宜昌市2026屆高三九月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.若全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得或，而，所以.故選：B2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（）A.19 B.22 C.25 D.27【答案】A【解析】【分析】依題意由等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得，利用等差中項(xiàng)計(jì)算可得，可求出.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，由可得，所以可得，又可得，所以.故選：A3.若為第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系與二倍角公式計(jì)算即可得.【詳解】由，有為第二象限角，則，故.故選：B.4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖可知，函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的概念可排除選項(xiàng)A；結(jié)合時(shí)函數(shù)的取值可排除C；結(jié)合時(shí)，排除D選項(xiàng)；再進(jìn)行驗(yàn)證B選項(xiàng).【詳解】由圖可知，函數(shù)為奇函數(shù).對(duì)于A，函數(shù)，定義域?yàn)椋欠瞧娣桥己瘮?shù)，排除；對(duì)于C，函數(shù)，當(dāng)，，不滿足圖象，排除C；對(duì)于D，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不滿足圖象，排除；對(duì)于B，函數(shù)，定義域?yàn)?，而，則函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足圖象.故選：B.5.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，，則的面積為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理結(jié)合得，利用正弦定理得，進(jìn)而得，由已知求得，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由余弦定理有：，又，所以，又由正弦定理有：，又，所以，又為三角形的內(nèi)角，所以或（舍去），所以，又，所以，所以，所以，故選：D.6.不透明的布袋里裝有不同編號(hào)且大小完全相同的紅色，白色，黑色，藍(lán)色的球各兩個(gè)，從中隨機(jī)選4個(gè)球，則在已有兩個(gè)球是同一顏色的條件下，另外兩球不同色的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用古典概型的概率公式求出至少有兩個(gè)球顏色相的概率，再求出兩球顏色相同，另外兩球顏色不同的概率，然后利用條件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記至少有兩個(gè)球顏色相同為事件，兩球顏色不同為事件，則，，所以在已有兩個(gè)球是同一顏色的條件下，另外兩球不同色的概率為,故選：B7.在平面直角坐標(biāo)系中，，.已知點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得，，化簡(jiǎn)得，再借助于向量的三角不等式即可求出的取值范圍.【詳解】如圖，因，，則，即，因，又，則，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)與同方向時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)，，即.故選：C.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則以及換底公式，結(jié)合不等式性質(zhì)求解可得結(jié)論.【詳解】由可得，由糖水不等式和基本不等式可得：，所以，因此,同理可得，即，所以，因此可得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是4C.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則D.對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù)，若越大，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可求得的值，判斷A；根據(jù)線性回歸直線過樣本中心可求得m的值，判斷B；根據(jù)二項(xiàng)分布的方差的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的意義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則，A正確；對(duì)于B，將樣本點(diǎn)的中心代入，可得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則，若，則，C正確；對(duì)于D，樣本相關(guān)系數(shù)r，當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，D錯(cuò)誤，故選：AC10.已知直線是三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，可能有，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，則，而，則，所以B正確.C選項(xiàng)，若，可能，則未必有，故C錯(cuò)誤D選項(xiàng)，若，則，而，則，所以D正確.故選：BD11.已知拋物線，為其焦點(diǎn)，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（）A.若，則直線的傾斜角為B.以為直徑圓與直線相切C.若點(diǎn)在軸上的射影分別為，以線段為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，則D.過點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線分別交軸于兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓與直線相切【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的幾何性質(zhì)判斷A，結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系判斷B，結(jié)合弦長(zhǎng)公式判斷C，利用導(dǎo)數(shù)求出坐標(biāo)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，，，選項(xiàng)A：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去整理得，所以，，由拋物線的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，解得，即直線的傾斜角為或，A說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)中點(diǎn)為，則，以為直徑的圓半徑，圓心到直線的距離，所以以為直徑的圓與直線相切，B說法正確；選項(xiàng)C：由題意，，以為直徑的圓圓心為，即，半徑，因?yàn)?，所以，又圓心到軸的距離，所以，C說法正確；選項(xiàng)D：對(duì)求導(dǎo)得，所以過點(diǎn)的切線方程為，即，令解得點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可得，所以以為直徑的圓的圓心為，即，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，D說法正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)定理展開通項(xiàng)，求得的值，進(jìn)而求得系數(shù)．