2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在環(huán)保工程中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)某城市污染物在河流中的擴散過程可以用如下偏微分方程描述：\[\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}\]其中\(zhòng)(C(x,t)\)表示\(t\)時刻\(x\)位置處的污染物濃度，\(D\)為擴散系數(shù)。假設(shè)河流長度為\(L\)，兩端分別位于\(x=0\)和\(x=L\)，初始時刻污染物濃度為\(C(x,0)=\begin{cases}0,&x<\frac{L}{2}\\C_0,&x\geq\frac{L}{2}\end{cases}\)，邊界條件為\(C(0,t)=C(L,t)=0\)（假設(shè)兩端污染物排放量為零）。嘗試推導(dǎo)此問題的解的表達(dá)式。二、某環(huán)保公司研發(fā)一種新型水處理技術(shù)，其處理效果（用出水水質(zhì)指標(biāo)某參數(shù)的降低率衡量）與投入的藥劑濃度有關(guān)。為研究這種關(guān)系，進(jìn)行了如下實驗：設(shè)置不同藥劑濃度\(x\)（單位：mg/L），測量對應(yīng)的出水水質(zhì)指標(biāo)降低率\(y\%（）。實驗數(shù)據(jù)如下：\[x:20,30,40,50,60\]\[y:35,48,62,72,80\]試用最小二乘法建立\(y\)關(guān)于\(x\)的線性回歸方程。三、某湖泊受到某種持久性有機污染物的污染，為評估治理效果，在湖中心設(shè)監(jiān)測點，記錄了治理前后的污染物濃度數(shù)據(jù)。治理前連續(xù)10天測得的濃度數(shù)據(jù)（單位：ng/L）為：120,125,122,128,130,127,123,126,129,124。治理后連續(xù)10天測得的濃度數(shù)據(jù)（單位：ng/L）為：115,118,117,120,122,119,121,116,123,117。假設(shè)污染物濃度服從正態(tài)分布，試檢驗治理是否顯著降低了湖泊中的污染物濃度（取顯著性水平\(\alpha=0.05\)）。四、在一個包含兩種主要污染物的水樣中，需要估計兩種污染物的濃度\(x_1\)和\(x_2\)。通過兩種不同的分析方法分別測定水樣，得到如下數(shù)據(jù)：第一次分析：\(y_1=5.1\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s_1=0.3\)；第二次分析：\(y_2=12.6\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s_2=0.4\)。假設(shè)兩種分析方法得到的測量結(jié)果均服從正態(tài)分布，且方差相等。試用加權(quán)平均法估計\(x_1\)和\(x_2\)的值。五、某城市空氣質(zhì)量監(jiān)測站記錄了連續(xù)30天的PM2.5濃度數(shù)據(jù)（單位：ug/m^3）。數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一定的波動性。試計算這30天PM2.5濃度的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，并繪制其經(jīng)驗分布函數(shù)圖（無需實際繪圖，只需描述繪制方法）。六、考慮一個簡單的生態(tài)系統(tǒng)模型，包含捕食者（狼）和獵物（兔子）。兔子的數(shù)量變化受其出生率和死亡率的控制，狼的數(shù)量變化受其捕食率和死亡率的控制。假設(shè)兔子數(shù)量\(R(t)\)和狼數(shù)量\(W(t)\)滿足如下微分方程組：\[\frac{dR}{dt}=aR-bRW\]\[\frac{dW}{dt}=-cW+dRW\]其中\(zhòng)(a,b,c,d\)為正常數(shù)。分析該模型的平衡點，并判斷其穩(wěn)定性。試卷答案一、解：該問題為典型的初值邊值問題，可以使用分離變量法求解。設(shè)\(C(x,t)=X(x)T(t)\)，代入方程得\[X(x)T'(t)=DX''(x)T(t)\]\[\frac{T'(t)}{DT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda\]得到兩個常微分方程：\[T'(t)+\lambdaDT(t)=0\]\[X''(x)+\lambdaX(x)=0\]邊界條件為\(X(0)=0\)，\(X(L)=0\)。解\(X(x)\)的方程，考慮邊界條件，得到特征值\(\lambda_n=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\)（\(n=1,2,3,\dots\)）和特征函數(shù)\(X_n(x)=\sin(\frac{n\pix}{L})\)。解\(T(t)\)的方程，得到\(T_n(t)=e^{-\frac{n^2\pi^2D}{L^2}t}\)。方程的通解為\[C(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin(\frac{n\pix}{L})e^{-\frac{n^2\pi^2D}{L^2}t}\]利用初始條件\(C(x,0)=\begin{cases}0,&x<\frac{L}{2}\\C_0,&x\geq\frac{L}{2}\end{cases}\)，得到\[\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin(\frac{n\pix}{L})=\begin{cases}0,&x<\frac{L}{2}\\C_0,&x\geq\frac{L}{2}\end{cases}\]\[B_n=\frac{2}{L}\int_{\frac{L}{2}}^{L}C_0\sin(\frac{n\pix}{L})dx=\frac{4C_0}{n\pi}\sin(\frac{n\pi}{2})\]因為\(\sin(\frac{n\pi}{2})=\begin{cases}1,&n=4k+1\\-1,&n=4k+3\\0,&n=2k\end{cases}\)（\(k\)為非負(fù)整數(shù)），所以\[B_n=\begin{cases}\frac{4C_0}{(4k+1)\pi},&n=4k+1\\-\frac{4C_0}{(4k+3)\pi},&n=4k+3\\0,&n=2k\end{cases}\]最終解為\[C(x,t)=\sum_{\substack{n=1\\n\text{odd}}}^{\infty}B_n\sin(\frac{n\pix}{L})e^{-\frac{n^2\pi^2D}{L^2}t}\]其中\(zhòng)(B_n\)如上所示。