2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)優(yōu)化在工程設(shè)計(jì)中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.在工程設(shè)計(jì)中，數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)通常表示為（）。A.工程設(shè)計(jì)的約束條件B.工程設(shè)計(jì)方案的可行性C.工程設(shè)計(jì)的目標(biāo)優(yōu)化量（如成本、效率、性能等）D.工程設(shè)計(jì)的資源消耗量2.若一個(gè)工程設(shè)計(jì)問(wèn)題包含多個(gè)相互沖突的目標(biāo)，且難以用一個(gè)統(tǒng)一的實(shí)數(shù)函數(shù)描述其優(yōu)劣，此時(shí)通常需要采用（）方法進(jìn)行處理。A.線性規(guī)劃B.多目標(biāo)優(yōu)化C.整數(shù)規(guī)劃D.非線性規(guī)劃3.在使用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，若發(fā)現(xiàn)解集中存在多個(gè)最優(yōu)解，則這些最優(yōu)解之間存在（）關(guān)系。A.線性相關(guān)性B.線性無(wú)關(guān)性C.非線性關(guān)系D.可行方向上的連續(xù)性4.對(duì)于一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，若其目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)，則該問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)（）。A.非線性規(guī)劃問(wèn)題B.線性規(guī)劃問(wèn)題C.整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題D.動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題5.在工程設(shè)計(jì)中，當(dāng)設(shè)計(jì)變量?jī)H允許取整數(shù)值（如零件數(shù)量、設(shè)備臺(tái)數(shù)）時(shí)，需要采用（）模型來(lái)描述問(wèn)題。A.線性規(guī)劃B.非線性規(guī)劃C.整數(shù)規(guī)劃D.混合整數(shù)規(guī)劃二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.數(shù)學(xué)優(yōu)化模型一般由________、________和________三部分組成。7.梯度下降法是一種常用的求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的方法，其基本思想是沿著目標(biāo)函數(shù)的________方向?qū)ふ易顑?yōu)解。8.在求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，如果單純形法迭代過(guò)程中出現(xiàn)________情況，則表明該問(wèn)題無(wú)界。9.對(duì)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，其核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的多階段決策問(wèn)題分解為_(kāi)_______個(gè)相互關(guān)聯(lián)的子問(wèn)題，并按一定的遞推關(guān)系自底向上或自頂向下進(jìn)行求解。10.在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化中，靈敏度分析旨在研究當(dāng)模型中的________發(fā)生微小變化時(shí)，最優(yōu)解和最優(yōu)值的變化情況。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.已知某工程設(shè)計(jì)問(wèn)題可抽象為以下線性規(guī)劃模型：maxZ=3x1+5x2s.t.2x1+x2≤10x1+2x2≤8x1,x2≥0試用單純形法求解該問(wèn)題的最優(yōu)解和最優(yōu)值。12.考慮以下非線性規(guī)劃問(wèn)題：minf(x)=x12+x22s.t.g(x)=x1+x2-1≤0h(x)=x1-x2=0試用K-T條件判斷點(diǎn)x=(0.5,0.5)是否可能是該問(wèn)題的KKT點(diǎn)。