*dx=0。解得dz/dx=(y+ydx-2xdx)/(2z)=(y+(y-2x)dx)/(2z)。在點(diǎn)(1,1)，z2-1+1=1，z2=1，z=±1。若z=1，dz/dx=(1+(1-2)dx)/2=1/2。若z=-1，dz/dx=(1+(1-2)dx)/-2=-1/2。求?2z/?x2，對dz/dx=(y+(y-2x)dx)/(2z)再對x求導(dǎo)（視y為常數(shù)，z為x的函數(shù)）：d/dx[(y+(y-2x)dx)/(2z)]=d/dx[y/(2z)+(y-2x)dx/(2z)]。使用商法則和乘積法則：d/dx(y/(2z))+d/dx(((y-2x)dx)/(2z))。第一項(xiàng)：y*d/dx(1/(2z))=y*(-1/(2z2))*(dz/dx)。第二項(xiàng)：[d/dx(y-2x)*(2z)-(y-2x)*d/dx(2z)]/(4z2)=[-2*(2z)-(y-2x)*2*(dz/dx)]/(4z2)=[-4z-2(y-2x)(dz/dx)]/(4z2)。將dz/dx的表達(dá)式代入并化簡（過程略），最終在(1,1,z=±1)處計算得到?2z/?x2的值。例如，若z=1，?2z/?x2=-1/2。2.積分區(qū)域D為矩形[0,1]×[0,2]。?<0xE1><0xB5><0xA3>^?<0xE1><0xB5><0xA3>^?xy2dxdy=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^?(y2x3)|<0xE1><0xB5><0xA3>^?dx=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^?y2(x3)|<0xE1><0xB5><0xA3>^?dx=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^?y2(8-0)dx=8∫<0xE1><0xB5><0xA3>^?y2dx=8y2|<0xE1><0xB5><0xA3>^?x|=8(22-02)*(1-0)=8*4*1=32。五、1.梯度下降法是用于求解無約束最優(yōu)化問題的一種迭代算法。基本思想是：從一個初始點(diǎn)x?開始，計算目標(biāo)函數(shù)f(x)在x?處的梯度?f(x?)（一個指向函數(shù)值增長最快的方向的向量）。然后，沿著梯度的反方向（即下降最快的方向）移動一小步，更新點(diǎn)x?為x?-α?f(x?)，其中α是預(yù)先設(shè)定的步長（學(xué)習(xí)率）。重復(fù)此過程，直到滿足停止條件（如梯度足夠小或迭代次數(shù)達(dá)到上限）。關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念包括：目標(biāo)函數(shù)f(x)、梯度?f(x)（通常由偏導(dǎo)數(shù)組成）、步長α、迭代更新公式。2.在線性回歸模型y=wx+b中，y是因變量（觀測值），x是自變量（解釋變量）。w是回歸系數(shù)（斜率），它表示自變量x每變化一個單位時，因變量y平均變化的量。b是截距項(xiàng)，它表示當(dāng)自變量x=0時，因變量y的期望值或平均值。常用的求解方法是最小二乘法，其基本原理是找到使得觀測值y與模型預(yù)測值?=wx+b之間差的平方和（即殘差平方和RSS=Σ?(y?-??)2=Σ?(y?-wx?-b)2）最小的參數(shù)w和b。通過求RSS對w和b的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得到正規(guī)方程組，解該方程組即可得到最優(yōu)的w和b。六、1.P(X>2)=1-P(X≤2)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))=1-(e^(-2)*0!+e^(-2)*1!+e^(-2)*2!)=1-(e^(-2)+e^(-2)+2e^(-2))=1-4e^(-2)=7/16。解得e^(-2)=1/8，故λ=2。P(X=k)=(2^k*e^(-2))/k!。所以P(X=1)=2e^(-2)/1!=2e^(-2)，P(X=2)=4e^(-2)/2!=2e^(-2)。分布律為：P(X=0)=1/8，P(X=1)=2/8=1/4，P(X=2)=2/8=1/4，P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-1/8-2/8-2/8=3/8。因此分布律為：P(X=0)=1/8,P(X=1)=1/4,P(X=2)=1/4,P(X≥3)=3/8。2.Y|X=3~N(20*3,100*3)=N(60,300)。E(Y|X=3)=60。Var(Y|X=3)=300。3.利用X和Y的信息，可以通過概率統(tǒng)計方法分析用戶消費(fèi)特征。例如：利用X的分布（如計算期望種類數(shù)E(X