2026屆上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，則的值為()A.0 B.C.1 D.2．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓的切線，A，B為切點(diǎn)，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.3．函數(shù)，若實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.無法確定4．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.5．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.6．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．（一）單項(xiàng)選擇函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（）A.0 B.C.1 D.e8．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離9．點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是（）A.4 B.6C. D.10．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.在上為減函數(shù) B.在處取極小值C.在上為減函數(shù) D.在處取極大值11．“”是“方程表示雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．若數(shù)列對(duì)任意滿足，下面選項(xiàng)中關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.可以既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.可以既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖：二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，則的長等于__________.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的焦點(diǎn)，過F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，且的內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為____________16．桌面排列著100個(gè)乒乓球，兩個(gè)人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個(gè)乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個(gè)數(shù)至少要拿1個(gè)，但最多又不能超過5個(gè)，這個(gè)游戲中，先手是有必勝策略的，請(qǐng)問：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏得這個(gè)游戲，你第一次該拿走_(dá)__個(gè)球三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某雙曲線型自然冷卻通風(fēng)塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、.已知該冷卻通風(fēng)塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，保持原點(diǎn)和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示.在上口圓上任取一點(diǎn)，在下口圓上任取一點(diǎn).請(qǐng)給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P、Q，使得P、A、Q三點(diǎn)共線.若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，并證明此時(shí)線段PQ上任意一點(diǎn)都在曲面上.18．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.19．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）證明：AB⊥CF；（2）求點(diǎn)C到平面BEF距離；（3）求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值22．（10分）2020年8月，總書記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計(jì)中的圖、表、數(shù)字特征等知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果（選擇一種方法進(jìn)行說明即可）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設(shè)函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設(shè)，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.2、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時(shí)即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當(dāng)最小時(shí)，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D3、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，又實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，故選：A4、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項(xiàng)和，確定和的正負(fù)【詳解】∵，∴和異號(hào)，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求滿足的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時(shí)成立的的值，解題時(shí)應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.5、B【解析】利用插點(diǎn)的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運(yùn)用.【詳解】.故選：B.6、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結(jié)論都要否定【詳解】解：因?yàn)樵}的否命題是條件結(jié)論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B7、B【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，故選；B8、B【解析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心故選B考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系9、C【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，故△PAF的周長為，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長最小，為故選：C10、C【解析】首先利用導(dǎo)函數(shù)的圖像求和的解，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn).【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知:當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.11、A【解析】方程表示雙曲線則，解得，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A12、D【解析】由已知可得或，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，可得答案【詳解】由，得或，即或，若，則數(shù)列是等差數(shù)列，則B錯(cuò)誤；若，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，則A錯(cuò)誤數(shù)列是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列；由，不能得到數(shù)列為非0常數(shù)列，則不可以既是等差又是等比數(shù)列，則C錯(cuò)誤；可以既不是等差又不是等比數(shù)列，如1，3，5，10，20，，故D正確；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，二面角等于，根據(jù)，結(jié)合向量的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，，因?yàn)?，可?所以.故答案為：14、【解析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，所以有，代入坐標(biāo)求出點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數(shù)形結(jié)合求出有公共點(diǎn)時(shí)漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以有，即有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，當(dāng)兩條漸近線與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：圓心到漸近線的距離為，因?yàn)?，所以，即，且，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，漸近線與圓有公共點(diǎn)，.故答案為：.15、##【解析】，作出漸近線圖像，由題可知的內(nèi)切圓圓心在x軸上，過內(nèi)心作OA和AB的垂線，可得幾何關(guān)系，據(jù)此即可求解.【詳解】雙曲線漸近線OA與OB如圖所示，OA與OB關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)△OAB的內(nèi)切圓圓心為，則M在的平分線上，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)于，由，則四邊形為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為得，又，∴，且，∴，∴，則.故答案為：.16、4【解析】根據(jù)題意，由游戲規(guī)則，結(jié)合余數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，第一次該拿走4個(gè)球，以后的取球過程中，對(duì)方取個(gè)，自己取個(gè)，由于，則自己一定可以取到第100個(gè)球.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，設(shè)，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數(shù)方程，設(shè)，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點(diǎn)的特征證明點(diǎn)在曲面上；【小問1詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，，則設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線的方程為【小問2詳解】點(diǎn)在圓上，；點(diǎn)在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問3詳解】存在點(diǎn)P、Q，使得P、A、Q三點(diǎn)共線.由點(diǎn)在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；點(diǎn)在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點(diǎn)可以是圓與旋轉(zhuǎn)任意坐標(biāo)系上的雙曲線的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)系，保持原點(diǎn)和y軸不變，點(diǎn)所在的軸為軸，此時(shí)，滿足，即即點(diǎn)是曲面上的點(diǎn).18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進(jìn)而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結(jié)合設(shè)而不求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，，解得.設(shè)，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.19、（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，解得，所以；?）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可知，再利用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，所以，即.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.【小問2詳解】解：由（1）知，則，所以①②，①-②得.所以數(shù)列的前項(xiàng)和21、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC，再證明即可推理作答.(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.小問1詳解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，則，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小問2詳解】因四邊形ACEF為正方形，即，由(1)知兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，而，于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.【小問3詳解】由(2)知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，設(shè)平面BEF與平面ADF夾角為，，則有，，所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【