黃岡市2025年高三年級(jí)9月調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解.【詳解】由，解得，則，而，所以.故選：C2.已知命題，則（）A.是假命題，B.是假命題，C.是真命題，D.是真命題，【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷命題的真假，再根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題寫出，可判斷各選項(xiàng)的準(zhǔn)確性.【詳解】設(shè)，則.由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以的最小值為.所以對(duì)恒成立.所以成立，即命題為真命題.因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以.故選：D3.已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，利用點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最大值去求的最大值即可.【詳解】表示以為圓心，為半徑的圓，則圓心C到點(diǎn)的距離，則的最大值為.故選：A4.已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.12 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】【分析】由題可得，然后由基本不等式可得答案.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B5.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．某天，駕駛員張某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量達(dá)到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能安全駕駛？（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：（），）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)至少經(jīng)過小時(shí)后才能安全駕駛，由題意可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】設(shè)至少經(jīng)過小時(shí)后才能安全駕駛，則滿足：，化簡(jiǎn)得：，根據(jù)是增函數(shù)可得：，即，因?yàn)?，所以，所以他至少要?jīng)過2小時(shí)后才能駕駛.故選：B.6.已知函數(shù)，分別為的圖象兩條相鄰對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，向量，，為得到函數(shù)的圖象，需要將的圖象（）A.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得出的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離，進(jìn)而得出，再利用圖象變換依次得出滿足各個(gè)選項(xiàng)條件的解析式即可.【詳解】設(shè)在上的投影向量為，則，因，則，，因分別為的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，則，得，故，，將的圖象按照各個(gè)選項(xiàng)的條件變化分別得到滿足以下解析式的函數(shù)圖象：A：B：，C：，D：，故符合題意的只有B選項(xiàng).故選：B7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到，進(jìn)而得，再代入，利用和差角的余弦公式，計(jì)算即得.【詳解】由兩邊取平方，可得①，由，兩邊取平方，可得②，由①②得到，整理得到，又，解得，即，將其代入，可得，即，即，所以，故得.故選：A.8.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過的最大整數(shù)，例如，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.C.若，則的值域?yàn)镈.若，則的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】用特例判斷選項(xiàng)；求出值域，利用高斯函數(shù)定義求，判斷.【詳解】對(duì)于A：由題意，故A錯(cuò)；對(duì)于B：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)；對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋蔆錯(cuò)；對(duì)于D：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋蔇正確．故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.B.若圓心角為的扇形的面積為，則扇形的弧長(zhǎng)為C.終邊落在直線上的角的集合是D.函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】【分析】利用三角函數(shù)符號(hào)法則判斷A；利用扇形弧長(zhǎng)、面積公式計(jì)算判斷B；求出角的集合表達(dá)式判斷C；利用正切函數(shù)求出定義域判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)扇形半徑為，由圓心角為的扇形的面積為，得，解得，因此扇形的弧長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，終邊落在射線上的角集合為，終邊落在射線上的角集合為，因此終邊落在直線上的角的集合是，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，因此函數(shù)的定義域?yàn)?，D正確.故選：ABD10.定義在上的函數(shù)和，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.8為的一個(gè)周期【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A：由為奇函數(shù)可得，再利用，從而可消去，即可得解；對(duì)B：由為偶函數(shù)可得，再利用，從而可消去，即可得解；對(duì)C：借助B中所得，結(jié)合賦值法計(jì)算即可得；對(duì)D：結(jié)合A中所得及為偶函數(shù)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：由為奇函數(shù)，則，故，由，則，且有，即，則，令，則，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由為偶函數(shù)，則，由，則、，故，又，則，則，則，由，則，故，故，故B正確；對(duì)C：由，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)D：由，則，又，則，則，則，即，即8為的一個(gè)周期，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則D.若不等式對(duì)恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性的應(yīng)用即可判斷；對(duì)于B，由即可判斷；對(duì)于C,由題可得則,令,可得,,從而將問題轉(zhuǎn)化為證,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可求解；對(duì)于D，將問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增可得，即在時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求解.