13.某工程設(shè)計(jì)需要在一條直線上安裝多個(gè)傳感器，傳感器之間的距離（d）必須大于等于某個(gè)最小值d_min。假設(shè)直線長(zhǎng)度為L(zhǎng)，需要安裝n個(gè)傳感器，如何確定這些傳感器的位置使得所有傳感器之間的距離都滿足要求，同時(shí)使得傳感器之間的最大距離盡可能??？請(qǐng)建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。四、應(yīng)用建模題（15分）14.假設(shè)一個(gè)工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每單位產(chǎn)品A需要消耗原材料1單位，占用設(shè)備時(shí)間2小時(shí)，利潤(rùn)為3元；每單位產(chǎn)品B需要消耗原材料1.5單位，占用設(shè)備時(shí)間1小時(shí)，利潤(rùn)為2.5元。工廠每周可獲取的原材料最多為100單位，設(shè)備總工作時(shí)間為每周80小時(shí)。若工廠希望最大化每周的總利潤(rùn)，請(qǐng)建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，并說(shuō)明模型中各部分的含義。五、綜合分析題（20分）15.在一個(gè)橋梁設(shè)計(jì)項(xiàng)目中，工程師需要在滿足強(qiáng)度、穩(wěn)定性和成本約束的前提下，優(yōu)化橋梁的橫截面設(shè)計(jì)（例如，選擇梁的截面尺寸），以使橋梁的自重最輕。請(qǐng)簡(jiǎn)述如何將此橋梁優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，說(shuō)明需要考慮哪些主要的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。如果橋梁的強(qiáng)度約束較為復(fù)雜（例如，與材料應(yīng)力分布有關(guān)），你將如何處理這種非線性約束？試卷答案一、選擇題1.C2.B3.A4.B5.C二、填空題6.目標(biāo)函數(shù)；約束條件；決策變量7.負(fù)梯度8.目標(biāo)函數(shù)值無(wú)界增大（或無(wú)界減?。?.幾個(gè)10.目標(biāo)函數(shù)系數(shù)或約束條件右端項(xiàng)三、計(jì)算題11.解：初始單純形表（大M法或兩階段法）：基變量：x3,x4目標(biāo)函數(shù)：Z-3x1-5x2+0x3+0x4=0進(jìn)行迭代：1.選擇入基變量：檢驗(yàn)系數(shù)列，-3和-5中選-5，x2入基。2.選擇出基變量：計(jì)算ratios(10/1,8/2)，最小為4，x4出基。3.進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)算，得到新的單純形表。第二步單純形表：基變量：x2,x3目標(biāo)函數(shù)：Z-3x1+0x2+0x3+5x4=20檢驗(yàn)系數(shù)列，-3小于0，x1入基。計(jì)算ratios(10/2,無(wú)窮大)，最小為5，x3出基。進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)算，得到最終單純形表。最終單純形表：基變量：x1,x2目標(biāo)函數(shù)：Z+0x1+0x2+15/2x3-15/2x4=35所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)，達(dá)到最優(yōu)。最優(yōu)解：x1=5,x2=3最優(yōu)值：Z=3512.解：K-T條件要求在最優(yōu)解x*處，存在乘子λ,μ滿足：?f(x*)+∑λi?gi(x*)+∑μi?hi(x*)=0gi(x*)=0(對(duì)于i屬于A)gi(x*)≤0(對(duì)于i屬于C)λi≥0(對(duì)于所有i屬于A)計(jì)算梯度：?f(x)=(2x1,2x2)?g(x)=(1,1)?h(x)=(1,-1)在x=(0.5,0.5)處：?f(0.5,0.5)=(1,1)?g(0.5,0.5)=(1,1)?h(0.5,0.5)=(1,-1)代入K-T條件：(1,1)+λ(1,1)+μ(1,-1)=(0,0)=>1+λ+μ=0(1)=>1+λ-μ=0(2)g(0.5,0.5)=0.5+0.5-1=0(滿足，i=1屬于A)h(0.5,0.5)=0.5-0.5=0(滿足，i=2屬于A)λ≥0由(1)和(2)聯(lián)立，解得λ=-1/2,μ=-1/2。檢驗(yàn)乘子條件：λ=-1/2<0，不滿足λ≥0的要求。因此，點(diǎn)x=(0.5,0.5)不是該問(wèn)題的KKT點(diǎn)。13.