2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)邏輯在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)命題公式P為(p∧?q)∨(r→?p)，命題公式Q為(?p∨?q)∧(r∨?p)。請(qǐng)判斷P和Q之間的關(guān)系（是等價(jià)式、蘊(yùn)含式還是兩者都不是），并給出簡(jiǎn)要理由或證明。2.在謂詞邏輯中，謂詞P(x,y)表示"x是y的朋友"。請(qǐng)用謂詞邏輯符號(hào)和量詞表達(dá)以下命題：(1)沒(méi)有人是所有人的朋友。(2)每個(gè)人都有朋友。3.什么是邏輯蘊(yùn)涵式(p→q)？請(qǐng)給出其真值表，并解釋其直觀含義（即“如果p則q”何時(shí)為假）。二、閱讀以下程序片段，其中v是一個(gè)整數(shù)變量：```pythondefcheck_even_or_odd(v):ifv%2==0:print("Even")else:print("Odd")```請(qǐng)使用Hoare邏輯（或類(lèi)似的斷言方法，無(wú)需嚴(yán)格形式化，只需體現(xiàn)邏輯思想）描述該函數(shù)`check_even_or_odd`的行為。例如，可以描述其輸入、輸出以及函數(shù)執(zhí)行后變量v的狀態(tài)所滿(mǎn)足的條件。三、1.寫(xiě)出一個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意正整數(shù)n，1+3+5+...+(2n-1)=n2”的證明過(guò)程。2.什么是遞歸函數(shù)？請(qǐng)舉例說(shuō)明遞歸函數(shù)在程序設(shè)計(jì)中的作用。設(shè)計(jì)一個(gè)使用遞歸方法計(jì)算階乘n!的函數(shù)定義。四、設(shè)有一個(gè)棧（Stack）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其基本操作包括Push（入棧）、Pop（出棧）和Peek（查看棧頂元素，不出棧）。請(qǐng)用邏輯表達(dá)式描述以下條件：1.一個(gè)非空的棧S，其棧頂元素為x。2.一個(gè)棧S為空的條件。3.在執(zhí)行一次合法的Push操作后，棧S仍然滿(mǎn)足“棧頂元素為x”的條件。五、簡(jiǎn)要說(shuō)明程序正確性證明的基本思想是什么？為什么在軟件開(kāi)發(fā)中理解和應(yīng)用程序正確性證明是重要的？（請(qǐng)從邏輯和工程實(shí)踐角度結(jié)合回答）六、設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷一個(gè)給定的自然數(shù)n是否為素?cái)?shù)。請(qǐng)用自然語(yǔ)言描述該算法的主要步驟，并簡(jiǎn)要說(shuō)明其背后的邏輯依據(jù)。試卷答案一、1.P和Q是等價(jià)式。理由：P=(p∧?q)∨(?r∧p)=p∧(?q∨?r)=p∧?(q∧r)。Q=(?p∧?q)∧(r∧?p)=?p∧?q∧r。由于p∧?(q∧r)和?p∧?q∧r在真值上完全相同（可以通過(guò)真值表驗(yàn)證，或觀察到P=?(?p∨q∨r)=?Q），故P≡Q。2.(1)?x??y(P(x,y))。解釋?zhuān)簩?duì)于所有的人x，不存在一個(gè)y使得x是y的朋友。(2)?x?y(P(x,y))。解釋?zhuān)簩?duì)于每個(gè)人x，存在一個(gè)人y使得x是y的朋友。3.邏輯蘊(yùn)涵式(p→q)定義為：當(dāng)p為真且q為假時(shí)，(p→q)為假；在其他所有情況下，(p→q)都為真。其真值表如下：|p|q|p→q||---|---|-------||T|T|T||T|F|F||F|T|T||F|F|T|直觀含義：“如果p則q”這個(gè)命題為假，僅僅發(fā)生在p為真而q為假的情況。即p發(fā)生導(dǎo)致q必須發(fā)生，否則該命題為假。二、該函數(shù)`check_even_or_odd`接受一個(gè)整數(shù)v作為輸入，根據(jù)v的奇偶性打印"Even"或"Odd"?？