2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——隨機算法的設(shè)計與分析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.下列算法中，屬于拉斯維加斯算法的是（）。(A)隨機游走算法(B)舍選抽樣算法(C)快速排序的隨機化版本(D)蒙特卡洛近似算法2.下列關(guān)于蒙特卡洛算法的描述中，正確的是（）。(A)必須保證在有限步驟內(nèi)得到正確解(B)運行時間有確定的上界，但結(jié)果可能不精確(C)至少需要運行一次確定性算法來驗證結(jié)果(D)可以用來獲得精確解，且運行時間有期望界限3.在隨機算法的分析中，期望運行時間是指（）。(A)算法運行的最少步驟數(shù)(B)算法運行的最多步驟數(shù)(C)算法運行步驟數(shù)的期望值(D)算法運行步驟數(shù)的方差4.假設(shè)一個隨機算法的成功率為p，失敗率為q=1-p，該算法運行一次的成本為c1，失敗時額外成本為c2（通常c2>c1），則算法的期望成本E[C]為（）。(A)p*c1+q*c2(B)p*c2+q*c1(C)c1+c2*p*q(D)c1*q+c2*p5.以下哪個概率不等式在隨機算法性能分析中最為常用，用于提供非遞減的界限？（）(A)馬爾可夫不等式(B)切比雪夫不等式(C)Markov'sinequality(D)Chernoff界二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）6.一個隨機算法若運行結(jié)束總能得到正確解，則稱其為________算法；若運行結(jié)果有固定的概率為正確解，則稱其為________算法。7.對于一個期望運行時間為E[T]的隨機算法，其期望成功概率為P(S)，則其期望成本（若成功成本為c1，失敗成本為c2）為________。8.在隨機抽樣算法中，Vitter's算法是一種基于________的算法，旨在以較低的概率進(jìn)行高成本操作，以優(yōu)化總期望時間。9.若一個隨機變量的期望值為μ，方差為σ2，則根據(jù)切比雪夫不等式，該變量取值偏離μ超過kσ（k>0）的概率不大于________。10.利用馬爾可夫鏈分析隨機算法性能時，通常需要確定鏈的平穩(wěn)分布，并計算從初始狀態(tài)到達(dá)吸收狀態(tài)（或特定狀態(tài)）的________。三、簡答題（每小題5分，共15分）11.簡述隨機化算法相比確定性算法的主要優(yōu)勢和潛在劣勢。12.解釋什么是舍選抽樣算法，并簡述其基本原理和關(guān)鍵步驟。13.什么是蒙特卡洛方法？它在哪些方面優(yōu)于確定性算法？四、算法設(shè)計題（10分）14.設(shè)計一個隨機算法，用于在含有n個元素的未排序數(shù)組A中，以高概率找到其中最小的k個元素（k≤n）。要求描述算法的基本思想，并分析其期望運行時間（假設(shè)數(shù)組元素均勻分布）。五、計算與證明題（每小題10分，共20分）15.假設(shè)有一個隨機算法，其運行時間T是一個只取正整數(shù)值的隨機變量，已知E[T]=100。若使用切比雪夫不等式，要保證算法運行時間T超過其期望值E[T]的3倍標(biāo)準(zhǔn)差（即超過300）的概率小于或等于1/25，至少需要知道T的方差Var(T)是多少（或提供方差的必要條件）？16.考慮一個簡單的隨機算法：算法從集合{1,2,...,n}中隨機（等概率）選擇一個元素x。若x是唯一的最小元素，則算法成功；否則失敗。請計算該算法成功的概率P(S)。若n很大，該算法成功的概率是多少？請解釋這體現(xiàn)了隨機算法的哪種特性？六、綜合應(yīng)用題（15分）17.假設(shè)我們要在一個圖中尋找一條近似最短路徑。給定一個帶權(quán)無向圖G=(V,E)，邊權(quán)非負(fù)。設(shè)計一個基于隨機游走的簡單近似算法，要求描述算法步驟，并分析其得到的路徑長度與真實最短路徑長度的關(guān)系（例如，給出一個上界或下界，并說明其成立條件）。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(B)3.