解：決策變量：x_i表示第i個(gè)傳感器在直線上的位置（i=1,2,...,n）。假設(shè)直線坐標(biāo)范圍為[0,L]。目標(biāo)函數(shù)：minmax(d_i,d_{i+1})（其中d_i=|x_{i+1}-x_i|）約束條件：1.0≤x_1≤L2.0≤x_n≤L3.x_i≤x_{i+1}≤x_i+d_min(i=1,2,...,n-1)4.x_i≥05.x_i≤L（約束3可以合并為：x_i+d_min/2≤x_{i+1}≤x_i+d_min/2或x_{i+1}-x_i≥d_min）模型可以寫(xiě)為：minzs.t.0≤x_1≤Lx_i+d_min/2≤x_{i+1}≤x_i+d_min/2(i=1,2,...,n-1)0≤x_n≤Lx_i≥0x_i≤L(與0≤x_i≤L等價(jià))四、應(yīng)用建模題14.解：決策變量：x_A：每周生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量x_B：每周生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量目標(biāo)函數(shù)：最大化總利潤(rùn)maxZ=3x_A+2.5x_B約束條件：1.原材料約束：x_A+1.5x_B≤1002.設(shè)備時(shí)間約束：2x_A+1x_B≤803.非負(fù)約束：x_A≥0,x_B≥0數(shù)學(xué)優(yōu)化模型為：maxZ=3x_A+2.5x_Bs.t.x_A+1.5x_B≤1002x_A+x_B≤80x_A≥0x_B≥0其中：Z表示每周總利潤(rùn)；x_A表示每周生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量；x_B表示每周生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量；3x_A表示產(chǎn)品A帶來(lái)的利潤(rùn)；2.5x_B表示產(chǎn)品B帶來(lái)的利潤(rùn)；x_A+1.5x_B表示每周消耗的原材料總量；2x_A+x_B表示每周占用的設(shè)備總時(shí)間；100是每周原材料的最大供應(yīng)量；80是每周設(shè)備的總可用時(shí)間。五、綜合分析題15.解：1.優(yōu)化模型構(gòu)建：決策變量：通?？梢赃x擇橋梁橫截面的關(guān)鍵幾何尺寸作為設(shè)計(jì)變量，例如梁的高度h、寬度b、材料截面模量W等，具體取決于橋梁類型和設(shè)計(jì)自由度。目標(biāo)函數(shù)：最小化橋梁自重。自重通常與設(shè)計(jì)變量的乘積或某個(gè)函數(shù)有關(guān)，例如自重∝(材料密度ρ)*(橫截面積A)。目標(biāo)函數(shù)可以寫(xiě)為minf(A,h,b,...)，其中f(,)包含材料密度和幾何尺寸的關(guān)系。約束條件：*強(qiáng)度約束：橋梁各部分（如梁、板）在荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力或應(yīng)變必須小于材料的許用應(yīng)力或應(yīng)變。這通常涉及復(fù)雜的力學(xué)計(jì)算，可能表達(dá)為∑σ_i(x)≤[σ]，其中σ_i(x)是位置x處的應(yīng)力，[σ]是許用應(yīng)力。這可能是非線性的。*穩(wěn)定約束：橋梁需要滿足整體和局部穩(wěn)定性要求，如壓桿穩(wěn)定（歐拉公式）、抗傾覆穩(wěn)定等。例如，傾覆力矩與抗傾覆力矩之比需小于某個(gè)值。*剛度約束：橋梁的變形（撓度）需要滿足規(guī)范要求，即最大撓度或相對(duì)撓度不超過(guò)允許值。例如，f_max≤[f]。*工作條件約束：如橋面標(biāo)高、凈空要求等。*設(shè)計(jì)規(guī)范和制造約束：如尺寸公差、連接方式限制等。*非負(fù)約束：設(shè)計(jì)變量必須大于等于零。模型形式通常為：minf(x)=ρ*g(x)（例如，自重與某個(gè)幾何尺寸乘積）s.t.h(x)≤0（強(qiáng)度、穩(wěn)定性、剛度、工作條件等約束）x∈X（設(shè)計(jì)變量的可行域）2.非線性約束處理：如果強(qiáng)度約束涉及應(yīng)力、應(yīng)變、彎矩等的復(fù)雜計(jì)算，導(dǎo)致約束函數(shù)g(x)是非線性的，處理方法通常有：*直接求解：如果非線性程度不高，或者有解析解或成熟的數(shù)值方法，可以直接在優(yōu)化算法中處理。*線性化：在設(shè)計(jì)變量的某個(gè)范圍內(nèi)，將非線性約束函數(shù)用線性函數(shù)近似替代。這需要選擇合適的近似方法和范圍。*罰函數(shù)法：將非線性約束轉(zhuǎn)換為目標(biāo)函數(shù)的一部分或新增的懲罰