梢杂靡韵聰嘌悦枋觯?v∈?,(check_even_or_odd(v)?("Even"?v%2==0)∨("Odd"?v%2≠0))解釋?zhuān)簩?duì)于任意整數(shù)v，函數(shù)執(zhí)行后打印"Even"當(dāng)且僅當(dāng)v是偶數(shù)；打印"Odd"當(dāng)且僅當(dāng)v是奇數(shù)。三、1.證明過(guò)程：(1)基礎(chǔ)步（n=1）：1=12，等式成立。(2)歸納假設(shè)：假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)，命題成立，即1+3+5+...+(2k-1)=k2。(3)歸納步：證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)//左邊添加下一個(gè)奇數(shù)=k2+(2k+1)//根據(jù)歸納假設(shè)替換前k項(xiàng)=(k+1)2//展開(kāi)并化簡(jiǎn)因此，對(duì)于任意正整數(shù)n，命題成立。2.遞歸函數(shù)是一個(gè)在定義中調(diào)用自身的函數(shù)。作用：可以將復(fù)雜問(wèn)題分解為相同結(jié)構(gòu)的更小規(guī)模的子問(wèn)題，簡(jiǎn)化算法設(shè)計(jì)。例如，計(jì)算階乘n!：deffactorial(n):ifn==0orn==1:return1else:returnn*factorial(n-1)邏輯：0!=1，n!=n*(n-1)!。遞歸基是n=0或n=1，遞歸步是將n!的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(n-1)!的問(wèn)題。四、1.Peek(S)=x∧(?a∈StackElms,Pop(S)=a∧Push(a,S)=S)解釋?zhuān)簵ｍ斣厥莤，且存在元素a，使得從S中彈出a得到的新棧狀態(tài)，再入棧a到該狀態(tài)，能得到原棧S。2.StackIsEmpty(S)??a∈StackElms,?(Pop(S)=a∧Push(a,S)=S)解釋?zhuān)簵為空，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于棧中所有可能的元素a，都不可能通過(guò)一次合法的Pop操作得到a，然后再通過(guò)一次合法的Push操作a回棧得到原棧S。（更簡(jiǎn)潔地說(shuō)：棧S為空當(dāng)且僅當(dāng)它沒(méi)有棧頂元素）。3.Peek(S)=x∧(Push(x,S')=S∧S'=S)解釋?zhuān)涸趫?zhí)行一次Push操作x到棧S'后，新棧S'的棧頂元素是x，且這個(gè)新棧S'與執(zhí)行Push操作前的原棧S完全相同。五、程序正確性證明的基本思想是：為程序的每個(gè)部分（通常是最小可執(zhí)行單元，如函數(shù)或語(yǔ)句序列）指定輸入和輸出條件（稱(chēng)為Hoare三段式中的{P}和{Q}），然后證明執(zhí)行該部分后，程序狀態(tài)確實(shí)滿(mǎn)足從P到Q的斷言，即?{P}S{Q}。這通常涉及形式化邏輯、歸納法等數(shù)學(xué)工具。在軟件開(kāi)發(fā)中重要：1）提供程序行為保證：確保程序在符合規(guī)格說(shuō)明的輸入下總能產(chǎn)生正確結(jié)果。2）增強(qiáng)信心：減少缺陷和錯(cuò)誤，提高軟件可靠性和安全性。3）指導(dǎo)開(kāi)發(fā)：作為設(shè)計(jì)階段的約束，確保設(shè)計(jì)滿(mǎn)足要求。4）便于維護(hù)和驗(yàn)證：形式化的證明記錄了程序的正確性，便于后續(xù)理解和修改。雖然完全形式化證明在實(shí)踐中應(yīng)用有限，但其背后的嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思維對(duì)提高軟件質(zhì)量至關(guān)重要。六、算法描述：1.輸入：一個(gè)自然數(shù)n。2.如果n≤1，則輸出"n不是素?cái)?shù)"并結(jié)束。3.對(duì)于i從2到√n（取整）：3.1.如果n能被i整除（即n%i==0），則輸出"n不是素?cái)?shù)