(C)4.(A)5.(D)二、填空題6.確定性，蒙特卡洛7.p*c1+q*c28.輪盤賭/分支限界9.1/(k2)10.轉(zhuǎn)移概率矩陣三、簡答題11.優(yōu)勢：可能找到更優(yōu)解、處理NP難問題、提高效率、實現(xiàn)某些確定性算法難以實現(xiàn)的功能。劣勢：結(jié)果可能不精確（蒙特卡洛）、可能引入額外復(fù)雜度、分析難度大。解析思路：對比隨機與確定性算法在解的質(zhì)量、計算效率、魯棒性、實現(xiàn)復(fù)雜度等方面的差異。12.原理：找一個易于計算且分布均勻的“建議”分布（建議分布），通過比較目標(biāo)分布與建議分布的比率（比率R），以一定概率拒絕“建議”值，接受來自目標(biāo)分布的值。步驟：生成建議分布的樣本，計算比率R，若R小于一個閾值（通?；诮ㄗh分布的倒數(shù)），則接受該樣本，否則拒絕并重新生成。解析思路：核心在于利用簡單分布生成復(fù)雜分布樣本，關(guān)鍵在于比率檢驗和拒絕概率控制。13.蒙特卡洛方法利用隨機抽樣進(jìn)行數(shù)值計算或近似求解。優(yōu)勢：對于復(fù)雜問題（如積分、解方程、統(tǒng)計問題），當(dāng)無法找到精確解或解的計算成本過高時，蒙特卡洛方法可以提供一種可行的近似解，且計算成本相對可控；易于并行化；可以估計誤差范圍。解析思路：闡述蒙特卡洛方法的基本思想（隨機抽樣），并說明其在處理復(fù)雜性問題、計算成本、并行性及誤差估計方面的相對優(yōu)勢。四、算法設(shè)計題14.思想：利用隨機化快速排序的思想。算法：執(zhí)行一次隨機化快速排序，選擇隨機化的軸點p，將數(shù)組分為小于p、等于p、大于p的三部分。只對包含第k個最小元素的三部分（小于p的部分和等于p的部分）中的較小部分進(jìn)行遞歸排序。期望時間分析：每次遞歸只處理原問題規(guī)模的部分（期望為n/2），且遞歸深度為O(logn)。因此，期望運行時間為T(n)=T(n/2)+O(n)=O(nlogn)。解析思路：借鑒確定性快速排序的劃分思想，通過隨機選擇軸點保證劃分的均衡性，從而獲得良好的平均性能。分析時，利用快速排序的平均時間復(fù)雜度性質(zhì)，并說明隨機化并未改變其分治策略和期望復(fù)雜度。五、計算與證明題15.根據(jù)切比雪夫不等式：P(|T-E[T]|≥kσ)≤1/(k2)。要求P(T≥E[T]+3σ)≤1/25，即k=3，所以需要1/(32)≤1/25，即1/9≤1/25。這顯然不成立。要使P(T≥E[T]+3σ)≤1/25，需要1/(k2)≤1/25，即k2≥25，k≥5。所以，需要Var(T)≥25*σ2?；蛘?，可以表述為Var(T)≥9σ2。解析思路：直接應(yīng)用切比雪夫不等式公式P(|X-μ|≥kσ)≤1/k2，代入給定條件（概率和k值），解出方差Var(T)必須滿足的最小值。16.成功率P(S)：唯一最小元素為x的概率是1/n。x被選中的概率也是1/n。因此，P(S)=1/n。若n很大，P(S)≈0。特性：體現(xiàn)了蒙特卡洛算法的性質(zhì)，即對于大輸入規(guī)模，成功的概率可能非常低，需要多次運行以提高成功概率?；蛘?，體現(xiàn)了隨機化算法的不確定性。解析思路：計算事件“成功”（選中唯一最小元素）的概率，即兩個獨立事件（選到最小元素、最小元素恰好被選中）同時發(fā)生的概率。分析n大的情況，說明低概率事件的發(fā)生。六、綜合應(yīng)用題17.算法步驟：1.選擇一個起始頂點s。2.從當(dāng)前頂點v，隨機選擇一個鄰接頂點w（等概率）。3.若w未被訪問過，則將w加入路徑。4.將w設(shè)為當(dāng)前頂點v，轉(zhuǎn)到步驟2。5.若v所有鄰接頂點都已訪問過或不存在，則結(jié)束。返回從s出發(fā)經(jīng)過的頂點序列構(gòu)成的路徑。路徑長度分析：每次隨機選擇鄰接點，平均而言，每步前進(jìn)的距離可能小于真實最短路徑上的步數(shù)（因為可能選擇到離目標(biāo)更遠(yuǎn)的點）。因此，得到的路徑長度上界為真實最短路徑長度的k倍（k>1，具體k值取決于圖的密度和隨機游走特性）