二、解：使用最小二乘法建立線性回歸方程\(y=a+bx\)。計算所需數(shù)據(jù)：\[\sumx_i=20+30+40+50+60=200\]\[\sumy_i=35+48+62+72+80=297\]\[\sumx_i^2=20^2+30^2+40^2+50^2+60^2=11000\]\[\sumx_iy_i=20\times35+30\times48+40\times62+50\times72+60\times80=13140\]樣本數(shù)量\(n=5\)。計算回歸系數(shù)\(b\)和截距\(a\)：\[b=\frac{n\sumx_iy_i-\sumx_i\sumy_i}{n\sumx_i^2-(\sumx_i)^2}=\frac{5\times13140-200\times297}{5\times11000-200^2}=\frac{65700-59400}{55000-40000}=\frac{6300}{15000}=0.42\]\[a=\frac{\sumy_i-b\sumx_i}{n}=\frac{297-0.42\times200}{5}=\frac{297-84}{5}=\frac{213}{5}=42.6\]因此，線性回歸方程為\(y=42.6+0.42x\)。三、解：設(shè)治理前污染物濃度為\(X\)，治理后污染物濃度為\(Y\)。假設(shè)\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)。首先檢驗兩總體方差是否相等。使用\(F\)檢驗，統(tǒng)計量為\[F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\]其中\(zhòng)(S_1^2\)和\(S_2^2\)分別為樣本方差。計算樣本均值和方差：\[\bar{x}=\frac{120+125+122+128+130+127+123+126+129+124}{10}=126.1\]\[S_1^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{9}(4^2+(-1)^2+(-4)^2+1.9^2+3.9^2+0.9^2+(-3.1)^2+(-0.1)^2+2.9^2+(-2.1)^2)=\frac{1}{9}(16+1+16+3.61+15.21+0.81+9.61+0.01+8.41+4.41)=\frac{1}{9}\times84.9=9.44\]\[\bar{y}=\frac{115+118+117+120+122+119+121+116+123+117}{10}=119.1\]\[S_2^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{9}((-4.1)^2+(-1.1)^2+(-2.1)^2+0.9^2+2.9^2+(-0.1)^2+1.9^2+(-3.1)^2+3.9^2+(-2.1)^2)=\frac{1}{9}(16.81+1.21+4.41+0.81+8.41+0.01+3.61+9.61+15.21+4.41)=\frac{1}{9}\times63.9=7.1\]計算\(F\)值：\[F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{9.44}{7.1}\approx1.325\]查\(F\)分布表，自由度\(df_1=9\)，\(df_2=9\)，顯著性水平\(\alpha=0.05\)時，臨界值\(F_{0.025}(9,9)\approx3.18\)。由于\(F=1.325<3.18\)，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩總體方差相等。\[t=\frac{\bar{x}-\bar{y}}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\]其中\(zhòng)(S_p\)為合并方差，\[S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{9\times9.44+9\times7.1}{18}}=\sqrt{\frac{84.96+63.9}{18}}=\sqrt{\frac{148.86}{18}}\approx\sqrt{8.27}\approx2.876\]計算\(t\)值：\[t=\frac{126.1-119.1}{2.876\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}=\frac{7}{2.876\times\sqrt{0.2}}=\frac{7}{2.876\times0.4472}\approx\frac{7}{1.285}\approx5.44\]查\(t\)分布表，自由度\(df=18\)，顯著性水平\(\alpha=0.05\)時，臨界值\(t_{0.025}(18)\approx2.101\)。由于\(|t|=5.44>2.101\)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為治理顯著降低了污染物濃度。四、解：設(shè)兩種分析方法得到的測量結(jié)果分別為\(y_1\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(y_2\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，其中\(zhòng)(\sigma_1^2=s_1^2=0.3^2=0.09\)，\(\sigma_2^2=s_2^2=0.4^2=0.16\)。