2026屆湖北省安陸第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.2．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.3．直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.不存在5．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)|AB|等于（）A. B.C. D.6．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定7．集合，，則（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，則使的概率是()A. B.C. D.9．已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.11．直線與曲線相切于點(diǎn),則()A. B.C. D.12．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（）A.3 B.6C.9 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列的首項(xiàng)__________，通項(xiàng)公式__________.14．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________15．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則______16．設(shè)雙曲線C:的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，則為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）求的最小值.18．（12分）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面有一個(gè)小孔（小孔的大小忽略不計(jì)）E，E點(diǎn)到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成的角的大小.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線：mx－（2－m）y－4=0與直線h：x+y－2=0的交點(diǎn)M在第一三象限的角平分線上.（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若點(diǎn)P在直線l上且，求點(diǎn)P的坐標(biāo).20．（12分）在矩形中，是的中點(diǎn)，是上，，且，如圖，將沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并說明理由；（2）若，求證：平面平面；（3）若是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；21．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性：（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.（1）求C的方程：（2）過C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形PAMB面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.2、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A3、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點(diǎn)，，進(jìn)而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點(diǎn)為設(shè)直線的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線過點(diǎn)，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C4、B【解析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得，或者根據(jù)對(duì)勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極大值；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極小值.故選：B5、A【解析】聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求距離.【詳解】由得交點(diǎn)為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.6、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：A7、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【詳解】解不等式得：，則有，解不等式，解得或，則有或，所以為.故選：A.8、A【解析】解不等式，根據(jù)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型即可求解.【詳解】由題意得，即，由幾何概型得，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使的概率是.故選：A.9、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.10、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B11、A【解析】直線與曲線相切于點(diǎn),可得求得的導(dǎo)數(shù),可得,即可求得答案.【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)將代入可得:解得:由,解得:.可得,根據(jù)在上,解得:故故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切點(diǎn)求參數(shù)問題,解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)切線的定義和導(dǎo)數(shù)的求法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.12、B【解析】根據(jù)橢圓方程有，即可確定長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由橢圓方程知：，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接進(jìn)行求解即可；空二：利用之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】空一：；空二：當(dāng)時(shí)，，顯然不適合上式，所以，故答案為：；14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】解：因，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：15、-2【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合垂徑定理和勾股定理表示出圓心到弦的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到弦的距離，解方程即可求得的值.【詳解】解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，圓心為，半徑圓C與直線相交于、兩點(diǎn),且，由垂徑定理和勾股定理得圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得，所以，解得，故答案為：.16、14【解析】利用雙曲線的定義求解即可【詳解】由，得，則，因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），故答案為?4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）首項(xiàng)為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論，探求數(shù)列的性質(zhì)即可推理計(jì)算作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，而為其前n項(xiàng)和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，前3項(xiàng)均為非正數(shù)，從第4項(xiàng)起為正數(shù)，而，于是得的前2項(xiàng)和與前3項(xiàng)和相等并且最小，所以當(dāng)或時(shí)，.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進(jìn)而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關(guān)系得出其夾角.【小問1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問2詳解】在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側(cè)面與桌面所成角的為19、（1）3（2）【解析】（1）求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線的方程可得值；（2）設(shè)，代入已知等式可求得值，得坐標(biāo)【小問1詳解】由得，即所以，【小問2詳解】由（1）直線方程是，在直線上，設(shè)，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為20、（1）為二面角的平面角，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)，結(jié)合二面角定義得到答案.（2）證明平面得到，得到平面，得到證明.（3）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，證明即可.【小問1詳解】連接，則，，故為二面角的平面角.【小問2詳解】，，，故平面，平面，故，又，，故平面，平面，故平面平面.【小問3詳解】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，易知，故故是的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，故，平面，且平面，故直線平面.21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】（1）求導(dǎo)得，在分，兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)最值即可.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，得，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】解：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以對(duì)恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，所以，則，所以在上單調(diào)遞減