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開式的通項(xiàng)式得所以，解得所以系數(shù)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.已知，，，則的最小值為__________.【答案】或【解析】【分析】由條件和基本不等式直接可得.【詳解】由，，，得.，當(dāng)且僅當(dāng)，即，由，得時(shí)不等式等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：.14.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式__________.①是偶函數(shù)；②；③對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取，說明滿足性質(zhì)①②③即可得解.【詳解】若，則是偶函數(shù)，滿足①，，滿足②，對(duì)，，所以在上單調(diào)遞增，滿足③，綜上，滿足題意故答案為：（答案不唯一）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著科技的發(fā)展，人工智能生成的虛擬角色正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨.某公司使用虛擬角色直播帶貨后銷售金額逐步提升，根據(jù)該公司使用虛擬角色直播帶貨后20個(gè)月的銷售金額的情況統(tǒng)計(jì)，得到一組樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示月份編號(hào)和銷售金額（單位：萬元），并計(jì)算得，，.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到），并推斷銷售金額（單位：萬元）和月份編號(hào)的相關(guān)程度；（2）已知這20個(gè)月中有8個(gè)月的銷售金額低于平均數(shù)，從這20個(gè)月中隨機(jī)抽取2個(gè)月的銷售金額，記抽到銷售金額低于平均數(shù)的月份數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列.附：相關(guān)系數(shù).【答案】（1），相關(guān)性強(qiáng)（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）由條件結(jié)合相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)判斷結(jié)論；（2）由條件確定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.【小問1詳解】樣本的相關(guān)系數(shù)為.由于相關(guān)系數(shù)，則相關(guān)性很強(qiáng)，的值越大，相關(guān)性越強(qiáng).故，故銷售金額和月份編號(hào)成很強(qiáng)的正相關(guān)性.小問2詳解】由題意得：的可能取值為0，1，2，20個(gè)月中有8個(gè)月的銷售金額低于平均數(shù)，有12個(gè)月的銷售金額不低于平均數(shù)，所以，所以的分布列為：01216.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，；是等差數(shù)列，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）記，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系消去，得到，由等比數(shù)列的定義即可判斷并求出其通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算可求出其通項(xiàng)公式；（2）先寫出，利用錯(cuò)位相減法即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由時(shí)，①，則當(dāng)時(shí)，可得，將代入，解得，當(dāng)時(shí)，②，由①-②，可得，即，因，故數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由和，，可得③，則④，由③-④，可得，故得.17.如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到證明.（2）確定分別是棱的中點(diǎn)時(shí)，體積取得最大值，法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為.又平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.法二：平面，過作垂線交于點(diǎn)，連接，根據(jù)定義可知即為二面角的平面角，再計(jì)算的余弦值.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.設(shè)，則.所以，又∵，∴.【小問2詳解】，當(dāng)取得最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值.又∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)三棱錐的體積取得最大值.故，從而.法一：設(shè)平面的法向量為，則且，所以，即，令，可得.又平面的一個(gè)法向量為，記二面角的大小為，則有，即二面角的余弦值為.法二：∵平面，過作垂線交于點(diǎn)，連接，如圖所示.平面，平面，∴平面，即為二面角的平面角.在中，，根據(jù)等面積法可得，在中，，可得邊上的高為，根據(jù)等面積法可得，在中，.即二面角的余弦值為.18.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，直線和交于點(diǎn).（i）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（ii）過點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（i）（ii）存在，【解析】【分析】（1）由離心率和短軸長(zhǎng)結(jié)合關(guān)系求值，寫出方程；（2）（i）設(shè)，寫出方程，兩式相乘，代入點(diǎn)在橢圓上所得關(guān)系式，消元求出動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，說明軌跡；（ii）由得，設(shè)存在定點(diǎn)滿足條件，由求出.【小問1詳解】由，得，故橢圓方程為：.【小問2詳解】（i）：設(shè)，則，兩式相乘，，即，∵在橢圓上，，即代入得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)不與重合，所以.即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，不包含頂點(diǎn).（ii）：因?yàn)椋啵?，?設(shè)，則，即.所以.∴，化簡(jiǎn)得.又因?yàn)樾甭蚀嬖?，所以?所以，故在軸上存在點(diǎn)，使得.19.已知函數(shù)，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，證明：.【答案】（1）極小值為1，無極大值（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)判斷的符號(hào)，利用函數(shù)極值的定義求解即可；（2）按的不同取值范圍分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解即可；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得，由此利用切線進(jìn)行放縮即可得解.【小問1詳解】由題意，令解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.【小問2詳解】由題意可得，定義域?yàn)椋?，（i）當(dāng)時(shí)，若，則，所以，若，則，所以，此時(shí)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；（ii）①當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，且，若，則，，所以存在使得，當(dāng)時(shí)，