專題25圓中的范圍與最值問題【考點預測】涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數(shù)形結合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題【方法技巧與總結】解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉化成函數(shù)值域問題【題型歸納目錄】題型一：斜率型題型二：直線型題型三：距離型題型四：周長面積型題型五：數(shù)量積型題型六：坐標與角度型題型七：長度型題型八：方程中的參數(shù)【典例例題】題型一：斜率型例1．（2022·福建南平·三模）已知為圓：上任意一點，則的最大值為___________．例2．（多選題）（2022·山東泰安·三模）已知實數(shù)x，y滿足方程，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為0C．的最大值為 D．的最大值為例3．（2022·全國·高三專題練習（理））在正三角形中，為中點，為三角形內一動點，且滿足，則最小值為（

）A． B． C． D．例4．（2022·河南·模擬預測（文））已知點在圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型二：直線型例5．（2022·全國·高三專題練習）已知點是圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5例6．（2022·全國·高三開學考試（文））已知點是圓：上的一動點，若圓經過點，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．例7．（2022·全國·高三專題練習）點是圓上的動點，則的最大值是________．題型三：距離型例8．（2022·上海虹口·二模）設，，三條直線：，：，：，則與的交點到的距離的最大值為_________．例9．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（文））若平面內兩定點A、B間的距離為2，動點P滿足，則的最大值為______．例10．（2022·全國·高三專題練習）若A，B是：上兩個動點，且，A，B到直線l：的距離分別為，，則的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例11．（2022·陜西安康·二模（文））已知直線與圓交于兩點，且，則的最大值為___________．例12．（2022·全國·高三專題練習）已知實數(shù)滿足：，，，則的最大值為______．例13．（2022·河北石家莊·模擬預測）若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（

）A． B．2 C． D．4例14．（2022·浙江·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線與軸和軸分別交于，兩點，，若，則當，變化時，點到點的距離的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2022·浙江·高三專題練習）已知點，圓上的兩個不同的點、滿足，則的最大值為（

）A．12 B．18 C．60 D．例16．（2022·江西·寧岡中學高三開學考試（理））已知點在圓上，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．例17．（2022·河北衡水·二模）在平面直角坐標系中，點在軸上，點在軸上，，點滿足，則點到點的距離的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．4例18．（2022·全國·高三專題練習）若x、a、b為任意實數(shù)，若，則最小值為（

）A． B．9 C． D．例19．（2022·遼寧·東北育才學校二模）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．例20．（2022·河南河南·三模（理））已知，為圓：上兩點，且，點在直線：上，則的最小值為（

）A． B．C． D．例21．（2022·全國·高三專題練習）若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足＝，則（|PA|2＋|PB|2）的最大值為（

）A．3＋ B．7＋4C．8＋4 D．16＋8例22．（2022·全國·高三專題練習）已知P是半圓C：上的點，Q是直線上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．例23．（2022·全國·高三專題練習）若，分別為圓：與圓：上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（

）A． B．6 C．9 D．12例24．（2022·全國·模擬預測（理））過圓C：外一點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，若PA⊥PB，則點P到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3題型四：周長面積型例25．（2022·全國·高三專題練習）已知點A（2，0），B（0，﹣1），點是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點，則面積最大值為（

）A．2 B． C． D．例26．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知圓，點M為直線上一個動點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形周長的最小值為（

）A．8 B． C． D．例27．（2022·全國·高三專題練習）已知圓，點M為直線上一個動點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則當四邊形周長取最小值時，四邊形的外接圓方程為（

）A． B．C． D．例28．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，圓C與圓外切，且與直線相切，則圓C的面積的最小值為（

）A． B． C． D．例29．（2022·北京昌平·二模）已知直線與圓相交于兩點，當變化時，△的面積的最大值為（

）A． B． C． D．例30．（2022·河南·高三階段練習（理））已知直線過定點，直線過定點，與的交點為，則面積的最大值為（

）A． B．C．5 D．10題型五：數(shù)量積型例31．（2022·全國·高三專題練習）已知正方形ABCD的邊長為2，以B為圓心的圓與直線AC相切．若點P是圓B上的動點，則的最大值是________．例32．（2022·遼寧大連·二模）已知，，點P在曲線上，則的最小值為___________．例33．（2022·全國·高三專題練習）已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且，則的最小值為______．例34．（多選題）（2022·福建龍巖·模擬預測）已知圓，直線，點，則（