【詳解】對(duì)于A，,則,所以當(dāng),,則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，,則在上單調(diào)遞增，所以,故A正確；對(duì)于B,由于,由于,所以,則，故B不正確；對(duì)于C，,由A選項(xiàng)不妨假設(shè),則,則,令,則,所以,解得：,,要證，即證,即證,設(shè),則,所以上單調(diào)遞增，則，則,所以,故C正確．對(duì)于D,在恒成立，即在恒成立，則，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，，即在時(shí)恒成立，令,則,令,解得：,所以在上單調(diào)遞增，令,解得：,所以在上單調(diào)遞減，則,所以,故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則________．【答案】1【解析】【分析】本題先求出、，再化簡(jiǎn)代入求值即可.【詳解】解：∵，，，∴或①當(dāng)且時(shí)，；②當(dāng)且時(shí)，.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式，是基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】利用奇、偶函數(shù)的定義，列出方程組，求解即得函數(shù)解析式，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)最大值.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)，則①，又為奇函數(shù)，則②，由，整理得，則，其中，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為.故答案為：.14.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其內(nèi)切圓半徑，則邊長(zhǎng)的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】解法一：由題設(shè)易得，，，，結(jié)合基本不等式可得，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，結(jié)合圖形可得，進(jìn)而求解即可；解法二：由題設(shè)結(jié)合平方關(guān)系、等面積法易得，結(jié)合余弦定理可得，，進(jìn)而得到，結(jié)合基本不等式可得，進(jìn)而求解即可.詳解】解法一：由，即，則，同理，而，解得，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，而，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，由圖可知，，則邊長(zhǎng)的最小值為.解法二：由，得，由，得①，由余弦定理有，則②，顯然．由①②整理得，解得或（舍去），則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則邊長(zhǎng)的最小值為.故答案為；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）利用復(fù)合函數(shù)的值域即可求解.【小問1詳解】，依題意知：，.【小問2詳解】.當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.16.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，再結(jié)合條件，即可求解；（2）根據(jù)條件得，由可得或，再結(jié)合條件，即可求解.【小問1詳解】，又的最小正周期為，，則，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，由時(shí)，得到，所以或即或，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，由，令，得；令，得；由，令，得；，得；所以，故的取值范圍是.17.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若，，不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義即可求出m的值；（2）求出的表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行變量分離，得，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可．【小問1詳解】是偶函數(shù)，即，即，而，．【小問2詳解】，，，又，，而對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，，，，，令，，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的取值范圍是．18.在中，角的對(duì)邊分別為，向量，且，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)．（1）求角的大?。唬?）若是的角平分線，的周長(zhǎng)為19，求的長(zhǎng)度；（3）若是邊上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量運(yùn)算可得，然后由正弦定理邊角互化可得答案；（2）由題及余弦定理可得，然后由（1）結(jié)合可得答案；（3）解法一：設(shè)，，然后在，中利用正弦定理可得，然后由三角函數(shù)性質(zhì)可得答案；解法二：由題，又可得，然后由正弦定理邊角互化可得，據(jù)此可得答案.【小問1詳解】且，即..又，則，結(jié)合，；【小問2詳解】而為角的角平分線即，；【小問3詳解】設(shè)，則；設(shè)，則在中即在中即，則.又，而，由和差化積公式可得.則.，；解法二：，，.．.，.19.已知函數(shù)．（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)是的一個(gè)極值點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，證明：；（ii）當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，記為．證明：．【答案】（1）答案見解析（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)參數(shù)的取值分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）（i）令，分和兩種情況，在時(shí)，通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，求得函數(shù)極值即可證明；在時(shí)，利用函數(shù)的有界性和不等式性質(zhì)即可證明；（ii）先判斷當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；依題分析當(dāng)時(shí)，分和兩種情況分析，在時(shí)，存在，使，分析得出；在時(shí)，同理可證：，由可得，借助于即可證明.【小問1詳解】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，由可得，由可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，故在上單調(diào)遞減，在