2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——微分幾何學在機器視覺中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.請將答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.答案必須寫清楚步驟和推理過程，僅寫最終答案不得分。3.字跡必須工整，保持卷面清潔。一、填空題（每空3分，共15分）1.給定二維曲線參數(shù)方程r(t)=(x(t),y(t))，其切向量T(t)可表示為________，法向量N(t)（指向曲線凹側(cè)）可表示為________。2.對于曲面S參數(shù)化表示為r(u,v)，其在點(u?,v?)處的法向量n(u?,v?)可通過計算________和________的叉積得到。3.在計算機視覺中，相機內(nèi)參矩陣K通常包含焦距f?,f?,主點(c?,c?)以及________。4.SIFT特征描述子利用了圖像局部鄰域的________和________信息。5.在雙目視覺中，左視圖上一點p與右視圖上其對應點p'的連線稱為極線，該極線垂直于________。二、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述高斯曲率K在判斷圖像局部區(qū)域是平滑邊緣、凹陷區(qū)域還是凸起區(qū)域中的作用。2.簡述測地線在計算機視覺中一個具體的應用場景及其意義。3.簡述為什么主曲率在特征點檢測與描述中具有重要意義。4.簡述將二維圖像點與其三維世界點進行幾何關聯(lián)時，微分幾何中的哪些概念或原理是基礎。三、計算題（共25分）1.（10分）考慮二維平面上一條參數(shù)曲線r(t)=(t2,t3)，計算其在t=1處的切向量T(1)、主曲率κ（提示：可利用Frenet-Serret公式或直接計算曲率）。假設該曲線代表圖像中的一個邊緣，解釋該點處曲率的幾何意義。2.（15分）給定一個簡單的平面場景，其中物體表面近似為一個參數(shù)曲面r(u,v)=(u,v,0)，投影到相機成像平面上（忽略相機畸變）。設相機光心在原點，相機焦距為f。寫出該曲面上一點P(u,v,0)在相機成像平面上的投影點p(x,y)的坐標表達式。如果該曲面在點(u?,v?)處的法向量n?=(0,0,1)，利用該投影關系和法向量，說明為什么該點附近的圖像區(qū)域會呈現(xiàn)中心對稱的極線結(jié)構（即以主點為中心的放射狀線條）。四、分析題（共30分）1.（15分）分析將SIFT特征點描述子與局部微分幾何（如局部曲率、方向梯度等）相結(jié)合，可能如何提高特征點在遮擋、光照變化或噪聲環(huán)境下的魯棒性和匹配精度。2.（15分）在多視圖幾何中，估計從視角A到視角B的相機相對運動（旋轉(zhuǎn)R和平移t）時，為何基于微分幾何的運動學約束（如對極幾何）被廣泛使用？討論其優(yōu)缺點，并與直接法（如最小二乘法優(yōu)化投影誤差）進行比較。---試卷答案一、填空題（每空3分，共15分）1.r'(t)/||r'(t)||,r'(t)x(r''(t)xr'(t))/||r''(t)xr'(t)||(或其標量形式)2.r_u=?r/?u,r_v=?r/?v3.相機旋轉(zhuǎn)畸變系數(shù)(s,τ)4.梯度方向,梯度幅度(或灰度梯度方向和大小)5.連接左右圖像光心的直線（即視軸）二、簡答題（每題5分，共20分）1.高斯曲率K>0表示局部區(qū)域凹陷，K<0表示局部區(qū)域凸起，K=0表示局部區(qū)域是平坦的或處于邊緣。在圖像中，邊緣通常對應K接近0的區(qū)域（漸近線方向），而凹陷或凸起區(qū)域則對應K異號的區(qū)域。較大的絕對值K表示曲率變化劇烈，邊緣更清晰。2.測地線是曲面上兩點之間測地距離最短的路徑。在視覺SLAM中，常用于估計相機在環(huán)境地圖（通常表示為點云或網(wǎng)格）上的平滑運動。通過追蹤相鄰幀之間相機位姿對應的測地線，可以確保相機運動在幾何上連貫且符合物理直覺（如避免急轉(zhuǎn)彎），從而構建出更穩(wěn)定、更符合實際結(jié)構的地圖。3.主曲率κ?和κ?分別表示曲面在一點沿兩個正交主方向的最大和最小彎曲程度。在特征點檢測中，主曲率的大小決定了局部鄰域的形狀變化劇烈程度。較大的主曲率值意味著該點周圍區(qū)域形狀變化快，可能對應邊緣或角點。通過分析主曲率，可以更好地識別圖像中的顯著點，并構建具有旋轉(zhuǎn)不變性的描述子。主方向則提供了描述子構造時進行坐標旋轉(zhuǎn)的基準。4.核心原理是基于透視投影的幾何約束。從三維世界點P到二維圖像點p的投影可以表示為p=P*K*[R|t]，其中K是內(nèi)參，[R|t]是外參。這個投影關系本質(zhì)上是一個線性變換，其矩陣形式涉及相機參數(shù)（內(nèi)參）和相機姿態(tài)（外參）。微分幾何原理體現(xiàn)在：①透視投影本身可以看作將三維空間中的直線映射到二維圖像平面上的直線，這符合射影幾何的原理，而射影幾何與微分幾何有密切聯(lián)系。