）A．當時，直線l與圓相切B．若直線l平分圓的周長，則C．若直線l上存在點A，使得，則a的最大值為D．當時，N為直線l上的一個動點，則的最小值為例35．（多選題）（2022·湖北武漢·模擬預測）已知圓M：，直線l：，直線l與圓M交于A，C兩點，則下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點B．的最小值為4C．的取值范圍為D．當最小時，其余弦值為例36．（多選題）（2022·湖北·模擬預測）若動直線與圓相交于兩點，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．為坐標原點）的最大值為78D．的最大值為18例37．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為F，，直線MF與y軸交于點N，點P為雙曲線上一動點，且，直線MP與以MN為直徑的圓交于點M?Q，則的最大值為（

）A．48 B．49 C．50 D．42例38．（2022·全國·高三專題練習）已知點M為橢圓上任意一點，A，B是圓上兩點，且，則的最大值與最小值的和是（

）A．20 B． C．40 D．例39．（2022·河南開封·二模（文））騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛．如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，，均是邊長為4的等邊三角形，設點P為后輪上一點，則在騎行該自行車的過程中，達到最大值時點P到地面的距離為（

）A． B． C． D．題型六：坐標與角度型例40．（2022·全國·高三專題練習）已知，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．例41．（2022·福建泉州·模擬預測）若圓）與圓交于A、B兩點，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．例42．（2022·全國·高三專題練習）已知，，是非零平面向量，，，，，則的最大值是_________．例43．（2022·全國·高三專題練習（理））已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8例44．（多選題）（2022·河北·高三階段練習）已知圓上兩點A、B滿足，點滿足：，則下列結論中正確的是（

）A．當時，B．當時，過M點的圓C的最短弦長是C．線段的中點縱坐標最小值是D．過M點作圖C的切線且切點為A，B，則的取值范圍是例45．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與直線相交于點P，點，O為坐標原點，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．例46．（2022·北京·北大附中高三開學考試）已知圓C：和兩點，，且圓C上有且只有一個點P滿足，則r的最大值為（

）A． B．3 C． D．5例47．（2022·全國·二模（理））動圓M經過坐標原點，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．例48．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知為坐標原點，點，，以為鄰邊作平行四邊形，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例49．（2022·江西·上饒市第一中學模擬預測（理））已知，過點作圓（為參數(shù)，且）的兩條切線分別切圓于點、，則的最大值為（

）A． B． C． D．例50．（2022·江蘇蘇州·高三階段練習）已知x，y滿足，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．例51．（2022·全國·高三專題練習）已知圓C：x2＋y2＝4，M、N是直線l：y＝x＋4上的兩點，若對線段MN上任意一點P，圓C上均存在兩點A、B，使得cos∠APB＝，則線段MN長度的最大值為（

）A．2 B．4 C．4 D．4題型七：長度型例52．（2022·上海·高三階段練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為____________例53．（2022·全國·高三專題練習）已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（

）A． B． C． D．例54．（2022·浙江·高三專題練習）已知圓，圓，點、分別是圓、圓上的動點，點為軸上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．例55．（2022·廣東·汕頭市第一中學高三階段練習）已知A，B是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是（

）A． B． C． D．例56．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））已知曲線，等邊三角形的兩個頂點A，B在E上，頂點C在E外，O為坐標原點，則線段長的最大值為（

）A．3 B． C． D．2例57．（2022·河南新鄉(xiāng)·三模（理））已知拋物線的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10例58．（2022·北京西城·一模）已知點為圓上一點，點，當m變化時，線段長度的最小值為（

）A． B． C． D．例59．（2022·河北·石家莊二中模擬預測）已知為拋物線上的動點，為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（

）A． B． C． D．例60．（2022·全國·模擬預測）已知直線l過點，則直線l被圓O：截得的弦長的最小值為（

）A．3 B．6 C． D．例61．（2022·安徽馬鞍山·三模（文））已知為拋物線C：上一動點，過C的焦點F作：的切線，切點為A，則線段FA長度的最小值為（

）A．3 B． C． D．例62．（2022·全國·高三專題練習（文））已知圓，圓，點分別是圓?圓上的動點，點為上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．例63．（2022·全國·模擬預測（理））已知圓C：，若直線l：ax－y＋1－a＝0與圓C相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．例64．（2022·全國·高三專題練習）如圖，P為圓O：x2+y2＝4外一動點，過點P作圓O的切線PA，PB，切點分別為A，B，∠APB＝120°，直線OP與AB相交于點Q，點M（3，），則|MQ|的最小值為（

）A． B．2 C． D．例65．（2022·全國·高三專題練習）已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．