假設(shè)兩種分析方法的測量結(jié)果方差相等，即\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)。加權(quán)平均法估計\(x_1\)和\(x_2\)的值：\[\hat{x}_1=\frac{\frac{y_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{y_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{y_2^2}{\sigma_2^2}}x_1+\frac{\frac{y_2^2}{\sigma_2^2}}{\frac{y_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{y_2^2}{\sigma_2^2}}x_2\]由于\(x_1\)和\(x_2\)分別為\(y_1\)和\(y_2\)的真實值，即\(x_1=y_1=5.1\)，\(x_2=y_2=12.6\)。計算權(quán)重：\[\frac{y_1^2}{\sigma_1^2}=\frac{5.1^2}{0.09}=\frac{26.01}{0.09}\approx289\]\[\frac{y_2^2}{\sigma_2^2}=\frac{12.6^2}{0.16}=\frac{158.76}{0.16}\approx992.25\]計算加權(quán)平均：\[\hat{x}_1=\frac{289}{289+992.25}\times5.1+\frac{992.25}{289+992.25}\times12.6\approx\frac{289}{1181.25}\times5.1+\frac{992.25}{1181.25}\times12.6\approx1.24+10.76=12\]\[\hat{x}_2=\frac{289}{289+992.25}\times12.6+\frac{992.25}{289+992.25}\times5.1\approx\frac{289}{1181.25}\times12.6+\frac{992.25}{1181.25}\times5.1\approx3.06+4.94=8\]因此，加權(quán)平均估計值為\(\hat{x}_1\approx12\)，\(\hat{x}_2\approx8\)。五、解：計算PM2.5濃度的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。均值：\[\bar{x}=\frac{1}{30}\sum_{i=1}^{30}x_i\]方差：\[S^2=\frac{1}{29}\sum_{i=1}^{30}(x_i-\bar{x})^2\]標(biāo)準(zhǔn)差：\[S=\sqrt{S^2}\]經(jīng)驗分布函數(shù)圖繪制方法：1.對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，得到排序后的數(shù)據(jù)\(x_{(1)},x_{(2)},\dots,x_{(30)}\)。2.計算經(jīng)驗分布函數(shù)\(F_n(x)\)：\[F_n(x)=\begin{cases}0,&x<x_{(1)}\\\frac{k}{30},&x_{(k)}\leqx<x_{(k+1)},&k=1,2,\dots,29\\1,&x\geqx_{(30)}\end{cases}\]3.在坐標(biāo)平面上，以數(shù)據(jù)點\(x_{(k)}\)為橫坐標(biāo)，以\(F_n(x_{(k)})\)和\(F_n(x_{(k+1)})\)的平均值\(\frac{F_n(x_{(k)})+F_n(x_{(k+1)})}{2}\)為縱坐標(biāo)，繪制一系列點。4.將這些點用直線段依次連接，得到經(jīng)驗分布函數(shù)圖。六、解：分析模型平衡點，即求解\(\frac{dR}{dt}=0\)和\(\frac{dW}{dt}=0\)的點。\[aR-bRW=0\]\[-cW+dRW=0\]解得平衡點為\((0,0)\)和\(\left(\frac{c}{a},\frac{a}\right)\)。判斷平衡點\((0,0)\)的穩(wěn)定性。計算雅可比矩陣：\[J=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partialR}(aR-bRW)&\frac{\partial}{\partialW}(aR-bRW)\\\frac{\partial}{\partialR}(-cW+dRW)&\frac{\partial}{\partialW}(-cW+dRW)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-bW&-bR\\dW&-c+dR\end{pmatrix}\]在平衡點\((0,0)\)，雅可比矩陣為\(J(0,0)=\begin{pmatrix}a&0\\0&-c\end{pmatrix}\)。特征值為\(\lambda_1=a\)，\(\lambda_2=-c\)。由于\(a>0\)，\(-c<0\)，一個特征值為正，一個特征值為負(fù)，因此平衡點\((0,0)\)是鞍點，不穩(wěn)定。判斷平衡點\(\left(\frac{c}{a},\frac{a}\right)\)的穩(wěn)定性。計算雅可比矩陣：\[J\left(\frac{c}{a},\frac{a}\right)=\begin{pmatrix}a-b\frac{a}&-b\frac{c}{a}\\d\frac{a}&-c+d\frac{c}{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\frac{bc}{a}\\\frac{ad}&\frac{dc-ac}{a}\end{pmatrix}\]特征值為\(\lambda\)滿足\[\det\begin{pmatrix}-\lambda&-\frac{bc}{a}\\\frac{ad}&\frac{dc-ac}{a}-\lambda\end{pmatrix}=0\]\[\lambda\left(\lambda-\frac{dc-ac}{a}\right)+\frac{bc}{a}\cdot\frac{ad}=0\]\[\lambda^2-