②相機標定過程（如使用棋盤格）利用了特定幾何形狀點在多個視角下的投影約束，這些約束可以通過微分幾何方法（如計算點云法向量、曲率）進行建模和分析。③特征點匹配中的幾何驗證（如檢查對應點是否滿足極線約束）也依賴于圖像平面上的投影幾何關系。三、計算題（共25分）1.（10分）*計算導數(shù)：r'(t)=(2t,3t2)*在t=1處：r'(1)=(2,3)*單位切向量：T(1)=r'(1)/||r'(1)||=(2,3)/√(22+32)=(2/√13,3/√13)*計算二階導數(shù)：r''(t)=(2,6t)*在t=1處：r''(1)=(2,6)*計算曲率κ：κ=||r''(t)||/||r'(t)||2=||(2,6)||/||(2,3)||2=√(22+62)/((2)2+(3)2)=√40/13=2√10/13*計算主曲率（使用κ=||r''||/||TxT'||，其中T'=dT/ds=T/||T||，對于單位切向量T，dT/ds=T'，所以κ=||r''||）*κ?=κ=2√10/13*κ?=κ/κ?=κ/κ=1*幾何意義：該點處曲率κ=2√10/13>0，且κ?>κ?。這表明在t=1處，曲線呈現(xiàn)為“凸起”形狀（類似拋物線頂點的右側(cè)），彎曲程度為2√10/13。較大的κ值意味著該點附近的曲線彎曲非常明顯。2.（15分）*投影關系：p=(f*x,f*y)。由于r(u,v)=(u,v,0)，有x=u,y=v。因此，投影為p=(f*u,f*v)。*法向量：n(u,v)=?r/?u×?r/?v=(1,0,0)×(0,1,0)=(0,0,1)。*法向量的投影：在中心投影模型中，點P(u,v,0)在圖像平面上的極線方向由其法向量n(u,v)決定。投影光線方向為-n(u,v)=(0,0,-1)在圖像平面上的投影，即垂直于光軸（視軸，方向(0,0,1)）的平面上的向量。忽略光心在原點且無畸變的假設下，所有從P點出發(fā)的光線匯聚于成像平面上以光心（原點）為圓心的圓周上。因此，點P附近所有點的投影將形成以主點(0,0)為中心的同心圓（即放射狀線條的逆）。更精確地說，如果考慮相機光心不完全在原點(c?,c?)，則這些圓的中心將平移到(f*c?,f*c?)。由于法向量n?=(0,0,1)指向z=0平面，其投影方向在圖像平面上是任意的，但結(jié)合透視投影模型和光心位置，可以理解為所有點在該局部鄰域的投影都匯聚（或關聯(lián)）到以主點為中心的對稱結(jié)構上，呈現(xiàn)出放射狀極線特征。四、分析題（共30分）1.（15分）*結(jié)合微分幾何：SIFT描述子主要利用了圖像梯度方向和幅度（二階統(tǒng)計量）。引入微分幾何信息，如計算圖像局部區(qū)域的平均曲率、主曲率方向或法向量等，可以提供更豐富的局部形狀信息。*提高魯棒性：邊緣點通常位于曲率變化劇烈處（κ≠0），而角點則位于曲率同時變化劇烈處（κ?,κ?都較大）。結(jié)合曲率信息可以幫助區(qū)分真正的角點、邊緣點以及平滑區(qū)域，從而在光照變化或噪聲下更穩(wěn)定地定位顯著點。例如，可以在主曲率較大的方向上優(yōu)先選擇點作為特征點，或在描述子構建時考慮曲率信息對梯度方向的加權，使得描述子對局部形變更不敏感。*提高匹配精度：圖像的局部幾何結(jié)構（由曲率等度量）在不同視角下具有一定的不變性。結(jié)合曲率信息構建的特征描述子，可以更好地捕捉這種幾何不變性。當兩個圖像間存在形變或投影變化時，即使梯度模式相似，幾何結(jié)構的差異（曲率變化）可能很明顯。因此，包含曲率信息的描述子有助于在形變較大的情況下仍然找到正確的匹配對，提高匹配的精度和一致性。2.（15分）*基于微分幾何的運動學約束（如對極幾何）被廣泛使用的原因：*幾何直觀性：對極幾何直接關聯(lián)了雙目視覺中同一個三維世界點在左右圖像上投影點之間的幾何關系（極線、對極約束），符合人類視覺感知原理，易于理解和解釋。*線性化處理：對極約束本身是線性的（P?P?⊥l?l?，其中l(wèi)?,l?是極線），這使得在估計相機運動時，可以通過線性方法（如八點算法）直接求解，計算效率高，且對噪聲有一定的魯棒性。*信息利用：即使無法精確標定相機內(nèi)參，只要知道相機光心位置，對極幾何關系仍然成立，因此可以用于無內(nèi)參的相對運動估計。*局部幾何結(jié)構：對極幾何關注的是局部幾何結(jié)構，對于紋理較少或結(jié)構簡單的場景，基于局部幾何的運動估計仍然有效。*優(yōu)缺點及與直接法的比較：*優(yōu)點：直觀、高效（線性求解）、對內(nèi)參不敏感（局部幾何）。*缺點：①基于局部幾何，對全局場景結(jié)構信息利用不足。②對極線計算和匹配對極點需要精確的相機內(nèi)參（或光心位置），否則誤差會累積。③對噪聲敏感，尤其是在計算極線時。④八點算法需要大量對應點，且對應點需精確。*直接法（如最小二乘優(yōu)化投影誤差）：①利用全局圖像特征點之間的投影關系進行優(yōu)化，理論上可以更充分地利用場景信息。②可以同時估計內(nèi)參和位姿，無需預先